Расчет рекурсивного цифрового фильтра

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа по дисциплине

«Цифровая обработка сигналов»

Цель контрольной работы: выполнение двух задач. Первая представляет собой расчет рекурсивного (БИХ) цифрового фильтра нижних частот (ФНЧ), а вторая - расчет нерекурсивного (КИХ) цифрового согласованного фильтра.

Задача 1 Расчет рекурсивного цифрового фильтра нижних частот

1. По исходным данным, приведенным в таблице 1, рассчитать передаточную характеристику цифрового фильтра Баттерворта. Привести разностное уравнение полученного фильтра.

Таблица 1

2. Построить АЧХ рассчитанного фильтра. Определить полосу пропускания фильтра по уровню 3 дБ.

3. В соответствии с указаниями таблицы 2 построить структурную схему рассчитанного рекурсивного фильтра.

Таблица 2

Решение.

Для начала перепишем исходные данные в удобной форме:

Мы знаем, что АЧХ цифрового фильтра - периодическая функция с периодом 2р. Кроме того, она симметрична относительно щ_н=р [рад/с]. В нашем случае угловые частоты заданы относительно нормированной частоты в интервале от 0 до 1. Для возвращения к интервалу [0;р] подразумевается умножение щ_р и щ_s на р. Тогда:

Нормированная частота среза щ_р=0,25р [рад/с];

Нормированная частота заграждения щ_s=0,6р [рад/с];

Проведем пересчет параметров коридора АЧХ цифрового фильтра в параметры коридора АЧХ эквивалентного аналогового фильтра.

Переход от аналогового фильтра к цифровому осуществляется через билинейное преобразование, которое нелинейно изменяет шкалу частот. На первом шаге необходимо учесть это искажение и сформулировать требования к коридору АЧХ аналогового фильтра таким образом, чтобы на этапе данного преобразования получить тот фильтр, который нам нужен. Изменение шкалы частот при билинейном преобразовании происходит согласно выражению:

, где

Т - интервал дискретизации, Щ - шкала частот аналогового фильтра, щ_н - нормированная шкала частот цифрового фильтра. Период АЧХ цифрового фильтра по нормированной шкале частот равен 2р, что соответствует интервалу дискретизации равному 2. Тогда пересчитаем исходные данные для задания коридора АЧХ аналогового фильтра.

Частота среза Щ_р аналогового фильтра:

[рад/с]

Частота заграждения Щ_s аналогового фильтра:

[рад/с]

Неравномерность в полосе пропускания A_p=2,5 дБ, а уровень подавления в полосе заграждения A_S=45 дБ, при билинейном преобразовании не меняются.

Расчет порядка фильтра, удовлетворяющего исходным данным.

Для расчета порядка фильтра воспользуемся формулой:

,

где е_р и е_s - допустимая неравномерность в полосе пропускания и заграждения соответственно. По заданию неравномерность и подавление даны в децибелах, переведем их в разы:

Теперь рассчитаем порядок фильтра, результат округлим до большего целого значения:

Тогда порядок фильтра N=5.

Расчет передаточной характеристики аналогового нормированного ФНЧ требуемого порядка.

Общий вид передаточной характеристики для нормированного ФНЧ Баттерворта нечетного порядка имеет вид:

, где

,

Тогда L=2, r=1.

, . Так как L=2, то вычислим два угла.

, .

Теперь запишем выражение передаточной функции в соответствие с полученными данными:

После приведения подобных членов (воспользуемся для этого MathCAD), получим выражение:

Получена характеристика нормированного ФНЧ Баттерворта 5-го порядка с частотой среза 1 рад/c, в то время как нужна передаточная характеристика H(s) аналогового ФНЧ с частотой среза Щp =0,4142 рад/с. Для получения H(s) с заданной частотой среза необходимо осуществить замену переменной s>s/ Щp (то есть s²>s²/ Щp² и т. д.). А для получения единицы в числителе попутно поделим числитель и знаменатель на 1,1336. После осуществления этих операций передаточная функция аналогового фильтра будет иметь вид:

цифровой фильтр передаточный рекурсивный

Преобразование передаточной характеристики аналогового фильтра H_H(s) в передаточную характеристику цифрового фильтра H(z).

Для перехода осуществим билинейное преобразование. Для интервала дискретизации Т=2, оно будет иметь вид:

Сделаем подстановку и упрощения с помощью MathCAD:

Теперь поделим числитель и знаменатель на z⁵ и на 6945. В результате получим передаточную характеристику цифрового фильтра в следующем виде:

Рассчитанные коэффициенты фильтра сведены в таблицу 3.

Таблица 3

Разностное уравнение рекурсивного фильтра в общем виде имеет вид:

Для того, чтобы получить разностное уравнение из имеющейся передаточной функции, запишем ее следующим образом:

Формально осуществив обратное Z-преобразование, получим:

Тогда разностное уравнение будет иметь вид:

Для проверки соответствия АЧХ рассчитанного фильтра заданному коридору, построим ее в виде (Рис. 1). Для этого подставим в выражение H(z) z=e^jщ и воспользуемся инструментом «fdatool» среды MATLAB.

Рис. 1 АЧХ рассчитанного фильтра

Красным пунктиром отмечен коридор, в который, как мы видим, вписывается фильтр. А черной линией отмечена полоса пропускания по уровню 3 дБ.

Структурная схема фильтра в канонической форме будет выглядеть следующим образом (Рис. 2):

Рис. 2 Структурная схема рассчитанного фильтра в канонической форме.

Задача 2. Расчет нерекурсивного цифрового согласованного фильтра

1. Студенту необходимо выписать начальные буквы фамилии, имени и отчества (ФИО) и закодировать каждую букву пятиэлементным кодом № 2 (см. Приложение 1).

2. Для полученной 15-элементной кодовой комбинации определить импульсную характеристику согласованного фильтра h(t) и выписать в виде таблицы весовые коэффициенты b_i, i…, 14}. Записать развернутое уравнение выходного сигнала фильтра.

3. Изобразить структурную схему фильтра с учетом значений весовых коэффициентов.

4. Графически изобразить процесс формирования выходного сигнала согласованного фильтра. По полученному графику определить уровень боковых лепестков автокорреляционной функции кодовой комбинации.

Решение.

1. Начальные буквы РНА. Сведем данные о коде для каждой буквы в таблицу 4.

Таблица 4

2. Согласованный фильтр -- линейный оптимальный фильтр, построенный исходя из известных спектральных характеристик полезного сигнала и шума. Согласованные фильтры предназначены для выделения сигналов известной формы на фоне шумов.

Если шум является белым (шум с равномерным энергетическим спектром), то максимум отношения сигнал/шум достигается у фильтра, АЧХ которого H(jщ) комплексно-сопряженная со спектром сигнала S(jщ):

,

где л - постоянный множитель, Т₀ - задержка, вносимая фильтром, * - обозначает комплексно-сопряженную величину.

Импульсная характеристика (ИХ) согласованного фильтра h(t) связана с передаточной характеристикой H(jщ) преобразованием Фурье (ПФ), так же, как и сигнал s(t) со своим спектром S(jщ). Тогда, учитывая свойство временного сдвига ПФ, можем записать h(t):

,

то есть импульсная характеристика согласованного фильтра является зеркальным отражением временной функции сигнала, сдвинутой на величину T₀.

Учитывая, что мы имеем дело с отсчетами сигнала x(kT), следующие с интервалами Т. ИХ цифрового фильтра, согласованного с таким сигналом будет иметь вид:

(мы предположили, что л=1 и что масштаб времени подобран таким образом, что Т=1. Это никак не поменяет сути процесса).

В нашем случае, на вход подается 15-элементная последовательность -1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 -1, k {0,1,…,14}.

Тогда, учитывая приведенные выше теоретические сведения, запишем импульсную характеристику согласованного фильтра:

Сведем значения коэффициентов согласованного фильтра b_i, i…, 14} в таблицу 5.

Таблица 5

, где Для нашего случая:

3. Изобразим структурную схему нерекурсивного (значение выходных отсчетов зависит только от текущих входных отсчетов и не зависит от предыдущих выходных отсчетов) согласованного фильтра с учетом значений весовых коэффициентов (Рис. 3).

Рис. 3 Структурная схема согласованного фильтра

4. Графически изобразить процесс формирования выходного сигнала согласованного фильтра. По полученному графику определить уровень боковых лепестков автокорреляционной функции кодовой комбинации (Рис.4).

Рис. 4 Процесс формирования выходного сигнала согласованного фильтра

Уровень боковых лепестков определяется как отношение модуля амплитуды наибольшего из боковых лепестков (= 4U0) к амплитуде основного лепестка (Uосн = 15U0):

Размещено на Allbest.ru