Исследование влияния смещения центра масс на движение чувствительного элемента однокомпонентного осевого акселерометра

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

Исследование влияния смещения центра масс на движение чувствительного элемента однокомпонентного осевого акселерометра



Введение

Акселерометр - прибор для измерения проекции кажущегося ускороения.

Акселерометры состоят из инерционной массы (ИМ), которая с помощью упругих элементов подвеса смонтирована в корпусе. Реализация выходного сигнала и принципа измерения обеспечивается преобразователями перемещений, деформации, сил и электроникой. Конструктивный узел, включающий в себя ИМ и подвес с элементами крепления, можно определить как чувствительный элемент (ЧЭ) акселерометра.

В данной работе рассматривается ЧЭ осевого акселерометра. В устройствах такого типа конструкция упругого подвеса обеспечивает прямолинейное движение ИМ вдоль оси чувствительности. Акселерометры с одной осью чувствительности называются однокомпонентными.

Основными характеристиками акселерометров являются чувствительность, диапазон измерений, полоса пропускания частот, масштабный коэффициент, точность, быстродействие и др.



1. Постановка задачи

акселерометр ускорение проекция

Дан чуствительный элемент (ЧЭ) осевого акселерометра:

Рис. 1 Принципиальная схема осевого акселерометра

Где 1 - инерционная масса (ИМ); 2 - упругий элемент (4 шт.); 3 - опорная рамка; Am, Bm, Hm - длина, ширина, высота ИМ; Ap, Bp, Hp - длина, ширина, высота упругих элементов; C - смещенный центр масс пластины в плоскости XZ; Y - ось чувствительности.

Уравнение движения ЧЭ акселерометра со смещенным ЦМ:



Где - измеряемое ускорение; - масса пластины; - ускорение свободного падения; , , - линейные перемещение, скорость, ускорение ИМ; , , , , , - угловые перемещения, скорости, ускорения ИМ; , , - суммарные жесткости подвеса на изгиб, кручения; , , - коэффициенты демпфирования; , - моменты инерции ИМ пластины; , , , - вектора виброперемещений, виброускорений.

Найти: , где t - время.

2. Методика

Для решения системы из трех дифференциальных уравнений второго порядка сведем ее к системе из шести дифференциальных уравнений первого порядка и применим метод Рунге-Кутта.

Метод Рунге-Кутта заключается в рекурентном применении следующих формул:

Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):

Которая имеет решение:



Тогда:

Где

Подготовленная для решения методом Рунге-Кутта система (1) примет вид:



3. Решение

По вышеуказанному алгоритму была разработана программа в среде MatLab (см. Приложение 1). Для тестирования программы зададим параметры без смещения ЦМ и векторов виброперемещений. В качестве материала будем использовать кремний (?? = 2400 кг/м³ (плотность); E = 1,68E11 Па (модуль упругости); G = 6,17E10 Па (модуль сдвига).

Параметры ИМ: Am = 8,56E-3 м; Bm = 9,1E-3 м; Hm = 4E-4 м;
- масса; - главный центральный момент инерции вокруг оси X; - главный центральный момент инерции вокруг оси Z.

Параметры упругих элементов: Ap = 2E-3 м; Bp = 4E-4 м; Hp = 25E-6 м;
- момент инерции; - суммарная жесткость подвеса на изгиб; - суммарная жесткость подвеса на кручение, - жесткость одной балки подвеса на кручение; k = 0,333.

Прочие параметры: , - коэффициент демпфирования; = 1,7E-5 кг/(м*с) - коэффициент динамической вязкости; = 9,81 м/с²; = 100 м/с².

Рис. 2. График зависимости линейного перемещения ИМ от времени t=[0..1]

Проанализируем результат. Рассчитаем перемещение ИМ в установившемся режиме по формуле:

Получим y = 1,28E-5. На Рис. 2 видно как график перемещения устанавливается на том же значении.

Введем смещение ЦМ и сравним на одном рисунке графики линейного и угловых перемещений для трех видов смещения:



1)

2)

3)

; - моменты инерции ИМ по ?? и ??.

Рис. 3. Линейные перемещения для разных значений координат ЦМ t=[0..10]

Рис. 4. Угловые перемещения для разных значений координат ЦМ по ?? t=[0..10]

Рис. 5. Угловые перемещения для разных значений координат ЦМ по ?? t=[0..10]

Из приведенных графиков можно сделать вывод, что чем дальше от центра смещен ЦМ тем больше будут угловые перемещения. На линейное перемещение смещение ЦМ влияет незначительно, относительно углового.

Далее зададим измеряемое ускорение в виде волновой функции, а также добавим в систему вектора виброперемещений и виброускорений:

);

;

;

.



Рис. 6. Графики линейного и угловых перемещений вместе с измеряемым ускорением t=[0..3]

Видно как показания прибора запаздывают от измеряемого ускорения порядка 0,02 секунды. На графиках угловых перемещений наблюдается биение.



Вывод

В ходе работы было проанализировано влияние смещения центра масс на оказания однокомпонентного осевого акселерометра. При разработке устройств для реализации показаний выходного сигнала стоит учитывать этот фактор. Желательно использовать пластины без смещения ЦМ, либо вносить коррективы в снимающие показания устройства.



Список литературы

1) Распопов В.Я. Микромеханические приборы: учебное пособие. - М.: Машиностроение, 2007.-400 с.: ил.

2) Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -- М.: Бином, 2001 -- с. 363--375.



Приложение

Листинг программы

clear

clc

format short g

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Uravneniya dvijeniya CH.E. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% m*y"+Ky*y'+Gy*y+m(Lx*A"+Lz*B") = m(a-g-dYv) %

% Jb*B"+Kb*B'+Gb*B+m*Lz(y"+Lx*A") = m*Lz(g-a-dYv)+m*Zv*(g-a)+m*Lz*dZv*B %

% Ja*A"+Ka*A'+Ga*A+m*Lx(y"+Lz*B") = m*Lx(a-g-dYv)+m*Xv*(a-g)+m*Lx*dXv*A %

% setka

h = 0.000001;% shag

a = 0; % ot

b = 0.001; % do

T = a: h: b;

w = 2*pi*100;% 1/s

% parametri CH.E.

Am = 8.56.*10.^(-3); % dlina m

Bm = 9.1.*10.^(-3); % shirina m

Hm = 4.*10.^(-4); % tolshina m

Ro = 2400; % plotnost' kg/m^3

m = Am*Bm*Hm*Ro; % massa kg

Jx = (((Bm^3)*Hm)/12 + ((Hm^3)*(Bm))/12)*Am*Ro;% moment inercii vokrug 'x'

Jz = (((Am^3)*Hm)/12 + ((Hm^3)*(Am))/12)*Bm*Ro; % moment inercii vokrug 'z'

% parametri podvesov

Ap = 2.*10.^(-3); % dlina m

Bp = 4*10^(-4); % shirina m

Hp = 25.*10.^(-6); % tolshina m

Ho = 18.*10.^(-6); % zazor m

mu = 1.7.*10.^(-5);% koef-t dinamicheskoy vyazkosti kg/(m*s)

E = 1.68.*10.^11; % modul' uprugosti kremniya Pa

G = 6.17.*10.^10; % modul' sdviga kremniya Pa

J = (Bp.*(Hp.^3))./12;% moment inercii podvesa

k = 0.333; % koef-t zavisit ot Bp/Hp

% konstanty

a = sin(w*T/10)*100+100; % izmeryaemoe uskorenie m/s^2

g = 9.81; % uskorenie sily tyajesti m/s^2

Lx = 0*Am/12;% smechenie C.M. po 'x' m

Lz = 0*Am/12;% smechenie C.M. po 'z' m

Ky = (2*mu*Am.^3*Bm.^3)/(Ho.^3*(Am.^2+Bm.^2));% koef-t dempfirovaniya vdol 'y' N*s/m

Kb = (mu*Am.^5*Bm.^3)/(2*Ho.^3*(Am.^2+Bm.^2));% koef-t dempfirovaniya 'Betta' N*s/m

Ka = (mu*Am.^3*Bm.^5)/(2*Ho.^3*(Am.^2+Bm.^2));% koef-t dempfirovaniya 'Alfa' N*s/m

Gy = (48*E*J)/Ap^3; % summarnaya jestkost podvesa na izgib N/m

Gkr = (G*k*Bp*Hp.^3)/Ap;% jostkost' odnoy balki podvesa na kruchenie

Gb = ((8*E*J)/Ap + 2*Gkr);% summarnaya jestkost podvesa na krichenie N*m

Ga = Gb; % summarnaya jestkost podvesa na krichenie N*m



Jb = Jx+m*Lz*Lz;% moment inercii I.M. po 'Betta'

Ja = Jz+m*Lx*Lx;% moment inercii I.M. po 'Alfa'

% vektora vibroperemesheniy

Yv0 = 1*10^(-4);

Xv0 = Yv0;

Zv0 = Yv0;

Yv = Yv0*sin(w*T);

Xv = Xv0*sin(w*T);

Zv = Zv0*sin(w*T);

% vektora vibrouskoreniy

dYv = -Yv0*w*w*sin(w*T);

dXv = -Xv0*w*w*sin(w*T);

dZv = -Zv0*w*w*sin(w*T);

disp('Massa(Kg) =')

disp(m)

% решение системы

[Y,B,A] = RESH(T,h,m,a,g,Ky,Gy,Kb,Gb,Jb,Ka,Ga,Ja,Lz,Lx,dYv,dXv,dZv,Xv,Zv);

subplot(3,1,1);

plotyy(T,Y,T,a)

grid on

subplot(3,1,2);

plotyy(T,B,T,a)

grid on

subplot(3,1,3);

plotyy(T,A,T,a)

grid on

function [Y,B,A] = RESH(T,h,m,a,g,Ky,Gy,Kb,Gb,Jb,Ka,Ga,Ja,Lz,Lx,dYv,dXv,dZv,Xv,Zv)

% metod Runge-Kutta

Psi1 = @(T,Y,dY,B,dB,A,dA,a,dYv,dXv,dZv,Xv,Zv) -(Jb*Lx^2*a*m^2 - Ja*Lz^2*a*m^2 - Jb*Lx^2*dYv*m^2 - Ja*Lz^2*dYv*m^2 - Jb*Lx^2*g*m^2 + Ja*Lz^2*g*m^2 + Gy*Ja*Jb*Y + Ja*Jb*Ky*dY - Ja*Jb*a*m + Ja*Jb*dYv*m + Ja*Jb*g*m + Lx^2*Lz^2*a*m^3 + Lx^2*Lz^2*dYv*m^3 - Lx^2*Lz^2*g*m^3 - Jb*Ka*Lx*dA*m - Ja*Kb*Lz*dB*m - Gy*Lx^2*Lz^2*Y*m^2 - A*Lx^2*Lz^2*dXv*m^3 - B*Lx^2*Lz^2*dZv*m^3 - Ky*Lx^2*Lz^2*dY*m^2 + Jb*Lx*Xv*a*m^2 - Ja*Lz*Zv*a*m^2 - Jb*Lx*Xv*g*m^2 + Ja*Lz*Zv*g*m^2 + A*Ga*Lx*Lz^2*m^2 + B*Gb*Lx^2*Lz*m^2 + A*Jb*Lx^2*dXv*m^2 + B*Ja*Lz^2*dZv*m^2 + Ka*Lx*Lz^2*dA*m^2 + Kb*Lx^2*Lz*dB*m^2 - Lx*Lz^2*Xv*a*m^3 + Lx^2*Lz*Zv*a*m^3 + Lx*Lz^2*Xv*g*m^3 - Lx^2*Lz*Zv*g*m^3 - A*Ga*Jb*Lx*m - B*Gb*Ja*Lz*m)/(m*(- m*Lx^2 + Ja)*(- m*Lz^2 + Jb));

Phi1 = @(T,Y,dY,B,dB,A,dA,a,dYv,dXv,dZv,Xv,Zv) dY;

Y = zeros(size(T));

dY = zeros(size(T));

Psi2 = @(T,Y,dY,B,dB,A,dA,a,dYv,dXv,dZv,Xv,Zv) (Gy*Lz*Y - B*Gb - Kb*dB + Ky*Lz*dY - 2*Lz*a*m + 2*Lz*g*m - Zv*a*m + Zv*g*m + B*Lz*dZv*m)/(- m*Lz^2 + Jb);

Phi2 = @(T,Y,dY,B,dB,A,dA,a,dYv,dXv,dZv,Xv,Zv) dB;

B = zeros(size(T));

dB = zeros(size(T));



Psi3 = @(T,Y,dY,B,dB,A,dA,a,dYv,dXv,dZv,Xv,Zv) (Gy*Lx*Y - A*Ga - Ka*dA + Ky*Lx*dY + Xv*a*m - Xv*g*m + A*Lx*dXv*m)/(- m*Lx^2 + Ja);

Phi3 = @(T,Y,dY,B,dB,A,dA,a,dYv,dXv,dZv,Xv,Zv) dA;

A = zeros(size(T));

dA = zeros(size(T));

% N.U.

Y(1) = 0;

dY(1) = 0;

B(1) = 0;

dB(1) = 0;

A(1) = 0;

dA(1) = 0;

for i = 1: length(T)-1

k1Y = Phi1(T(i),Y(i),dY(i),B(i),dB(i),A(i),dA(i),a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

l1Y = Psi1(T(i),Y(i),dY(i),B(i),dB(i),A(i),dA(i),a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

k1B = Phi2(T(i),Y(i),dY(i),B(i),dB(i),A(i),dA(i),a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

l1B = Psi2(T(i),Y(i),dY(i),B(i),dB(i),A(i),dA(i),a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

k1A = Phi3(T(i),Y(i),dY(i),B(i),dB(i),A(i),dA(i),a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

l1A = Psi3(T(i),Y(i),dY(i),B(i),dB(i),A(i),dA(i),a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));



k2Y = Phi1(T(i)+h/2, Y(i)+h*k1Y/2, dY(i)+h*l1Y/2, B(i)+h*k1B/2, dB(i)+h*l1B/2,A(i)+h*k1A/2, dA(i)+h*l1A/2,a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

l2Y = Psi1(T(i)+h/2, Y(i)+h*k1Y/2, dY(i)+h*l1Y/2, B(i)+h*k1B/2, dB(i)+h*l1B/2,A(i)+h*k1A/2, dA(i)+h*l1A/2,a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

k2B = Phi2(T(i)+h/2, Y(i)+h*k1Y/2, dY(i)+h*l1Y/2, B(i)+h*k1B/2, dB(i)+h*l1B/2,A(i)+h*k1A/2, dA(i)+h*l1A/2,a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

l2B = Psi2(T(i)+h/2, Y(i)+h*k1Y/2, dY(i)+h*l1Y/2, B(i)+h*k1B/2, dB(i)+h*l1B/2,A(i)+h*k1A/2, dA(i)+h*l1A/2,a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

k2A = Phi3(T(i)+h/2, Y(i)+h*k1Y/2, dY(i)+h*l1Y/2, B(i)+h*k1B/2, dB(i)+h*l1B/2,A(i)+h*k1A/2, dA(i)+h*l1A/2,a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

l2A = Psi3(T(i)+h/2, Y(i)+h*k1Y/2, dY(i)+h*l1Y/2, B(i)+h*k1B/2, dB(i)+h*l1B/2,A(i)+h*k1A/2, dA(i)+h*l1A/2,a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

k3Y = Phi1(T(i)+h/2, Y(i)+h*k2Y/2, dY(i)+h*l2Y/2, B(i)+h*k2B/2, dB(i)+h*l2B/2, A(i)+h*k2A/2, dA(i)+h*l2A/2,a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

l3Y = Psi1(T(i)+h/2, Y(i)+h*k2Y/2, dY(i)+h*l2Y/2, B(i)+h*k2B/2, dB(i)+h*l2B/2, A(i)+h*k2A/2, dA(i)+h*l2A/2,a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

k3B = Phi2(T(i)+h/2, Y(i)+h*k2Y/2, dY(i)+h*l2Y/2, B(i)+h*k2B/2, dB(i)+h*l2B/2, A(i)+h*k2A/2, dA(i)+h*l2A/2,a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

l3B = Psi2(T(i)+h/2, Y(i)+h*k2Y/2, dY(i)+h*l2Y/2, B(i)+h*k2B/2, dB(i)+h*l2B/2, A(i)+h*k2A/2, dA(i)+h*l2A/2,a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

k3A = Phi3(T(i)+h/2, Y(i)+h*k2Y/2, dY(i)+h*l2Y/2, B(i)+h*k2B/2, dB(i)+h*l2B/2, A(i)+h*k2A/2, dA(i)+h*l2A/2,a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

l3A = Psi3(T(i)+h/2, Y(i)+h*k2Y/2, dY(i)+h*l2Y/2, B(i)+h*k2B/2, dB(i)+h*l2B/2, A(i)+h*k2A/2, dA(i)+h*l2A/2,a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

k4Y = Phi1(T(i)+h, Y(i)+h*k3Y, dY(i)+h*l3Y, B(i)+h*k3B, dB(i)+h*l3B, A(i)+h*k3A, dA(i)+h*l3A,a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

l4Y = Psi1(T(i)+h, Y(i)+h*k3Y, dY(i)+h*l3Y, B(i)+h*k3B, dB(i)+h*l3B, A(i)+h*k3A, dA(i)+h*l3A,a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

k4B = Phi2(T(i)+h, Y(i)+h*k3Y, dY(i)+h*l3Y, B(i)+h*k3B, dB(i)+h*l3B, A(i)+h*k3A, dA(i)+h*l3A,a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

l4B = Psi2(T(i)+h, Y(i)+h*k3Y, dY(i)+h*l3Y, B(i)+h*k3B, dB(i)+h*l3B, A(i)+h*k3A, dA(i)+h*l3A,a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

k4A = Phi3(T(i)+h, Y(i)+h*k3Y, dY(i)+h*l3Y, B(i)+h*k3B, dB(i)+h*l3B, A(i)+h*k3A, dA(i)+h*l3A,a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

l4A = Psi3(T(i)+h, Y(i)+h*k3Y, dY(i)+h*l3Y, B(i)+h*k3B, dB(i)+h*l3B, A(i)+h*k3A, dA(i)+h*l3A,a(i),dYv(i),dXv(i),dZv(i),Xv(i),Zv(i));

Y(i+1) = Y(i)+h*(k1Y+2 * k2Y+2 * k3Y+k4Y) / 6;

dY(i+1) = dY(i)+h*(l1Y+2 * l2Y+2 * l3Y+l4Y) / 6;

B(i+1) = B(i)+h*(k1B+2 * k2B+2 * k3B+k4B) / 6;

dB(i+1) = dB(i)+h*(l1B+2 * l2B+2 * l3B+l4B) / 6;

A(i+1) = A(i)+h*(k1A+2 * k2A+2 * k3A+k4A) / 6;

dA(i+1) = dA(i)+h*(l1A+2 * l2A+2 * l3A+l4A) / 6;

end

end

Размещено на Allbest.ru