Размещено на http://allbest.ru

68

МЕТОДЫ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ

1. Расчет надежности невосстанавливаемых систем

Расчет надежности невосстанавливаемых нерезервированных систем. В дальнейшем в качестве объекта, надежность которого требуется определить, будет рассматриваться некоторая сложная система , состоящая из отдельных элементов (блоков), например система автоматики или связи, построенная на реле или полупроводниковых элементах. Задача расчета надежности сложной системы состоит в том, чтобы определить ее показатели надежности, если известны показатели надежности отдельных элементов и структура системы, т.е. характер связей между элементами с точки зрения надежности.

Наиболее простую структуру имеет нерезервированная система из элементов, у которой отказ любого элемента приводит к отказу всей системы. В этом случае система имеет логически последовательное соединение элементов. Пусть отказы элементов есть независимые друг от друга события. Так как система работоспособна, если работоспособны все ее элементы, то согласно теореме об умножении вероятностей вероятность безотказной работы системы равна произведению вероятностей безотказной работы ее элементов:

= , (2.1)

где - вероятность безотказной работы -го элемента.

Пусть для элементов справедлив экспоненциальный закон надежности и известны их интенсивности отказов. Тогда и для системы справедлив экспоненциальный закон надежности

, (2.2)

где - интенсивность отказов системы.

Интенсивность отказов нерезервированной системы равна сумме интенсивностей отказов ее элементов, т.е.

= . (2.3)

Частота отказов и средняя наработка до отказа нерезервированной системы соответственно

.

Пример 2.1. Система железнодорожной автоматики содержит 500 реле типа НМШ1-1800 с интенсивностью отказов 1/ч, 300 реле типа НМШМ1-500 (), 100 реле типа ОМШ2-40 () и 100 реле типа ПМПШ-150/150 ().

Система имеет логически последовательное соединение элементов. Требуется определить вероятность безотказной работы в течение 100 ч и среднюю наработку до отказа.

Определяем интенсивность отказов системы = (500 0,11 + 300 0,149 + 100 0,073 + 100 0,531) 10-⁶ = 0,1601 10-³ 1/ч.

Тогда

;

= ч = 0,713 г.

Расчет надежности невосстанавливаемых резервированных систем. В резервированной системе отказ какого-либо элемента не обязательно приводит к отказу всей системы. Типичным случаем является логически параллельное соединение элементов, при котором система отказывает тогда, когда отказывают все ее элементы. Такой тип резервирования называют постоянным или нагруженным m-кратным резервированием. В этом случае все элементы выполняют одну и ту же функцию, работают одновременно и равнонадежны. По теореме умножения вероятностей имеют место следующие выражения:

;

,

где - соответственно вероятности отказа и безотказной работы одного элемента.

Если для элементов справедлив экспоненциальный закон надежности, то

. (2.4)

Для высоконадежных систем, у которых и , имеем

. (2.5)

Из сравнения выражений (2.5) и (1.18) следует, что вероятность безотказной работы резервированной системы всегда больше вероятности безотказной работы нерезервированной системы.

Подставляя выражение (2.4) в формулу (1.15) и учитывая выражение (1.42), находим среднюю наработку резервированной системы

. (2.6)

Из формулы (2.6) следует что если при дублировании (m = 1) наработка системы становится больше в 1,5 раза, то с увеличением кратности резервирования она возрастает очень медленно.

Кроме m-кратного резервирования (m - целое число) используют также резервирование с дробной кратностью, которое называют логическим соединением элементов типа "k из n". Это означает, что система работоспособна, если работоспособны не менее k элементов. Кратность резервирования .

Универсальным методом расчета надежности любой резервированной системы со сложной логической структурой является метод полной группы событий. Пусть надо рассчитать вероятность безотказной работы системы "2 из 3". В момент времени состояние системы может быть задано двоичным вектором , где , если в момент -й элемент работоспособен, и , если к этому моменту он уже отказал.

Всего существует состояний, которые образуют полную группу событий (таблица 1). В столбце указаны вероятности событий (переменная в обозначениях опущена), причем сумма этих вероятностей равна 1. В результате появления события система может оказаться работоспособной в момент ( = 1) или неработоспособной ( = 0).

Таблица задает некоторую функцию алгебры логики Таким образом, надежность сложной системы есть функция алгебры логики от надежности ее элементов. В данном примере эта функция есть известная мажоритарная функция. Очевидно, что вероятность безотказной работы системы будет равна сумме вероятностей тех событий , для которых = 1:

Т а б л и ц а 1

	0	0	0	0
	0	0	1	0
	0	1	0	0
	0	1	1	1
	1	0	0	0
	1	0	1	1
	1	1	0	1
	1	1	1	1

. (2.7)

Для данных таблицы

.

Если все элементы структуры равнонадежны (), то

. (2.8)

Формула (2.7) называется функцией надежности системы. Она показывает, как вероятность безотказной работы системы зависит от величин ее элементов. Если в структуре "2 из 3" вероятность безотказной работы одного элемента равна, например, 0,8, то по формуле (2.8) определяется = 0,896. Из графика функции (2.8) следует, что система "2 из 3" дает выигрыш в надежности по сравнению с надежностью одного элемента, только если .

В этом существенное отличие системы "2 из 3" от параллельной структуры, которая может рассматриваться как система "1 из т" и дает выигрыш надежности независимо от значения р.

Метод полной группы событий применим в любом случае, однако для систем с большим числом элементов он становится слишком громоздким из-за большого числа состояний.

Задача упрощается для широкого класса систем с последовательно-параллельной структурой. В таких системах элементы соединяются только последовательно или параллельно. Например, электромагнитное реле состоит из якоря, двух обмоток и трех контактов. Будем считать, что реле работоспособно, если исправны якорь, одна из обмоток и один из контактов.

В таком случае применяют метод преобразования структурной схемы (метод свертки), объединяя элементы в более крупные блоки и применяя формулы расчета для элементарных схем надежности. Для элементарных схем функции надежности соответственно

; (2.9)

. (2.10)

Объединим сначала в один блок элементы , и , .

По формуле (2.10) получим , .

Затем объединим элементы и и по формуле (2.10) находим .

Применяя формулу (2.9) к cтруктуре , получим функцию надежности реле

.

Часто не требуется знать точное значение вероятности безотказной работы, а достаточно только оценить эту величину снизу и сверху. Тогда можно применить приближенный метод минимальных путей и сечений. Рассмотрим этот метод на примере вычислительной системы. Она состоит из вычислительных блоков 1, 2 (источники информации), 6, 7 (приемники информации) и трех устройств сопряжения 3 - 5. Система работоспособна, если существует путь передачи информации хотя бы от одного источника к одному по крайней мере приемнику. Структура системы представлена в виде графа надежности. Вершины графа соответствуют элементам системы, а дуги - связям между ними. Вершины M и N называют полюсами. Отказ элемента соответствует обрыву ребер, которые с ним связаны, а отказ всей системы соответствует нарушению связи между полюсами.

Множество элементов системы называется путем А, если при их исправности система работоспособна независимо от состояния других элементов. Им соответствуют все пути между полюсами в графе надежности. Путь называется минимальным, если никакое его подмножество не является путем. Граф имеет шесть минимальных путей: 136, 146, 147, 246, 247, 257.

Множество элементов системы называется сечением В, если отказ всех этих элементов приводит к отказу системы независимо от состояния других элементов.

У минимального сечения никакое его подмножество не является сечением. Рассматриваемый граф имеет девять минимальных сечений: 12, 67, 145, 147, 234, 246, 345, 347, 456.

Нижняя граница надежности определяется как вероятность безотказной работы гипотетической последовательно-параллельной системы, составленной из последовательно включенных групп элементов, соответствующих всем минимальным сечениям, а верхняя граница - системы из параллельно включенных групп элементов, соответствующих всем минимальным. Согласно формулам (2.1) и (2.4)

; (2.11)

. (2.12)

где - число путей и сечений системы; - соответственно вероятности событий и .

Пусть для системы имеет место .

Тогда = = .

Таким образом, .

2. Виды резервирования

Введение избыточности (резерва) является основным методом повышения надежности системы, которая строится на элементах с ограниченным ресурсом надежности. Применяются структурное, информационное и временнуе резервирования.

Структурное (аппаратное) резервирование заключается в использовании дополнительной аппаратуры, которая при отказе основной аппаратуры принимает на себя ее функции. При этом возможно резервирование на уровне всей системы в целом (общее резервирование) или на уровне отдельных ее элементов (раздельное).

Информационное резервирование предполагает избыточное кодирование информации, которая используется в системе. Временнуе резервирование возможно тогда, когда в процессе функционирования система имеет ресурс времени, вследствие чего могут осуществляться повторный расчет данных или другие контрольные процедуры.

При постоянном резервировании резервные элементы работают постоянно вместе с основным элементом в том же (нагруженном) режиме. При резервировании замещением в случае отказа основного элемента его замещает один из резервных. Эту задачу выполняют специальные устройства переключения.

Резервные элементы могут находиться в ненагруженном, облегченном или нагруженном режимах. Рассмотрим формулы для расчета надежности основных видов резервирования.

Общее резервирование с постоянно включенным резервом и с целой кратностью. Используя формулы (2.1) и (2.4), имеем

, (2.13)

где - вероятность безотказной работы -го элемента.

При экспоненциальном законе надежности:

; (2.14)

; (2.15)

, (2.16)

где интенсивность отказов основной системы или любой из резервных систем, равная .

Пример 2.2. Система имеет кратность общего резервирования . Основная нерезервированная система содержит четыре равнонадежных элемента с логически последовательным соединением. Интенсивность отказов одного элемента 1/ч. Определить характеристики надежности системы за 1000 ч.

Используя формулы (2.14)-(2.16), получаем ():

;

ч;

1/ч.

Вероятность безотказной работы системы возрастает с увеличением кратности m и при больших значениях приближается по значению к вероятности безотказной работы нерезервировнной системы. Интенсивность отказов системы начинается с 0 и приближается к величине в области больших значений .

Среднее время безотказной работы системы с увеличением m растет очень медленно. Из перечисленных фактов следует, что общее резервирование для невосстанавливаемых систем дает наибольший выигрыш в надежности в области малых значений .

Этот вид резервирования наиболее целесообразно использовать для резервирования достаточно надежных систем разового использования с коротким временем непрерывной работы.

Раздельное резервирование с постоянно включенным резервом и с целой кратностью. Используя формулы (2.1) и (2.4), имеем

, (2.17)

где - кратность резервирования -го элемента.

При экспоненциальном законе надежности, равнонадежных элементах и одинаковой кратности их резервирования

; (2.18)

; (2.19)

, (2.20)

где - интенсивность отказов одного элемента системы; .

Пример 2.3. Определить характеристики надежности системы из примера 2.2 при кратности раздельного резервирования каждого элемента .

Используя формулы (2.17) - (2.19), получаем ():

;

1/ч.

Поскольку

то

ч.

Из сравнения результатов в примерах 2.2 и 2.3 видно, что при прочих равных условиях раздельное резервирование дает существенное повышение надежности по сравнению с общим резервированием. Раздельное резервирование может эффективно использоваться для повышения надежности сложных систем с большим числом элементов и сравнительно длительным временем использования.

Общее резервирование с дробной кратностью и постоянно включенным резервом. В этом случае система "k из n" работоспособна, если работоспособны не менее k элементов из n. Кратность резервирования .

Для определения вероятности безотказной работы применим метод полной группы событий. Система работоспособна, если за время t осуществляется одно из событий: - все элементы исправны; - один элемент отказал, n - 1 элементов исправны; … элементов отказали, k элементов исправны. Общее число таких событий равно , а вероятность события (если все элементы равнонадежны)

.

Тогда

. (2.21)

При экспоненциальном законе надежности:

; (2.22)

. (2.23)

Например, для системы "2 из 3"

; (2.24)

. (2.25)

Функция (2.24) совпадает с полученной равнее функцией (2.8). Кривые и нерезервированной системы пересекаются. Это означает, что при данном виде резервирования надежность повышается только тогда, когда вероятность безотказной работы основной системы выше некоторого критического значения.

В данном случае это критическое значение = 0,5. Аналогичный вывод был получен ранее другим способом. Из формулы (2.25) следует, что среднее время безотказной работы у резервированной системы меньше, чем у нерезервированной. Следовательно, резервирование с дробной кратностью нецелесообразно использовать для систем с длительным временем (близким к Т) непрерывной работы.

Общее резервирование замещением с целой кратностью. В этом случае работает только одна основная система, остальные системы отключены с помощью специальных переключающих устройств и находятся в "холодном" резерве.

При отказе основной системы она отключается, а на ее место подключается одна из резервных систем. Таким образом, резервированная система откажет при возникновении (m + 1)-го отказа. Предполагается, что системы, находящиеся в резерве, отказывать не могут, и что переключающие устройства абсолютно надежны.

Определим вероятность безотказной работы резервированной системы , если для нерезервированных систем справедлив экспоненциальный закон надежности.

Система будет работоспособна, если за время t произойдут следующие несовместимые события: - основная система работала безотказно; - основная система отказала, а первая резервная система работала безотказно; …; - основная и m - 1 резервных систем отказали, последняя резервная система работала безотказно. Вероятность события определяется по закону Пуассона [см. формулу (1.47),:

, (2.26)

где .

Из сравнения выражений (2.26) и (1.45) следует, что наработка до отказа резервированной системы подчиняется гамма-распределению, параметрами которого являются интенсивность отказов нерезервированной системы и кратность резервирования .

Тогда [см. формулу (1.45)]

; (2.27)

. (2.28)

Пример 2.4. Определить характеристики надежности системы из примера 2.2 при кратности общего резервирования замещением .

Используя формулы (2.26) - (2.28), получаем ( = 0,8):

;

1/ч ;

ч.

Резервирование замещением является исключительно эффективным средством повышения надежности даже при достаточно низкой надежности нерезервированной системы.

Система с холодным резервом надежнее системы с постоянно включенным (горячим) резервом. Как следует из формулы (2.28) среднее время безотказной работы при резервировании замещением линейно увеличивается с ростом кратности резервирования. Таким образом, этот вид резервирования может быть использован для системы с большим сроком службы.

Раздельное резервирование замещением с целой кратностью. Вероятность безотказной работы системы

,

где - вероятность безотказной работы системы из-за отказов элементов i-го типа, резервированных по способу замещения [вычисляется по формуле (2.26)].

При равной надежности всех элементов:

; (2.29)

, (2.30)

где - интенсивность отказов одного элемента, .

Пример 2.5. Определить характеристики надежности системы из примера 2.2 при кратности раздельного резервирования замещением .

Используя формулы (2.29) и (2.30), получаем:

;

1/ч .

Раздельное резервирование с замещением при прочих равных условиях дает наибольший выигрыш надежности по сравнению с другими видами резервирования.

Причем этот выигрыш тем больше, чем больше элементов имеет нерезервированная система.

Раздельное резервирование замещением с дробной кратностью (скользящее резервирование). Этот вид резервирования применяется, если все элементы системы выполняют одинаковые функции. Основная система имеет n элементов, а m элементов находятся в холодном резерве. При отказе любого работающего элемента на его место подключается любой из резервных.

Кратность резервирования m/n. Предположим, что все элементы равнонадежны с и переключающие устройства абсолютно надежны.

Система будет работоспособна, если за время t произойдут следующие несовместимые события: - система не имеет отказов; - отказал один элемент, - отказали m элементов.

Вероятность события определяется по закону Пуассона, поэтому величина рассчитывается по формуле (2.26). Это означает, что надежность данной системы равна надежности системы с общим резервированием с замещением, но в то же время имеет в n раз меньше резервных элементов. Однако переключающие устройства при этом существенно усложняются.

Пример 2.6. Вычислительная система построена из 500 однотипных блоков с интенсивностью отказов 1/ч. В скользящем холодном резерве находятся пять таких же блоков, которые могут заменить любой из отказавших блоков.

Определить показатели надежности системы за 10 000 ч.

Используя формулы (2.26) - (2.28), получаем (:

;

1/ч .

ч.

3. Расчет надежности восстанавливаемых систем

Расчет надежности нерезервированных восстанавливаемых систем. Нерезервированная восстанавливаемая система в произвольный момент времени находится в одном из двух состояний: работоспособном или неработоспособном . Процесс ее функционирования можно отразить графом состояний. Из состояния в состояние система переходит в результате отказов с интенсивностью , а из в - в результате восстановления с интенсивностью . В дальнейшем будем считать, что потоки отказов и восстановлений являются простейшими, и . Последнее равенство означает, что производительность труда ремонтника постоянна и не зависит от времени. Поэтому время восстановления имеет экспоненциальное распределение: ; .

Основным показателем надежности нерезервированной восстанавливаемой системы является коэффициент готовности . При этом сокращение времени восстановления ведет к увеличению и не влияет на безотказность системы. Рассмотрим работу системы на интервале времени .

Обозначим через ; и ; - вероятности того, что в момент времени t и система находится в состояниях и . Тогда + = 1 и = .

Обозначим также через или условную вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии или , а в момент времени - в состоянии или , т.е. за интервал произошел отказ (восстановление) системы. Согласно выражению (2.11)

Из-за малости интервала будет считать, что за время может произойти только один отказ или только одно восстановление.

Тогда на интервале могут произойти четыре несовместные события: (в момент времени t система находилась в состоянии и в момент осталась в этом же состоянии, т.е. отказа за время не произошло); (отказ произошел); (восстановление произошло); (восстановление не произошло). Тогда

;

,

Или

 ;

.

Положим . Тогда получим систему дифференциальных уравнений:

(2.31)

которая дополняется нормирующим условием .

Решение системы (2.31) при начальных условиях и (в начальный момент времени система работоспособна) имеет вид:

(2.32)

Если в начальный момент времени система неработоспособна (,), то

 (2.33)

При независимо от начального состояния системы ( или ) вероятности и стремятся к постоянным значениям:

и . (2.34)

Это означает, что при экспоненциальных законах распределения времени наработки и времени восстановления случайный процесс работы восстанавливаемой системы после истечения некоторого времени стабилизируется, и вероятность застать систему работоспособной в произвольный момент времени остается постоянной. Система с указанным свойством называется эргодической, а сам процесс - марковским случайным процессом.

Учитывая данное свойство, в системе [см. формулу (2.31)] при можно положить и получить систему линейных алгебраических уравнений:

(2.35)

Откуда непосредственно находится решение (2.34).

Пусть, например, для некоторой системы 1/ч, 1/ч. Тогда

; .

При малых значениях величины , когда , из уравнений (2.32) получим:

;

.

Отсюда следует, что в начальный период эксплуатации системы коэффициент готовности примерно равен вероятности безотказной работы , а вероятность - вероятности отказа . Из выражений (2.33) следует, что ; = 1 - . Поэтому, если в начальный момент времени система была неработоспособна, то коэффициент готовности примерно равен вероятности восстановления , а вероятность - вероятности отсутствия восстановления 1 - .

Расчет надежности резервированных восстанавливаемых систем. Процесс функционирования резервированной восстанавливаемой системы является марковским случайным процессом с дискретными состояниями. Случайный процесс называется дискретным, если его состояния можно пронумеровать и переход из состояния в состояние происходит скачком. Граф состояний резервированной восстанавливаемой системы в отличие от графа нерезервированной системы имеет в общем случае три состояния: - исправное; - неисправное, работоспособное; - неработоспособное.

Случайный процесс называется марковским, если для любого момента времени вероятности всех состояний системы в будущем зависят только от ее состояния в настоящем и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. Переход системы из состояния в состояние происходит под воздействием потоков отказов и восстановлений. Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими, то случайный процесс есть марковский процесс; он задается системой дифференциальных уравнений:

(2.36)

где - интенсивность потока событий, переводящего систему из состояния в состояние , может быть = 0.

Система (2.36) составляется для данного графа состояний по следующим правилам. Производная вероятности состояния равна сумме стольких слагаемых, сколько стрелок связано с этим состоянием. Каждое слагаемое равно произведению интенсивности потока событий, переводящего систему по данной стрелке, на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка. Слагаемое имеет знак минус, если стрелка исходит из данного состояния, и знак плюс - если стрелка направлена в данное состояние. Например, для графа



Система (2.36) решается с помощью преобразований Лапласа или численными методами. При справедлива предельная теорема А.А.Маркова: если все интенсивности потоков событий постоянны, а граф состояний таков, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое за конечное число шагов, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы. В соответствии с этой теоремой при производные и система (2.36) превращается в однородную систему линейных алгебраических уравнений:

(2.37)

Система (2.37) дополняется нормировочным уравнением

. (2.38)

работоспособность надежность резервирование

В качестве примера использования уравнений (2.37) и (2.38) рассмотрим граф состояний системы с общим резервированием замещением кратности m и неограниченным восстановлением. Будем считать, что основная и m резервных систем равнонадежны и имеют показательные законы времени безотказной работы и времени восстановления с параметрами и , отказы неработающих систем невозможны, отказы обнаруживаются мгновенно, устройства переключения абсолютно надежны. Условие неограниченного восстановления означает, что одновременно может восстанавливаться любое число систем (работают по крайней мере бригада ремонтников). Состояния системы имеют следующий смысл: (основная и все резервные системы работоспособны, работает основная система); [основная и резервные системы отказали, все остальные резервные системы работоспособны, работает -я резервная система ()]; (основная и все резервные системы отказали и вся резервированная система неработоспособна).

Каждой дуге, ведущей из состояния в состояние , приписано значение , так как одновременно работает только одна резервная система. Дуге, ведущей из в , приписано значение , так как при этом одновременно восстанавливаются резервных систем.

Для графа имеем систему уравнений:

Откуда

Коэффициент готовности системы

.

Пусть среднее время наработки до отказа нерезервированной системы равно 1000 ч, а среднее время восстановления - 10 ч. Тогда = 0,001 1/ч, = 0,1 1/ч. Значения для первых значений m приведены ниже.

m …	0	1	2	3	4
…	0,9901	0,9999503	0,9999998	0,9999999997	0,9999999999992

Резервирование с восстановлением является эффективным средством повышения надежности, с помощью которого можно добиться сколь угодно высокой надежности систем.

Применим описанный метод для анализа надежности различных вариантов дублированной системы . Графы состояний следующие: а - система с постоянно включенным резервом и неограниченным восстановлением; б - система с постоянно включенным резервом и ограниченным восстановлением (при этом одновременно может восстанавливаться только одна нерезервированная система); в - система с резервированием замещением и неограниченным восстановлением; г - система с резервированием замещением и ограниченным восстановлением. Для них имеем следующие системы уравнений:

а)

б)

в)

г)

Из данных уравнений с учетом нормировочного условия получаем формулы для расчета коэффициента готовности ():

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Если = 0,001 и = 0,1, то значения соответственно равны 0,9999019; 0,9998039; 0,9999503; 0, 9999009. Наибольшую надежность имеет система с резервированием замещением и неограниченным восстановлением.

4. Расчет надежности логических схем относительно сбоев

В предыдущих разделах главы рассмотрены методы расчета надежности объектов относительно внезапных (катастрофических) отказов. Однако, в микроэлектронной аппаратуре около 50% всех отказов приходится на сбои (перемежающиеся отказы).

Сбой - это кратковременная фиксация ложного сигнала 0 или 1 на выходе логического элемента. Если время дискретно, то сбой это фиксация ложного сигнала в течение одного такта времени . Если ложная фиксация сигнала более длительная, то можно считать, что сбой происходит в нескольких тактах работы подряд.

При расчете надежности логических схем относительно сбоев учитывается, что отказ схемы определяется не только фактом возникновения неисправности того или иного элемента, но и вероятностью появления в момент сбоя входного набора, на котором эта неисправность проявляется на выходе схемы. Такой набор называется тестовым. В логической схеме сбой ее элемента приводит к сбою на выходе только в том случае, если на входе схемы присутствует тестовый набор.

Рассмотрим комбинационную схему, реализующую функцию

. (2.39)

Будем обозначать через () - неисправность (сбой) i-го элемента схемы типа 1 0 (0 1). Наличие в схеме неисправности ( = 0 или 1) приводит к тому, что схема вместо функции реализует ошибочную функцию . Происходит искажение функции .

Пусть в схеме имеется неисправность - сбой второго элемента (НЕ) типа 0 1. Подставляя в формулу (2.39) значение 1, получаем функцию, реализуемую неисправной схемой:

. (2.40)

Из сравнения столбцов и в таблице истинности (табл. 2.2) видно, что работа исправной и неисправной схем отличается только на одном наборе 011. Говорят, что относительно этого набора неисправность является существенной.

Ясно, что, если появление набора 011 на входе схемы является маловероятным событием, то и отказ схемы по причине сбоя элемента 2 является маловероятным событием.

Введем понятие функции ошибки . Эта функция выделяет те входные наборы, относительно которых неисправность является существенной.

Функцией ошибки называется функция, принимающая значение 1 на тех и только тех входных наборах, на которых функция , реализуемая исправной схемой, и функция , реализуемая неисправной схемой, принимают различные значения.

Так как = 1, если , то

= = . (2.41)

Формула (2.41) дает возможность находить множество тестовых входных наборов алгебраическим методом без построения таблиц истинности, которые являются громоздкими для функций с большим числом переменных.

Рассчитаем функцию ошибки для неисправности , учитывая (2.39) и (2.40):

Таблица 2.2

0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
1	0	0	1	1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
2	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1	0	1	0
3	0	1	1	0	1	0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0
4	1	0	0	0	0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0
5	1	0	1	0	0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0
6	1	1	0	1	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1	0	1
7	1	1	1	1	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1	0	1

Размещено на Allbest.ru