Переходные процессы в линейных электрических цепях

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Исходные данные

I. Определить выражения для токов i1(t) и i2(t) классическим методом.

цепь коммутация ток

Замыкается ключ 1. Первый переходный процесс ( 0 < t < t1):

Анализ цепи до коммутации.

До коммутации ключи разомкнуты, значит:

i1(0-)= iL(0-)= 0A

Определяем независимые начальные условия, используя законы коммутации.

iL(0+)= iL(0-)= 0A

Составляем дифференциальное уравнение, описывающее цепь после коммутации.

Находим принужденную составляющую тока.

Для этого анализируем цепь в установившемся режиме после коммутации:

Определяем свободную составляющую тока.

Запишем однородное дифференциальное уравнение:

Составим характеристическое уравнение:

Решим характеристическое уравнение:

Свободная составляющая тока:

Записываем полное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Определяем постоянные интегрирования.

Записываем окончательное решение задачи.

Замыкается ключ 2. Второй переходный процесс (t1 < t <?):

Время t1 принять равным постоянной времени первого переходного процесса ф:

t1= ф==5,69мс

Анализ цепи до коммутации.

Примем момент времени t=t1 за ноль для второй коммутации. Таким образом, получаем:

Определяем независимые начальные условия, используя законы коммутации.

Составляем систему дифференциальных уравнений, описывающих цепь после коммутации.

По законам Кирхгоффа для первого узла и первого и второго контуров.

Принужденные составляющие токов не влияют на вид переходного процесса, значит, мы можем записать эту систему для свободных составляющих токов, перейдя к однородным дифференциальным уравнениям:

Находим принужденную составляющую тока.

Для этого анализируем цепь в установившемся режиме после коммутации:

Определяем свободную составляющую тока.

Запишем систему однородных дифференциальных уравнений:

Перейдем к алгебраической системе уравнений для свободных составляющих токов:

Определитель матрицы системы линейных уравнений:

Так как столбец свободных членов нулевой, очевидно, что определители равны нулю. А так как токи очевидно не равны нулю, примем .

Получаем:

Свободная составляющая тока:

Записываем полное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Определяем постоянные интегрирования.

В момент времени 0+ имеет место следующее:

Запишем уравнение по второму закону Кирхгоффа для второго контура:

По первому закону Кирхгоффа для первого узла:

Итого получаем:

При этом:

По второму закону Кирхгоффа для первого контура в момент времени t=0+:

Определяем постоянные интегрирования. Рассмотрим выражения для токов и их производных:

В момент времени t=0+:

Подставляем численные значения:

Решая полученные системы, получим:

Записываем окончательное решение задачи.

или по первоначальной шкале времени:

II. Определить выражение для тока i2(t) операторным методом.

Замыкается ключ 2. Второй переходный процесс (t1 < t <?):

Время t1 принять равным постоянной времени первого переходного процесса ф:

t1= ф==5,69мс

Анализ цепи до коммутации.

Примем момент времени t=t1 за ноль для второй коммутации. Таким образом, получаем:

Определяем независимые начальные условия, используя законы коммутации.

Составляем операторную эквивалентную схему:

Находим операторное выражение для тока i2(t):

Составим систему уравнений для токов IL, I1, I2 по законам Кирхгоффа для первого узла и первого и второго контуров:

Подставим числовые значения:

Найдем корни знаменателя M(p)=0:

Найдем :

Найдем i2(t):

Окончательный ответ:

III. Определить период свободных колебаний T и логарифмический декремент колебаний и.

IV. Построить график i1(t) для обоих переходных процессов.

Размещено на Allbest.ru