Восстановление одномерных финитных сигналов, прошедших через фильтр низких частот

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Восстановление одномерных финитных сигналов, прошедших через фильтр низких частот

А.Ю. Зражевский, В.А. Коротков

ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, Фрязинский филиал

Аннотация

В работе рассмотрена возможность восстановления одномерных финитных сигналов, прошедших через фильтр низких частот. Показано, что возможно полное восстановление исходного сигнала при условии ограниченности длительности сигнала.

Ключевые слова: восстановление сигналов, фильтр низких частот, преобразование Фурье.

Abstract

The possibility of restoring of one-dimensional finite signals passed through the low pass filter is considered. It is shown an ability to recover the original signal provided that the signal is time limited.

Keywords: signal restoration, low-pass filter, Fourier transform.

Существуют методы, которые сводятся к восстановлению исходного сигнала по сигналу, прошедшему через идеальный фильтр низких частот (ФНЧ). В общем виде эта задача представляется неразрешимой. Однако, если входной сигнал ограничен по времени или пространству, то решение возможно [1-3]. В данной работе, в отличие от представленных ранее, рассматривается способ на основе получения ограниченного по частоте спектра из известного сигнала.

Пусть сигналы на выходе ФНЧ и на входе ФНЧ имеют вид:

Рис.1.Сигнал на выходе ФНЧ. Рис.2.Сигнал на входе ФНЧ.

График на Рис.2 был получен из сигнала, который дополнили с обеих сторон нулями. Далее был рассчитан спектр этого сигнала, спектр ограничили и с помощью обратного преобразования Фурье получили график на Рис.1. Спектры выходного из ФНЧ и входного сигнала представлены на рисунках 3 и 4 соответственно.

Рис.3.Спектр сигнал на выходе ФНЧ.

Рис.4.Спектр сигнал на входе ФНЧ.

Для расчета спектра сигнала на входе ФНЧ используем формулу:

, (1)

где f(j) - входной сигнал, F(k) - спектр «входного» сигнала, N+1 - количество отсчетов входного сигнала. Так как спектр выходного сигнала ограничен полосой пропускания ФНЧ, то kменяется от до и . В силу того, что нас интересует не весь входной сигнал, а только его ненулевая часть, можно пределы суммирования в (1) брать меньше. Выражение (1) можно представить в виде системы линейных уравнений или умножения матриц:

. (2)

одномерный финитный сигнал восстановление

Решение (2) относительно f - исходного сигнала наталкивается на некоторые трудности, связанные с комплексным характером матриц A и F и линейной зависимостью уравнений, связанную в первую очередь с симметрией A и F. Поэтому целесообразно разделить A, f и F на симметричные и антисимметричные части и решать полученные уравнения раздельно. Далее из симметричной и антисимметричной части построить полное решение. Поступая так, получим:

(3)

(4)

(5)

В дальнейшем учтем, что в (3)-(5) k меняется от 0 до , а j меняется от 0 до ненулевого исходного сигнала, что в прочем не критично. Уравнения (2) теперь выглядят так:

(6)

Решение переопределенных уравнений (6) проводим методом SVD [4]. Графики симметричной и антисимметричной частей F представлены на рис.5. Полученное решение после суммирования симметричной и антисимметричной частей находится на рис.6.

Рис.5.Части спектра на выходе ФНЧ. (симметричная и антисимметричная части F соответственно красная и синяя линии)

Рис.6. Полученное решение. (без нулевых частей, ограничивающих сигнал справа и слева)

Сравнение Рис.6 и Рис.2. позволяет сделать вывод о полном восстановлении входного сигнала. Отметим, что ключевым моментом успешного восстановления сигнала является знание ограниченности входного сигнала по времени или пространству.

Литература

1. М.А.Броварова, С.Н.Хонина. Повышение разрешающей способности с помощью вытянутых сфероидальных волновых функций. Компьютерная оптика, 21, 53-57, 2001.

2. К.М.Ермохин. Технология построения разрезов методом аналитического продолжения геофизических полей. Геоинформатика, 2, 51-60, 2010.

3. Л.А.Айзенберг, Б.А.Кравцов. Вычислительный эксперимент по сверхразрешению физических приборов в экстраполяции спектра Фурье одномерных финитных сигналов. Письма в ЖТФ. 13. №9. 1987.

4. Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер - Машинные методы математических вычислений. «Мир». 1980.

Размещено на Allbest.ru