Автоматическое управление технологическими системами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

УО «Полоцкий государственный университет»

Радиотехнический факультет

Контрольная работа

по дисциплине «Автоматическое управление технологическими системами»

студента заочного отделения

Булах Юрия Константиновича

группа: 10 - РКз

Рецензент:

к.т.н., доцент Шестопалова Ольга Евгеньевна

Новополоцк, 2012 г.

Задача 1

автоматический управление частотный диапазон

По заданным дифференциальным уравнениям элементов САУ определить передаточные функции элементов. Определить типы элементарных звеньев, входящих в состав элементов.

Даны уравнения элементов схемы САУ:

Определим передаточную функцию первого элемента САУ:

0,25?p2?y(p) + 0,7?р?y(р) + y(p) = 100?х(р);

y(p)?(0,25?p2 + 0,7?р + 1) = 100?х(р);

W1(p) = y(p)/x(p) = 100/(0,25?p2 + 0,7?р + 1).

Передаточная функция первого элемента САУ W1(p) представляет собой устойчивое колебательное звено с постоянной времени Т = 0,5 с и о = 0,7 с-1; коэффициент усиления k = 100.

Определим передаточную функцию второго элемента САУ:

y(p) = 0,01?p2?х(p) + р?х(р);

W2(p) = y(p)/x(p) = 0,01?p2 + р = р?(0,01?р + 1).

Передаточная функция второго элемента САУ W2(p) представляет собой последовательное соединение идеального дифференцирующего звена и диф-ференцирующего звена первого порядка с постоянной времени Т = 0,01 с.

Определим передаточную функцию третьего элемента САУ:

р?y(p) = 5?x(p);

W3(p) = y(p)/x(p) = 5/р.

Передаточная функция третьего элемента САУ W3(p) представляет собой идеальное интегрирующее звено с коэффициентом усиления k = 5.

Задача 2

Определить передаточную функцию разомкнутой и замкнутой САУ, при необходимости использовать правила переноса узлов. Преобразовать разомкнутую систему к последовательному соединению типовых элементарных звеньев. Определить типы элементарных звеньев, входящих в состав преобразованной разомкнутой САУ.

Схема САУ имеет вид:

Разомкнутая система (система без учета общей единичной отрицательной обратной связи) представляет собой параллельное соединение третьего эле-мента с системой последовательно соединённых первого и второго элемента, охваченного единичной обратной отрицательной связью. Передаточная функция разомкнутой системы в соответствии с определенными типами соединений элементов будет иметь вид:

Wp(p) = W3(p) + W1(p)?W2(p)/(1 + W2(p)).

Передаточная функция замкнутой системы с учетом общей единичной отрицательной обратной связи определяется как

Она будет определена в задаче 7.

Подставим передаточные функции элементов САУ, определенные в результате решения Задачи 1, в общий вид передаточной функции разомкнутой системы и выполним эквивалентные преобразования передаточной функции разомкнутой системы с использованием Mathcad для преобразования ее к последовательному соединению типовых элементарных звеньев. Получим:

Конечный вид выражения позволяет определить параметры типовых элементарных звеньев, входящих в состав последовательного соединения эквивалентной разомкнутой САУ:

в состав соединения входит два дифференцирующих звена второго порядка с постоянными времени Т = 4,57 с, Т = 0,011 с и коэффициентами затухания о = 1,01 с-1, о = 0,18 с-1, двух апериодических звеньев с постоянными времени Т = 0,01 с и Т = 0,99 с , устойчивого колебательного звена с Т = 0,5 с и о = 0,7 с-1, и идеального интегрирующего звена.

Общий коэффициент усиления k = 5.

Задача 3

Построить амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) разомкнутой системы. Рассчитать и построить логарифмические амплитудно-частотную (ЛАЧХ) и фазочастотную (ЛФЧХ) характеристики разомкнутой САУ, приведенной к последовательному соединению типовых элементарных звеньев.

Передаточная функция разомкнутой системы, приведенная к последовательному соединению типовых элементарных звеньев, имеет вид:

Wp(p) = .

Для построения АФХ используется частотная передаточная функция системы, получаемая подстановкой в формулу передаточной функции комплексной частоты j вместо переменной Лапласа p:

Wp(jщ) = .

АФХ строится для значений частоты входного сигнала от 0 до +.

Результат построения графика АФХ для разомкнутой системы имеет вид:

АФХ одновременно определяет изменения и амплитуды и фазы выходного сигнала САУ относительно входного. Рассчитаем и построим график ЛАЧХ в децибелах. Результат построения ЛАЧХ для разомкнутой системы имеет вид:

Аналогично построим график ЛФЧХ для разомкнутой САУ.

Задача 4

Рассчитать и построить асимптотическую ЛАЧХ разомкнутой САУ.

Передаточная функция разомкнутой системы, приведенная к последовательному соединению типовых элементарных звеньев, имеет вид:

Wp(p) = .

Рассчитаем параметры, необходимые для построения асимптотической ЛАЧХ разомкнутой САУ. Определим частоты сопряжения асимптотической ЛАЧХ как величины, обратные постоянным времени звеньев, входящих в состав последовательного соединения:

щ1 = 1/4,57 = 0,22 c-1; щ2 = 1/0,99 = 1 c-1; щ3 = 1/0,5 = 2 c-1;

щ4 = 1/0,011 = 91 c-1; щ5 = 1/0,01 = 100 c-1.

Определим угол наклона проведения первой асимптоты в частотном диапазоне до первой частоты сопряжения по формуле -20 дБ/дек, где - степень астатизма разомкнутой САУ. Степень астатизма разомкнутой САУ равна 1, поэтому угол наклона первой асимптоты составит -20 дБ/дек.

Определим высоту проведения первой асимптоты для любой частоты, меньшей первой частоты сопряжения 1, например, для частоты 0,01 с-1:

20?lg(k/)=20?lg(5/0.011)= 54 дБ.

В остальных частотных диапазонах угол наклона асимптоты будет определяться типом звена. Частота среза 1 соответствует дифференцирующему звену 2-го порядка, которое даёт +40 дБ/дек, частота среза 2 соответствует апериодическому звену, которое даёт -20 дБ/дек, частота среза 3 - колебательному звену, которое даёт -40 дБ/дек, частота среза 4 соответствует дифференцирующему звену 2-го порядка, которое даёт +40 дБ/дек, частота среза 5 соответствует апериодическому звену, которое даёт -20 дБ/дек.

Результат построения асимптотической ЛАЧХ имеет вид:

Как видно, результат построения асимптотической ЛАЧХ правильно описыва-ет форму ЛАЧХ, построенной в Задаче 3.

Задача 5

Оценить устойчивость замкнутой САУ по теореме Ляпунова.

Согласно теореме Ляпунова, для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения имели отрицательную действительную часть.

Передаточная функция разомкнутой системы, приведенная к последовательному соединению типовых элементарных звеньев, имеет вид:

Wp(p) = .

Запишем характеристический полином замкнутой САУ:

Аз(р) = .

Решим его:

Множество корней характеристического уравнения замкнутой САУ представ-лено в круглых скобках. Как видим, среди действительных частей корней нет положительных. Следовательно замкнутая САУ является устойчивой.

Задача 6

Оценить устойчивость замкнутой САУ по заданному критерию устойчивости (Михайлова).

Критерий Михайлова формулируется следующим образом: САУ является устойчивой, если при изменении частоты от 0 до + годограф вектора Михайлова a(j) начинается на положительной части вещественной оси и нигде не обращаясь в 0, поворачиваясь против часовой стрелки, проходит последовательно n квадрантов комплексной плоскости (n - порядок характе-ристического уравнения).

Выражение для расчета и построения годографа получают подстановкой в характеристическое уравнение вместо оператора Лапласа комплексной переменной j:

a(j) = a0(j)n+a1(j)n-1+...+ an-1(j)+an.

Характеристическое уравнение замкнутой САУ, полученное при решении За-дачи №5, имеет вид:

А(р) = .

Запишем выражение для расчета годографа Михайлова:

А(j?щ) = .

Годограф строится для значений частоты входного сигнала от 0 до +. Введем формулу для расчета годографа, диапазон изменения аргумента (частоты ) в Mathcad и построим график:

Как видно, годограф Михайлова для заданной замкнутой САУ начинается на положительной части действительной оси комплексной плоскости и поворачиваясь против часовой стрелки, уходит в бесконечность в пятом квадранте комплексной плоскости, что действительно соответствует степени характеристического уравнения (n = 5). Таким образом, по критерию Михай-лова замкнутая САУ устойчива, что согласуется с оценкой устойчивости по теореме Ляпунова, выполненной при решении задачи 5.

Задача 7

Подтвердить результат оценки устойчивости построением переходного процесса замкнутой САУ в программе моделирования систем автоматического управления tau.exe.

Передаточная функция замкнутой системы с учетом общей единичной отрицательной обратной связи определяется как

Подставим передаточную функцию разомкнутой системы Wp(p), полученную в результате решения задачи №2, в приведенную формулу и выполним эквивалентные преобразования передаточной функции замкнутой системы с использованием Mathcad для преобразования ее к последовательному соединению типовых элементарных звеньев:

Т. о., передаточную функцию замкнутой САУ можно представить эквивалентным последовательным соединением устойчивого апериодического звена с постоянной времени Т = 0,01 с, двух дифференцирующих звена первого порядка с постоянными времени Т = 0,012 с и Т = 0,0098 с, дифференцирующего звена 2-го порядка с Т = 4,57 и о = 0,18 с-1, двух колебательных звеньев с Т = 4,61 с, о = 0,2 с и Т = 0,05, о = 0,21 с. Общий коэффициент усиления замкнутой САУ (коэффициент статического преобразования) равен 0,198. Реализуем схему эквивалентного последовательного соединения в программе tau.exe, зададим параметры звеньев и построим переходной процесс замкнутой САУ как реакцию на ступенчатое входное воздействие:

Как видно, переходной процесс замкнутой САУ подтверждает ее устойчивость.

Задача 8

С использованием метода D-разбиения оценить влияние на устойчивость замкнутой САУ коэффициента статического преобразования. Подтвердить результат анализа с использованием заданного критерия устойчивости для значений коэффициента, выбранного внутри и вне пределов области устойчивости, построенной в результате D-разбиения.

Коэффициентом статического преобразования разомкнутой САУ является общий коэффициент усиления. Передаточная функция разомкнутой САУ имеет вид:

Wp(p) = .

Т.о., исходное значение коэффициента статического преобразования К= 5.

Введем в рабочем поле Mathcad передаточную функцию замкнутой системы с подстановкой вместо исходного значения коэффициента статического преобразования разомкнутой САУ введенного обозначения К и выполним упрощение:

Т. о., получена передаточная замкнутой САУ, записанная в общем виде относительно коэффициента статического преобразования разомкнутой сис-темы. По виду передаточной функции замкнутой системы ее характерис-тическое уравнение записывается путем приравнивания к 0 знаменателя.

Запишем в явном виде относительно К:

К(р) = .

Подставив вместо р комплексную частоту j, запишем выражение в виде:

К(j?щ) = .

Согласно теореме Ляпунова САУ является устойчивой, если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть, то есть располагаются в левой полуплоскости комплексной плоскости. Границей устойчивости САУ является мнимая ось комплексной плоскости. Граница области устойчивости в плоскости коэффициентов или параметров САУ называется границей D-разбиения. Переход через границу D-разбиения в плоскости параметров соответствует переходу корней через мнимую ось в плоскости корней.

В данном случае кривая K(j), построенная в комплексной плоскости при различных значениях , является границей D-разбиения. Если следовать по этой кривой от значений =-? до значений =+?, то слева остается область, которая является отображением левой полуплоскости корней и представляет область устойчивости. Граница области устойчивости отмечается штриховкой слева при следовании по кривой от =-? до значений =+?.

Рассчитаем и построим D-разбиение в плоскости параметра К:

Следуя по ходу графика D-разбиения от значений, соответствующих =-? до значений =+?, наложим штриховку слева. Область положительной части действительной оси, окаймленная штриховкой, соответствуют значениям параметра К, обеспечивающим устойчивое состояние системы:

Результаты построения области устойчивости позволяют утверждать, что устойчивость системы будет наблюдаться при всех значениях К, больших 0. Покажем это. При К > 0 мы расчет уже сделали. Выберем К, например, равное -0,1.

Введем характеристическое уравнение замкнутой САУ в рабочем поле Mathcad с учётом выбранного К, упростим его и найдем корни характеристического уравнения замкнутой САУ:

Множество корней характеристического уравнения замкнутой САУ представлено в круглых скобках. Получили, что при заданном значении К есть положительные корни. Следовательно, по теореме Ляпунова замкнутая САУ является неустойчивой, что и требовалось доказать.

Литература

1. Анхимюк В.Д., Опейко О.Ф., Михеев Н.Н. Теория автоматического управления, - Мн.: Дизайн ПРО, 2000.

2. Андрющенко В.А. Теория систем автоматического управления. - Л.: ЛГУ, 1990.

3. Бесекерский В.А., Попов В.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1975.

4. Справочное пособие по теории систем автоматического регулирования и управления / Под ред. ЕЛ. Санковского. - Мн.: Выш. шк., 1973.

5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. - М.: Наука, 1967.

Размещено на Allbest.ru