Цифровой гармонический фильтр

Размещено на http://www.allbest.ru

Цифровой гармонический фильтр

Толстунов Владимир Андреевич,

кандидат технических наук,

доцент кафедры Автоматизации

исследований и технической кибернетики

Федорова Мария Евгеньевна,

аспирант кафедры Автоматизации

исследований и технической кибернетики

Кемеровский Государственный Университет

Исследуется алгоритм сглаживающего фильтра с гармоническим преобразованием. Приведены результаты работы данного алгоритма при обработке изображений.

Пусть на вход цифрового фильтра со скользящим окном, длиной апертуры n+1 поступают отсчеты сигнала x(t_k) = x_k = s_k+n_k+е_k, k=1,2,…, где s_k - полезный детерминированный сигнал, n_k - гауссовский шум с нулевым средним значением и дисперсией у² , е_k - импульсный шум, принимающий значения 0, А>0 с вероятностями соответственно p, q=1-p.

По значениям входного сигнала из апертуры {x_k-n/2,…,x_k,…,x_k+n/2} определяем значение выхода фильтра y_k, соответствующего отсчету x_k. Полагаем, что в пределах апертуры фильтра значения полезного сигнала практически одинаковы. Это предположение оправдано, по крайней мере, при высокой частоте дискретизации сигнала x(t) и малых значениях апертуры. Тогда сглаживающий фильтр изображение сигнал

x_i = s_k + n_i, i

Для сглаживания отсчетов входного сигнала используем гармонический фильтр [1], выходной сигнал которого определяется соотношением

(1)

Здесь принимает целые значения и характеризует порядок нелинейности фильтра.

Для выбранной модели входного сигнала, согласно известной формуле полной вероятности [2], легко найти плотность распределения

(2)

Используя (2), по известным соотношениям [2] можно найти плотность вероятностей, математическое ожидание и дисперсию сигнала (1). При слабом гауссовском шуме, когда ,будем иметь

(3)

(4)

(5)

Здесь - математическое ожидание и дисперсия случайной величины

,

распределение которой, в силу центральной предельной теоремы теории вероятностей [2], считается нормальным.

При слабом гауссовском шуме большом импульсном шуме можно получить

(6)

(7)

(8)

В результате из (6), (7), (8) для (4), (5) будем иметь

(9)

(10)

Из (9) видно, что для выбранной модели полезного сигнала . Так как при

,

то в этом случае . Из (10), также, следует, что .

Таким образом, за счет увеличения параметра нелинейности m гармоническим фильтром при можно убрать импульсный шум большой амплитуды и, по крайней мере, слабый гауссовский шум.

Одной из характеристик, оценивающей качество фильтрации, может служить вероятность

(11)

где - задаваемые константы. Наибольший интерес, при этом, представляет вероятность

(12)

при . Из (12) следует, в частности, что при моделировании работы фильтра для оценки качества фильтрации наряду с другими характеристиками можно использовать процент совпавших точек полезного и профильтрованного сигналов.

Для гармонического фильтра, используя (3), (12), находим

, (13)

где

В случае , когда из (6), (7), (8) следует

, ,

имеем

(14)

Ниже приведен ряд вероятностей, рассчитанных по (14), при .

Из этих данных следует, что уже при даже в случае большой интенсивности импульсного шума с вероятностью близкой к единице сигнал на выходе фильтра будет отличаться от истинного значения полезного сигнала не более, чем на 10%.

Алгоритм (1) можно обобщить на случай фильтрации двумерных сигналов. Пусть y_kl - значение выходного двумерного сигнала, которое соответствует входному х_kl, апертура фильтра выбрана в виде квадрата с длиной стороны n+1. Тогда согласно (1) будем иметь

(15)

Фильтр (15) был промоделирован численно.

Результаты моделирования:

Рис.1. Полезный сигнал. Размер изображения 375*368.

Рис.2.Импульсный шум p=0,4; q=0.6; A= 200.

Рис.3. Результат обработки исследуемым фильтром (15). Параметры: m=100; n+1=3.

Литература

1. Толстунов В.А. Нелинейная фильтрация с помощью обобщенного сглаживающего фильтра // Вестник КемГУ, серия математика-Кемерово: Изд. КемГУ,2000.- вып. 4.- с.165-171.

2. Боровков А.А. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1976.-352 с.

Размещено на Allbest.ru