Анализ уточненной математической модели ММГ RR-типа при воздействии линейных вибраций

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 531.383-11:531.714.7

ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», Санкт-Петербург

Анализ уточненной математической модели ММГ RR-типа при воздействии линейных вибраций

Ковалев А.С., Елисеев Д.П., Белогуров А.А.

Аннотация

гироскоп вибрация датчик сигнал

Приведены результаты исследования влияния линейных вибраций на поведение выходного сигнала микромеханического гироскопа RR-типа. Исследованы причины появления ложных сигналов, возникающих из-за нелинейностей характеристик емкостных датчиков углов и моментов при действии вибраций.

Микромеханические гироскопы (ММГ) представляют собой миниатюрные датчики угловой скорости, которые обычно используются на высокоманевренных объектах и устанавливаются без специализированных амортизирующих средств [7]. Принцип работы большинства ММГ аналогичен осцилляторным вибрационным гироскопам [6]. Схема чувствительного элемента (ЧЭ) ММГ разработки ЦНИИ «Электроприбор» показана на рис.1. Упругие элементы и ротор в виде диска диаметром 3 мм и толщиной 60 мкм выполнены из монокристаллического кремния [4]. При наличии относительных первичных угловых колебаниях ротора по оси OZ, возбуждаемых электростатическим двигателем, и переносной угловой скорости основания по оси OY силы Кориолиса обуславливают возникновение вторичных угловых колебаний по оси OX, измеряемых емкостными датчиками угла, расположенными под диском [5].

Рис.1. Схема датчика ММГ

Настоящая статья посвящена исследованию поведения ММГ, построенного по указанной схеме, в условиях внешних механических воздействий и продолжает цикл статей авторов [1, 2]. В предыдущих работах анализировались математические модели, учитывающие инструментальные погрешности ЧЭ и действие линейных вибраций и постоянных перегрузок. В этой работе ставится задача исследования уточнения математической модели путем учета влияния электромеханических взаимодействий между ротором и датчиками угла и момента на выходной сигнал ММГ при наличии внешней линейной вибрации.

Уточнение математической модели ММГ

Для выявления влияния электромеханических взаимодействий целесообразно использовать упрощенные модели динамики ММГ, не учитывающие прочие факторы. В этом случае их можно представить в виде

(1)

где , - углы поворота ротора относительно корпуса прибора по осям первичных и вторичных колебаний соответственно; - собственные частоты упругого подвеса ЧЭ по осям вторичных и первичных колебаний соответственно; - параметры затухания колебаний по осям вторичных и первичных колебаний соответственно; - прикладываемое управление, - ускорение, вызванное действием момента сил Кориолиса, пропорциональное действующей угловой скорости, подлежащей определению.

В проводимом исследовании важно понимать, как формируется выходной сигнал ММГ. Ускорение представляет собой в первом приближении амплитудно-модулированный сигнал

,(2)

где - угловая скорость, действующая относительно оси чувствительности ММГ; - конструктивный параметр, имеющий размерность [рад/с] и зависящий от амплитуды угла первичных колебаний, частоты этих колебаний и соотношения моментов инерции ротора по осям и .

Будем считать параметр и вообще все остальные конструктивные параметры постоянными. Установившееся решение дифференциального уравнения по углу , полученное после затухания собственной динамики колебаний ротора при отсутствии управления примет вид

(3)

,(4)

,(5)

где , - амплитуды вынужденных колебаний синфазной и квадратурной составляющих (по отношению к углу первичных колебаний) решения дифференциального уравнения, t - текущее время.

В рассматриваемом случае считается что настолько, что синфазная составляющая решения по отношению к квадратурной мала и ею в дальнейшем можно пренебречь. Тогда можно записать, что сигнал о действующей угловой скорости является в общем случае амплитудно-модулированным и определяется выражением

.(6)

Для выделения составляющей применяется процедура синхронной демодуляции, при которой сигнал гироскопа по оси вторичных колебаний перемножается на опорный сигнал , сформированный по закону

.(7)

В этом случае результирующий сигнал примет вид

,(8)

второе слагаемое отфильтровывается фильтром низких частот, а оставшееся слагаемое

,(9)

и является выходным сигналом ММГ.

Следующим допущением примем, что частоты линейных мод колебаний ротора по всем осям в 5 и более раз выше верхней границы частотного диапазона допустимых линейных вибраций. Поэтому динамикой ротора ММГ в линейных направлениях можно пренебречь и рассматривать перемещения конструкции как статические отклонения.

В такой постановке задачи линейные вибрации не оказывают никакого влияния на динамику ротора по углу и выходной сигнал гироскопа. Эта модель является исходной и полностью описывает поведение «идеального» ММГ. Уточним ее для исследования электромеханических взаимодействий. Для этого рассмотрим особенности емкостных датчиков, используемых для съема показаний и формирования управляющих сигналов по оси вторичных колебаний. Конструкция датчика момента имеет вид, показанный на рисунке 2. Обкладки емкостного датчика «об.1 ДМВК» и «об.2 ДМВК» расположены симметрично относительно центра подвеса ротора для возможности формирования управляющих моментов в противоположных направлениях. Между обкладками и ротором гироскопа образуется емкость. Из законов физики известно, что при подаче напряжения на обкладки, между ними и ротором будет создаваться притягивающая электростатическая сила.

Рис.2. Конструкция датчика момента по оси вторичных колебаний

Запишем выражения для электростатических сил при небольшом упрощении, касающемся замены углового перемещения на плоскопараллельное при отклонении ротора относительно каждой обкладки. Это допущение позволяет получить обозримые решения, пригодные для инженерной практики с высокой точностью (погрешность не более 1 %) при отклонениях ротора до 15-20 % от максимально возможного положения. На практике условие отклонения ротора на небольшие углы при максимальной измеряемой скорости является определяющим при отбраковке ММГ после изготовления [3]. Поэтому принятое допущение полностью оправдано для проводимого исследования годных по результатам изготовления датчиков.

Запишем изменение сил и , возникающих между обкладками и ротором при подаче на них управляющих напряжений и , соответственно, при наличии линейной вибрации вдоль оси первичных колебаний

,(10)

,(11)

где - относительная диэлектрическая постоянная среды, - абсолютная диэлектрическая постоянная, - номинальный зазор, - изменение зазора, вызванное при линейной вибрации ускорением из-за конечной упругости подвеса ротора вдоль оси первичных колебаний, - эффективный радиус от центра подвеса до точки, создаваемой обкладкой датчика момента силы.

В приведенных выражениях учтено, что при вибрации зазор изменяется одинаково для обеих обкладок, а при отклонении ротора по углу для одной обкладки уменьшается, а для другой увеличивается. Учет изменения по углу важен, поскольку, в общем случае напряжения управления не равны друг другу и ротор ММГ при работе отклоняется от первоначального положения.

Соответственно, момент формируется как

.(12)

Поскольку функции (10) и (11) аналитические, то они могут быть разложены в ряд. Выполнив эту процедуру по малому параметру , получим

.(13)

Повторив процедуру разложения в ряд по параметру , получим более сложное выражение, которое можно разложить на насколько слагаемых и переписать в виде

,(14)

где , , , - слагаемые, сгруппированные по признакам их зависимости от комбинаций переменных, при этом слагаемое включает в себя все остальные составляющие решения за исключением , , .

Следует обратить внимание на третье слагаемое выражения (14) поскольку именно оно описывает, каким образом линейная вибрация основания приводит к возникновению момента, действующего на ротор. Суть этого слагаемого соответствует физическим представлениям, поскольку при разных напряжениях на обкладках возникает дисбаланс сил, формирующий момент. Рассмотрим влияние гармонической вибрации с амплитудой вида

,(15)

на поведение ротора ММГ.

При появлении сигнала на частотах, кратным субгармармоникам частоты вторичных колебаний в силу характера зависимости (14), возникает сигнал на частоте вторичных колебаний. Амплитуда этого сигнала определяется коэффициентами разложения в ряд и имеет тенденцию к уменьшению с увеличением кратности субгармоники. Поскольку из уравнений динамики следует, что ротор является колебательным звеном, то возникает резонансное усиление и ротор дополнительно возбуждается. На практике этот момент практически не сказывается на выходном сигнале гироскопа, поскольку в рассматриваемом случае , и сигнал на частоте вторичных колебаний подавляется при синхронной демодуляции. Однако важно отметить, что в этом случае по выходному сигналу ММГ нельзя судить о том, что происходит с его ротором. Можно предположить, что в предельных случаях, когда система управления не сможет подавить отклонение ротора на собственной частоте могут возникать «мгновенные» отказы, когда ММГ скачкообразно изменяет свое состояние на неработоспособное. Если теперь положить, что , то колебания ротора становятся наблюдаемыми в выходном сигнале гироскопа, однако характер влияния останется тот же.

Этот результат можно обобщить для гироскопов компенсационного типа положив, что угол удерживается системой управления в нулевом положении. Выражение (14) в этом случае перепишется в виде

,(16)

из которого следуют аналогичные выводы.

Рассмотрим влияние датчика угла, показанного на рисунке (3).

Рис.3. Конструкция датчика угла

Как видно, датчик угла имеет схожую структуру с датчиком момента. Применив те же допущения и обобщив сложную геометрию более простой, таким образом, чтобы эффективные площади и радиусы обкладок соответствовали первоначальным, запишем выражения для изменения емкостей

,(17)

.(18)

Суммарное изменение емкости можно свести к выражению

.(19)

В отличие от предыдущего случая, сигнал с датчика угла претерпевает синхронную демодуляцию, в процессе которой умножается на сигнал вида (7). Это качественно изменяет поведение выходного сигнала ММГ по отношению к сигналу об угле при действии линейной вибрации. Аналогично предыдущему случаю рассмотрим случай гармонической вибрации вида (15). Из-за процедуры синхронной демодуляции в выходном сигнале гироскопа следует ожидать появления ложного сигнала на субгармониках, кратных частоте первичных колебаний. Для проверки этих положений были проведены моделирование работы гироскопа и экспериментальные исследования.

Результаты компьютерного моделирования и экспериментальных исследований

Компьютерное моделирование проводилось в среде Simulink. На основе уравнений (1), (10), (11), (17) и (18) и математической модели процедуры синхронной демодуляции была построена модель Simulink, позволяющая наблюдать сигнал по углу вторичных колебаний и выходной сигнал гироскопа.

Результаты моделирования для случая Гц и Гц методом «качающейся частоты» при задании постоянной амплитуды вибрации в диапазоне от 20 до 2000 Гц показаны на рисунке 4.

Рис.4. Результаты компьютерного моделирования: сверху - выходной сигнал ММГ, снизу - угол отклонения ротора по вторичной оси

Результаты моделирования полностью подтверждают сделанные ранее выводы о появлении на субгармониках первичных и вторичных колебаний ложных сигналов. При этом полностью подтвердился вывод о том, что в сигнале по оси вторичных колебаний присутствуют всплески сигналов только на субгармониках вторичных колебаний, а в выходном сигнале - на субгармониках вторичных и первичных колебаний.

Подберем параметры собственных частот в модели так, чтобы они были близки частотам одного из серийных образцов «ММГ-2» ( Гц и Гц), изготавливаемых ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор». На рисунках 5 и 6 показаны результаты исследования реального образца «ММГ-2» на вибростенде в районе третьих субгармоник и показан характер изменения сигнала при приближении к субгармоникам первичных и вторичных колебаний.

Рис.5. Результаты экспериментального исследования

Рис.6. Результаты моделирования

Вторая область разряжения на рисунке 6 по отношению к рисунку 5 обусловлена эффектом переноса спектра, поскольку в реальном гироскопе частота выдачи информации составляет 1 кГц, а в модели (для задач исследования этого эффекта) - 100 Гц. Отличия в масштабе вызваны упрощением исследуемой модели, не учитывающим масштабирующие факторы. В целом, следует отметить качественное совпадение результатов моделирования и эксперимента. Такое совпадение результатов подтверждает аналитические выводы, а сами выводы могут использоваться для разработки методов снижения или подавления ложных сигналов, возникающих при воздействии линейных вибраций. Следует отметить, что ряд эффектов обусловлен физическими принципами электростатического взаимодействия и может быть обобщен на другие устройства, использующие аналогичные емкостные структуры.

Выводы

Рассмотрена уточненная электромеханическая модель ММГ, учитывающая нелинейные электростатические эффекты в электромеханических элементах ММГ. Исследованы и экспериментально подтверждены причины появления ложных сигналов ММГ в условиях действия линейных вибраций.

Показано и подтверждено аналитическими и экспериментальными методами, что в случаях совпадения частот линейных вибраций основания с субгармониками частот угловых колебаний ротора ММГ вибрация основания может оказывать существенное влияние на выходной сигнал гироскопа.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №10-08-00153а.

Литература

1. Евстифеев М.И., Ковалев А.С., Елисеев Д.П. Розенцвейн Д.В. Результаты испытаний микромеханических гироскопов при механических воздействиях. Гироскопия и навигация. - СПб.: ГНЦ РФ - ЦНИИ "Электроприбор", №1, 2011. С.49-58/

2. Евстифеев М.И., Ковалев А.С., Лычев Д.И., Розенцвейн Д.В. Результаты экспериментального исследования влияния линейных перегрузок на характеристики микромеханического гироскопа RR-типа. Гироскопия и навигация. - СПб.: ГНЦ РФ - ЦНИИ "Электроприбор", №1, 2010. С.100.

3. Ковалев А.С., Логовская Е.В. Методы снижения влияния разбросов конструктивных параметров микромеханического гироскопа на его характеристики. Сборник докладов X конференции молодых ученых. - СПб.: ГНЦ РФ - ЦНИИ «Электроприбор», 2009. С.362-369.

4. Пешехонов, В.Г. Микромеханический гироскоп, разрабатываемый в ЦНИИ «Электроприбор» / В.Г. Пешехонов [и др.] // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2008. - № 2. - С.29-31.

5. Патент № RU 2 269 746 C1. Микромеханический вибрационный гироскоп. М.И.Евстифеев, Несенюк Л.П., Пешехонов В.Г., Унтилов А.А., 2006.

6. Распопов, В.Я. Микромеханические приборы: Учебное пособие / В.Я. Распопов/. - Тула: Гриф и К., 2004. - 476 с.

7. Krueger, S. et al. Microsystems for Automotive Industry / S. Krueger [et al.] // MST News - March 2005 pp.8-10.

Авторы не возражают против размещения доклада в Интернете и согласны с его последующей публикацией в сборнике материалов конференции.

Сектор 0845, тел. 78-09.

Моб.тел. 8 911 2295819 - Ковалев Андрей.

Размещено на Allbest.ru