Структурные схемы систем автоматического управления и их преобразования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Структурные схемы САУ и их преобразования

Структурной схемой в ТАУ называется графическое изображение математической модели САУ в виде соединений звеньев.

Звено в структурной схеме условно изображается в виде прямоугольника с указанием входной и выходной величин, а также передаточной функции внутри него.

Иногда вместо передаточной функции указывают уравнение, описывающее звено.

Элементы

Размещено на http://www.allbest.ru/

1) Элемент суммирования (сумматор)

2) Устройство сравнения (сравнивающее устройство)

В сравнивающем звене сектор, на который подается “вычитаемое”, затемняют.

Структурную схему широко используют на практике при исследовании и проектировании САР, т.к. она даёт наглядное представление о связях между звеньями, о прохождении и преобразовании сигналов в системе.

Звено на структурной схеме не обязательно изображает модель какого-либо отдельного элемента. Оно может быть моделью элемента , соединения элементов или вообще любой части системы.

Основные правила преобразования структурных схем

1. Последовательное соединение звеньев.

При последовательном соединении выходная величина каждого предшествующего звена является входным воздействием последующего звена (рис.).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок

При преобразовании структурных схем цепочку из последовательно соединенных звеньев можно заменить одним звеном с общей передаточной функцией W.

Общая передаточная функция последовательно соединенных звеньев направленного действия равна произведению передаточных функций этих звеньев.

Запишем уравнение звеньев

, ,,.

Исключив из этой системы переменные получим .

Откуда

2. Параллельное соединение звеньев

автоматический управление линейный преобразование

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок

При параллельном соединении на вход всех звеньев подаётся один и тот же сигнал, а выходные величине складываются.

Цепь из параллельно соединенных звеньев можно заменить одним звеном (рис 3.2).

Для каждого звена схемы можно записать

…

.

Сложив эти равенства, получим

Из этого выражения определим общую передаточную функцию

Отсюда следует правило:

Общая передаточная функция параллельно соединенных звеньев направленного действия равна сумме передаточных функций этих звеньев.

3.Звено, охваченное обратной связью (рис 3.3)

Размещено на http://www.allbest.ru/

а) б) в)

Рисунок

Принято считать, что звено охвачено обратной связью, если его выходной сигнал через какое-либо другое звено подается на вход. При этом если сигнал обратной связи вычитается из входного воздействия , то обратную связь называют отрицательной. Если сигнал обратной связи складывается с входным воздействием , то обратную связь называют положительной.

Разомкнем обратную связь перед сравнивающим звеном (рис 3.3а).Тогда получим цепь из двух последовательно соединенных звеньев. Поэтому передаточная функция разомкнутой цепи равна произведению передаточной функции прямой цепи и передаточной функции обратной связи

Передаточная функция замкнутой цепи с отрицательной обратной связью равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс передаточная функция разомкнутой цепи



Для вывода этой формулы выпишем уравнения для каждого звена

;;

Последнее уравнение- уравнение сравнительного звена - называют уравнением замыкания.

Исключив переменные и из системы (3.1), получим уравнение

или

Отсюда

Если обратная связь положительна, то аналогично получим

Если передаточная функция , то обратная связь называется единичной. Передаточная функция при этом примет вид:

- при отрицательной обратной связи;

- при положительной обратной связи.

Вычисление передаточной функции системы.

Замкнутую систему (структурную схему) называют одноконтурной, если при ее размыкании в какой-либо точке получается цепочка из последовательно соединенных звеньев или цепь, не содержащая параллельных и обратных связей.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок

Найдем передаточную функцию по каналу х>у

Схема (рис.) эквивалентна схеме (рис.).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок

Где

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок



Для вычисления передаточной функции многоконтурной системы необходимо, прежде всего, преобразовать ее в одноконтурную систему, используя правила преобразования структурных схем, и затем, как показано выше, вычислить общую передаточную функцию замкнутой системы.

Условия устойчивости линейных систем

Устойчивость - это свойство системы возвращаться к исходному установившемуся режиму или близкому к нему после всякого выхода из него в результате какого-нибудь воздействия.

Для того, чтобы САУ выполняла свое назначение она прежде всего должна быть устойчивой. Поэтому анализ устойчивости является одной из основных задач ТАУ. Найдем условия устойчивости линейных САУ. Дифференциальное уравнение, описывающее поведение САУ, имеет следующий вид:

где и - постоянные коэффициенты.

Изменение регулируемой величины при произвольном внешнем воздействии представляет собой решение уравнения (3.2):

Здесь - вынужденная составляющая переходного процесса. Она определяется как частное решение неоднородного дифференциального уравнения (3.2). Имеет характер правой части уравнения (3.2).

- свободная или переходная составляющая, которая определяется общим решением однородного дифференциального уравнения (3.2) без правой части:

Обычно в ТАУ интересуется устойчивостью вынужденной составляющей переходного процесса. Поэтому она принимается за невозмущенное движение системы. Тогда возмущенным движением будет любое возможное в системе изменение регулируемой величины , а отклонением или вариацией - свободная составляющая:

Начальные значения , которые возникли в момент времени под действием внезапно подействовавших дополнительных внешних сил, называются возмущениями. Теперь согласно А.М.Ляпунову можно сформулировать следующее. Невозмущенное движение называется устойчивым, если любое возмущенное движение при достаточно малых начальных возмущениях стремиться к невозмущенному движению, т.е. при .

Решение уравнения (3.4) можно записать так:

где - вектор - постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий; - вектор корней характеристического уравнения:

Как видно из уравнения (3.6) характер, изменяя, зависит от вида корней характеристического уравнения (3.7).

І. Все корни характеристического уравнения вещественные. Тогда уравнение (3.6) запишется:

1) Очевидно, что если все корни отрицательные, то каждая составляющая при т.е. при . В этом случае система устойчива (кривая 1).

2) Если хотя бы один корень - положительный, то система неустойчива (кривая 2).

3) Характеристическое уравнение имеет один нулевой корень, а остальные корни вещественные и отрицательные. Система находится на границе устойчивости (кривая 3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок

II. Характеристическое уравнение имеет пару сопряженных комплексных корней, а остальные- вещественные и отрицательные



Корни (3.9) дают в решении уравнения (3.4) колебательную составляющую

1. Если вещественная часть комплексно - сопряженных корней будет отрицательна, то очевидно, что в переходной составляющей будет иметь место колебания с затухающей амплитудой при (рис 3.8) (система устойчива).

2. Если то имеют место расходящиеся колебания(система неустойчива).

3. Если то - незатухающие колебания (система находится на границе устойчивости).

Размещено на http://www.allbest.ru/

а) б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

в)

Рисунок

Из приведенного анализа можно сделать вывод:

САУ будет устойчива, если все корни характеристического уравнения (3.7) будут иметь отрицательную вещественную часть.

Этот вывод справедлив только для линейных систем. В действительности же большинство систем нелинейно, поэтому необходимо знать, насколько заключение об устойчивости системы, сделанное по линеаризованным уравнениям будет справедливо для реальных систем.

На этот вопрос дал ответ А.М.Ляпунов (1892).

Теорема 1. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то действительная система будет устойчива. При этом никакие отброшенные при линеаризации члены второй и выше порядков малости не могут изменить устойчивости системы.

Теорема 2. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то действительная система будет неустойчива. При этом никакие отброшенные при линеаризации члены второй и выше порядков малости не могут придать системе устойчивость.

Вычисления корней просто лишь для характеристических уравнений первой и второй степени. Общие выражения для корней третьей и выше степеней очень громоздки и практически малопригодны. Поэтому важное значение приобретают правила, которые позволяют определять устойчивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости. Они разделяются на алгебраические и частотные.

Критерий устойчивости Гурвица (1895г)

Он относится к алгебраическим критериям и позволяет судить об устойчивости САУ по коэффициентам характеристического уравнения.

Покажем, что необходимым и достаточным условием устойчивости систем I и II порядка является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения

1)

Здесь . Если оба коэффициента то единственный кореньотрицательный, а система устойчива.

2)

здесь

Необходимым и достаточным условием устойчивости является

3) Для систем 3-го порядка с характеристическим уравнением

Необходимые и достаточные условия устойчивости имеют вид:

а)

б)

4) Для систем 4-го порядка с характеристическим уравнением

Необходимые и достаточные условия устойчивости имеют вид:

а) ;

б) ;

в)

Критерий Гурвица позволяет получать условия устойчивости для систем любого порядка и формулируется следующим образом:

Для того чтобы корни характеристического уравнения линейной системы имели отрицательные вещественные части, а система была устойчивой, необходимо и достаточно при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения, чтобы все диагональные миноры определителя Гурвица были положительны.

Определитель Гурвица строится следующим образом: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от до в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз - коэффициентами с последовательно убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше n (n- степень характеристического уравнения) и меньше нуля проставляют нули.

Отчеркивая в главном определителе Гурвица, как показано пунктиром, диагональные миноры, получаем определители Гурвица низшего порядка:

…;



Номер определителя определяется номером коэффициента по диагонали, для которого составляют данный определитель.

Пример.

.

.

Следовательно, система устойчива.

При процесс раскрытия определителей становиться довольно трудоемким и громоздким. Поэтому критерий устойчивости Гурвица обычно применяют при . При целесообразно применять формулируемый ниже критерий устойчивости Льенара-Шипара, либо при использовании критерия устойчивости Гурвица переходить к численным методам с использованием ЭВМ.

Критерий устойчивости Льенара-Шипара (1914г) (модификация критерия Гурвица)

Доказано, что в том случае, когда все коэффициенты характеристического уравнения положительны из того факта, что положительны все определители с нечетными индексами, следует и положительность определителей с четными индексами, и наоборот.

Таким образом, для того чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства:



или

Последняя формулировка называется критерием устойчивости Льенара-Шипара, который требует раскрытия меньшего числа определителей, чем обычный критерий Гурвица.



Контрольные вопросы

1 Что называется структурной схемой САУ?

2 Какие Вы знаете основные правила преобразования структурных схем?

3 Дайте определение устойчивости системы.

4 Условия устойчивости линейных автоматических систем.

5 Чем вызвана необходимость использования косвенных правил или признаков, получивших название критериев устойчивости исследовании работоспособности САУ?

6 Какой недостаток имеет критерий устойчивости Гурвица?

Размещено на Allbest.ur