Характеристика и методика расчета четырехполюсника

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Общие и методические замечания

Четырехполюсником называется часть электрической цепи, имеющая две пары зажимов, причем к одной паре зажимов (входной) присоединяется источник энергии, а к другой паре (выходной) -- приемник энергии. Основной смысл теории четырехполюсников заключается в том, что, пользуясь некоторыми обобщенными параметрами электрической цепи, можно аналитически связать и исследовать напряжения и токи на входе и выходе схемы, не производя расчетов токов и напряжений внутри самой схемы. Так, в качестве четырехполюсника может быть представлена линия электропередачи, электрические фильтры, трансформатор, усилитель, линия связи и любое другое устройство, включенное между источником и приемником электрической энергии. Сложная электрическая цепь, имеющая входные и выходные зажимы, может быть представлена в виде совокупности четырехполюсников, соединенных определенным образом. Имея уравнения связи между токами и напряжениями входных и выходных зажимов составных четырехполюсников, можно получить соотношения, связывающне входные и выходные токи и напряжения электрической цепи.

Таким образом, электрические величины на входе и выходе цепи позволяют оценить режим работы передачи в целом, при этом обобщенные параметры дают возможность сопоставить и правильно оценить передающие свойства электрических цепей, различных по своему типу и структуре

Четырехполюсники могут быть классифицированы следующим образом:

1. Линейные - все элементы четырехполюсника линейные.

2. Нелинейные - хотя бы один элемент нелинейный.

3. Активные - внутри четырехполюсника содержатся нескомнеисированные источники энергии.

4. Пассивные - внутри четырехполюсника не cодержатся источники энергии, либо источники взаимоскомпенсированы, т.е. при отключении четырехполюсника напряжения на входных и выходных зажимах отсутствуют.

5. Симметричные - токи и напряжения в цепи не изменяются при перемене местами входных и выходных зажимов четырехполюсника. В противном случае четырехполюсник несимметричный.

При рассмотрении четырехполюсников необходимо обратить внимание на определение четырех обобщенных (первичных) параметров, три из которых независимы. Определение параметров проводится расчетным путем, если известна схема четырехполюсника, либо экспериментальным способом по двум режимам, например, режимам короткого замыкания (КЗ) и холостого хода (XX).

Характеристическое сопротивление и постоянная передачи являются вторичными параметрами четырехполюсника, значение которых позволяет судить о прохождении сигнала от источника к нагрузке.

Результаты, полученные в этой главе, позволяют исследовать режимы работы электрических фильтров, электрических цепей с распределенными параметрами, трансформаторов и т. д.

2. Основные уравнения четырехполюсника

Принято изображать четырехполюсник в виде прямоугольника с входными (1--1') u выходными (2--2') зажимами (рис. 1).



Рис. 1

Положительные направления токов и напряжений показаны на схеме, при этом положительное направление потока энергии на зажимах к четырехполюснику, на зажимахот него к нагрузке . Источник энергии подключен к входным зажимам.

Найдем уравнения, связывающие между собой токи и напряжения ,. Согласно теореме компенсации, заменим нагрузку источником ЭДС , направленным встречно току . Используем метод контурных токов, при этом выбираем входной и выходной контуры с контурными токами и контурными ЭДС . В результате имеем следующие уравнения:

где - собственные (при ) и общие (при) сопротивления внутри четырехполюсника.

Решая полученную систему уравнений (гл. 1, § 1.8) относительно токов и , получим:

где ,.

- определитель системы, порядок которой равен количеству независимых контуров « n »,

- алгебраические дополнения, получающиеся из определителя путем вычеркивания в нем i-й строки и j-го столбца и умножением вновь подученного определителя на Отношения имеют размерности проводимостей , поэтому введем обозначения:

где - собственные ( при i=j ) и взаимные ( при ij ) проводимости четырехполюсника. Тогда уравнения четырехполюсника, записанные через параметры, примут вид:



(1)

Для линейного пассивного четырехполюсника выполняется условие , поэтому .

Решив систему уравнении (1) относительно и получим уравнения четырехполюсника типа « ».

(2)

где:

при этом .Решая уравнение (1) или (2) относительно и , получим систему уравнений типа «А », которая имеет наибольшее распространение при исследовании четырехполюсника и связывает входные напряжение и ток и с выходными и .

(3)

где:

Коэффициент В имеет размерность сопротивления, С-проводимости, А и D-безразмерные.

Учитывая взаимные свойства четырехполюсника, т. е. или , получаем:

(4)

Таким образом, в каждой системе уравнений (1)--(3), три коэффициента являются независимыми, четвертый определяется согласно уравнению (4), следовательно, четырехполюсник можно характеризовать тремя независимыми параметрами.

Уравнение четырехполюсника при питании со стороны выходных зажимов.

В случае перемены направления передачи электрической энергии, а именно при передаче энергии справа налево, положительные направления токов и напряжений принимаются согласно рис. 2.



Рис. 2

Сравнивая обозначения на схемах рис. 1 и 2, можно заключить, что

Уравнения четырехполюсника по схеме рис. 2:

Решая систему уравнений относительно , получим:

(5)

Сопоставляя уравнения (5) и (3), заключаем,что коэффициенты A и D меняются местами.

Симметричный четырехполюсник.

Для симметричного четырехполюсника , а следовательно, A=D и А2-BC=1. Следовательно, четырехполюсник характеризуется двумя независимыми параметрами.

Пример 1. Несимметричный четырехполюсник имеет параметры А=j10,В=50 Ом, С= - j0,02 См.

Определить D.

Решение.

Согласно уравнению (4) имеем:

Экспериментальное определение коэффициентов четырехполюсника А, В, С, D.

Коэффициенты четырехполюсника А, В, С, D можно определить экспериментально, используя режимы XX и КЗ при питании со стороны первичных и вторичных зажимов.

1. Питание со стороны входных зажимов в режиме ХХ при этом:

, , , .

Из уравнеий (3) имеем , . Входное сопротивление относительно зажимов (1-1/) (рис. 1)

.

2. Питание со стороны входных зажимов в режиме КЗ вторичных зажимов, при этом:

, , , , ,

Входное сопротивление:

.

3. Питание со стороны выходных зажимов в режиме КЗ, входных зажимов (рис. 2) при этом:

, , , .

Входное сопротивление относительно зажимов (2- 2/):

4. Питание со стороны выходных зажимов в режиме ХХ входных зажимов:

, , , ,

Таким образом, для определения коэффициентов А, В, С, D имеем уравнения:

,,,,. (6)

Разрешим последнее уравнение системы (6) относительно коэффициента А:

. (7)

Тогда остальные коэффициенты:

(8)

Пример 2. Четырехполюсник (рис. 3) имеет параметры , . Определить параметры А, В, С, D:

1) используя режимы XX и КЗ;

Рис. 3

2) по его входным сопротивлениям.

Решение.

1. При питании со стороны входных зажимов (1 - 1/) в режиме (2--2/).



При питании со стороны входных зажимов 1-1/ в режиме КЗ зажимов 2--2/.

.

Для проверки правильности определения А, В, С, D используем уравнение (4):

2. Определим параметры четырехполюсника по входным сопротивлениям. Входное сопротивление со стороны зажимов 1-1/ в режиме XX зажимов 2--2'.

в режиме КЗ зажимов 2--2'.



входное сопротивление со стороны зажимов 2--2' в режиме КЗ зажимов 1-1/:

Тогда параметры четырехполюсника определяются по уравнениям (7) и (8):

Имеем два значения коэффициента, однако из физических соображении А есть отношение одного напряжения к выходному в режиме XX, который определен выше, Таким образом: .

Остальные коэффициенты:

Естественно, коэффициенты, рассчитанные двумя способами, получились одинаковыми.

3. Схемы замещения четырехполюсника

Выше отмечалось, что пассивный четырехполюсник характеризуется только тремя независимыми параметрами, поэтому эквивалентные схемы четырехполюсника должны иметь три элемента, причем коэффициенты А, В, С, D будут определяться однозначно. Простейшие четырехполюсники могут иметь Т и П-образные схемы замещения, которые приведены на рис. 4 и 5.

Рис. 4

Рис. 5

Выразим входные напряжения и ток через выходные и :

для T- образной схемы замещения (рис. 4).

(9)

Сравнивая уравнение (3) с (9), имеем:

и:

(10)

для П-образной схемы замещения (рис. 5)

(11)

Сравнивая уравнение (3) с (11), имеем:

(12)

Для симметричного четырехполюсника А=D, поэтому в схемах замещения

Пример 3. Параметры П-образной схемы замещения следующие:

Определить коэффициенты А, В, С, D.

Решение.

Используя уравнение (12), имеем:



Для проверки правильности определения А,В,С,D используем уравнение (4) AD--ВС=1:

Пример 4. П-образная схема замещения задачи 3 нагружена на сопротивление нагрузки.

. Определить напряжение на нагрузке и ток источника если =100B.

Решение.

Используем уравнение четырехполюсника (3).

Напряжение и ток связаны соотношением тогда уравнения четырехполюсника:

позволяют определить искомые величины:



4. Вторичные параметры четырехполюсника. Характеристическое сопротивление и постоянная передачи

Если несимметричный четырехполюсник при прямой передаче энергии (рис. 1) нагружен на сопротивление , то его входное сопротивление, т. е. отношение входных напряжений к току , согласно уравнениям (3):

(13)

где

Если тот же четырехполюсник при обратной передаче энергии ( рис.2 ) нагружен на сопротивление , то согласно уравнениям (5) входное сопротивление относительно зажимов 2--2':

(14)

где

Характеристическим сопротивлением называется такое сопротивление, которое, являясь нагрузочным, делает входное сопротивление со стороны других зажимов равным так-же характеристическому, а режим, при котором четырехполюсник нагружен соответствующим характеристическим сопротивлением, называется режимом согласованной нагрузки.

С учетом этого ; , тогда уравнения (13) и (14) примут вид:

(15)

Для несимметричного четырехполюсника . Совместное решение уравнении (15) относительно и дает:

(16)

Учитывая уравнения (6), получим выражения характеристических сопротивлений через входные сопротивления в режимах XX и КЗ:

(17)

В случае симметричного четырехполюсника А=D ,поэтому , при этом входное сопротивление четырехполюсника, нагруженного на характеристическое , равно .

Так как несимметричный четырехполюсник характеризуется тремя независимыми параметрами, то и недостаточны для описания свойств электрической цепи. Для этого введем третий параметр, названный постоянной передачи четырехполюсника g , который определяется как половина натурального логарифма отношения произведений напряжения и тока на входных и выходных зажимах четырехполюсника, и характеризует прохождение сигнала через четырехполюсник при согласованной нагрузке.

g

Используя уравнения четырехполюсника (3) и (16), получим:

g

(18)

В случае симметричного четырехполюсника (учитывая что A=D) в режиме согласованной нагрузки ():

четырехполюсник электрический каскадный

g

(19)

Откуда следует:



и:

(20)

где - начальные фазы входного и выходного напряжений четырехполюсника.

Величина называется коэффициентом затухания, который показывает, как изменяется напряжение (ток) на выходе по отношению к напряжению (току) на входных зажимах:

;

измеряется в неперах (Нп). Если = l Нп, то это значит, что напряжение (или ток ) в е ?2,718 раз меньше входного U2 (или I2). Часто пользуются единицей измерения затухания децибелом (дБ), которая равна:

. Если =1 дБ, то .

Выразим неперы через децибелы.

Если =10, то ,

поэтому 1 Нп=8,69дБ, 1 дБ==0,115 Нп.

Величина , характеризует изменение начальной фазы напряжения (или тока) и называется коэффициентом фазы и измеряется в радианах (рад).

Пример 5. Несимметричный четырехполюсник имеет параметры А = 1, В = 2,8345° Ом, С = j0,5 См, D = j1. Найти характеристические сопротивления четырехполюсника и постоянную передачи.

Решение.

Характеристические сопротивления согласно уравнению (16) равны:

Имеем по два характеристических сопротивления, причем положительному значениюсоответствует положительное . Отрицательные и не имеют физического смысла, так как они не реализуемы.

Постоянную передачи определим по уравнению (18):

g

где = 0,765 Нп; = 1,0 рад.

Пример 6. Параметры несимметричного четырехполюсника А = 1,5+j0,1, В=10-j10 Ом,

С = 0,05 См. При каком чисто активном сопротивлении нагрузки входные напряжение и ток совпадают по фазе? Найти при этом входное сопротивление .

Решeние.

Коэффициент D, согласно (4), равен:

Так как и совпадают по фазе, то входное сопротивление чисто активное , т. е. мнимая часть равна нулю, тогда, согласно уравнению (3), имеем:

Второй корень отрицательный, поэтому его отбрасываем.

Следовательно, входное сопротивление:

Уравнения четырехполюсника и гиперболических функциях.

Согласно уравнению (18), имеем . Используя условие AD-BC=1, получаем . По определению гиперболических функций:

, ,

тогда из уравнений (16)

получаем:

, .

После простых преобразований получаем:

(21)

Подставляя уравнение (21) в уравнение (3), получим:

(22)

Если четырехполюсник нагружен на характеристическое сопротивление , то, учитывая, что:

и ,

уравнения (22) приобретают вид:

(23)

Входное сопротивление четырехполюсника:

(24)

где .

В случае симметричного четырехполюсника , тогда:

,

а уравнение (22):

(25)

Входное сопротивление:

(26)

Выразим характеристическое сопротивление и постоянную передачи через входные сопротивления со стороны входных и выходных зажимов в режимах XX и КЗ. Учитывая, что:

, , , ,

получим:

Пример 7. Постоянная передачи , = 0,93Нп ,= l,03 рад. Найти sh g, ch g, th g.

Решение.

Гиперболические функции комплексного аргумента:



Пример 8. Характеристические сопротивления несимметричного четырехполюсника: Ом, Ом, коэффициенты затухания = 1 Нп, фазы = 1,571 рад. Найти ток источника и напряжение нагрузки при =10 Ом.

Напряжение =100B.

Решение.

Напряжение найдем из первого уравнения системы (22) при условии, что:

.

.

Отсюда:

Входное сопротивление, согласно уравнению (24):

Ток источника:

5. Схемы соединения четырехполюсников

При рассмотрении сложных четырехполюсников, т.е. четырехполюсников, состоящих из различным образом соединенных простых четырехполюсников, параметры которых известны, удобно пользоваться матричной формой записи уравнений четырехполюсника. Уравнения четырехполюсника, записанные через Y параметры (уравнения 1) в матричной форме, имеют вид:

(27)

Матричная форма записи уравнений через (уравнения 2):

(28)

Соответственно через А параметры (уравнения 3):

(29)

Каскадное соединение двух четырехполюсников - это такое соединение, при котором выходные зажимы первого четырехполюсника соединены с соответствующимя входными зажимами второго (рис. 6). Такое эквивалентное соединение двух простых четырехполюсников можно pacсматривать как новый более сложный четырехполюсник, параметры которого необходимо определить. Очевидно: , поэтому удобно пользоваться уравнениями типа А.

Рис. 6

Пусть коэффициенты типа А первого и второго четырехполюсников известны и соответственно равны A1, B1, C1, D1 и A2, B2, C2, D2.

Уравнения первого и второго четырехполюсников в матричной форме (29) имеют вид:

(30)

Используя равенство токов и напряжении на выходе первого и входе второго четырехполюсников подставляя вторую матрицу в первую, получим:

(31)

Таким образом, имеем уравнение двух, каскадно соединенных четырехполюсников относительно входных 1-1/ и выходных 2-2' зажимов, а матрица [А] результирующего четырехполюсника определяется как произведение двух матриц первого [А1] и второго [А2] четырехполюсников.

Еще раз напомним: произведение матриц осуществляется по следующему правилу: элемент результирующей матрицы [а], находящийся на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы [А1] на элементы j-го столбца матрицы [А2]. Умножение матриц не подчиняется переместительному закону, т., е. .

В результате имеем:

Указанное правило нахождения результирующей матрицы распространяется на случай каскодно соединенных n четырехполюсников, при этом матрицы [A1], [А2], [А3], ... , [Аn] умножаются в порядке их следования.

Пример 9. Матрицы [А1] и [А2] имеют вид:



Определить результирующую матрицу [А] каскадно соединенных четырехполюсников.

Решение:

Последовательное соединение двух четырехполюсников (рис. 7). Требуется определить параметры результирующего четырехполюсника:

Рис. 7

Воспользуемся матричным уравнением четырехполюсника в форме параметров.

Уравнение (28) для первого и второго четырехполюсника:



Учитывая уравнения:

получим в матричном виде уравнение последовательно соединенных двух четырехполюсников:

(32)

Матрица сопротивлений [] результирующего четырехполюсника получена в результате сложения матриц сопротивлений первого и второго четырехполюсника, при условии, что матрицы токов равны:

Еще раз напомним: при сложении двух матриц элемент результирующей матрицы, расположенной в i -й строке и j -м столбце равен сумме элементов, расположенных в i-й строке и j- м столбце первой и второй матриц.

Пример 10. Даны матрицы сопротивлений двух четырехполюсников типа :

Найти матрицу [] результирующего четырехполюсника, составленного из последовательно соединенных двух четырехполюсников.

Решение:

Параллельное соединение двух четырехполюсников (рис. 8)

Для определения параметров эквивалентного (относительно зажимов 1-1', 2-2') четырехполюсника удобно воспользоваться уравнениями с Y-параметрами (27),



Рис. 8

так как напряжения и . Заданы параметры каждого четырехполюсника [/ ] и [// ]. Необходимо найти матрицу [] результирующего четырехполюсника.

На основании первого закона Кирхгофа для узлов 1 и 2 имеем и .

Тогда в матричном виде:

(33)

Элементы матрицы проводимостей [] результирующего четырехполюсника определяются как суммы соответствующих элементов матриц [/] и [//]:

Каскадное соединение n-четырехполюсников

Каскадное соединение n-четырехполюсников представляет собой соединение, при котором выходные зажимы (n - 1)-го четырехполюсника соединяются с входными зажимами n-го четырехполюсника, где n-любое целое число большее двух (рис. 9).

Рис. 9

Соединение такого типа получило наибольшее распространение на практике (согласование источника и приемника энергии, линия связи, электрические фильтры и др.), и используется в режиме согласования каждого четырехполюсника и нагрузки. При этом сопротивление нагрузки равно выходному характеристическому сопротивлению n-го четырехполюсника , а входное характеристическое сопротивление n-го четырехполюсника равно выходному характеристическому сопротивлению (n-1)-го четырехполюсника .

Сопротивления , где n принимает значения 1, 2, 3, ... , называются характеристическими сопротивлениями n-го звена. Итак, имеем для каждого четырехполюсника характеристические сопротивления , , ,......., , и постоянные передачи g1, g2 , g3 , ......., gn. В соответствии с уравнением (23) имеем:

...........,

(34)

Подставляя ток и напряжение последующего звена в предыдущее, получим:

Таким образом постоянная передачи эквивалентного четырехполюсника равна сумме постоянных передач каждого четырехполюсника:

В случае соединения идентичных симметричных четырехполюсников, каждый четырехполюсник имеет одинаковое характеристическое сопротивление и постоянную передачи g при этом входное сопротивление каждого четырехполюсника и всего соединения в целом равно характеристическому , постоянная передачи:

, а .

Постоянная передачи результирующего четырехполюсника в n - раз больше постоянной передачи отдельного четырехполюсника. Уравнения каскадно соединенных и идентичных симметричных четырехполюсников согласно уравнениям (25) примут вид:

(35)

Пример 11. Три несимметричных четырехполюсника, соединенных каскадно, имеют следующие матрицы коэффициентов типа А:

Найти характеристические сопротивления и постоянную передачи, входной и выходной токи результирующего четырехполюсника при ,

Решение.

Матрица [А] результирующего четырехполюсника, согласно уравнению (31):



Характеристические сопротивления результирующего четырехполюсника вычислим по уравнениям (16):

Постоянную передачи определим по уравнению (18):

Таким образом, , .

Согласно уравнениям (3) и с учетом:

Выходной и входной токи:



Пример Три одинаковых симметричных четырехполюсника соединены каскадно.

Характеристические параметры: g = 0,5 + j, =100 Ом. Входное напряжение =100 В, ZН=Zc. Найти действующее значение и фазу напряжения каждого четырехполюсника.

Решение.

В силу симметричности четырехполюсников, входное сопротивление каждого звена и всего соединения в целом равно характеристическому, поэтому, используя уравнения (34), имеем:

Рис. 10

Графики действующих значений напряжений и их фазы приведены на рис. 10.

Размещено на Allbest.ru