Тензорная модель многополюсной телекоммуникационной сети

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тензорная модель многополюсной телекоммуникационной сети

Введение

В соответствии с количеством корреспондентов (источников и получателей), участвующих в процессе информационного обмена, в рамках телекоммуникационных сетей (ТКС) традиционно выделяют соединения типа «точка-точка», описываемые двухполюсными сетевыми моделями, и соединения «точка-многоточка» и «многоточка-точка», относящиеся к многополюсному случаю. Хотя графовые модели последних двух типов соединений отличаются лишь направлением передачи трафика, на практике их применение связано с решением совершенно разных задач: соединение «точка-многоточка» описывает беспроводные сети, радио- и телевещание, многоадресную рассылку в IP-сети, в то время как соединение «многоточка-точка» имеет место в случае пиринговых сетей, например, работающих по протоколу BitTorrent, или при получении комплексного сервиса, где отдельные атомарные сервисы предоставляются различными серверами, например, при реализации технологии облачных вычислений (Cloud Computing).

В рамках данной статьи внимание будет сосредоточено на многополюсных телекоммуникационных сетях, реализующих соединения «многоточка-точка». В данном случае несколько источников, например серверов некой распределенной файлообменной системы, одновременно адресует свой трафик к одному и тому же получателю, задействуя при этом множество путей в телекоммуникационной сети. При этом немаловажным фактором, определяющим как эффективность использования вычислительных ресурсов серверов, так и ресурсов ТКС, является распределение нагрузки между источниками трафика и, соответственно, множеством используемых путей. В то же время при управлении порядком распределения нагрузки на сервера следует исходить из требований пользователя, запрашивающего ту или иную услугу и ожидающего вполне определенное качество ее предоставления (Quality of Service, QoS). Таким образом, в условиях телекоммуникационных сетей, в которых телекоммуникационная услуга организуется посредством одновременного подключения к множеству серверов (источников трафика), актуальной является задача распределения нагрузки на серверы и доставки соответствующего трафика конечному пользователю с выполнением при этом ряда требований к основным показателям качества обслуживания: задержке, джиттеру, надежности и скорости передачи.

Такая постановка задачи обусловливает необходимость разработки соответствующей математической модели ТКС, в рамках которой исходная задача будет сформулирована и решена как оптимизационная. Однако модель ТКС с множеством источников с целью формализации задачи оптимального управления трафиком должна в обязательном порядке включать в себя математически формализованные условия обеспечения качества обслуживания, предпочтительно в аналитическом виде. Подобного рода условия были получены с использованием методики тензорного моделирования в контексте решения задачи многопутевой маршрутизации для двухполюсной сети [1]. Кроме возможности аналитического учета связи между различными QoS-показателями, как показано в [2], применение этих условий позволило свести к нулю многопутевой джиттер, обусловленный разницей в задержках передачи потоков пакетов вдоль различных путей. Именно данный факт обусловил выбор тензорного анализа сетей в качестве математического аппарата для описания ТКС в режиме «многоточка-точка».

многополюсный телекоммуникационный сеть

1.Тензорное описание многополюсной ТКС

В рамках тензорного подхода ТКС описывается смешанным двухвалентным тензором

,

где - знак прямого тензорного умножения, компоненты тензора представляют собой одновалентный ковариантный тензор средних задержек пакетов и одновалентный контравариантный тензор интенсивности потока пакетов .

Причем тензоры средних задержек пакетов и интенсивности потока пакетов связаны между собой тензорными уравнениями вида [1, 2]

,

,

где - двухвалентный контравариантный тензор, выполняющий в данном случае роль метрического, т.е. определяющий свойства метрического пространства, связываемого с моделируемой ТКС; - двухвалентный ковариантный метрический тензор. Метрики ТКС, представленные тензорами и , в рамках описания (1) обеспечивают функциональную связь между координатами тензоров средних задержек пакетов и пакетной интенсивности потока . И, например, в системе координат (СК) ветвей при условии моделирования -го сетевого интерфейса в виде системы массового обслуживания с отказами вида проекцией тензора является диагональная матрица размера , элементы главной диагонали которой рассчитываются согласно выражению

, (4)

где индекс указывает на принадлежность системе координат ветвей, в рамках которой сеть рассматривается как совокупность трактов передачи ; - коэффициент загруженности -го тракта передачи; и - интенсивность потока пакетов и пакетная пропускная способность -го тракта передачи соответственно.

Методика тензорного моделирования ТКС всецело основывается на постулатах обобщения Г. Крона [3], согласно которым тензорные уравнения (2) и (3) сохраняют свою форму неизменной независимо от координатной системы рассмотрения сети. В общем случае для каждой ТКС существует конечное множество допустимых систем координат ее рассмотрения (или базисов), каждая из которых обеспечивает новую точку зрения на ТКС и позволяет осветить определенные аспекты ее функционирования. Например, в рамках упомянутой выше СК ветвей ТКС рассматривается как совокупность трактов передачи, а в рамках системы координат контуров и узловых пар - как совокупность независимых контуров и узловых пар, , где - число узлов сети. Тогда согласно второму постулату Г. Крона в СК ветвей и в СК контуров и пар узлов тензорное уравнение (2) принимает вид

,

,

где - проекция двухвалентного контравариантного метрического тензора в СК контуров и узловых пар; и - проекции тензоров и в СК ветвей , элементами которых являются соответственно интенсивности потоков и задержки пакетов в трактах передачи сети, ; и - проекции тензоров интенсивности потоков и задержки пакетов в СК ; причем , , , представляют собой векторы размера . Поскольку принятые в рассмотрение базисы ветвей и контуров и узловых пар относятся к одной и той сети, структура которой предполагается известной и выступает в качестве исходных данных, связь базисов между собой так же известна. Она формализуется в виде так называемых матриц ко- и контравариантного координатного преобразования, которые в полном обозначении выглядят как и (в дальнейшем просто и ). Тогда, имея правила преобразования самих базисов, получаем возможность вычисления координат тензора (проекции тензора) в одной системе координат по известным его координатам в другой системе координат:

,

.

Взаимосвязь проекций двухвалентных контравариантных метрических тензоров формализуется следующим образом:

; . (11)

В соответствии с рассмотрением сети как совокупности контуров и узловых пар в рамках системы координат элементы полученных в ней проекций и могут быть сгруппированы следующим образом:

где и - подвекторы размера , элементами которых являются контурные компоненты и проекций тензоров и , относящиеся к базисным контурам сети; и - подвекторы размера , элементами которых являются узловые компоненты проекций соответствующих тензоров в СК . При этом узловые компоненты проекции тензора
указывают на интенсивность потока пакетов между опорным узлом сети и другими, неопорными узлами данной пары, а узловые компоненты проекции тензора отражают наблюдаемую при этом задержку (рисунок).

Таким образом, исходя из физического смысла введенных обозначений, можно сделать следующие выводы:

1) с целью исключения петель в маршрутах передачи потоков все элементы вектора должны быть равны нулю, т.е.=0;

2) если в -й узловой пара один из узлов является источником трафика, а другой - его получателем, то величина указывает на интенсивность потока для этой пары;

3) если -я узловая пара не содержит узел-источник, то соответствующая величина должна быть приравнена нулю.

Рис.

2.Условия обеспечения качества обслуживания в многополюсной ТКС

Рассмотрим в рамках тензорной модели (1) - (12) задачу гарантированного обеспечения качества обслуживания в ТКС для многополюсного случая. В качестве исходных данных выступают:

1) исходная структура ТКС, что позволяет сформировать матрицы координатного преобразования и ;

2) пропускные способности трактов передачи и размеры буферной емкости на узлах сети, что необходимо для формирования матриц проекций метрических тензоров в СК ветвей;

3) модели самого трафика и процесса его обслуживания на узлах сети, которые определяют правила формирования матрицы проекций метрических тензоров в СК ветвей;

4) направление передачи с указанием множества источников трафика и одного получателя;

5) требования к основным показателям качества обслуживания трафика, задаваемые в виде требуемой скорости передачи потока и допустимой средней задержки .

С целью вывода условий обеспечения качества обслуживания в многополюсной ТКС запишем уравнение (6) в следующем виде

.

Как было отмечено, вектор содержит как нулевые, так и ненулевые компоненты. Условимся при формировании базиса контуров и узловых пар начинать нумерацию с узловых пар, образованных источниками трафика и получателем, тогда вектор узловых компонент проекции тензора интенсивностей потоков в СК контуров и узловых пар имеет следующую структуру

,

где - число узловых пар, образованных источниками трафика и получателем. Причем в соответствии с исходными данными суммарная интенсивность трафика, поступающего от множества источников, должна обеспечивать скоростные требования к качеству обслуживания, т.е.

 или . (16)

С другой стороны, компоненты вектора связаны с временными показателями качества обслуживания: первые ее элементов , …, содержат требования к межконцевой средней задержке , при этом остальные элементы вектора являются неизвестными.

Таким образом, векторы и могут быть разделены на подвекторы следующим образом

, ,

где и - векторы размера , элементы которых относятся к узловым парам, образованным источниками трафика и получателем.

Тогда выражение (14) может быть преобразовано к виду

, (17)

где , причем - квадратная матрица размера .

На основании выражения (15) и подставляя , получим

. (18)

Выражение (16) определяет количественную взаимосвязь между интенсивностью трафика, поступающего от каждого из источников, и наблюдаемой при этом задержкой. Тогда с учетом заданных требований, содержащихся в векторах и , имеем следующее неравенство

, (19)

выполнение которого совместно с выполнением одного из условий (16) гарантирует достижение заданных значений скоростных и временных показателей качества обслуживания.

Выводы

В статье предложена тензорная модель многополюсной ТКС, в которой предполагается одновременная передача потоков пакетов от множества источников, будь то серверы или равные по рангу узлы сети, образующие в совокупности единую инфокоммуникационную систему. В рамках тензорной формализации удалось получить для таких сетей условия обеспечения качества обслуживания одновременно по двум показателям - скорости передачи и средней задержке, представленные в аналитическом виде. Полученные условия позволяют решить следующие две задачи управления трафиком в многополюсной ТКС c QoS: задачу многопутевой маршрутизации трафика от множества источников к одному получателю, где в качестве заданных величин выступают величины интенсивности потоков, создаваемых каждым из источников, а в качестве неизвестных величин рассматриваются интенсивности потоков пакетов в отдельных трактах передачи сети; а также задачу распределения нагрузки между серверами и многопутевой маршрутизации, в которой оба типа величин являются неизвестными и подлежат расчету.

Список литературы

1. Лемешко, А.В., Евсеева, О.Ю. Тензорная модель многопутевой маршрутизации с гарантиями качества обслуживания одновременно по множеству разнородных показателей // Проблеми телекомунікацій. - 2012. - № 4 (9). - С. 16 - 31.

2. Лемешко,А.В., Евсеева,О.Ю., Гаркуша,С.В. Результаты исследования тензорной модели многопутевой маршрутизации с обеспечением качества обслуживания в телекоммуникационных сетях // Вестник южно-уральского гос. ун-та : Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». - 2013. - Т.13, №4. - С. 38 - 54.

3. Крон, Г. Тензорный анализ сетей. - М. : Сов. радио, 1978. - 719 с.

Размещено на Allbest.ru