Моделирование и оптимизация формы слоистой композитной пластины с пьезоэлектрическими накладками при термомеханических воздействиях

Размещено на http://allbest.ru

50

На правах рукописи

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Моделирование и оптимизация формы слоистой композитной пластины с пьезоэлектрическими накладками при термомеханических воздействиях

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Куликов Михаил Геннадьевич

Тамбов 2011

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и механика» Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» (ФГБОУ ВПО «ТГТУ»)

Научный руководитель: кандидат технических наук, доцент Плотникова Светлана Валерьевна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Лопаницын Евгений Анатольевич

доктор технических наук, профессор Туголуков Евгений Николаевич

Ведущая организация: Институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 15 декабря 2011 года в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212.260.07 при Тамбовском государственном техническом университете по адресу: г. Тамбов, ул. Ленинградская, д. 1, ауд. 160.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные гербовой печатью, просим направлять по адресу: 392000, г. Тамбов, ул. Советская, д. 106, ФГБОУ ВПО «ТГТУ», ученому секретарю диссертационного совета Д 212.260.07.

С диссертацией и авторефератом можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «ТГТУ». Автореферат диссертации размещен на официальных сайтах ФГБОУ ВПО «ТГТУ» http://www.tstu.ru и ВАК Минобрнауки РФ http://vak.ed.gov.ru.

Автореферат разослан « » ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор технических наук, доцент С.Я. Егоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В последние годы устройства и материалы на основе пьезоэлектриков проникли во многие отрасли промышленности и интенсивно используются, в частности, в адаптивных тонкостенных конструкциях различного назначения. Подобные конструкции с внедренными в них пьезокерамическими или пьезополимерными материалами способны в значительных пределах менять свои технические параметры в соответствии с условиями их эксплуатации или типом выполняемых задач. Можно привести примеры их использования в авиационной и ракетно-космической технике, а также в многочисленных инженерных приложениях, например, адаптивные космические антенны и радиотелескопы. Расчет и моделирование тонкостенных композитных конструкций является одной из фундаментальных проблем механики и особенно актуально в контексте разработки и проектирования адаптивных конструкций. В этой связи практический интерес представляет моделирование механизма деформирования тонкостенных пьезоэлектрических слоистых конструкций, подверженных термомеханическим воздействиям. В последнее время предложены различные методы расчета термоэлектроупругого состояния тонкостенных конструкций с пьезоэлектрическими актюаторами, внедренными в тело конструкции или закрепленными на ее поверхностях. Такие конструкции получили широкое распространение в технике, поскольку являются технологичными и позволяют эффективно управлять их деформациями.

При создании алгоритмов расчета подобных конструкций решающее значение имеет быстрота получаемого исходного кода, что позволяет осуществлять управление адаптивной конструкцией в режиме реального времени. В большинстве работ, посвященных разработке алгоритмов расчета и численного моделирования пьезоэлектрических актюаторов, используются трехмерные изопараметрические конечные элементы, как правило, в форме метода перемещений. Особенностью такого подхода является единообразная интерполяция начальной и деформированной конфигураций конструкции в глобальной декартовой системе координат, что дает возможность корректно описать ее перемещения как жесткого тела. Однако изопараметрический элемент является неэффективным при его использовании в современных адаптивных тонкостенных конструкциях, для которых важно быстро реагировать на нежелательные внешние термомеханические воздействия. Это делает проблему построения альтернативных геометрически точных конечных элементов свободных от перечисленных недостатков весьма актуальной. Термин «геометрически точный» означает, что геометрические параметры конструкции вычисляются точно в узловых точках. В результате становится возможным использовать аналитическое интегрирование в пределах конечного элемента. Именно это обстоятельство позволяет существенно повысить производительность конечно-элементного кода и эффективно использовать его для программирования контроллеров адаптивных систем и конструкций.

В обширной литературе по методу конечных элементов (МКЭ) установлено, что гибридные конечные элементы обладают рядом преимуществ по сравнению с конечными элементами в форме метода перемещений, так как они не подвержены сдвиговому и мембранному запираниям и не допускают жестких ложных смещений (механизмов). Однако для построения таких элементов требуется применение смешанного вариационного принципа Хеллингера-Рейсснера или более общего вариационного принципа Ху-Васидзу Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. - М.: Мир, 1987. - 542 с.. Таким образом, возникает актуальная задача обобщения смешанного вариационного принципа Ху-Васидзу с целью его использования в стационарных моделях термопьезоэлектричества Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. - М.: Мир, 1986. - 160 с..

Диссертационное исследование проводилось в соответствии с планами работ по научным проектам:

- АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)». Подраздел «Проведение фундаментальных исследований в области естественных наук», № 2.1.1/660, № 2.1.1/10003 «Исследование многослойных композитных тонкостенных конструкций, подверженных термоэлектромеханическому нагружению, на основе геометрически точных трехмерных конечных элементов оболочки»;

- РФФИ № 08-01-00373-а «Контактное взаимодействие упругих многослойных композитных оболочек при произвольно больших поворотах».

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются слоистые композитные пластины с пьезоэлектрическими накладками.

Предметом исследования являются математическая модель пьезоэлектрической слоистой пластины при термоэлектромеханических воздействиях; алгоритмы на основе МКЭ с целью численного моделирования таких конструкций; алгоритм оптимизации формы путем использования обратного пьезоэлектрического эффекта.

Цели и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является численное моделирование и оптимизация формы слоистых композитных пластин произвольной геометрии с пьезоэлектрическими накладками при наличии термомеханических воздействий.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Разработана 7-параметрическая модель слоистой пластины с непрерывно или дискретно распределенными пьезоэлектрическими слоями на основе деформационных соотношений, точно представляющих перемещение пластины как жесткого целого в системе криволинейных координат отсчетной поверхности.

2. Получено смешанное вариационное уравнение Ху-Васидзу с целью решения связанных стационарных задач термоэлектроупругости для пьезоэлектрических слоистых пластин.

3. Разработан геометрически точный четырехузловой элемент пьезоэлектрической слоистой пластины, основанный на билинейной интерполяции перемещений и потенциала электрического поля внутри конечного элемента, для моделирования связанных электромеханических полей.

4. Построен геометрически точный гибридный конечный элемент слоистой пластины с пьезоэлектрическими накладками и дискретно расположенными на их лицевых поверхностях электродами с целью решения актюаторных задач путем использования обратного пьезоэлектрического эффекта.

5. Предложены эффективные алгоритмы для численного моделирования пьезоэлектрической слоистой композитной пластины при термоэлектромеханическом нагружении, в которых используется аналитическое интегрирование в пределах конечного элемента.

6. Разработан алгоритм оптимизации формы слоистой композитной пластины с пьезоэлектрическими накладками, основанный на решении задачи минимизации целевого функционала с учетом и без учета ограничений на величину напряжений, подаваемых на электроды пьезоэлектрических накладок.

7. Разработан пакет программ на языке программирования Delphi для численного моделирования полей перемещений, деформаций, напряжений и потенциала электрического поля в слоистой композитной пластине с непрерывно и дискретно распределенными пьезоэлектрическими накладками и электродами, исходный код которого может быть использован для программирования контроллеров адаптивных тонкостенных конструкций.

8. Проведено численное моделирование слоистых композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками и электродами различных конфигураций, в том числе оптимальное управление формой секториальной пластины с пьезоэлектрическими накладками при температурных и механических воздействиях.

9. Разработана методика графической визуализации результатов численного моделирования с использованием вычислительной среды MATLAB.

Научная новизна исследования. Впервые получены следующие результаты:

1. Построена 7-параметрическая модель пьезоэлектрической слоистой пластины, основанная на линейной аппроксимации тангенциальных перемещений и квадратичной аппроксимации поперечного перемещения по толщине пакета слоев. Модель допускает использование полных уравнений состояния термоэлектроупругости и дает возможность точно представлять перемещения пластины как жесткого тела в криволинейных координатах отсчетной поверхности.

2. Получено смешанное вариационное уравнение Ху-Васидзу для исследования связанных стационарных задач пространственной теории термоэлектроупругости для слоистых композитных пластин.

3. Построен новый геометрически точный гибридный четырехузловой конечный элемент пьезоэлектрической слоистой пластины, позволяющий преодолеть сдвиговое запирание. Конечный элемент предназначен для моделирования связанных электромеханических полей. Для получения матрицы жесткости элемента пластины использовано аналитическое интегрирование, что является особенностью геометрически точного конечного элемента.

4. На основе разработанных алгоритмов построен геометрически точный четырехузловой конечный элемент, позволяющий моделировать актюаторные задачи для слоистых композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками и дискретно расположенными электродами.

5. Представлены результаты вычислительного эксперимента по моделированию секториальных пластин с изотропными и анизотропными пьезокерамическими актюаторами при термомеханических воздействиях.

Теоретическая и практическая значимость исследования. Теоретическая значимость заключается в том, что построена удобная для применения в МКЭ, математическая модель пьезоэлектрической слоистой пластины, допускающая использование полных уравнений состояния пространственной теории термопьезоэлектричества; разработаны перспективные геометрически точные гибридные конечные элементы пластины; предложена методика оптимизации формы слоистой композитной пластины путем использования обратного пьезоэлектрического эффекта.

Практическая значимость заключается в следующем. В настоящее время в мировой практике сложилась тенденция использования трехмерных изопараметрических конечных элементов для расчета тонкостенных композитных конструкций. Приложение этого подхода для моделирования конструкций, подверженных термоэлектромеханическому нагружению, с помощью коммерческого программного обеспечения ABAQUS, ANSYS и т.п., выявило необходимость проведения масштабных вычислений и, как следствие, невозможность его применения в системах управления адаптивными тонкостенными конструкциями. Подход, разработанный в диссертации, открывает более широкие перспективы при моделировании и эксплуатации адаптивных тонкостенных конструкций из слоистых композитов:

1. Разработанный пакет прикладных программ может быть использован для численного моделирования полей перемещений, деформаций, напряжений и потенциала электрического поля в слоистой композитной пластине с непрерывно и дискретно распределенными пьезоэлектрическими накладками. При этом имеется возможность оптимизировать форму слоистой композитной пластины путем нахождения напряжений, подаваемых на электроды пьезоэлектрических актюаторов.

2. Конечно-элементный код, реализованный на языке программирования Delphi, может быть использован для программирования контроллеров адаптивных систем с целью оптимизации формы элементов тонкостенных конструкций.

Достоверность исследования. Результаты численного моделирования представленных актюаторных задач для слоистых композитных пластин являются достоверными и хорошо согласуются с численными решениями трехмерных задач теории термопьезоэлектричества и результатами экспериментов. Это объясняется принятыми гипотезами о линейном распределении тангенциальных перемещений и квадратичном распределении поперечного перемещения по толщине пакета слоев, что дает возможность моделировать напряженно-деформированное состояние пластины в пространственной постановке.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались в 2009-2011 годах на международных конференциях «Computational and Experimental Engineering and Sciences» и «Математические методы в технике и технологиях». В целом диссертация обсуждалась на семинаре имени Э.И. Григолюка и секции НТС Института механики МГУ имени М.В. Ломоносова, семинаре по математическому моделированию и системному анализу ТГТУ. По теме диссертации опубликовано девять печатных работ, в том числе три статьи в журналах из перечня ВАК. В государственном Реестре программ для ЭВМ зарегистрированы два пакета прикладных программ. Разработка 7-параметрической модели пьезоэлектрической слоистой пластины и построение геометрически точного билинейного конечного элемента пластины с пьезоэлектрическими накладками выполнены совместно с С.В. Плотниковой. Остальные результаты диссертационной работы принадлежат соискателю.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 114 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируются цели и задачи исследования, обосновывается актуальность темы диссертации, показывается научная новизна, объясняется теоретическая и практическая значимость результатов исследования, обосновывается достоверность полученных результатов, приводится информация о публикациях соискателя по теме диссертации.

В первой главе производится аналитический обзор научно-технической литературы, относящейся к теме исследования.

В первом разделе представлен обзор работ, посвященных пространственным математическим моделям пластины и оболочки. Отмечаются работы А.Н. Андреева, К.З. Галимова, Э.И. Григолюка, Г.М. Куликова, Ю.В. Немировского, В.Н. Паймушина, Р.Б. Рикардса, Г.А. Тетерса, H. Parisch, E. Ramm, C. Sansour.

Во втором разделе представлен обзор работ, связанных с построением изопараметрических и геометрически точных конечных элементов пластины и оболочки.

Существенный вклад в развитие изопараметрических конечных элементов внесли зарубежные ученые K.J. Bathe, T.J.R. Hughes, R.L. Taylor, O.C. Zienkiewicz и другие. Геометрически точные трехмерные конечные элементы построены Г.М. Куликовым, С.В. Плотниковой, R.A. Arciniega, J.N. Reddy.

В третьем разделе представлен обзор работ, посвященных решению связанной задачи для пьезоэлектрических пластин и оболочек в пространственной постановке.

Важные результаты получены А.В. Белоконем, В.А. Еремеевым, А.В. Наседкиным, А.Н. Соловьевым, K.Y. Sze, X.G. Tan, L. Vu-Quoc, L.Q. Yao.

В четвертом разделе представлен обзор работ, связанных с решением задачи оптимизации формы слоистой композитной пластины с пьезоэлектрическими актюаторами.

Отмечаются работы S.K. Agrawal, M.I. Frecker, H. Irschik, D. Koconis, L.P. Kollar, G.S. Springer, D. Tong, R.L. Williams и других ученых.

Вторая глава посвящена разработке математической модели пьезоэлектрической пластины.

Рассматривается пьезоэлектрическое тело в трехмерном пространстве объема V, ограниченное поверхностью .

Вводится смешанный функционал типа Ху-Васидзу для исследования стационарных задач линейной теории термоэлектроупругости, обобщающий функционал Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. - М.: Мир, 1986. - 160 с. путем включения в него напряжений и деформаций в качестве независимых функциональных переменных:

(1)

(2)

где - перемещения; - напряжения; - зависимые и независимые от перемещений деформации; - электрический потенциал; - компоненты вектора смещения электрического поля; - компоненты вектора напряженности электрического поля; - упругие постоянные; - пьезоэлектрические постоянные; - температурные напряжения; - диэлектрические постоянные; - пироэлектрические постоянные; - энтропия, отнесенная к единице объема; - теплоемкость при постоянной деформации; - компоненты вектора массовых сил; - объемная плотность электрических зарядов; - компоненты вектора поверхностных сил, действующих на поверхности ; - поверхностная плотность электрических зарядов на поверхности ; - прирост температуры от естественного состояния по шкале Кельвина; индексы i, j, следующие после запятой, означают дифференцирование по декартовым координатам ; по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1 до 3.

Отметим, что естественное состояние характеризуется отсутствием деформаций и напряжений и все величины измерены в изотермическом состоянии.

Варьируя в функционале (1) независимые функциональные переменные , , , , , приходим к обобщенному вариационному уравнению Ху-Васидзу пространственной теории термоэлектроупругости

. (3)

Вариационная задача (1)-(3) в случае эквивалентна:

, (4)

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

. (9)



Рис. 1. Слоистая пьезоэлектрическая пластина

Замечание. В случае стационарных процессов пространственной теории термоэлектроупругости уравнение теплопроводности не связано с остальными уравнениями (4)-(9). Это дает возможность уменьшить число независимых функциональных переменных, считая, что распределение температуры внутри тела является известным, т.е. .

Рассмотрим пьезоэлектрическую слоистую пластину. В качестве отсчетной поверхности пластины примем внутреннюю поверхность какого-либо n-го слоя или поверхность раздела слоев, которую отнесем к криволинейным ортогональным координатам , .

Поперечную координату будем отсчитывать в сторону возрастания нормали к поверхности (рис. 1).

Пусть , - единичные векторы касательных к координатным линиям , ; - единичный вектор нормали; - компоненты первой квадратичной формы; - толщина пластины; и - поперечные координаты внешних поверхностей и ; и - поперечные координаты внешних поверхностей n-го слоя и ; - толщина n-го слоя; , где N - число слоев. Индексы индекс лицевых поверхностей ; индекс внутренней, срединной и внешней поверхностей .

Построим 7-параметрическую модель пьезоэлектрической пластины, которая позволяет использовать полные уравнения состояния (4), (5). Будем полагать, что тангенциальные перемещения распределены по толщине пакета слоев согласно линейному закону, а поперечные перемещения - квадратичному Kulikov G.M., Plotnikova S.V. Finite rotation geometrically exact four-node solid-shell element with seven displacement degrees of freedom // Computer Modeling in Engineering and Sciences. - 2008. - Vol. 28, N 1. - P. 15-38.:

(10)

где , - перемещения внешних поверхностей , ; - поперечное перемещение срединной поверхности ; , - многочлены Лагранжа первой и второй степени:

(11)

(12)

Деформационные соотношения 7-параметрической модели имеют вид

(13)

где - деформации внешних поверхностей пластины, которые выражаются через компоненты векторов перемещений нижней, срединной и верхней поверхностей.

Достоинство деформационных соотношений (13) состоит в том, что они точно представляют смещения пластины как жесткого тела в криволинейных координатах отсчетной поверхности.

Полагаем, что электрический потенциал распределен по толщине пакета слоев согласно гипотезе ломаной линии Saravanos D.A. Mixed laminate theory and finite element for smart piezoelectric composite shell structures // AIAA Journal. - 1997. - Vol. 35, N 8. - P. 1327-1333., т.е.

(14)

где , - потенциалы электрического поля на нижней и верхней поверхностях n-го слоя и ; - потенциалы электрического поля на поверхностях раздела слоев.

Из связи вектора напряженности электрического поля и электрического потенциала (8) получаем следующее распределение:

(15)

где - тангенциальные компоненты вектора напряженности электрического поля на внешних поверхностях -го слоя.

Для температурного поля используется аппроксимация аналогичная (14).

Подставив принятые аппроксимации функциональных переменных по толщине пакета слоев (10), (13), (14), (15) в трехмерное вариационное уравнение Ху-Васидзу (3) и исключая вектор смещения электрического поля с помощью уравнения состояния (5), приходим к двумерному вариационному уравнению Ху-Васидзу для 7-параметрической модели термопьезоэлектрической пластины

(16)

где - работа внешних механических и электрических сил, действующих на поверхности (рис. 1); , - независимо введенные тангенциальные и поперечные нормальные деформации внешних поверхностей и поперечные касательные деформации срединной поверхности пластины, соответственно; - результирующие напряжений; - заданный вектор температур на внешних поверхностях слоев; - вектор поверхностных нагрузок; - вектор поверхностных зарядов; - механическая, пьезоэлектрическая и диэлектрическая матрицы; - матрица температурной жесткости; - пироэлектрическая матрица.

Третья глава посвящена алгоритмам численного решения стационарных задач термоэлектроупругости для пьезоэлектрических слоистых пластин.

Конечно-элементная формулировка задачи основывается на билинейной интерполяции перемещений, электрического потенциала, деформаций и вектора напряженности электрического поля внутри конечного элемента:

(17)

где - нормализованные криволинейные координаты элемента; - длины элемента; - координаты центра элемента; - билинейные функции формы элемента; , , , - векторы перемещений, деформаций, потенциала и напряженности электрического поля в узлах элемента; - вектор узловых перемещений; - вектор узловых значений электрического потенциала; , - постоянные внутри конечного элемента матрицы размера и ; - узлы элемента (см. рис. 2); индекс r обозначает номер узла и изменяется от 1 до 4.

Для того, чтобы преодолеть сдвиговое запирание конечного элемента и при этом не получить энергетические моды с нулевой энергией, для независимо введенных деформаций используются упрощенные билинейные интерполяции

(18)

где , , остальные коэффициенты являются нулевыми; верхние индексы принимают значения 0 и 1.

Для результирующих напряжений принимаем аналогичную интерполяцию

(19)

Подставляя конечно-элементные интерполяции (17)-(19) в вариационное уравнение Ху-Васидзу (16) и применяя аналитическое интегрирование в пределах элемента пластины, получаем систему линейных алгебраических уравнений

(20)

где , , - механическая, пьезоэлектрическая и диэлектрическая матрицы жесткости; - векторы внешних нагрузок.



Рис. 2. Трехмерный конечный элемент пластины

Разработанный конечный элемент может быть использован для моделирования связанных задач термопьезоэлектричества для слоистых композитных пластин.

Рассмотренные в диссертации задачи относятся к актюаторным проблемам, когда на электроды пьезоэлектрических слоев подается заданное напряжение, поэтому уравнения (20) упрощаются:

(21)

Построен алгоритм для расчета слоистой пластины с пьезоэлектрическими накладками.

Рассматривается два вида элементов (см. рис. 3): базовый элемент (без пьезоэлектриков) и пьезоэлектрический элемент.

Для базового элемента уравнения равновесия записываются в стандартной форме.

Для пьезоэлектрического элемента уравнения равновесия (21) представляются в виде

 (22)

где - пьезоэлектрические матрицы жесткости; - векторы электрических потенциалов; , - векторы механического и температурного нагружения; индекс нижней и верхней пьезоэлектрических накладок .

Рис. 3. Слоистая пластина с пьезоэлектрическими накладками

После сборки элементов в ансамбль конечно-элементные уравнения (22) могут быть записаны в виде

(23)

где - глобальный вектор узловых перемещений; - глобальная механическая матрица жесткости; - проективная матрица; - векторы внешних нагрузок; - напряжение, подаваемое на электроды лицевой поверхности , где ; - число накладок, расположенных симметрично на верхней и нижней поверхностях пластины.

Решение этой системы осуществляется методом Гаусса для симметричных положительно определенных матриц.

В результате решения системы линейных алгебраических уравнений (23) получаем глобальный вектор перемещений

(24)

Рассматривается задача минимизации функционала с ограничениями

, (25)

(26)

где - заданный вектор перемещений, соответствующий требуемой форме пластины.

Параметр регуляризации выбран с целью обеспечения устойчивости алгоритма. Задача (25), (26) решается методом множителей Лагранжа:

(27)

(28)

(29)

Подставив из (24) в функционал (25) и дифференцируя, получим

, (30)

где - единичная матрица размера .

Решение задачи может быть найдено методом проб и ошибок.

Для реализации этого метода множество индексов разбиваем на три подмножества . В качестве начального приближения принимаем . Для нахождения неизвестных входных напряжений и множителей Лагранжа , требуется решить систему уравнений. Первые уравнений системы имеют вид (27).

Остальные уравнения системы строятся следующим образом:

при система дополняется уравнениями

;

при - уравнениями

;

при - уравнениями

.

После нахождения решения системы уравнений проверяется выполнение неравенств (26).

Если для какого-либо индекса одно из неравенств не выполняется, то индекс переводится в другое множество, и заново строится и решается система линейных уравнений.

Таким образом, за конечное число шагов может быть найдено решение системы (27), (28).

Заметим, что наиболее затратный этап алгоритма состоит в вычислении матрицы жесткости и ее последующего обращения, что выполняется только на начальной стадии алгоритма.

В четвертой главе рассмотрены три актюаторные задачи для слоистых композитных пластин при наличии термоэлектромеханических воздействий на основе разработанного в диссертации конечного элемента TMS3DTE.

Рис. 4. Консольная слоистая пластина

Наибольший интерес представляет задача расчета консольной шестислойной углепластиковой пластины (рис. 4).

На внешних поверхностях пластины располагаются тридцать пьезоэлектрических накладок из пьезокерамики G1195, поляризованных в противоположных поперечных направлениях.

Электроды на поверхностях раздела накладок и пластины заземлены.

Изучены случаи укладки слоев:

а) [45/45/45/-45/-45/-45] и

б) [30/30/0/0/30/30]

а) Нагружение

б) Нагружение

Рис. 5. Деформированные конфигурации лицевых поверхностей пластины

Рис. 6. Перемещение срединной поверхности пластины

В первом случае на электроды накладок подаются электрические потенциалы одного знака, что позволяет моделировать растяжение пластины, но в силу перекрестной укладки слоев возникает эффект кручения (рис. 5а); во втором случае к электродам прикладываются потенциалы разных знаков, что приводит к изгибу пластины с кручением (рис. 5б).

На рис. 6 показано распределение поперечного перемещения пластины с укладкой [0/45/-45/-45/45/0] вдоль продольной координаты. Приводится сравнение с экспериментальными данными () и результатами расчета на основе трехмерного изопараметрического элемента ().

Пятая глава посвящена задачам оптимизации формы слоистых пластин при термоэлектромеханических воздействиях.

Рис. 7. Консольная пластина

Изучена консольная четырехслойная углепластиковая пластина (рис. 7). К внешним поверхностям пластины приклеены два пьезоэлектрических слоя из пьезокерамики G1195.

На каждую лицевую поверхность пьезоэлектрических слоев нанесены двадцать пять квадратных изолированных друг от друга электродов одинаковых размеров. Расстояние между ними считается пренебрежимо малым. Решены задачи трансформации срединной плоскости пластины в плоскость, повернутую вдоль закрепленной стороны на некоторый угол (рис. 8а), и в цилиндрическую поверхность с образующей в форме синусоиды (рис. 8б).

Использование выбранной конфигурации электродов на внешних поверхностях пьезоэлектрических накладок приводит к достаточно хорошим результатам, поскольку отклонение расчетной формы от требуемой незначительно.

А

Б

Рис. 8а. Требуемая конфигурация срединной плоскости пластины (А) и ее расчетная конфигурация (Б)



А

Б

Рис. 8б. Требуемая конфигурация пластины (А) и расчетная (Б)

Рис. 9. Секториальные слоистые пластины

Рассмотрена секториальная алюминиевая пластина с закрепленными краями. На нижней поверхности пластины наклеены 12 накладок из пьезокерамики PZT-5A со сторонами, параллельными координатным линиям (рис. 9б). Пластина при начальной температуре окружающей среды 20С подвергается температурному нагружению: 20С на нижней и 50С на верхней поверхности.

Решена задача определения оптимальных напряжений, которые позволяют приблизить пластину к ее начальному состоянию. Решение задачи получено в двух постановках: без ограничения на подаваемые напряжения (рис. 10б) и с ограничением на напряжение с верхней границей 150 В (рис. 10в). Конфигурация пластины при температурном нагружении показана на рис. 10а.

а

б в

Рис. 10. Деформированные конфигурации нижней поверхности пластины

В заключении подводятся итоги исследования:

1. Разработана 7-параметрическая модель пьезоэлектрической слоистой пластины, основанная на линейной аппроксимации тангенциальных перемещений и квадратичной аппроксимации поперечного перемещения по толщине пакета слоев. Модель допускает использование полных уравнений состояния термоэлектроупругости и точно представляет перемещения пластины как жесткого тела в криволинейных координатах отсчетной поверхности.

2. Впервые получено смешанное вариационное уравнение Ху-Васидзу для исследования связанных стационарных задач пространственной теории термоэлектроупругости для слоистых композитных пластин.

3. Построен новый геометрически точный гибридный четырехузловой конечный элемент пьезоэлектрической слоистой пластины, позволяющий преодолеть сдвиговое запирание. Конечный элемент предназначен для моделирования связанных электромеханических полей. Для получения матрицы жесткости конечного элемента пластины использовано аналитическое интегрирование, что является особенностью геометрически точного конечного элемента. Именно это обстоятельство позволяет существенно повысить производительность конечно-элементного кода.

4. На основе разработанных алгоритмов построен новый геометрически точный четырехузловой конечный элемент, позволяющий моделировать актюаторные задачи для слоистых композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками и дискретно расположенными электродами.

5. Разработан алгоритм оптимизации формы слоистых композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками. Он основан на задаче минимизации целевого функционала с учетом и без учета ограничений на величину напряжений, подаваемых на электроды пьезоэлектрических накладок.

6. Разработанные численные алгоритмы реализованы в пакете программ для ЭВМ, написанных на языке программирования Delphi и предназначенных для моделирования в пространственной постановке слоистых композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками. Графическая визуализация результатов численного моделирования осуществлялась с использованием вычислительной среды MATLAB.

7. Проведено сопоставление полученных численных результатов с экспериментальными данными, а также с результатами решения актюаторных задач для прямоугольных композитных пластин на основе трехмерных изопараметрических конечных элементов термопьезоэлектричества.

8. Впервые представлены результаты вычислительного эксперимента по моделированию в пространственной постановке секториальных пластин с изотропными и анизотропными пьезокерамическими актюаторами при термомеханических воздействиях.

В приложении приведен листинг программы на встроенном языке вычислительной среды MATLAB для визуализации численных результатов моделирования.

композитный тонкостенный пьезоэлектрический

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в журналах из перечня ВАК:

1. Плотникова С.В., Куликов М.Г. Расчет композитных оболочек с пьезоэлектрическими накладками // Вестник ТГТУ. - 2009. - Т. 15, № 2. - C. 380-391.

2. Плотникова С.В., Куликов М.Г. Применение трехмерного элемента оболочки для расчета композитных конструкций с пьезоэлектрическими накладками // Вестник ТГТУ. - 2010. - Т. 16, № 2. - С. 375-386.

3. Плотникова С.В., Куликов М.Г. Управление формой композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками, подверженных термомеханическому воздействию // Вестник Университета им. Вернадского. - 2011. - № 3(34). - С. 72-80.

Прочие публикации:

1. Plotnikova S.V., Kulikov M.G. Piezoelectric four-node geometrically exact solid-shell element with seven displacement degrees of freedom // International Conference on Computational and Experimental Engineering and Sciences, ICCES 2009. - Phuket, Thailand, 2009. - P. 84-86.

2. Куликов М.Г., Плотникова С.В. Расчет адаптивных многослойных тонкостенных конструкций, подверженных температурному воздействию // Научный вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета. Строительство и архитектура. - 2010. -№ 2 (18). - С. 7-17.

3. Плотникова С.В., Куликов М.Г. Построение трехмерного элемента для расчета композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками // Математические методы в технике и технологиях. Сборник трудов ХХIII Международной научной конференции. Т. 5. - Саратов, 2010. - С. 43-47.

4. Куликов М.Г., Плотникова С.В. Моделирование слоистых пластин с пьезоэлектрическими накладками при температурном воздействии // Математические методы в технике и технологиях. Сборник трудов ХХIII Международной научной конференции. Т. 5. - Саратов, 2010. - С. 55-57.

5. Kulikov M.G., Plotnikova S.V. Calculation of adaptive multilayered thin-walled structures subjected to temperature loading // Scientific Herald of the Voronezh State University of Architecture and Civil Engineering. Construction and Architecture. - 2011. - N 2. - P. 14-27.

6. Куликов М.Г. Управление формой композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками // Математические методы в технике и технологиях. Сборник трудов ХХIV Международной научной конференции. Т. 5. - Киев, 2011. - С. 14-17.

7. Плотникова С.В., Куликов М.Г. Геометрически точный трехмерный конечный элемент пьезоэлектрической композитной оболочки TMS3DE9 для решения связанной задачи электроупругости // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011615098, 29 июня 2011 года.

8. Куликов М.Г., Плотникова С.В. Геометрически точный трехмерный пьезоэлектрический конечный элемент оболочки TMS3DTE9 для управления формой тонкостенных слоистых композитных конструкций под действием термоэлектромеханического нагружения // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011614436, 10 августа 2011 года.

Размещено на Allbest.ru