Анализ динамических и статических характеристик систем с отказами и восстановлениями на основе уравнений Колмогорова

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 519.217

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

Анализ динамических и статических характеристик систем с отказами и восстановлениями на основе уравнений Колмогорова

М.М. ХРУСТАЛЕВА

Рассматриваются алгоритмические и программные подходы к анализу параметров надежности многоэлементных систем. Описаны ключевые аспекты применения дифференциальных уравнений Колмогорова в традиционных и новых задачах такого типа. Приведены примеры и необходимые пояснения.

Актуальность данной работы определяется большой распространенностью и необходимостью совершенствования методов анализа надежности многоэлементных систем, таких как: промышленные робототехнические системы с множеством однотипных объектов, оборудование электростанций, компьютерные системы и сети. Общей проблемой для подобных систем служит обеспечение высокого уровня вероятностей безотказной работы. Кроме того, большое практическое значение имеет оценка возможности управления этими вероятностными процессами. Определение этих показателей в статике и в динамике осуществляется на основе теории уравнений Колмогорова (УрК).

В литературе, посвященной исследованию надежности многоэлементных систем, в основном, рассматриваются традиционные задачи прямого анализа. В настоящей работе вводится новый класс задач -- обратные задачи, позволяющие рассматривать проблемы планирования (синтеза) многоэлементных систем по надежностным критериям.

Вероятностные процессы многоэлементных систем

Существует широкий класс прикладных задач, связанных с анализом показателей надежности многоэлементных систем с отказами и восстановлениями (МСОВ) в процессе функционирования [1-4]. К этому же классу относятся и многие задачи анализа старения оборудования в таких системах. При выполнении данной работы ставились следующие цели: сформулировать постановки задач, предложить алгоритм преобразования УрК, гарантирующий получение устойчивого решения задачи анализа вероятностей состояний, автоматизировать решение выявленных задач в виде интерактивного ресурса.

Процессы в МСОВ носят вероятностный характер, поэтому многочисленные задачи анализа таких систем связаны с оценкой вероятностей их состояний.

Состояние МСОВ в процессе функционирования меняются под воздействием ряда событий связанных, как с дефектами, недостаточным качеством, или старением отдельных элементов, так и с проведением ремонтно-восстановительных работ. Последовательность этих событий формируют потоки отказов и/или восстановлений с интенсивностями ?k и µk соответственно; здесь k = 1,…, m , где m - число элементов системы.

Краткие сведения об уравнениях Колмогорова

Дифференциальные уравнения Колмогорова (УрК) служат для описания изменчивости вероятностей состояний МСОВ. Переменными в УрК служат вероятности состояний исследуемой системы, . Получение этих вероятностей в результате решения УрК позволяет оценить практически важные показатели надежности, например, вероятность безотказной работы системы. Формирование УрК подчинено ряду правил [1- 5].

Предварительно многоэлементную систему удобно представить в виде графа состояний. Для этого указывают его вершины (состояния с их вероятностями) и дуги (ребра) с пометками лk или µk, учитывающими переходы из состояния в состояние под воздействием потоков отказов или восстановлений элементов системы.

Каждое i-ое уравнение в составе УрК записывается так:

· в левой части записывается производная вероятности i-го состояния системы;

· правая часть каждого i-ого уравнения УрК содержит столько слагаемых, сколько ребер связано с данным (i-ым) состоянием;

· каждое слагаемое правой части образуется произведением интенсивности соответствующего потока событий (л или µ) на вероятности тех состояний, с которыми связаны ребра;

· перед каждым слагаемым правой части ставится минус, если ребро исходит из i-го состояния; если же ребро входит в i-ое состояние, перед соответствующим слагаемым ставится плюс.

Сформированная подобным образом система УрК в векторно-матричной форме имеет вид:

; ,

где A - (n Чn)-матрица коэффициентов; P - (n Ч 1)-вектор вероятностей Pi состояний исследуемой системы; P0 - вектор начальных условий.

При кажущейся простоте алгоритма формирования уравнений (1), они не могут быть непосредственно использованы для получения Pi(t). Это обстоятельство служит определенным затруднением в практическом применении УрК при решении прикладных задач анализа вероятностных процессов в МСОВ.

Причиной невозможности прямого использования уравнения (1) для решения задач служит вырожденность матрицы А, поэтому попытка интегрировать систему уравнений (1) без предварительного преобразования обречена на неудачу. Такое интегрирование будет сопровождаться неограниченным изменением получаемых значений Pi(t), что противоречит природе вероятностей.

Вырожденность А объясняется наличием линейной связи элементов вектора Р в виде очевидного равенства:

P1(t) + P2(t) + … + Pi(t) +…+ Pn-1(t) + Pn(t) = 1.

Равенство (2) опирается на известный постулат теории вероятностей, согласно которому сумма вероятностей событий, составляющих полную группу, равна единице.

Продифференцировав равенство (2) по времени, получим, что сумма элементов вектора равна 0. Это означает, что сумма правых частей уравнений в системе (1) даст ноль, т. е.:

C• A• P= 0.

Здесь С -- (1 Чn)-строка, состоящая из единиц.

Вектор Pв уравнении (3) в общем случае ненулевой, поэтому равенство (3) возможно только при условии:

C• A = d = |0 0 0. . . 0 0 0|,

где d -- нулевая (1 Чn)-строка.

Из условия (4) следует важное свойство УрК: сумма строк ai матрицы A равна нулевой строке:

a1+ a2+ … + ai+…+ an-1+ an = d.

Выражение (5) свидетельствует о наличии линейной зависимости строк матрицы А и объясняет причину ее вырожденности. При желании описанное свойство можно использовать в качестве критерия корректности формирования матрицы А.

Из свойства (5) также следует, что любая строка матрицы А может быть выражена через сумму (n- 1) остальных строк. Это означает, что невырожденное ядро матрицы А имеет размерность ((n- 1) Ч (n- 1)), а УрК, которые можно непосредственно интегрировать при решении прикладных задач, составляют систему из (n- 1) уравнений. При этом такая система дифференциальных уравнений должна, с позиции теории динамических систем, обладать устойчивостью. Переходные процессы в таких системах с течением времени достигают установившихся состояний.

Рассмотрим простой и удобный в использовании алгоритм преобразования системы уравнений (1) в эквивалентную устойчивую систему (n- 1) -го порядка. С этой целью воспользуемся выражением (2).

Из (2) можно выразить любую переменную через остальные. Выполним это преобразование исключением из системы (1) последнего уравнения. Для этого выразим последний элемент вектора Р через остальные. Из (2) имеем:

Pn = 1 - (P1 + P2 + … + Pi +…+Pn-1) = 1 - с • р,

где р - [(n - 1) Ч 1] - вектор, составленный из первых(n - 1) членов вектора Р; с - [1 Ч(n - 1)] - строка, состоящая из единиц:

p = |P1P2 …Pi…Pn-1|T; с = |111…11|. (7)

Заменяя в (1) переменную Pn выражением (6), получаем систему дифференциальных уравнений (n - 1)-го порядка в виде:

= R • p + b • (1 - с • р) = M • p + b; M = R - b • с;

Где R - [(n- 1) Ч(n- 1)] - верхний диагональный блок матрицы А;

B - [(n- 1) Ч 1] - вектор, составленный из первых (n - 1) членов n-го (последнего) столбца матрицы А.

Матрица М - невырожденное ядро матрицы А; показателем корректности подобных преобразований УрК (1) в уравнения (8) служит совпадение собственных чисел (с.ч.) матрицы М и ненулевых с.ч. матрицы А.

Уравнения (8) теперь могут быть непосредственно использованы для решения широкого круга прикладных задач анализа характеристик надежности. В этих задачах из уравнений (8) определяются (n - 1) первых элементов вектора Р; элемент Pn, ранее исключенный из УрК, находится из выражения(6).

Задачи анализа надежности

Область практического использования уравнений (8) включает два основных класса задач исследования вероятностей состояний МСОВ: анализ вероятностей в динамике и в статике (при t> ?). При этом могут рассматриваться задачи, которые условно назовем задачами прямого и обратного анализа. Некоторые из этих задач могут быть решены как при постоянных значениях интенсивностей ?k и µk, так и при изменениях этих значений с течением времени.

Задачи прямого анализа тривиальны и предполагают определение вектора Р (и функций от него) при заданных интенсивностях ?k и µk. В ряде таких задач интенсивности могут быть переменными. Так, например, учитывая, что интенсивности отказов характеризуют качество оборудования МСОВ, введением зависимостей ?k от времени можно моделировать процессы «старения» отдельных элементов МСОВ.

Анализ динамики изменения вероятностей состояний осуществляется интегрированием уравнений (8).

Выражения (6), (8) позволяют проводить и анализ установившихся значений этих вероятностей (анализ в статике), который не требует интегрирования уравнений (8). Такой анализ может быть проведен с использованием соотношений, непосредственно следующих из (6), (8):

p(?)= -M-1 • b; Pn(?) = 1 - с • р(?).

Полученные соотношения открывают возможность успешного решения еще одного касса задач применительно к МСОВ, которые могут иметь важное прикладное значение. Задачи этого класса, названные здесь обратными, предполагают нахождение интенсивностей отказов и/или восстановлений путем поиска условного экстремума одного из возможных вероятностных критериев.

Решение обратной задачи принципиально может достигаться с использованием интегральных критериев, которые учитывают динамику изменения состояний МСОВ в диапазоне от начального момента времени до момента достижения установившегося состояния. Однако подобный подход достаточно громоздок и оперирует интегралами от вероятностей состояний, а не конкретными значениями этих вероятностей, важными в прикладных задачах. Поэтому большее внимание уделим здесь особенностям обратных задач, решаемых для установившегося режима, в статике.

В качестве критерия в такой обратной задаче можно выступать, например, установившееся значение вероятности безотказной работы как функции искомых интенсивностей. Максимизация этого критерия при наложении ряда условий в форме равенств или неравенств составляет сущность такой обратной задачи. Один из вариантов подобной задачи рассмотрен ниже.

В обратных задачах, как и в любых задачах на поиск условного экстремума, высокую важность имеет совокупность условий, ограничивающих пространство сопоставляемых в процессе поиска вариантов. Недостаточность условий в таких задачах может отрицательно повлиять на качество получаемого решения.

Применительно к МСОВ в обратной задаче должны быть учтены:

· диапазоны определения интенсивностей и вероятностей;

· требования устойчивости дифференциальных уравнений (8).

Первое условие является естественным, но может быть дополнено, в случае необходимости, ограничениями на значения интенсивностей ?kи µk , а также вероятностей. Интенсивности отказов ?k и восстановлений µk косвенно характеризуют качество оборудования и потенциальные возможности ремонтно-восстановительных структур соответственно. Поэтому ограничения на ? снизу, а также ограничения на µ сверху позволит учесть реальные особенности конкретной МСОВ при постановке обратной задачи. надежность дифференциальный уравнение многоэлементный

Второе условие, связанное с устойчивостью уравнений (8), вызвано необходимостью сохранения свойств преобразованных УрК в процессе поиска решения обратной задачи. Более подробно: наложением требования устойчивости уравнений (8) чего обеспечивается сама возможность решения обратной задачи и возможность анализа динамики изменения вероятностей состояний МСОВ при найденном ее решении. Действительно, при решении обратной задачи используются выражения (9) для установившегося режима. Устойчивость уравнений (8) гарантирует существование уравнений (9) и, в частности, обратной матрицы M.

Рассмотренные условия математически могут быть выражены многими способами. Один из вариантов учета этих условий приведен в примере, описанном ниже. Учитывая, что решение обратной задачи органично включает и решение прямой задачи анализа вероятностных свойств МСОВ, этот пример будет посвящен здесь только решению обратной задаче.

Пример

Пусть анализируемая система состоит из трех ЭВМ, среди которых одна - резервная. Пусть также состояние системы будем определять, как рабочее, если в работе находится не менее двух ЭВМ. Как отмечалось выше, под действием потоков отказов и восстановлений ЭВМ состояния системы меняются. Совокупность состояний с их вероятностями и направлениями переходов удобно представлять в виде графа. Для рассматриваемого случая такой граф представлен на рис.1. Граф составлен в предположении, что потоки отказов и восстановлений ЭВМ - простейшие [3], поэтому число интенсивностей равно трем для каждого потока. Объединим эти интенсивности в два трехмерных вектора ? и µ. Решим обратную задачу, в которой искомым будет вектор µ при заданном векторе ?.

В данном примере система имеет семь состояний. Отказовые состояния помечены на графе штриховкой. С использованием описанных выше правил формируем по составленному графу (см. рис. 1) уравнения Колмогорова в форме (1): = A• P; P0. Здесь: A - (7Ч7)-матрица коэффициентов; P - (7Ч 1) - вектор вероятностей состояний Pi; P0 - вектор начальных условий.

Рис.1 Граф системы

Матрица А и вектор P0этих уравнений для данного примера имеют вид:

P0= |1 0 0 0 0 0 0|Т;

Преобразования(6) - (8) полученных уравнений выполним, выражая вероятность седьмого состояния системы: P7 = 1 - (P1 + P2 + …P5 + P6) =1 - с • р . Здесь р - (6Ч 1) -вектор, содержащий первые шесть элементов вектора Р; строка с = | 111111 |.

После замены в векторе Р элемента P7, получаем преобразованные УрК в форме (8): = M • p + b; M- (6Ч 6) -матрица; b - (6Ч 1) -вектор, составленный из первых шести членов последнего столбца матрицы А.

Выберем в рассматриваемой обратной задаче критерий в виде установившегося значения вероятности безотказной работы системы. Эта вероятность в данном случае может быть выражена как:

ро = 1 - hs • p(?), hs = | 0 0 0 111|,

де вектор p(?) определяется выражениями (9). Максимизация вероятности (10) по искомому вектору µ составляет сущность данной обратной задачи.

В настоящем материале решение данной задачи получено в среде mathcad для значений интенсивности отказов ?1 = 0,2 1/час, ???= 0,1 1/час и ?3= 0,1 1/час.

В подобных задачах требуется ограничивать значения µ сверху, что позволяет учесть реальные возможности ремонтно-восстановительных структур. Такие ограничения могут вводиться на максимальные значения µ или сумму(Q) элементов вектора µ. В данном примере было принято Q = 1; значения Q выбираются в файле из списка. Также мы наложили условие на запас устойчивости в виде неравенства Re(zm) < 0, где zm -- наиболее близкое к мнимой оси с.ч. матрицы M(µ).

На рис. 2 приведен заключительный этап решения, в котором искомый вектор (µ0) находится с использованием процедуры maximize. Выводятся значения элементов µ0 и вероятности ро(µ0) = 0.774 безотказной работы. Не трудно видеть, что сумма элементов вектора µ равна заданному значению Q.

Рис. 2. Получение значений искомого вектора.

Повышение вероятности ро может быть достигнуто при уменьшении значений? и/или увеличении значений Q.

В нижней строке рис. 3 выведены также минимальное (р0 = 0.068) и максимальное (р1 = 0.397) значения вероятностей состояний данной системы.

Интерактивный файл, размещенный в [6], позволяет получать решения для других исходных данных.

Заключение

Ограниченность объема данного материала не позволяет рассмотреть другие задачи анализа характеристик надежности МСОВ. Однако подробное описание свойств УрК и рассмотренная в примере обратная задача, а также интерактивные ресурсы авторов [6] позволят читателю успешно ставить и решать собственные задачи вероятностного анализа надежности МСОВ в статике и динамике. Полученные в результате работы методы анализа вероятностных характеристик могут использоваться для уменьшения издержек, повышения эффективности в любом виде деятельности.

В дальнейшем планируется автоматизировать составление системы дифференциальных уравнений Колмогорова по графу, а также создать ресурс, позволяющий учитывать категорию отказа (например мелкие, значительные).

При этом переход из рабочего состояния в отказовое может происходить в результате отказов различных категорий со случайным их выбором. Каждой категории будет соответствовать своя интенсивность и вероятность появления таких отказов, а так же состояние МСОВ возникающее после отказа данной категории. Такого рода спецификация будет достигаться за счет введения дополнительных состояний.

Литература

1. Волков, И.К. Случайные.процессы /И.К. Волков, С.М. Зуев, Т.М. Цветкова. - Москва: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. - 448 с.

2. Ивановский, Р.И. Теория вероятностей и математическая статистика / Р.И.Ивановский. - Спб.: «БХВ-Петербург», 2008. - 512 с.

3. Глазунов, Л.П. Основы надежности автоматических систем управления /Л.П. Глазунов, В.П. Грабовецкий, О.В. Щербаков. - Л.: Энергоатомиздат, Ленинградское отделение, 1984. - 208 с.

4. Вентцель, Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология/Е.С.Вентцель. - 2-е изд., стер. - Москва: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 208 с.

Размещено на Allbest.ru