Анализ устойчивости крупно-масштабных систем типа Лурье при структурных возмущениях

Размещено на http://www.allbest.ru

Анализ устойчивости крупно-масштабных систем типа Лурье при структурных возмущениях

В.Г. Миладжанов, Р.В. Муллажонов,

Ш.Н. Абдугаппарова, Д. Гайматова

Ушбу ишда Лурье типидаги йирик масштабли системалар асимптотик тур?унлигининг етарли шартлари хосил ?илинган.

This article is devoted to the formation of sufficient condition of asymptotic stability of a class of Lure's large scale systems.

Развитие концепции матричной функции Ляпунова (МФЛ), позволяет расширить границы применимости прямого метода Ляпунова при исследовании абсолютной устойчивости крупномасштабных систем, подверженных структурным возмущениям. Это обусловлено некоторым развитием алгоритма построения скалярной функции Ляпунова на основе матриц-функций путем привлечения более широкого класса функций в качестве компонент для скалярной функции Ляпунова. При этом структура матричной функции такова: диагональные элементы соответствуют свободным подсистемам, а вне диагональные элементы стоятся на основе функций связей между изолированными подсистемами. Достаточные условия устойчивости формулируются при этом в терминах знакоопределенности специальных матриц либо условий знакоопределенности матриц в неотрицательных конусах.

Данной работе для анализа абсолютной устойчивости КМС при структурных возмущениях построена специальная функция Ляпунова на основе матричной функции. Это позволило получить достаточные условия структурной абсолютной устойчивости 1 состояния равновесия рассматриваемой системы. Общие результаты иллюстрируются численным примером. система крупномасштабный возмущение матричный

1. Оценки МФЛ в задаче о структурной абсолютной устойчивости

Рассмотрим крупномасштабную систему типа систем Лурье декомпозированную на s подсистем

(1)

где

постоянные матрицы,

- постоянные.

Здесь все матрицы и векторы соответствующей размерности, причем

диагональные матрицы.

С помощью структурных матриц

;

структурное множество определяется формулой

где I- единичная матрица соответствующей размерности.

Независимые подсистемы, соответствующие системе (1), получаются подстановкой вектора xⁱ вместо x:

где

Введем следующие обозначения:

При этом система (1) примет вид

Вместе с системой (1) и подсистемами (2) будем рассматривать матрицу-функцию

(4)

с элементами

 (5)

где -симметрические положительно-определенные матрицы, постоянные матрицы.

Нетрудно проверит, что для функций (5) верны оценки :

(6)

где и - минимальные и максимальные собственные числа матриц соответственно.

С помощью матрицы-функции (4) и вектора введем функцию

(7)

Лемма 1. Если элементы (5) матрицы-функции (4) удовлетворяют оценкам (6), то функция (7) удовлетворяет двухсторонней оценке

(8)

где

Вместе с функцией (7) рассматривается ее полная производная

Лемма 2. Если вдоль решений системы (1) построена матрица-функция (4) с элементами (5), то для производных Дини функций (5) вдоль решений системы (1) выполняются оценки:

а)

б)

где максимальные собственные числа матриц

соответственно,

нормы матриц

соответственно, здесь

Доказательство. Оценки а) осуществляется путем преобразований левой части выражения. а). А именно:

Оценка б) доказывается аналогично доказательству оценки а).

Лемма 3. Пусть выполняются все условия леммы 2. Тогда для выражения (9) выполняется неравенство

где

постоянная матрица такая, что

Доказательство. При выполнении всех условий леммы 2 имеем

Это и требовалось доказать.

2. Теорема об абсолютной устойчивости

На основе оценок для матрицы-функции, полученных в предыдущим пункте, устанавливается следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть уравнения движения крупномасштабной системы Лурье (1) таковы, что для них построена матрица-функция (4) с элементами (5), удовлетворяющими оценками (6) и для производной Дини (9) выполняется оценка (10). Если

а) матрица А - положительно-определенная;

б) матрица С - отрицательно -определенная на .

Тогда состояние равновесия x=0 системы (1)равномерно асимптотически устойчиво на .

Если к тому же ,то состояние равновесия x=0 системы (1) равномерно асимптотически устойчиво в целом на.

Доказательство. Если выполняются оценки (6), то выполняются условиям леммы 1. При выполнении условие леммы 1 и условия а)теоремы 1 функция (7) является определенно-положительной и убывающей на . Из оценки (10) и условия б) теоремы 1 следует, что выражение (9) отрицательно на

Эти условия, как известно [1], достаточны для структурной равномерной асимптотической устойчивости состояния равновесия x=0 системы (1) на

В случае функция (7) будет определенно-положительной, убывающей и радиально неограниченной, что вместе с другими условиями теоремы доказывается второе утверждение.

Замечание 1. Теорема 1 остаётся в силе, если матрица А -условно положительно-определенная и матрица С -условно отрицательно-определённая.

Пример 1. Пусть система (1) является системой 4-го порядка типа системы Лурье, декомпозированной на две взаимосвязанные подсистемы второго порядка, определяемые следующими векторами и матрицами:

(11)

Здесь структурный параметр.

Структурное множество определяется так

Для элементов матрицы-функции (4), выбранных в виде

выполняются оценки

Пусть тогда матрица , соответствующая матрице А в оценке (8)

положительно- определенная.

При таком выборе элементов

Матрица , соответствующая матрице C в оценке (10), имеет вид

и является отрицательно-определенной.

Итак, все условия теоремы 1 выполняются и состояние x=0 системы (1) с матрицами (11) структурно асимптотически устойчиво в целом на .

Литература

1. Груйич Л.Т., Мартынюк А.А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупно-масштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях. - Киев: Наук. Думка, 1884. - 307 с.

2. Мартынюк А.А., Миладжанов В.Г. Достаточные условия абсолютной устойчивости крупномасштабных систем при структурных возмущениях

// Автоматика. - 1991. - № 5. - С. 31-38.

3. Мартынюк А.А., Миладжанов В.Г. К теория устойчивости крупно - масштабных систем при структурных возмущениях // Автоматика. -1991. - № 6. - С. 10-14.

4. Мартынюк А.А., Миладжанов В.Г. Об устойчивости крупномасштабных систем при структурных возмущениях. Проблема А. // Электронное моделирование. - 1992. - 14, №1. - С. 3-10.

5.Мартынюк А.А., Миладжанов В.Г. Об устойчивости крупно

масштабных систем при структурных возмущениях. Проблема Б. // Электронное моделирование. - 1992. - 14, № 4. - С. 35-42.

Размещено на Allbest.ru