Непрерывное вейвлет-преобразование сигналов аналитических приборов

Раухат Талгатович Сайфуллин - д.т.н., профессор

Самара

Преобразование сигнала выполняется с целью разделения его на компоненты. Каждый такой компонент является мерой присутствия в сигнале соответствующей базисной функции. Определение состава компонента в заданном базисе выполняется с помощью прямого преобразования (анализ сигнала). Обратное преобразование позволяет получить сигнал по известному составу его компонент и базису, в котором эти компоненты определены.

Вейвлет-анализ является одним из наиболее мощных и гибких средств исследования и цифровой обработки сигналов: помимо задач их фильтрации и сжатия, анализ в базисе вейвлет-функций позволяет решать задачи идентификации, моделирования, аппроксимации стационарных и нестационарных процессов, исследовать вопросы наличия разрывов в производных и т. д.

Вейвлет-преобразование привносит в обработку сигналов дополнительную степень свободы. Например, гармонический анализ Фурье способен показать поведение сигнала в частотной области, оставляя открытым вопрос о локализации во времени различных компонент сигнала. Вейвлет-анализ обладает способностью выделять из сигнала компоненты разного масштаба.

Непрерывное вейвлет-преобразование (ВП) сигнала имеет следующий вид [1]:

, (1)

вейвлет сигнал частотный энергетический

где функция называется вейвлетом; - параметры соответственно масштаба и сдвига.

Множитель обеспечивает единичную норму для любой базисной функции .

Обратное вейвлет-преобразование записывается в виде

. (2)

Здесь - нормирующий коэффициент:

, (3)

где - Фурье-образ вейвлет-функции . Из равенства (3) следует условие допустимости использования функции в качестве вейвлет-функции: среднее (нулевой момент) должен быть нулевым -

. (4)

Другое требование - быстрое убывание с ростом частоты.

Для практических приложений часто бывает необходимым обеспечение нулевых значений первых моментов вейвлета:

, 1, 2… . (5)

Разложим ВП (1) в ряд Тейлора при :

где - производная порядка m; О(n+1) - члены ряда Тейлора порядка выше n.

Используя определение моментов (5), можно записать:

(6)

В соответствии с (4) , тогда первый член в разложении (6) является нулевым. Следовательно, ВП постоянного сигнала даст в результате нуль. Таким образом, число нулевых моментов вейвлета определяет порядок полинома, который будет проигнорирован вейвлет-преобразованием в анализируемом сигнале.

Например, выходной сигнал аналитического прибора имеет составляющую дрейфа базовой линии, которая обычно представляется как полиномиальный сигнал вида , где - некоторые коэффициенты. При этом коэффициенты определяют собственно дрейф, который может вызываться нестабильностью режимов аналитической системы прибора, дрейфом параметров электронного блока и другими причинами. Если для ВП использован вейвлет с двумя нулевыми моментами, то эта дрейфовая составляющая не отразится на результате преобразования выходного сигнала прибора.

Коэффициенты содержат комбинированную информацию как об используемом вейвлете, так и об анализируемом сигнале. Выбор анализирующего вейвлета определяется тем, какую информацию требуется извлечь из сигнала. Каждый вейвлет имеет характерные особенности во временном и частотном пространстве, поэтому с помощью разных вейвлетов можно полнее выявить или подчеркнуть те или иные свойства анализируемого сигнала.

Спектр одномерного сигнала представляет собой поверхность в трехмерном пространстве. Способы визуализации этой информации могут быть различными [2]. Вместо изображения поверхностей часто представляют их проекции на плоскость с изолиниями или изоуровнями, позволяющими проследить изменение амплитуд вейвлет-преобразования на разных масштабах и во времени.

Несмотря на то, что коэффициенты вейвлет-преобразования содержат комбинированную информацию, вейвлет-анализ позволяет получить и объективную информацию об исследуемом сигнале, так как некоторые важные свойства вейвлет-пребразования не зависят от выбора вейвлета.

Перечислим основные свойства вейвлет-преобразования сигнала.

Линейность:

.

Инвариантность относительного сдвига:

.

Коммутативность дифференцирования:

.

Инвариантность относительно растяжения (сжатия):

Это свойство позволяет определить наличие и характер особенностей анализируемого сигнала. Плотность энергии сигнала характеризует энергетические уровни исследуемого сигнала в пространстве - (масштаб, время). Полная энергия сигнала может быть записана через амплитуды вейвлет-преобразования в виде

.

В качестве вейвлетов будем использовать производные функции Гаусса:

, n=1, 2, 3, … .

Наибольшее применение находят гауссовы вейвлеты небольших порядков:

;

; (7)

;

;

;

;

;

.

Присутствие экспоненциального множителя в вейвлетах обеспечивает их локальность.

Гауссов вейвлет имеет нулей.

Из определения гауссовых вейвлетов следует, что производная от вейвлета совпадает (с точностью до знака) с вейвлетом :

.

Значение интеграла от гауссова вейвлета:

. (8)

Спектр Фурье гауссовых вейвлетов имеет вид

; m=1, 2, 3, … .

Вейвлетом может быть и разность функций Гаусса. Обобщенная формула для DOG-вейвлетов имеет вид:

; ;

.

Например, при , получим:

. (9)

На выходе аналитических приборов регистрируются сигналы в виде локализованных пиков (см. таблицу).

Некоторые типовые модели аналитических пиков

Для некоторых конкретных сигналов и вейвлет-функций возможно аналитическое вычисление непрерывного вейвлет-преобразования. Это позволяет по значениям вейвлет-коэффициентов определять информативные параметры пиков, входящих в состав исследуемого сигнала. Поскольку даже в случае зашумленных сигналов их вейвлет-образы имеют вид гладких кривых, возможно восстановление информативных параметров выходного сигнала прибора с достаточно высокой точностью.

Пусть анализируемый пик задается в гауссовой форме:

, (10)

где - амплитуда пика. Вейвлет-образ сигнала (10) при использовании гауссова вейвлета (7) описывается выражением

. (11)

Таким образом, второй вейвлет-коэффициент (11) можно представить в виде

, (12)

где - гауссов вейвлет (7). Для сравнения вейвлет-образ этого же сигнала при использовании DOG-вейвлета (9) имеет вид

. (13)

Из выражения (12) видно, что вейвлет-образ гауссового пика подобен гауссовому вейвлету. Поэтому все свойства гауссовых вейвлетов присущи также вейвлет-образу гауссова сигнала.

Рассмотрим численную реализацию непрерывного ВП во временной области. Обязательной операцией при вычислениях на ЭВМ является дискретизация сигнала. При этом непрерывный сигнал заменяется дискретизированным с постоянными значениями на интервалах , где - интервал дискретизации; . Подставляя этот сигнал в выражение (1), можно получить ВП дискретизированного сигнала:

. (14)

В практических расчетах используются только целочисленные значения параметра масштаба и сдвига, кратные интервалу дискретизации . Тогда ; , где - целочисленные значения параметров, изменяемые в пределах ; .

Вычисления ВП существенно упрощаются, если удается выполнить аналитическое интегрирование в (14). Если для анализа выбран гауссов вейвлет -го порядка , то, используя выражение интеграла гауссовых вейвлетов (8), получим:

. (15)

В случае невозможности аналитического интегрирования в (14) приходится применять численные методы интегрирования: метод прямоугольников, трапеций, Симпсона и т. д. Выражения (14)-(15) являются численной реализацией непрерывного ВП и используются при обработке сигналов аналитических приборов.