Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

Северо-Кавказский федеральный университет

Реферат

по предмету: Энергетическая электроника

на тему: Активные фильтры высших порядков: особенности построения и расчета

Выполнил:

Клюжин С.В.

Ставрополь 2017

Содержание

• Введение
• 1. Теоретическое описание фильтров первого и второго порядка
• 1.1 Простейший фильтр нижних частот
• 1.2 Реализация фильтров нижних и верхних частот первого порядка
• 1.3 Реализация фильтров нижних и верхних частот второго порядка
• 1.4 Фильтр со сложной отрицательной обратной связью
• 1.5 Фильтр с положительной обратной связью
• 2. Реализация фильтров верхних и нижних частот высокого порядка
• 2.1 Полосовой фильтр со сложной отрицательной обратной связью
• 2.2 Полосовой фильтр с положительной обратной связью
• Заключение
• Список используемой литературы

Введение

Фильтр - электронное устройство, которое в определенном диапазоне частот пропускает сигнал, и не пропускает сигнал в остальном диапазоне частот. То есть назначение фильтра - передавать сигнал одного диапазона частот и задерживать сигнал другого диапазона.

Зная, как фильтр передаёт сигналы синусоидальной формы, нетрудно определить, как он будет передавать сигналы другой формы. В электронике используются и аналоговые, и цифровые фильтры. В аналоговых фильтрах обрабатываемые сигналы не преобразуют в цифровую форму, а в цифровых фильтрах перед обработкой сигналов такое преобразование выполняется.

Аналоговые фильтры могут быть как пассивными (на резисторах, конденсаторах, индуктивностях), так и активными (на транзисторах, на операционных усилителях). Кроме того, фильтры могут быть силовыми и информативными. Требования, предъявляемые к тому и другому типу фильтров различные. Для фильтров силовой электроники важны такие показатели как КПД и минимальные размеры. Строятся силовые фильтры обычно на пассивных элементах.

Фильтры информативной электроники разрабатываются на основе активных элементов. Такие фильтры в настоящее время разрабатываются с использованием операционных усилителей. Фильтры, которые построены на основе активных элементов, называются активными. В интегральном исполнении они имеют меньшие габариты и вес. Активные фильтры способны усиливать сигнал.

К недостаткам активных фильтров можно отнести следующее:

· активные фильтры не могут работать на таких высоких частотах, на которых операционные усилители уже не способны усиливать сигнал.

· активные фильтры нуждаются в источниках питания.

1. Теоретическое описание фильтров первого и второго порядка

1.1 Простейший фильтр нижних частот

Схема простейшего фильтра нижних частот показана на рис. 1. Выходное напряжение фильтра зависит от частоты входного сигнала.

(1)

Заменив на , получим передаточную функцию фильтра

(2)

Передаточная функция определяет зависимость преобразований Лапласа выходного и входного напряжений для произвольных временных сигналов. Переход от передаточной функции к частотной характеристике для синусоидальных входных сигналов можно выполнить, положив .

Рисунок 1 - Простейший фильтр нижних частот первого порядка

Для реализации общего подхода целесообразно нормировать комплексную переменную p. Положим

(3)

При в этом случае получим

(4)

Частота среза фильтра на рис. 1 равна . Отсюда получим и

(4)

Используя передаточную функцию для оценки зависимости выходного сигнала от частоты, запишем

(5)

При , т.е. для случая, когда частота входного сигнала . Это соответствует снижению коэффициента передачи фильтра на 20 дБ на декаду.

Если необходимо получить более быстрое уменьшение коэффициента передачи, можно включить n фильтров нижних частот последовательно. Передаточная функция такой системы имеет вид

(6)

где - действительные положительные коэффициенты. Из этой формулы следует, что при . Уменьшение коэффициента передачи характеризуется величиной дБ на каждую декаду. Стоит отметить, что корни передаточной функции (6) являются отрицательными и действительными. Таким свойством обладают пассивные RC-фильтры n-го порядка. Соединив последовательно фильтры нижних частот с одинаковой частотой среза, получается

(7)

где - действительные положительные коэффициенты. Порядок фильтра определяется максимальной степенью переменной P. Для реализации фильтра необходимо разложить полином знаменателя на множители. Если среди корней полинома есть комплексные, то рассмотренное ранее представление полинома (6) не может быть использовано. В этом случае его следует записать его в виде произведения сомножителей второго порядка:

(8)

где - положительные действительные коэффициенты. Для нечетных порядков полинома коэффициент равен нулю.

Параметры фильтра могут быть оптимизированы по различным критериям. Для удовлетворения каждому из выбранных критериев оптимизации коэффициенты и передаточной функции A(P) должны иметь строго определенные значения. Корни полинома могут иметь сопряженные комплексные значения, что приводит к невозможности реализации такого фильтра с помощью пассивных RC-цепей. Для их реализации могут быть использованы LRC-фильтры. Для высоких частот получение необходимых индуктивностей не представляет затруднений. Однако для низких частот нужны большие индуктивности, которые сложны в изготовлении и обладают плохими электрическими характеристиками. Применения индуктивностей для фильтров в низкочастотном диапазоне можно избежать, используя RC-схемы с активными элементами.

1.2 Реализация фильтров нижних и верхних частот первого порядка

Передаточная функция фильтра нижних частот первого порядка в общем случае имеет вид

(9)

Он может быть реализован с помощью простой RC-цепи (рис. 1). Для этой схемы можно записать

(10)

Положим, что коэффициент передачи постоянного сигнала равен 1. Параметр может быть выбран произвольно. Из сопоставления коэффициентов приведенных выражений получим

(11)

Из таблиц коэффициентов видно, что фильтры первого порядка всех типов идентичны и значение коэффициента выбрано равным 1. При реализации фильтров более высокого порядка путем последовательного соединения отдельных фильтров встречаются фильтры первого порядка, для которых . Это означает, что эти звенья имеют частоту среза .

Простая RC-цепь, изображенная на рис. 1, обладает одним недостатком: ее свойства зависят от нагрузки. Поэтому необходимо дополнить ее преобразователем полного сопротивления. Придав ему функцию усиления сигнала с коэффициентом . Одновременно получаем возможность свободно задавать значение коэффициента передачи. Соответствующая схема приведена на рис. 2.

Рисунок 2 - Фильтр нижних частот первого порядка с преобразователем полного сопротивления.

• Чтобы получить фильтр верхних частот, необходимо из выражения (9) величину p заменить на 1/p. В схеме для этого достаточно лишь поменять местами и .
• Для некоторого упрощения схемы фильтров нижних и верхних частот можно использовать RC-цепь для обратной связи операционного усилителя. Построенный на таком принципе фильтр нижних частот показан на рис. 3. Его передаточная функция имеет вид
• (12)

• Рисунок 3 - Фильтр нижних частот первого порядка с инвертирующим усилителем активный фильтр частота электроника
• Для расчета схемы необходимо задать частоту среза , коэффициент передачи постоянного сигнала (для этой схемы он должен быть со знаком минус) и емкость конденсатора . Приравняв коэффициенты полученной передаточной функции коэффициенты выражения (9), получим
• (13)

Рисунок 4 - Фильтр верхних частот первого порядка с инвертирующим усилителем.

На рис. 4 показана схема аналогичного фильтра верхних частот. Его передаточная функция имеет вид

(14)

(15)

Выражения для передаточных функций рассматриваемых схем справедливы только в диапазоне частот, для которых модуль дифференциального коэффициента усиления операционного усилителя превышает модуль коэффициента . Это условие для высоких частот удовлетворить трудно, поскольку уменьшение из-за применения частотной коррекции составляет 6 дБ на октаву и для обычного усилителя становится равным около 100 при частоте 10 кГц.

С другой стороны, эта особенность может быть использована при реализации фильтра нижних частот при высоких частотах среза, поскольку в данном случае достаточно использовать омическую отрицательную обратную связь. Частотная характеристика коэффициента передачи такого фильтра будет определяться фильтрующими свойствами частотно-скорректированного усилителя. Схема такого усилителя представлена на рис. 5. Его передаточная функция имеет вид

(16)

где - частота операционного усилителя.



Рисунок 5 - Фильтр нижних частот первого порядка с омической обратной связью.

1.3 Реализация фильтров нижних и верхних частот второго порядка

RLC-фильтр.

Передаточная функция цепи, изображенной на рис. 6.

(16)

Формулы для расчета R и C

(17)

Однако заданную передаточную функцию можно реализовать гораздо проще с помощью операционного усилителя с соответствующими RC-цепями, что позволяет исключить применение аналога индуктивности.



Рисунок 6 - Пассивный фильтр нижних частот второго порядка.

1.4 Фильтр со сложной отрицательной обратной связью.

Передаточная функция активного фильтра нижних частот, изображенного на рис. 7, имеет вид

(18)

Формулы для расчета коэффициентов:

(19)

Рисунок 7 - Активный фильтр нижних частот второго порядка со сложной отрицательной обратной связью.

Чтобы реальная схема фильтра имела желаемую амплитудно-частотную характеристику, входящие в нее элементы могут быть подобраны с не очень высокой точностью. Обычно задают значения емкостей конденсаторов и вычисляют необходимые значения сопротивления.

(20)

Для того, чтобы значение сопротивления было действительным, должно выполняться условие

(21)

Характеристики фильтра мало зависят от точности подбора номиналов его элементов, поэтому рассмотренная схема может быть рекомендовано для реализации фильтров с высокой добротность.

1.5 Фильтр с положительной обратной связью

Активный фильтр может быть также построен на основе операционного усилителя с положительной обратной связью. При этом коэффициент усиления операционного усилителя должен иметь строго определенное значение. Отрицательная обратная связь, сформированная с помощью делителя напряжения (рис. 8), обеспечивает коэффициент усиления, равный . Передаточная функция фильтра описывается следующим выражением:

(22)

Рисунок 8 - Активный фильтр нижних частот второго порядка с положительной обратной связью.

Расчеты можно упростить, положив . В этом случае для реализации фильтров различного типа необходимо изменять значение коэффициента . Передаточная функция фильтра будет иметь вид

(23)

Получаем

(24)

Из последнего соотношения видно, что коэффициент зависит от добротности полюсов и не зависит от частоты среза. Величина в этом случае определяет тип фильтра. Особенно тщательно следует настраивать коэффициент усиления при реализации фильтра Чебышева, что является существенным недостатком.

Поменяв местами сопротивления и емкости, получим фильтр верхних частот (рис. 9). Его передаточная характеристика

(25)

Рисунок 9 - Активный фильтр верхних частот второго порядка с положительной обратной связью.

2. Реализация фильтров верхних и нижних частот высокого порядка

Если амплитудная характеристика фильтра второго порядка оказывается недостаточно крутой, следует применять фильтр более высокого порядка. Для этого последовательно соединяют звенья, представляющие собой фильтры первого и второго порядка. В этом случае характеристики звеньев фильтра перемножаются. Однако следует иметь в виду, что последовательное соединение, например, двух фильтров Баттерворта второго порядка не приведет к получению фильтра Баттерворта четвертого порядка. Результирующий фильтр будет иметь другую частоту среза и другую частотную характеристику. Поэтому необходимо задавать такие коэффициенты звеньев фильтра, чтобы результат перемножения их частотных характеристик соответствовал желаемому типу фильтра.

Для упрощения расчета фильтров полиномы их передаточных функций были факторизованы. Коэффициенты звеньев фильтра приведены в специальных таблицах. Эти фильтры могут быть как второго, так и первого порядка. Для них необходимо лишь заменить коэффициенты на . При расчете схемы в приведенные формулы следует подставлять требуемую частоту среза результирующего фильтра. Звенья фильтра, как правило, имеют другие значения частот среза.

В принципе безразлично, в каком порядке будут располагаться звенья реализации полной схемы фильтра. Ее частотная характеристика в любом случае будет одной и той же. На практике, однако, существуют различные соображения о последовательности соединения фильтров. Так, например, с точки зрения уменьшения вероятности перегрузки схемы лучше расположить эти фильтры в порядке возрастания частоты среза и фильтр с наименьшей частотой поместить на входе. В противном случае уже первый каскад может перегрузиться, тогда, как на выходе второго каскада уровень сигнала будет значительно меньше предельного. Дело в том, что фильтры с более высокой частотой среза, как правило, обладают более высокой добротностью полюсов и поэтому их частотная характеристика коэффициента передачи имеет подъем вблизи частоты среза.

Другая точка зрения на порядок расположения звеньев фильтра связана с обеспечением минимального уровня шумов на выходе. В этом случае последовательность подключения фильтров должна быть обратной, поскольку наличие фильтра с наименьшей частотой среза в конце цепочки ослабляет шумы предыдущих каскадов.

Пример расчета фильтра Бесселя нижних частот, порядок которого равен трем. Он должен быть составлен из фильтров нижних частот первого (рис. 2) и второго (рис. 8) порядка, для которых значение выбрано равным 1. Коэффициент передачи постоянного сигнала всего фильтра должен быть равен единице. Для выполнения этого условия преобразователь полного сопротивления в звене первого порядка должен иметь коэффициент усиления , равный единице. Схема соответствующего фильтра нижних частот приведена на рис. 10. Его частота среза составляет 100 Гц. Задав значение емкости конденсатора , получим

(26)

Для второго каскада фильтра зададим и запишем условие для определения емкости конденсатора

(27)

(28)

Рисунок 10 - Фильтр Бесселя нижних частот третьего порядка с частотой среза .

Рисунок 11 - Упрощенный фильтр Бесселя нижних частот третьего порядка с частотой среза .

При реализации фильтров нижних частот третьего порядка можно исключить из схемы операционный усилитель. При этом перед фильтром второго порядка будет включен простой пассивный фильтр нижних частот (рис. 1).

Из-за взаимной нагрузки каскадов фильтра его параметры следует рассчитать снова, причем это оказывается существенно более сложной задачей по сравнению с расчетом развязанных фильтров. На рис. 11 показана схема такого фильтра.

Его характеристики соответствуют характеристикам фильтра нижних частот, рассмотренного выше.

2.1 Полосовой фильтр со сложной отрицательной обратной связью

Сложную отрицательную обратную связь можно использовать и для построения полосовых фильтров. Соответствующая схема фильтра приведена на рис. 12. Ее передаточная функция имеет следующий вид:

(29)

Коэффициент при должен быть равен 1. Отсюда находим резонансную частоту:

(30)

Рисунок 12 - Полосовой фильтр со сложной отрицательной обратной связью.

Остальные характеристики фильтра:

Коэффициент передачи на резонансной частоте:

(31)

Добротность:

(32)

Полоса пропускания фильтра

(33)

С помощью резистора можно добиться высокой добротности фильтра при малом коэффициенте передачи. Коэффициент усиления операционного усилителя при отсутствии нагрузки должен превышать . Выполнение этого требования особенно важно потому, что оно должно удовлетворяться и на резонансной частоте. Об этом следует помнить при выборе операционного усилителя для фильтра, особенно при работе в высокочастотном диапазоне.

Данная схема обладает тем преимуществом, что она не склонна к генерации на резонансной частоте при недостаточно точно рассчитанных значениях элементов. Предполагается, конечно, что операционный усилитель имеет необходимую частотную коррекцию; в противном случае может возникнуть высокочастотная генерация.

2.2 Полосовой фильтр с положительной обратной связью

Применение положительной обратной связи для построения схемы полосового фильтра иллюстрируется на рис. 13. С помощью делителя напряжения и отрицательной обратной связи задается коэффициент усиления операционного усилителя, равный k. Передаточная функция фильтра имеет вид

(34)

Рисунок 13 - Полосовой фильтр с положительной связью

Формулы для расчета параметров фильтра:

Резонансная частота

(35)

Коэффициент передачи на резонансной частоте

(36)

Добротность

(37)

Недостаток схемы состоит в том, что не являются независимыми друг от друга. Достоинством схемы следует считать то, что ее добротность изменяется в зависимости от k, тогда как резонансная частота от коэффициента k не зависит.

При k=3 коэффициент усиления становится бесконечно большим и возникает генерация. Точность установки значения коэффициента тем критичнее, чем он ближе к 3.

Заключение

Для получения у усилителей избирательных свойств в области низких частот (ниже 20 кГц) преимущественно применяют RC-цепи интегрирующего или дифференцирующего типа. Они включаются на входе или выходе усилителя и охватывают его частотно-зависимой обратной связью.

В области высоких частот в качестве фильтров низких частот широко применяю высокочастотные дроссели, а полосовые и режекторные фильтры выполняют на основе использования катушек индуктивности (LC-фильтры).

В отдельных случаях применяют электромеханические фильтры, которые относятся к числу полосовых и имеют резонансную частоту, равную частоте собственных механических колебаний системы. Добротность таких фильтров обычно высокая, но перестройка частоты затруднена. Поэтому электромеханические фильтры в основном применяют в технике связи или радиовещании, где имеются стандартные определенные частоты.

Однако более экономичное и практичное решение является применение активных фильтров. При их применении удается обойтись без громоздких, дорогостоящих и нетехнологичных катушек индуктивности и создать низкочастотные фильтры в микроэлектронном исполнении, в которых основные параметры могут быть изменены с помощью навесных компонентов.

Также следует отметить, что использование активных фильтров с операционными усилителями на частотах свыше десятков мегагерц затруднено из-за малой частоты единичного усиления большинства операционных усилителей. А особенным преимуществом служит работа на низких частотах, вплоть до долей герц.

Список используемой литературы

1. Титце, У. Полупроводниковая схемотехника/ У. Титце, К. Шенк - Москва: Мир,1982.

2. Гусев, В.Г. Электроника/ В.Г. Гусев, Ю.М. Гусев - Москва: Высшая школа, 1991.

3. Розанов Ю.К. Основные этапы развития и современное состояние силовой электроники.

4. А. С. Красько. Схемотехника аналоговых электронных устройств/ А.С. Красько -Учебное пособие. Томск: Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, 2005.

Размещено на Allbest.ru