Инвариантность стационарного распределения в сетях с многорежимными стратегиями обслуживания и разнотипными заявками

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ерёмина Александра Рафаэловна

ИНВАРИАНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В СЕТЯХ С МНОГОРЕЖИМНЫМИ СТРАТЕГИЯМИ ОБСЛУЖИВАНИЯ И РАЗНОТИПНЫМИ ЗАЯВКАМИ

01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Минск, 2013

Работа выполнена в учреждении образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы».

Научный руководитель - Малинковский Юрий Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой экономической кибернетики и теории вероятностей УО «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины».

Официальные оппоненты:

Апанасович Владимир Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор, директор ГУО «Институт бизнеса и менеджмента технологий» Белорусского государственного университета;

Гаврилюк Александр Александрович,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики УО «Белорусский государственный университет транспорта».

Оппонирующая организация - Государственное научное учреждение «Институт математики НАН Беларуси».

Защита состоится 15 ноября 2013 г. в 12.00 часов на заседании совета по защите диссертаций Д 02.01.07 при Белорусском государственном университете по адресу: 220030, г. Минск, ул. Ленинградская, 8 (юридический факультет), ауд. 407. Телефон ученого секретаря - (017) 209-57-09.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан 07 октября 2013 г.

Ученый секретарь совета по защите диссертаций

доктор физико-математических наук, профессор Н.В. Лазакович

КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Системы и сети массового обслуживания (МО) находят широкое применение при анализе и оптимизации различных процессов, в частности, при передаче и обработке информации. Они являются адекватными моделями, описывающими функционирование многих реальных объектов в экономике, производственном и финансовом секторе, логистике, технике, здравоохранении, проектировании информационных и компьютерных сетей и т.д. [10, 12, 13, 16]. Особый практический интерес представляет изучение сетей с многорежимным обслуживанием, которые могут использоваться при проектировании ремонтных мастерских, заправочных станций, промышленных объектов, планировании графика работы общественного транспорта, открытии новых производственных линий и т.д.

Однако при построении и анализе сетей часто выдвигается предположение о том, что длительности обслуживания поступающих заявок и (или) длительности пребывания обслуживающих приборов в режимах имеют экспоненциальное распределение. Это условие часто не соответствует функционированию реальных объектов. Поэтому большую практическую значимость имеет изучение таких сетей, в которых заявки обслуживаются не только по экспоненциальному закону, а обслуживающие приборы в узлах могут полностью или частично выходить из строя, работать с меньшей производительностью.

Первый результат по инвариантности стационарного распределения получен в 1957 г. Б.А. Севастьянов доказал, что для системы M/G/m/0 существует эргодическое распределение вероятностей состояний, которое не зависит от вида функции распределения длительности обслуживания, если среднее время обслуживания фиксировано. В 1975 году была опубликована BCMP-теорема (Baskett, Chandy, Muntz, Palacios), являющаяся первой работой по инвариантности для сетей МО.

Установлению инвариантности стационарного распределения вероятностей состояний систем и сетей МО также посвящены публикации В.А. Ивницкого, Д. Кёнига, И.Н. Коваленко, А.В. Крыленко, А.Н. Старовой-това, Д. Штойяна, О.В. Якубович, У. Янзена и др.

В данной работе для ряда мгновенных дисциплин обслуживания доказывается инвариантность стационарного распределения состояний сетей с многорежимными стратегиями и заявками различных типов относительно работ по обслуживанию требований и (или) по переключению режимов работы приборов.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

инвариантность сеть обслуживание заявка

Связь работы с крупными научными программами (проектами) и темами

Диссертационная работа выполнялась в рамках следующих научных программ учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»:

- Государственная программа фундаментальных исследований «Математические модели 26», задание «Математические модели стохастических сетей» (срок выполнения 2009-2010 гг., № госрегистрации 20061474);

- Государственная программа научных исследований «Междисциплинарные научные исследования, новые зарождающиеся технологии как основа устойчивого инновационного развития (Конвергенция)», подпрограмма «Математические методы», задание «Стационарное распределение стохастических сетей» (срок выполнения 2011-2012 гг., № госрегистрации 20111163).

Цель и задачи исследования

Целью работы является доказательство инвариантности (независимости) стационарного распределения открытых и замкнутых сетей с многорежимными стратегиями обслуживания и разнотипными заявками относительно вида функций распределения количества работы, необходимого для обслуживания поступающей в узел заявки, и (или) функций распределения количества работы, необходимого для переключения режимов приборов в узлах. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи для открытых и замкнутых сетей:

1) с мгновенными дисциплинами обслуживания, произвольной функцией распределения количества работы, необходимого для обслуживания требования, экспоненциальным переключением режимов работы приборов в узлах и марковской маршрутизацией устанавливаются достаточные условия независимости стационарного распределения состояний сети от вида функций распределения, характеризующих обслуживание;

2) с экспоненциальным обслуживанием, произвольной функцией распределения количества работы, необходимого для переключения режимов функционирования приборов в узлах, и марковской маршрутизацией устанавливаются достаточные условия независимости стационарного распределения состояний сети от вида функций распределения, характеризующих переключение;

3) с мгновенными дисциплинами обслуживания, произвольной функцией распределения количества работы, необходимого для обслуживания требования, произвольной функцией распределения количества работы, необходимого для переключения режимов функционирования приборов в узлах, и марковской маршрутизацией устанавливаются достаточные условия независимости стационарного распределения состояний сети от вида функций распределения, характеризующих обслуживание и переключение.

Объектом исследования являются кусочно-линейные и кусочно-непрерывные марковские процессы состояний открытых и замкнутых сетей с многорежимными стратегиями обслуживания и разнотипными заявками.

Предметом исследования является стационарное распределение вероятностей состояний таких сетей.

В работе использовались методы теории вероятностей, теории марковских процессов, теории МО, теории надёжности. Исследования основывались на методе расширения фазового пространства (метод дополнительных переменных) и методе локального баланса.

Положения, выносимые на защиту

1. Если дисциплина обслуживания является «немедленной», то стационарное распределение вероятностей состояний открытых и замкнутых сетей с многорежимными стратегиями и разнотипными заявками не зависит от вида функций распределения количества работы, необходимого для обслуживания требований, поступающих в узел, и имеет мультипликативную форму.

2. Стационарное распределение вероятностей состояний открытых и замкнутых сетей с многорежимными стратегиями и разнотипными заявками не зависит от вида функций распределения количества работы, необходимого для переключения режимов функционирования приборов в узлах, и имеет мультипликативную форму.

3. Если дисциплина обслуживания является «немедленной», то стационарное распределение вероятностей состояний открытых и замкнутых сетей с многорежимными стратегиями и разнотипными заявками не зависит от вида функций распределения количества работы, необходимого для обслуживания требования, а также количества работы, необходимого для переключения режимов приборов, и имеет мультипликативную форму.

Основные результаты настоящей диссертационной работы являются новыми, поскольку обобщают результаты, полученные Ю.Е. Летунович для сетей с несколькими типами заявок, многорежимными стратегиями обслуживания и экспоненциальными длительностями обслуживания и пребывания в режимах, на случай произвольно распределенных длительностей обслуживания и пребывания в режимах и А.Н. Старовойтовым для сетей с многорежимными стратегиями обслуживания, однотипными заявками и произвольными длительностями обслуживания и пребывания в режимах на случай нескольких типов заявок.

Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть применены при проектировании и моделировании реальных объектов, т.к. на практике существуют технические средства, которые в силу износа, нарушения условий эксплуатации и т.д. могут продолжать работать с меньшей производительностью или полностью прекращать функционирование.

Личный вклад соискателя

Все результаты, приведенные в диссертации, получены автором самостоятельно. В совместных работах постановка задач принадлежит научному руководителю Ю.В. Малинковскому. В совместной работе с А.Н. Старовойтовым последнему принадлежала постановка задачи. Вклад соискателя определяется рамками излагаемых в диссертации результатов.

Апробация результатов диссертации

Основные результаты диссертации докладывались на X Белорусской математической конференции (Минск, 2008), на X-XIII Республиканских научных конференциях студентов и аспирантов (Гомель, 2007-2010), на международной конференции, посвященной 75-летию Г.А.Медведева (Минск, 2010), а также на международных научных и научно-практических конференциях: «Современные информационные компьютерные технологии mcIT-2010» (Гродно, 2010); 14-й «Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: теория и приложения» (Москва, 2010); «Массовое обслуживание: потоки, системы, сети. Современные математические методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей» (Минск, 2011); X «Информа-цион-ные технологии и математическое моделирование» (Анжеро-Судженск, 2011); «Моделирование и анализ информационных систем» (Ярославль, 2012); ХІV, посвященной 120-летию со дня рождения академика М. Кравчука (Киев, 2012); VI «Современные задачи прикладной статистики, промышленной, актуарной и финансовой математики» (Донецк, 2012); I Интернет-конференции «Современные тенденции развития математики и её прикладные аспекты - 2012» (Донецк, 2012); 17-й «Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций» (Рязань, 2012); «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий» (Сочи, 2012); XV «Математические методы в технике и технологиях (ММТТ-25)» (Волгоград, 2012). Результаты докладывались на научных семинарах учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины».

Опубликованность результатов диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в 29 научных работах, из которых 9 - статьи в научных журналах в соответствии с п. 18 Положения о присуждении учёных степеней и присвоении учёных званий в Республике Беларусь (общим объёмом 3,5 авторского листа), 2 - статьи в сборниках научных трудов, 16 - статьи в сборниках материалов научных конференций, 2 - тезисы.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из перечня условных обозначений, введения, общей характеристики работы, четырех глав, заключения, библиографического списка и семи приложений. Полный объём диссертации составляет 122 страницы, в том числе 7 приложений занимают 14 страниц. Библиографический список содержит 159 наименований, включая собственные публикации автора (на 16 страницах).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

В первой главе диссертации приводится краткий обзор публикаций по сетям МО. Указывается важность задачи установления инвариантности стационарного распределения вероятностей состояний сетей относительно длительностей обслуживания заявок и длительностей переключения режимов обслуживающих приборов.

Во второй главе рассматривается сеть МО, состоящая из N однолинейных узлов, в которой циркулируют заявки М типов. В случае открытой сети поступающий в неё поток заявок - простейший с интенсивностью . Каждая заявка входного потока независимо от других заявок направляется в l-й узел и становится заявкой типа u с вероятностью (). В случае замкнутой сети в ней циркулирует заявок. После обслуживания в l-м узле заявка типа u независимо от других заявок мгновенно направляется в k-й узел и становится заявкой типа v с вероятностью , а с вероятностью покидает сеть ( для открытой сети и для замкнутой сети, ; ).

В l-м узле находится единственный прибор, который может работать в одном из режимов работы (. Состояние сети в момент времени t характеризуется вектором , где описывает состояние l-го узла в момент времени t. Здесь - тип заявки, которая стоит -ой () в очереди на обслуживание, - тип заявки, находящейся на обслуживании, - режим, в котором работает l-ый узел в момент времени t. Случайный процесс в случае открытой сети обладает не более чем счётным фазовым пространством состояний , , в случае замкнутой сети - конечным пространством состояний .

Время пребывания в режиме () имеет экспоненциальное распределение. При этом с интенсивностью прибор l-го узла переходит в режим , а с интенсивностью - в режим . Во время переключения прибора с одного режима на другой число заявок в узле не меняется.

Предполагается, что матрица , , где в случае открытой сети , , а в случае замкнутой сети , неприводима. Тогда уравнение трафика в случае открытой сети

(1)

имеет единственное положительное решение . В случае замкнутой сети уравнение трафика

(2)

имеет единственное с точностью до постоянного множителя положительное решение .

В пункте 2.1 рассматривается случай, когда заявки в узлах обслуживаются согласно дисциплине LCFS PR (с дообслуживанием и абсолютным приоритетом поступающего требования). Для упрощения записей вводятся операторы:

Если состояние l-го узла есть вектор и в этот узел поступает заявка типа u, то она начинает немедленно обслуживаться. Количество работы по её обслуживанию является случайной величиной с функцией распределения , , и математическим ожиданием . Если состояние l-го узла есть вектор , то обслуживание ведётся со скоростью , т.е. зависит от состояния узла.

Пусть - количество работы, которое осталось выполнить с момента t для завершения обслуживания заявки, стоящей в момент времени t на k-й позиции в l-м узле, , . Т.к. в общем случае процесс не является марковским, то рассматривается кусочно-линейный марковский процесс , . Под понимаются стационарные функции распределения вероятностей состояний процесса .

В случае открытой сети справедлива

Теорема 2.1 [1, с. 37; 11, с. 230; 14, с. 160; 28, с. 8]. Если выполняются соотношения

(3)

(4)

где , то стационарные функции распределения вероятностей состояний определяются по формулам

, (5)

находятся из (1), а

. (6)

Следствие [1, с. 39; 11, с. 230]. Если выполняются соотношения (3), (4) и фиксированы первые моменты, то стационарное распределение не зависит от вида функций распределения и имеет вид

(7)

где , , находятся по формулам (5), (6).

В случае замкнутой сети справедлива

Теорема 2.2 [11, с. 230; 15, с. 194]. Если выполняются соотношения

(8)

то стационарные функции распределения вероятностей состояний определяются по формулам

где

, (9)

находятся из (2), а - из условия нормировки.

Следствие [11, с. 230]. Если выполняются соотношения (8) и фиксированы первые моменты, то стационарное распределение не зависит от вида функций распределения и имеет вид

(10)

где , , находятся по формуле (9).

В пункте 2.2 рассматривается случай, когда дисциплиной обслуживания является «дискриминаторное разделение процессора» (DPS - Discriminatory Processor-Sharing). Каждая заявка имеет свою скорость выполнения работы по обслуживанию, которая пропорциональна числу заявок данного типа и обратно пропорциональна общему числу заявок в узле.

Состояние сети в момент времени t характеризуется вектором

,

где описывает состояние l-го узла в момент времени t. Здесь - число заявок типа u в l-ом узле, - режим, в котором работает l-й узел в момент времени t. Переключение режимов узла определяется, как и в пункте 2.1. Процесс в случае открытой сети имеет счётное пространство состояний - , , а в случае замкнутой сети - конечное пространство состояний , - число всех заявок в l-м узле.

Количество работы по обслуживанию поступившей в l-й узел заявки типа u является случайной величиной с функцией распределения и математическим ожиданием

Пусть в момент времени t состояние l-го узла есть вектор Работа по обслуживанию заявки типа u выполняется со скоростью если в узле находится всего заявок, заявок типа u .

Система уравнений трафика в случае открытой сети принимает вид:

(11)

где - средняя интенсивность поступления заявок типа u в l-ый узел, и имеет единственное положительное решение

Для описанной сети установлены результаты, аналогичные теоремам 2.1 и 2.2. В случае открытой сети справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3 [5, с. 40]. Если выполняются условия

(12)

(13)

где - решение системы уравнений трафика (11), - интенсивность выхода из состояния х, то стационарные функции распределения вероятностей состояний определяются по формулам

(14)

(15)

Следствие [5, с. 41]. Если выполняются соотношения (12), (13) и фиксированы первые моменты, то стационарное распределение не зависит от вида функций распределения и имеет вид (7), где определяются по формулам (14), (15).

В случае замкнутой сети справедлива

Теорема 2.4 [5, с. 41]. Если выполняются соотношения

(16)

то стационарные функции распределения вероятностей состояний определяются по формулам

(17)

где находятся из (2), а из условия нормировки.

Следствие [5, с. 42]. Если выполняются соотношения (16) и фиксированы первые моменты, то стационарное распределение не зависит от вида функций распределения и имеет вид (10), где определяются по формуле (17).

Для аналогичных открытой и замкнутой сетей МО с дисциплиной «обобщённое разделение процессора» также были получены результаты, из которых следует, что стационарное распределение процесса не зависит от вида функций распределения величин работ, требующихся на обслуживание заявок [2, с. 55; 3, с. 48-50; 17, с. 17-18].

В третьей главе рассматривается случай, когда количество работы, необходимое для обслуживания заявки, имеет экспоненциальное распределение, а количество работы, необходимое для переключения режима, не зависит от остаточного количества работы и имеет произвольное распределение с конечным математическим ожиданием.

В пункте 3.1 дисциплиной обслуживания является LCFS PR (с дообслуживанием). Количество работы, необходимое для изменения режима на или , является случайной величиной с произвольной функцией распределения и математическим ожиданием .

Если в момент времени t состояние узла есть , то указанная работа выполняется со скоростью . При этом с вероятностью прибор l-го узла переходит в режим , а с вероятностью - в режим .

Пусть - количество работы, которое осталось выполнить с момента времени t для завершения переключения режима на соседний в l-ом узле, если прибор работает в режиме , , .

Так как в общем случае процесс не является марковским, то рассматривается кусочно-линейный марковский процесс .

Под понимаются стационарные функции распределения вероятностей состояний процесса .

Для открытой сети справедлива

Теорема 3.1 [27, с. 147; 24, с. 94].

Если выполняются соотношения (3) и

(18)

где , то стационарные функции распределения определяются по формулам

(19)

находятся из (1), а

. (20)

Следствие. Если выполняются соотношения (3), (18) и фиксированы первые моменты, то стационарное распределение не зависит от вида функций распределения и имеет вид (7), где определяются по формулам (19), (20).

В случае замкнутой сети имеет место

Теорема 3.2 [27, с. 147; 23, с. 35]. Если выполняются соотношения (8), то стационарные функции распределения определяются по формулам

(21)

где находятся из (1), а - из условия нормировки.

Следствие. Если выполняются соотношения (8) и фиксированы первые моменты, то стационарное распределение не зависит от вида функций распределения и имеет вид (10), где определяются по формулам (21).

В пункте 3.2 рассматриваются открытые и замкнутые кусочно-непрерывные сети МО с дисциплиной обслуживания DPS. Описание состояния сетей задаётся аналогично, как и в пункте 2.2.

Количество работы, необходимое для изменения режима на или , является случайной величиной с произвольной функцией распределения , плотностью распределения , , и математическим ожиданием . Если в момент времени t состояние узла есть , а - остаточное количество работы, которое необходимо выполнить с момента t до перехода в соседний режим, то скорость переключения равна . Таким образом, скорость переключения зависит от остаточного количества работы. При этом прибор l-го узла с вероятностью переходит в режим , а с вероятностью - в режим .

Предполагается, что функции являются непрерывными для любого и выполняется условие

В общем случае процесс не является марковским, поэтому рассмотрим процесс , .

В случае открытой сети имеет место

Теорема 3.3 [21, с. 106]. Если выполняются соотношения (12) и

(22)

то стационарные плотности распределения и стационарные функции распределения определяются по формулам

(23)

находятся из (11), а - из условия нормировки.

Следствие. В условиях теоремы 3.3, если фиксированы первые моменты, то стационарное распределение вероятностей состояний процесса не зависит от вида функций распределения и имеет вид

где , , определяются по формулам (23).

В случае замкнутой сети справедлива

Теорема 3.4 [9, с. 82; 22, с. 51]. Если выполнены соотношения (15) и (22), то стационарные плотности и стационарные функции распределения определяются по формулам

(24)

находятся из (2), а - из условия нормировки.

Следствие [9, с. 84]. В условиях теоремы 3.4, если фиксированы первые моменты, то стационарное распределение вероятностей состояний процесса не зависит от вида функций распределения и имеет вид (10), где определяются по формулам (24).

Глава 4 посвящена исследованию сетей МО с многорежимными стратегиями и разнотипными заявками, когда количество работы по обслуживанию поступающего требования и количество работы, необходимое для переключения режима, имеют произвольные распределения с конечными средними.

В пункте 4.1 рассматривается случай, когда дисциплиной обслуживания является LCFS PR, а параметры процессов обслуживания заявок и переключения режимов приборов в узлах не зависят от общего состояния узла [4, с. 45; 8, с. 21; 19, с. 75; 26, с. 19].

В пункте 4.2 рассматриваются открытые и замкнутые сети МО, аналогичные описанным в пункте 4.1, за исключением процессов обслуживания заявок и переключения режимов приборов, которые уже зависят от параметров общего состояния узла.

Количество работы, необходимое для изменения режима на или , является случайной величиной с произвольной функцией распределения и математическим ожиданием . Если в момент времени t состояние узла есть , то указанная работа выполняется со скоростью , при этом с вероятностью прибор l-го узла переходит в режим , а с вероятностью - в режим .

Пусть - количество работы, которое осталось выполнить с момента t до момента завершения обслуживания заявки, стоящей в момент времени t на k-й позиции в l-м узле, . Пусть - количество работы, которое осталось выполнить с момента t для перехода прибора l-го узла из режима в соседний режим, . Тогда стационарное распределение процесса в случае открытой сети определяет

Теорема 4.3 [6, с. 77; 20, с. 114]. Если выполнены условия (3) и

(25)

где

то стационарные функции распределения вероятностей состояний определяются по формулам

(26)

где находятся из (1), а - из условия нормировки.

Следствие [6, с. 79; 20, с. 114]. Если выполняются соотношения (3), (25) и фиксированы первые моменты, то стационарное распределение не зависит от вида функций распределения , и имеет вид (7), где определяются по формулам (26).

Для замкнутой сети справедливо утверждение, аналогичное теореме 4.3, из которого следует инвариантность стационарного распределения процесса [29, с. 6].

В пункте 4.3 рассматриваются открытые и замкнутые сети, аналогичные исследованным в пункте 4.2 за исключением дисциплины обслуживания - DPS.

В случае открытой сети имеет место

Теорема 4.5 [7, с. 100; 18, с. 249]. Если выполнены условия (12) и

(27)

где - решение системы уравнений трафика (11), - интенсивность выхода из состояния х, то стационарные функции распределения вероятностей состояний определяются по формулам

(28)

(29)

Следствие [7, с. 100; 18, с. 249]. Если выполняются соотношения (12), (27) и фиксированы первые моменты, то стационарное распределение не зависит от вида функций распределения и имеет вид (7), где определяются по формулам (28),(29).

Аналогичные результаты получены для замкнутой сети [7, с. 104; 25, с. 38].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные результаты диссертации

1. Для открытых и замкнутых сетей МО с многорежимными стратегиями, разнотипными заявками и различными «немедленными» дисциплинами обслуживания установлена инвариантность стационарного распределения вероятностей состояний сетей относительно вида функций распределения величин работ, требующихся на обслуживание заявок в случае, когда длительности пребывания в режимах имеют экспоненциальное распределение [1, 2, 3, 5, 11, 14, 15, 17, 28].

2. Для открытых и замкнутых сетей МО с многорежимными стратегиями и разнотипными заявками установлена инвариантность стационарного распределения вероятностей состояний сетей относительно вида функций распределения величин работ, необходимых для переключения режимов функционирования приборов в узлах, когда величины работ, требующиеся на обслуживание заявок, имеют экспоненциальное распределение [9, 21, 22, 23, 24, 27].

3. Для открытых и замкнутых сетей МО с многорежимными стратегиями, разнотипными заявками и различными «немедленными» дисциплинами обслуживания установлена инвариантность стационарного распределения вероятностей состояний сетей относительно вида функций распределения величин работ, требующихся на обслуживание заявок, и величин работ, необходимых для переключения режимов функционирования приборов в узлах [4, 6, 7, 8, 18, 19, 20, 25, 26, 29].

Таким образом, для всех вышеперечисленных случаев установлено, что стационарное распределение вероятностей состояний сети, как и в марковском случае, имеет форму произведения, где каждый множитель является стационарным распределением вероятностей состояний изолированного узла, помещенного в фиктивную окружающую среду с простейшим входным потоком.

Рекомендации по практическому использованию результатов

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при решении прикладных задач, связанных с проектированием, моделированием и эксплуатацией различных реальных объектов, поскольку любые технические средства в силу естественного износа или нарушения условий эксплуатации могут полностью прекращать функционирование, либо продолжать работать с меньшей производительностью. При этом, как правило, распределение длительностей обслуживания заявок и времени нормального функционирования устройств отличается от экспоненциального. Поэтому полученные в работе результаты облегчают нахождение стационарных распределений состояний сетей.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ СОИСКАТЕЛЯ

Статьи в научных журналах

1. Малинковский, Ю.В. Инвариантность стационарного распределения вероятностей состояний сетей с многорежимными стратегиями обслуживания, разнотипными заявками и дисциплиной обслуживания LCFS PR / Ю.В. Малин-ковский, А.Н. Старовойтов, А.Р. Ерёмина // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2009. - №3(8). - С. 33-39.

2. Ерёмина, А.Р. Инвариантность стационарного распределения открытой сети массового обслуживания с многорежимными стратегиями, разнотипными заявками и дисциплиной «обобщённое разделение процессора» / А.Р. Ерёмина // Вестник Гродненского государственного университета им. Я. Купалы. Серия 2. - 2010. - №3. - С. 52-58.

3. Ерёмина, А.Р. Инвариантность стационарного распределения состояний сетей массового обслуживания с многорежимными стратегиями, разнотипными заявками и дисциплиной «обобщённое разделение процессора» / А.Р. Ерёмина // Автоматика и вычислительная техника. - 2011. - №1. - С. 43-54.

4. Ерёмина, А.Р. Об инвариантности стационарного распределения вероятностей состояний открытой сети с многорежимными стратегиями обслуживания и разнотипными заявками / А.Р. Ерёмина, Ю.В. Малинковский // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2011. - №4(17). - C. 41-48.

5. Ерёмина, А.Р. Инвариантность стационарного распределения состояний сетей с многорежимным обслуживанием, разнотипными заявками и «дискриминаторным» разделением процессора / А.Р. Ерёмина, Ю.В. Малин-ковский // Автоматика и вычислительная техника. - 2012. - №4. - С. 34-46.

6. Ерёмина, А.Р. Инвариантность стационарного распределения состояний сети с многорежимными стратегиями в случае зависимости параметров процессов обслуживания и переключения от состояния узла / А.Р. Ерёмина // Проблемы физики, математики и техники. - 2012. - №2(11). - C. 76-80.

7. Ерёмина, А.Р. Инвариантность стационарного распределения состояний неоднородных сетей массового обслуживания с многорежимными стратегиями и дисциплиной DPS / А.Р. Ерёмина // Информатика. - 2012. - №2(34). - C. 98-106.

8. Ерёмина, А.Р. Инвариантность стационарного распределения вероятностей состояний замкнутой сети с многорежимными стратегиями обслуживания / А.Р. Ерёмина // Молодёжь в науке - 2011: прил. к журн. «Весці НАН Беларусі» в 5 ч. / Нац. акад. наук Беларуси. Совет молодых учёных НАН Беларуси; редкол. серии физ.-мат. наук: С.В. Абламейко (гл. ред.), С.Я. Килин [и др.] - Минск: Беларус. навука, 2012. - Ч. 5. Сер. физ.-мат. наук; сер. физ.-техн. наук. - С. 18-23.

9. Ерёмина, А.Р. Инвариантность стационарного распределения состояний замкнутой кусочно-непрерывной сети с многорежимным обслуживанием / А.Р. Ерёмина // Вестник Гродненского государственного университета им. Я. Купалы. Серия 2. - 2013. - №1. - С. 80-85.

Статьи в сборниках научных трудов

10. Ерёмина, А.Р. Стохастическая модель и программная реализация процесса оптимизации функционирования автопредприятия / А.Р. Ерёмина // Современные информационные компьютерные технологии: сб. науч. ст. / ГрГУ им. Я. Купалы; редкол.: А.М. Кадан (отв. редактор) [и др.]. - Гродно: ГрГУ, 2006. - С. 28-34.

11. Ерёмина, А.Р. Инвариантность стационарного распределения вероятностей состояний открытых и замкнутых сетей с многорежимными стратегиями обслуживания, разнотипными заявками и дисциплиной обслуживания LCFS PR / А.Р. Ерёмина // Стохастическое и компьютерное моделирование систем и процессов: сб. науч. ст. / ГрГУ им. Я. Купалы; редкол.: Л.В. Рудикова (гл. ред.) [и др.]. - Гродно: ГрГУ, 2011. - С. 226-231.

Статьи в сборниках материалов научных конференций

12. Ерёмина, А.Р. О применении теории массового обслуживания при решении некоторых задач логистики / А.Р. Ерёмина // Массовое обслуживание: потоки системы, сети: материалы Междунар. науч. конф. «Математические методы повышения эффективности информационно-телекоммуникационных сетей», Гродно, 29 янв. - 1 февр. 2007 г. / редкол.: А.Н. Дудин (отв.ред.)[и др.]. - Минск: РИВШ, 2007. - Вып. 19. - С.84-86.

13. Ерёмина, А.Р. Применение теории массового обслуживания при решении некоторых задач транспортной логистики / А.Р. Ерёмина // Новые математические методы и компьютерные технологии в проектировании, производстве и научных исследованиях: материалы X Республ. научн. конф. студ. и аспир., Гомель, 12-14 марта 2007 г.: в 2 ч / ГГУ им. Ф. Скорины; редкол.: Д.Г. Лин [и др.]. - Гомель, 2007. - Ч. 1. - С. 191-192.

14. Ерёмина, А.Р. Система уравнений Колмогорова для открытой сети массового обслуживания с многорежимной стратегией обслуживания и несколькими типами заявок (с неэкспоненциальным обслуживанием) / А.Р. Ерё-мина // Новые математические методы и компьютерные технологии в проектировании, производстве и научных исследованиях: материалы XI Республ. научн. конф. студ. и аспир., Гомель, 17-19 марта 2008 г.: в 2 ч. / ГГУ им. Ф. Скорины; редкол.: О.М. Демиденко (гл.ред.) [и др.]. - Гомель, 2008. - Ч. 1. - C. 160-161.

15. Ерёмина, А.Р. Инвариантность стационарного распределения сетей с многорежимными стратегиями, разнотипными заявками и дисциплиной обслуживания LCFS / А.Р. Ерёмина // Новые математические методы и компьютерные технологии в проектировании, производстве и научных исследованиях: материалы XII Республ. научн. конф. студ. и аспир., Гомель, 16-18 марта 2009 г.: в 2 ч. / ГГУ им. Ф. Скорины; редкол.: О.М. Демиденко (гл. ред.) [и др.]. - Гомель, 2009. - Ч. 1. - C. 194-195.

16. Ерёмина, А.Р. Инвариантность стационарного распределения сетей с многорежимными стратегиями относительно переключения режимов / А.Р. Ерё-мина // Теория вероятностей, математическая статистика и приложения: сб. науч. статей (материалы Междунар. конф., посвящ. 75-летию проф., д-ра физ.-мат. наук Г.А. Медведева, Минск, 22-25 февр. 2010 г.). / редкол.: Н.Н. Труш (отв.ред.) [и др.]. - Минск: РИВШ, 2010. - Вып. 3. - С. 100-104.

17. Ерёмина, А.Р. Инвариантность стационарного распределения открытых сетей с многорежимными стратегиями, разнотипными заявками и дисциплиной обслуживания РS / А.Р. Ерёмина // Новые математические методы и компьютерные технологии в проектировании, производстве и научных исследованиях: материалы XIII Республ. научн. конф. студ. и аспир., Гомель, 15-17 марта 2010 г.: в 2 ч. / ГГУ им. Ф. Скорины; редкол.: О.М. Демиденко (гл. ред.) [и др.]. - Гомель, 2010. - Ч. 1. - C. 17-18.

18. Ерёмина, А.Р. Инвариантность стационарного распределения открытой сети с многорежимными стратегиями обслуживания и разнотипными заявками / А.Р. Ерёмина // Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: теория и приложения: сб. науч. ст. 14-й Междунар. конф., Москва, 26-28 октября 2010 г. / Research and Development Company “Information and Networking Technologies”. - Москва, 2010. - С. 245-250.

19. Ерёмина, А.Р. Инвариантность стационарного распределения состояний сетей с многорежимными стратегиями / А.Р. Ерёмина // Массовое обслуживание: потоки, системы, сети: материалы Междунар. науч. конф. «Современные математические методы анализа и оптимизации инфор-мационно-телекоммуникационных сетей», Минск, 31 янв. - 03 февр. 2011 г. / БГУ; редкол.: А.Н. Дудин (отв. ред.) [и др.]. - Минск: РИВШ, 2011. - Вып. 21. - С. 71-75.

20. Ерёмина, А.Р. Инвариантность стационарного распределения состояний открытых сетей массового обслуживания с многорежимными стратегиями / А.Р. Ерёмина // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2011): материалы X Всерос. научно-практ. конф. с междунар. участием, Анжеро-Судженск, 25-26 ноября 2011 г. / ТГУ; редкол.: Р.Т. Якупов, А.А. Назаров [и др.]. - Томск: Изд-во ТГУ, 2011. - Ч. 1. - C. 110-115.

21. Ерёмина, А.Р. Инвариантность стационарного распределения кусочно-непрерывной сети массового обслуживания с многорежимными стратегиями и дисциплиной DPS / А.Р. Ерёмина // Моделирование и анализ информационных систем: труды междунар. научно-практ. конференции, посвященной 35-летию математического ф-та и 25-летию ф-та информатики и вычислит. техники, Ярославль, 6-7 февр. 2012 г. / ЯрГУ им. П.Г. Демидова; редкол.: В.В. Василь-чиков (отв. ред.) [и др.]. - Ярославль, 2012. - С. 104-106.

22. Ерёмина, А.Р. Инвариантность стационарного распределения сети с многорежимными стратегиями и произвольным временем пребывания в режимах / А.Р. Ерёмина // XIV міжнар. наукова конф. ім. академіка М. Крав-чука: матеріали конф., Київ, 19-21 квітня 2012 р.: в 4-х томах. - Київ: НТУУ «КПI», 2012. - Т. 3. Теор. ймовірн. та матем. стат. - С. 50-51.

23. Ерёмина, А.Р. Неоднородные сети с многорежимным обслуживанием и дисциплиной LCFS PR / А.Р. Ерёмина // Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий: материалы Междунар. научно-практ. конф., Сочи, 3-9 мая 2012 г. / Сочинский гос. университет; редкол редкол.: А.Р. Симонян, Е.И. Улитина. - Сочи: РИЦ ФГБОУ ВПО «СГУ», 2012. - С. 34-35.

24. Ерёмина, А.Р. Инвариантность стационарного распределения состояний сетей с многорежимным обслуживанием / А.Р. Ерёмина // Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций: материалы 17-й Междунар. научно-технич. конф, посвящ. 60-летию РГРТУ, Ря-зань, 6-8 мая 2012 г.: в 2 ч. / Рязанский гос. радиотехнич. ун-т. - Рязань, 2012. - Ч. 2. - C. 92-94.

25. Ерёмина, А.Р. Инвариантность стационарного распределения вероятностей состояний замкнутой неоднородной сети массового обслуживания / А.Р. Ерёмина // Сучаснi тенденції розвитку математики та її прикладні аспекти - 2012: матеріали I Міжнар. науково-практ. інтернет-конф., Донецьк, 17 травня 2012 р. / Донецький нац. ун-т економікі і торгівлі; редкол.: А.А. Садеков (від.ред.)[та інш.]. - Донецьк: ДонНУЕТ, 2012. - С. 36-38.

26. Ерёмина, А.Р. Сеть с многорежимными стратегиями при произвольных распределениях длительностей обслуживания и переключения / А.Р. Ерёмина // Теория и практика в физико-математических науках: материалы IV Междунар. научно-практ. конф., Москва, 21 мая 2012 г. / редкол.: В.А. Неганов, А.Н. Ше-лаев. - М.: «Спутник+», 2012. - C. 16-19.

27. Ерёмина, А.Р. Инвариантность стационарного распределения сетей с многорежимными стратегиями обслуживания / А.Р. Ерёмина // Математические методы в технике и технологиях (ММТТ-25): сб. трудов XV Междунар. научн. конф., Волгоград, 29-31 мая 2012 г. - Волгоград: Волгогр. гос. техн. ун-т, 2012. - С. 145-148.

Тезисы докладов научных конференций

28. Ерёмина, А.Р. Инвариантность стационарного распределения сетей с многорежимными стратегиями и дисциплиной обслуживания LCFS с дообслуживанием относительно времени обслуживания / А.Р. Ерёмина // X Белорусская математическая конференция: тез. докл. Междунар. конф., Минск, 3-7 ноября 2008 г. / ИМ НАН РБ. - Минск, 2008. - Ч. 5. - С. 7-8.

29. Ерёмина, А.Р. Инвариантность стационарного распределения вероятностей состояний замкнутой сети массового обслуживания с многорежимными стратегиями / А.Р. Ерёмина, Ю.В. Малинковский // Современные задачи прикладной статистики, промышленной, актуарной и финансовой математики: тезисы докладов VI междунар. научно-практ. конф. студ., аспир. и молод. учёных, посвящ. 75-летию Донецкого нац. ун-та, Донецк, 9-11 апреля 2012 г. / ДонНУ; редкол.: Б.В. Бондарев, Е.Ю. Рагулина. - Донецк, 2012. - C. 6.

РЭЗЮМЭ

Яроміна Аляксандра Рафаэлаўна

Інварыянтнасць стацыянарнага размеркавання сетак са шматрэжымнымі стратэгіямі абслугоўвання і рознатыповымі заяўкамі

Ключавыя словы: сетка масавага абслугоўвання (МА), інварыянтнасць, шматрэжымныя стратэгіі, рознатыповыя заяўкі, стацыянарнае размеркаванне імавернасцей станаў, LCFS PR, DPS.

Мэтай працы з'яўляецца доказ інварыянтнасці (незалежнасці) стацыянар-нага размеркавання сетак з шматрэжымнымі стратэгіямі і разнатыповымі заяў-камі адносна выгляду функцый размеркавання колькасці працы, неабходнай для абслугоўвання заяўкі, якая паступае ў вузел, і функцый размеркавання колькасці працы, неабходнай для пераключэння рэжымаў прыбораў у вузлах.

Метады даследванння. У працы ўжываліся метады тэорыі імавернасцей, тэорыі маркаўскіх працэсаў, тэорыі МА. Даследаванні засноўваліся на метадзе дадатковых пераменных і метадзе лакальнага балансу.

Атрыманыя вынікі і навізна. Для адчыненых і замкнёных сетак МА з шматрэжымнымі стратэгіямі і разнатыповымі заяўкамі:

1. Усталявана інварыянтнасць стацыянарнага размеркавання імавернасцей станаў адносна функцый размеркавання колькасці працы, неабходнай для абслугоўвання заявак, у выпадку, калі дысцыпліна абслугоўвання з'яўляецца “неадкладнай”.

2. Усталявана інварыянтнасць стацыянарнага размеркавання імавернасцей станаў адносна функцый размеркавання колькасці працы, неабходнай для пераключэння рэжыму функцыянавання прыбора, у выпадку, калі хуткасць выканання азначанай працы залежыць ад колькасці рэшткавай працы.

3. Усталявана інварыянтнасць стацыянарнага размеркавання імавернасцей станаў адносна функцый размеркавання колькасці працы, неабходнай для абслугоўвання заяўкі, і функцый размеркавання колькасці працы, неабходнай для пераключэння рэжыму функцыянавання прыбора, у выпадку, калі дысцыпліна абслугоўвання з'яўляецца “неадкладнай”.

Рэкамендацыі па выкарыстанні і галіна ўжывання. Атрыманыя вынікі могуць быць выкарыстаны пры вырашэнні шырокага кола прыкладных задач, звязаных з мадэліраваннем і эксплуатацыяй розных рэальных праектаў і палягчаюць знаходжанне стацыянарных размеркаванняў імавернасцей станаў сетак.

РЕЗЮМЕ

Ерёмина Александра Рафаэловна

Инвариантность стационарного распределения в сетях с многорежимными стратегиями обслуживания и разнотипными заявками

Ключевые слова: сеть массового обслуживания (МО), инвариантность, многорежимные стратегии, разнотипные заявки, стационарное распределение вероятностей состояний, LCFS PR, DPS.

Целью работы является доказательство инвариантности (независимости) стационарного распределения открытых и замкнутых сетей с многорежимными стратегиями обслуживания и разнотипными заявками относительно вида функций распределения количества работы, необходимого для обслуживания поступающей в узел заявки, и (или) функций распределения количества работы, необходимого для переключения режимов приборов в узлах.

Методы исследования. В работе использовались методы теории вероятностей, теории марковских процессов, теории МО. Исследования основывались на методе дополнительных переменных и методе локального баланса.

Полученные результаты и их новизна. Для открытых и замкнутых сетей МО с многорежимными стратегиями и разнотипными заявками:

1. Установлена инвариантность стационарного распределения вероятностей состояний относительно функций распределения количества работы, необходимого для обслуживания заявок, в случае, когда дисциплина обслуживания является «немедленной».

2. Установлена инвариантность стационарного распределения вероятностей состояний относительно функций распределения количества работы, необходимого для переключения режима прибора, в случае, когда скорость выполнения указанной работы зависит от количества остаточной работы.

3. Установлена инвариантность стационарного распределения вероятностей состояний относительно функций распределения количества работы, требующегося для обслуживания заявки, и функций распределения количества работы, необходимого для переключения режима прибора, в случае, когда дисциплина обслуживания является «немедленной».

Рекомендации по использованию и область применения. Полученные результаты могут быть использованы при решении прикладных задач, связанных с моделированием и эксплуатацией различных реальных объектов и облегчают нахождение стационарных распределений вероятностей состояний сетей.

SUMMARY

Aleksandra R. Yeryomina

Invariance of stationary distribution of queuing networks with multimode servicing strategies and polytypic demands

Keywords: queueing network, insensitivity, multimode strategies, polytypic demands, stationary distribution of state probabilities, LCFS PR, DPS.

The purpose of the work is determination of the insensitivity (independence) of stationary distribution of open and closed queueing networks with multimode strategies and polytypic demands in relation to a type of distribution functions of work quantity, which is necessary for servicing of incoming demand, and (or) distribution functions of work quantity, which is necessary for switching of strategies of devices in units.

The method of investigation. In work were used methods of probability theory, Markov processes theory, queuing theory. The researches were based on the methods of additional variables and local balance.

Following results and their novelty. For open and closed queuing networks with multimode strategies and polytypic demands:

1. The insensitivity of the stationary distribution of state probabilities is established in relation to distribution functions of work quantity, which is necessary for servicing of demands, when dispatching rule is “immediate”.

2. The insensitivity of the stationary distribution of state probabilities is established in relation to distribution functions of work quantity, which is necessary for switching of device work strategy, when rate of that work execution depends on residual work quantity.

3. The insensitivity of the stationary distribution of state probabilities is established in relation to distribution functions of work quantity, which is necessary for servicing of demands, and distribution functions of work quantity, which is necessary for switching of device work strategy, when dispatching rule is “immediate”.