Определим вероятность приема блока из "к" символов ПСП хотя бы с одной ошибкой Р_ош (к) в дискретном двоичном симметричном канале без памяти. Учитывая независимость ошибок в канале, запишем:

P_ош (к) =1- (1-Р_ош (1)) ^k, (2)

где: Р_ош (1) - вероятность ошибочного приема одного символа.

Ошибка в процессе синхронизации произойдет в том случае, если количество неправильных проверок в результате накопления превысит количество правильных или количество неправильных проверок будет больше половины всех проверок. Тогда, обозначив все проверки через J и сгруппировав их по размерностям , запишем:

, (3)

где: J_{н. пр. i} - неправильная проверка; J_{пр. i} - правильная проверка; - число проверок размерности i в одном периоде ПСП [1, с.38; 2, с.56].

Так как в отличие от известных методов, практически невозможно получить точную аналитическую оценку числа проверок на длине обрабатываемого сегмента ПСП, воспользуемся приближенной формулой [1, с.39; 2, с.60]:

(4)

где: N - длина сегмента ПСП, k - длина линейного рекуррентного регистра.

Вероятность ошибки в проверке размерности i можно рассчитать по следующей формуле [7, с.97]:

(5)

где: P - вероятность ошибки в канале.

Из (4) и (5) видно, что проверки разной размерности в процессе декодирования дадут разное количество ошибок. Тогда, предположив, что отдельные проверки независимы, можно составить L различных комбинаций количества ошибочных проверок из m размерностей , удовлетворяющих условию ошибочного декодирования:

(6)

Результаты исследования с помощью имитационной модели [3] показали, что вероятность возникновения нескольких ошибок в проверках разной размерности на коротких сегментах ПСП с незначительной погрешностью можно аппроксимировать Пуассоновским законом распределения. Тогда, получим выражение для плотности вероятности числа ошибок в проверках размерности i с использованием распределения Пуассона:

(7)

где: - математическое ожидание числа ошибочных проверок размерности i, равное .

С учетом (7) и условия независимости отдельных проверок вероятность ошибочного декодирования одного символа ПСП l-й комбинации можно рассчитать по следующей формуле:

(8)

С учетом того, что различные вероятности комбинаций ошибок представляют собой несовместные события, полную вероятность неприема одного символа ПСП рассчитаем по формуле:

(9)

Схема приема ПСП работает по мажоритарному алгоритму, поэтому предположив, что вероятность ошибки на каждой поднесущей одинакова, для расчета по формуле (5) вместо P будем подставлять выражение для средней вероятности ошибки в канале P_cp [8, с.361]:

(10)

где P - вероятность ошибки на одной поднесущей, N_c - количество поднесущих.

Отметим, что данный подход к оценке вероятности неприема ПСП требует больших вычислительных мощностей, так как при увеличении длины сегмента ПСП и длины ЛРР количество комбинаций ошибок, удовлетворяющих (6), увеличивается геометрически, в особенности для апериодических ПСП. В связи с этим для проведения расчетов в среде Matlab была разработана программа, реализующая предложенный алгоритм вычисления.

Расчет вероятности неприема ПСП

Для расчетов по разработанной математической модели использовалась программа, написанная в среде Matlab, функциональный алгоритм которой представлен на рисунке 2. В основе формирования различных комбинаций ошибочных проверок лежит применение функции "combvec", которая генерирует массив сочетаний ошибок, после чего из него выбираются все комбинации, удовлетворяющие условию (6).

В таблице 1 представлены параметры системы, которые использовались при математическом и имитационном моделированиях. В таблице 2 представлены результаты сравнительного анализа. Так анализ показывает, что разработанная математическая модель дает наиболее точную оценку вероятности ошибки на каналах низкого качества в сравнении с моделью на основе Гауссовой аппроксимации при синхронизации по короткому сегменту ПСП. Также видно, что принятые в модели допущения приводят к оценке нижней границы вероятности ошибки.

Таблица 1 - Параметры системы

Рис. 2. Функциональный алгоритм программы

На рисунке 3 представлены графики зависимости вероятности неприема ПСП, полученные для подоптимального метода синхронизации и метода синхронизации по "зачетному отрезку". Расчет вероятности неприема ПСП для метода ЗОТ проводился с использованием формулы (2) с подстановкой вместо вероятности ошибки , так как в случае ЗОТ для синхронизации достаточно принять неискаженный отрезок из k символов ПСП. Анализ графиков показывает, что разработанный метод синхронизации дает значительный выигрыш в сравнении с традиционным методом синхронизации по "зачетному отрезку". Данные результаты совпадают с результатами полученными с помощью имитационного моделирования [3].

Таблица 2 - Сравнительный анализ

Рис. 3. Графики зависимости вероятности неприема ПСП от вероятности ошибки на одной поднесущей

Заключение