Расчет устойчивости автоматической системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Задание на выполнение курсовой работы

1. Оценка точности в установившемся режиме

2. Проверка устойчивости исходной системы

3. Логарифмический критерий устойчивости

3.1 Расчет встречно-параллельного корректирующего устройства

4. Построение области устойчивости скорректированной системы

5. Вычисление и минимизация квадратичной интегральной оценки

Список литературы



Задание на выполнение курсовой работы

Задание № 804

Для автоматической системы, выполнить следующие расчеты:

1. При заданных параметрах линейной системы:

оценить точность в установившемся режиме по каналу при типовом воздействии

При неудовлетворительной точности выбрать значение передаточного коэффициента обеспечивающее требуемое значение сигнала ошибки

2. С помощью критерия Найквиста проверить устойчивость линейной системы при заданных и выбранных параметрах.

3. По требуемым показателям качества в переходном режиме определить структуру и параметры корректирующего устройства.

4. Методом D - разбиения построить область устойчивости по параметрам (критерий устойчивости - Найквиста; область устойчивости ) для скорректированной системы.

5. Для замкнутой скорректированной системы вычислить квадратичную интегральную оценку по каналу и определить оптимальное значение коэффициента

Дата выдачи задания: 18.09.2016 г. Подпись руководителя



1. Оценка точности в установившемся режиме

Оценим точность астатического варианта системы (системы с интегрирующим исполнительным устройством) в установившемся режиме по каналу «» при линейном воздействии

(1)

для алгоритмической схемы. Перепишем формулу (1) с учетом дополнительного элемента введенного в контур системы,

Подставим в формулу (2) передаточные функции элементов системы:

Запишем теорему Лапласа о конечном значении оригинала для сигнала ошибки с учетом формулы (3) и изображения линейного воздействия

После упрощения выражения (4) и взятия предела получим

(5)

Исходя из решения и условия точности системы в установившемся режиме по рассматриваемому каналу воздействия ( видно, что передаточный коэффициент обеспечивает требуемую точность.



2. Проверка устойчивости исходной системы

Критерий устойчивости Найквиста

Исходным выражением для определения устойчивости является передаточная функция разомкнутого контура системы Запишем передаточную функцию для астатического варианта системы.

Сделаем в формуле (6) подстановку

где

передаточный коэффициент разомкнутого контура системы.

Представим в соответствии с формулой (4) через амплитудно-частотную фазо-частотную

(8)

Подставим в формулы (7) и (8) численные значения передаточных коэффициентов и постоянных времени

Вывод: Система управления неустойчива, т.к. АФХ разомкнутого контура охватывает точку c координатами (-1;j0). Cтр.273 [1].



3. Логарифмический критерий устойчивости

Построим приближенную ЛАЧХ для астатического варианта системы.

Передаточная функция этой системы

где

передаточный коэффициент разомкнутого контура.

Произведем необходимые вспомогательные операции для построения ЛАЧХ, для чего найдем значение 20 значения сопрягающих частот и их логарифмов в порядке возрастания.

20

Запишем формулу для построения ФЧХ системы

и составим таблицу изменения при вариации частоты от нуля до

Таблица 1

	0,1	0,5	1	2
	-114	-186	-226	-255

Приближенная ЛАЧХ и ФЧХ представлены в табл. 1. На основании в табл. 1. делаем вывод, что и Поэтому в соответствии с формулировкой логарифмического критерия устойчивости (стр. 280 [1]) рассматриваемая система неустойчива.

3.1 Расчет встречно-параллельного корректирующего устройства

Рассчитаем встречно-параллельное корректирующее устройство для астатического варианта системы.

Запишем передаточную функцию звеньев не охваченных внутренней корректирующей обратной связью,

Произведем вспомогательные вычисления, необходимые для построения ЛАЧХ звеньев, не охваченных внутренней обратной связью,

20

ЛАЧХ звеньев, не охваченных внутренней обратной связью.

Построим ЛАЧХ скорректированной системы по заданным показателям качества замкнутой системы в переходном режиме (, предварительно рассчитав параметры среднечастотного участка ЛАЧХ желаемой системы.

ЛАЧХ скорректированной желаемой схемы . Cредне-частотный участок ЛАЧХ желаемой системы не дошел до ЛАЧХ исходной системы и поэтому прямую с наклоном продлили от частоты

Вычтем из ЛАЧХ звеньев, не охваченных внутренней обратной связью, ЛАЧХ скорректированной системы и получим ЛАЧХ звена обратной связи

По виду ЛАЧХ звена обратной связи выбираем его принципиальную схему. Так как ЛАЧХ, корректирующего устройства с увеличением частоты имеет тенденцию к уменьшению амплитуды до частоты , то для его технической реализации выбираем две последовательно включенные пассивные интегро-дифференцирующие RC-цепи с преобладанием интегрирования, разделенные усилителем.

Примечание: Усилитель в данной схеме выполняет роль разделения цепей.

Запишем передаточную функцию звена внутренней обратной связи

где

Для расчетов параметров элементов корректирующего устройства зададим численные значения следующим параметрам: для второй цепи Рассчитаем остальные параметры по формулам:

- для первой цепи

- для второй цепи

Запишем передаточную функцию разомкнутой скорректированной системы

устойчивость система астатический точность

Вычислим фазовый сдвиг скорректированной системы на частоте среза

Вычислим запас по фазе замкнутой скорректированной системы по формуле

Для определения запаса устойчивости замкнутой системы по амплитуде следует сначала найти частоту при которой фазовый сдвиг системы будет равен

Частоту находим подбором, учитывая, что Найденное таким образом численное значение частоты

Отложив вычисленное значение частоты на графике ЛАЧХ скорректированной системы найдем запас устойчивости замкнутой скорректированной системы по амплитуде



4. Построение области устойчивости скорректированной системы

Построение области устойчивости в плоскости одного параметра

Исходным выражением для построения является характеристическое уравнение замкнутого контура скорректированной системы.

Построим область устойчивости в плоскости параметра для астатического варианта системы. Запишем характеристическое уравнение для передаточной функции скорректированной системы.

Преобразуем выражение и сгруппируем подобные члены

Решим уравнение относительно и подставим в него численные значения постоянных времени.

Произведем в уравнении подстановку

и выделим действительную и мнимую характеристического уравнения, умножив для этого числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю

Так как по заданию область устойчивости надо построить в плоскости параметра а для рассматриваемого примера равно

Вычислим и при изменении частоты от нуля до и результат сведем в таблицу 2.

Таблица 2. Граница области устойчивости системы в плоскости параметра

0	0	0
0,5	0,0225	-0,49
1	0,09	-0,98
2	0,36	-1,86
3	0,81	-2,54
4	1,44	-2,9
5	2,25	-2,87
6	3,24	-2,33
7	4,41	-1,17
7,5	5,06	-0,33
7,6	5,19	-0,14
7,7	5,34	0,06
8	5,76	0,7

Так как действительная составляющая всегда четная функция частоты, а мнимая составляющая - нечетная функция, то кривая разбиения всегда симметрична относительно действительной оси

Поэтому при построении кривой находим лишь одну ветвь, соответствующую положительным значениям , а вторую ветвь наносим как зеркальное отражение первой. Штриховку кривой наносят слева при движении вдоль кривой от

Определяем допустимый диапазон изменения параметра

Заданное численное значение принадлежит области устойчивости.



5. Вычисление и минимизация интегральной оценки при типовом воздействии

Исходным выражением для вычисления квадратичной интегральной оценки является передаточная функция замкнутой скорректированной системы по каналу при единичном ступенчатом воздействии (т.е. принимаем задающее воздействие

а следовательно

Запишем эту передаточную функцию.

Раскроем скобки и приведем передаточную функцию к стандартному виду.

Подставим в формулу численные значения.

Запишем выражение для изображения переходной составляющей сигнала ошибки.

Так как передаточный коэффициент разомкнутого контура допускается упростить выражение переходной составляющей с учетом следующих условий:

Преобразуем выражение переходной составляющей сигнала ошибки, используя вышеприведенные условия

Для вычисления квадратичной оценки по изображению используют равенство Парсеваля, которое имеет вид

где

Таким образом, коэффициенты равны:

Составим определитель по правилу составления определителя Гурвица

Определитель составляем из определителя путем замены коэффициентов верхней строки на коэффициенты

Вычисляем квадратичную интегральную оценку

Задаваясь численными значениями составляем таблицу зависимости квадратичной интегральной оценки от коэффициента



Таблица 3. Зависимость квадратичной интегральной оценки от коэффициента

0,1	4,84
0,15	3,43
0,2	2,59
0,25	2,09
0,26	2,01
0,27	1,94
0,275	1,91
0,28	1,88
0,281	1,87
0,282	1,86
0,283	1,86
0,284	1,85
0,285	1,85
0,286	1,84
0,287	1,83
0,288	1,83
0,289	1,82
0,29	1,82
0,291	1,81
0,2915	4,24
0,292	4,24

Оптимальным значением является

При данном значении коэффициента разомкнутого контура система будет работать в оптимальном режиме, обеспечивая минимальную площадь под графиком переходного процесса.

Теперь перейдем от коэффициента к передаточному коэффициенту Для этого воспользуемся следующей формулой

Вывод: С помощью квадратичной интегральной оценки получили оптимальное значение передаточного коэффициента управляющего устройства Следовательно, при выборе этого коэффициента точность системы в установившемся режиме увеличится, но могут получиться более высокие по амплитуде колебательные переходные процессы.



Список литературы

1. Лукас В. А. Теория автоматического управления: учебное пособие / В. А. Лукас 4-е издание, исправленное. Екатеринбург: Изд-во УГГУ, 2005. 677 с.

2. Барановский В.П. Теория автоматического управления: учебно-методическое пособие по выполнению курсовой работы / В. П. Барановский; УГГУ. 2 - е изд., исправленное. Екатеринбург: Изд-во УГГУ, 2016. 80 с.

Размещено на Allbest.ru