Переходные процессы в линейной электрической цепи

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

СЕВЕРО-КАЗАХСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ МАНАША КОЗЫБАЕВА

Инженерно-технический факультет

Кафедра «Энергетика и радиоэлектроника»

Курсовая работа

По дисциплине «Теория электрических цепей»

На тему: «Переходные процессы в линейной электрической цепи»

Выполнил:

Ебжанов Д.А.

Проверила:

Крашевская Т.И.

г. Петропавловск 2015 г



Содержание

Введение

1. Расчет комплексного коэффициента передачи по напряжению

2. Расчет переходной характеристики четырехполюсника

2.1 Расчет переходной характеристики цепи операторным методом

3. Расчет импульсной характеристики заданного четырехполюсника

3.1 Расчет импульсной характеристики операторным методом в случае вещественных различных корней характеристического уравнения цепи

4. Расчет - параметров четырехполюсника

5. Расчет характеристической (собственной) постоянной передачи четырехполюсника

Заключение

Список литературы



Введение

Теория электрических цепей является базовым курсом, дающим основные понятия и аналитический аппарат, необходимый для количественного описания электромагнитных процессов в технических системах, предназначенных для производства, передачи и распределения электрической энергии, распространения, преобразования и обработки информации, - системах связи, автоматического управления, средствах информационной и вычислительной техники, в электромеханических и электротехнических устройствах.

Курс теории цепей базируется на основных физических понятиях об электрических и магнитных явлениях. В основе курса лежат также знания, полученные в различных областях математики - линейной алгебре, теории дифференциальных уравнений, преобразований Фурье и Лапласа, численного решения алгебраических и дифференциальных уравнений.

В свою очередь, на базе теории электрических цепей строятся многие последующие дисциплины, связанные с анализом конкретных классов систем, в которых методы и приёмы теории цепей развиваются и получают проблемную ориентацию.

Прикладная направленность курса требует на ряду с изучением теории решения задач, предлагаемых в виде самостоятельных расчётных заданий и курсовых работ.

При выполнении курсовой работы перед студентом ставятся следующие задачи и цели:

· Закрепление и более глубокое усвоение определенного объёма теоретических знаний, включающего следующие вопросы:

- комплексные частотные характеристики электрических цепей;

- расчёт переходной и импульсной характеристики цепи;

- расчёт характеристических и первичных параметров четырехполюсников

· Приобретение навыков, освоение методов расчёта и анализа электрических цепей;

· Развитие самостоятельности и творческой инициативы при решении конкретных задач.



1. Расчет комплексного коэффициента передачи по напряжению

Комплексные частотные характеристики цепи делятся на входные и передаточные. Передаточная функция представляет собой отклик цепи на синусоидальное воздействие с частотой и единичной амплитудой. Но физический смысл этой функции варьируется в зависимости от физического смысла воздействия x(t) и отклика у(t).

Если и воздействие, и отклик являются напряжением, то передаточная функция называется коэффициентом передачи по напряжению.

На рисунке 1.2 приведена электрическая схема рассчитываемого четырехполюсника.

Рисунок 1.2 - Рассчитываемая цепь

Комплексная схема замещения этой цепи приведена на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3 - Комплексная схема замещения цепи



Входными зажимами буду считать зажимы 1 - 1', а выходными зажимами

2 - 2'.

Рассчитаем комплексный коэффициент передачи по напряжению:

Комплексное выходное напряжение найдем из выражения:

Определяем комплексные токи для данного четырехполюсника:

Токи в параллельных ветвях определяются следующим выражением:

Определяем комплексное входное сопротивление цепи:



После элементарных преобразований комплексное входное сопротивление цепи принимает вид:

где, , , и - индивидуальные численные значения выбранные для своего варианта и соответственно равные 50 Ом, 10 мкФ, 0.5мГн, а j - комплексная постоянная численно равная .

Полученное выражение для комплексного входного сопротивления четырехполюсника (1.7) подставляем в выражение для первого тока (1.3), тогда получим:

Полученное выражение для первого тока (1.8) подставляем в выражение для второго тока (1.4) и получаем следующее выражение:



Определяем комплексное выходное напряжение заданной цепи, подставляя выражение второго тока в выражение:

Подставляем полученную дробь (1.10) в выражение для получения комплексного коэффициента передачи по напряжению:

После сокращения выражение для комплексного коэффициента передачи принимает вид:

Комплексный коэффициент передачи по напряжению в показательной форме имеет вид:

В результате аналитические выражения для АЧХ и ФЧХ представляют собой соответственно:

Графики АЧХ и ФЧХ построены в системе Mathcad 2001 Professional и приведены в Приложении А.



2. Расчет переходной характеристики четырехполюсника

Переходной характеристикой линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие неединичного скачка напряжения или тока к высоте этого скачка при нулевых начальных условиях:

Из выражения видно, что , если , следовательно, переходная характеристика цепи численно равная реакции на воздействие единичного скачка тока или напряжения. Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к размерности внешнего воздействия.

Единичной ступенчатой функцией (функцией Хевисайда) называется функцией:

Функцией Хевисайда удобно использовать для аналитического представления различных воздействий на цепь, значения которых скачкообразно изменяются в момент коммутации.

Переходная характеристика будет рассчитываться двумя методами: классическим и операторным.



2.1 Расчет переходной характеристики цепи классическим методом в случае вещественных различных корней

Рисунок 2.1 - Рассчитываемая цепь до коммутации

До коммутации токи во всех ветвях электрической цепи и напряжения на всех элементах равны нулю:

Используя законы коммутации, нахожу независимые начальные условия, представляющие собой ток индуктивности и напряжение ёмкости в момент времени (t=0).

Составим систему дифференциальных уравнений на основании законов Кирхгофа, описывающую процесс в цепи после коммутации (t>0):

Рисунок 2.2 - Рассчитываемая цепь после коммутации

Выбираю произвольно направление обхода контура (рисунок 2.2), .

Токи в цепи представим в виде суммы установившегося и свободного режима цепи:

Определим установившиеся токи и напряжения, так как на входе цепи четырехполюсника ёмкость (рисунок 2.2), то значения установившихся токов будут равны нулю:

Определим токи и напряжения свободного режима. Запишем характеристическое уравнение цепи. Наиболее простой способ составления характеристического уравнения - это метод входного сопротивления. Запишем входное сопротивление цепи в комплексной форме.



Заменяем в выражении (2.8) на и приравниваем его к нулю:

Приравняем к нулю числитель выражения:

Уравнение (2.9) является характеристическим уравнением цепи. Характеристическое уравнение цепи можно составить другим способом. Запишем определитель исходной системы уравнений и приравниваем его к нулю:

Выполнив необходимые преобразования, получим:

Приравняв к нулю числитель выражения (2.12), получим:



Полученное квадратное уравнение (2.13) полностью совпадает с квадратным уравнением (2.10).Обоими способами были получены абсолютно идентичные уравнения и соответственно можно сделать вывод, что расчеты выполнены правильно.

Подставив числовые значения параметров цепи в характеристическое уравнение (2.13), вычислим его корни:

Корни характеристического уравнения - вещественные числа, характер переходного процесса апериодический, свободные составляющие тока запишем в виде:

где - постоянные интегрирования.

Для расчета постоянных интегрирования определим зависимые начальные условия. Запишем исходную систему уравнений (2.5) для :



Находим численные значения токов :

- из независимых начальных условий;

Так как из независимых начальных условий;

Из третьего уравнения системы (2.19) выражаем и находим :

Для определения и продифференцируем первое и второе уравнение из системы уравнений (2.19) и запишем для :

Из второго уравнения системы уравнений (2.24) найдем :



Найдем, подставив известные численные значения и (2.23) в первое уравнение системы уравнений

Определим постоянные интегрирования. Так как установившиеся составляющие всех токов равны нулю, то токи в цепи будут определяться только их свободными составляющими:

Продифференцируем систему уравнений для токов (2.27) и запишем их для :

Запишем систему уравнений (2.27) для :

Из двух систем уравнений и запишем три парные системы уравнений:



Решаем систему уравнений (2.30). Выражаем из первого уравнения и подставляем полученное выражение во второе уравнение той же системы уравнений:

Подставляем во второе уравнение системы уравнений (2.33) ранее подсчитанные значения , (2.16), и (2.26). Преобразуем, выражение и находим значение :

Полученное значение подставляем в первое уравнение системы уравнений (2.33) и находим :

0.03+j0.07



Решаем систему уравнений. Выражаем из первого уравнения и подставляем полученное выражение во второе уравнение той же системы уравнений:

Подставляем во второе уравнение системы уравнений ранее подсчитанные значения , , и . Преобразуем, выражение и находим значение :

Полученное значение подставляем в первое уравнение системы уравнений и находим :

Решаем систему уравнений (2.32). Выражаем из первого уравнения и подставляем полученное выражение во второе уравнение той же системы уравнений:

Подставляем во второе уравнение системы уравнений (2.39) ранее подсчитанные значения , (2.16), и . Преобразуем, выражение и находим значение :

Полученное значение подставляем в первое уравнение системы уравнений (2.39) и находим :

Полученные значения подставим в выражение, где

,

:

Таким образом, переходная характеристика заданного четырехполюсника имеет вид:



2.1 Расчет переходной характеристики цепи операторным методом

Рисунок 2.3 - Рассчитываемая цепь в операторном виде

На вход рассчитываемой цепи подается напряжение , в операторном виде это напряжение будет равно

.

Запишем операторное сопротивление цепи:

Запишем выражение для первого тока в операторном виде:

Запишем выражение тока третьего через в операторной форме:



Запишем выражение выходного напряжения в операторном виде:

Обозначим числитель и знаменатель дроби (2.47) соответственно и :

Приравниваем знаменатель выражения к нулю - и находим корни заданного квадратного уравнения:

Уравнение (2.49) абсолютно совпадает с уравнением (2.14) соответственно корни будут одинаковые:

Найдем производную от знаменателя дроби (2.48) то есть :

Применяя теорему разложения, определим оригинал по формуле:

Найдём, подставив вместо в выражении (числитель) первый корень характеристического уравнения:

В выражение подставим первый корень характеристического уравнения и получим: напряжение импульсный четырехполюсник цепь

Найдем, подставив вместо в выражении (числитель) второй корень характеристического уравнения:

В выражение подставим, второй корень характеристического уравнения и получим:

Подставляем найденные значения в выражение:

Расчет классическим методом и операторным методом практически совпадают, с учетом допустимой погрешности, можно сделать вывод, что переходная характеристика найдена, верно.



3. Расчет импульсной характеристики заданного четырехполюсника

Импульсной характеристикой линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади этого импульса при нулевых начальных условиях:

Импульсная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса , а размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время.

Импульс бесконечно малой длительности, бесконечно большой высоты, площадь которого равна 1 называется единичным импульсом. Функция, определяющая единичный импульс, обозначается и называется - функцией или функцией Дирака:

При



3.1 Расчет импульсной характеристики операторным методом в случае вещественных различных корней характеристического уравнения цепи

Рисунок 3.1 - Операторная схема заданного четырехполюсника

На вход рассчитываемой цепи подается напряжение , в операторном виде это напряжение, для расчета импульсной характеристики, будет равно .

Запишем операторное сопротивление цепи:

Запишем выражение для первого тока в операторном виде:

Запишем выражение тока третьего через в операторной форме:



Запишем выражение для выходного напряжения в операторном виде:

Выполним обратное преобразование Лапласа с помощью теоремы разложения. Обозначим числитель и знаменатель дроби соответственно и

Приравниваем знаменатель выражения к нулю - и находим корни заданного квадратного уравнения:

Корни заданного уравнения будут совпадать с корнями при расчете переходной характеристики, так как заданные уравнения идентичны:



Найдем производную от знаменателя дроби то есть :

В соответствии с теоремой разложения имеет вид:

Получили выражение, представляющее собой импульсную характеристику заданного четырехполюсника.

Графики переходной и импульсной характеристик, в случае когда корни характеристического уравнения являются вещественными различными, построены в системе Mathcad 2001 Professional и приведены в Приложении Б.

Данные расчёта переходной и импульсной характеристик в случае, если корни характеристического уравнения будут вещественными различными.



4. Расчет - параметров четырехполюсника

При записи уравнений в форме положительное направление токов выбирается согласно рисунку 4.1. Удобство выбора именно такого положительного направления тока связано в данном случае с тем, что форма применяется обычно при передаче электрической энергии от входных выводов к выходным, причем четырехполюсник, включенный между источником и приёмником, может состоять из нескольких четырехполюсников, соединенных каскадно; вход каждого последующего четырехполюсника совпадает с выходом предыдущего четырехполюсника.

Основываясь на наше задание начнем расчет - параметров с того, что рассчитаем сопротивления холостого хода и короткого замыкания для заданной цепи.

Рисунок 4.2 - комплексная схема замещения рассчитываемой цепи

Сопротивления холостого хода цепи найдем, используя выражения и:



где - входное сопротивление со стороны зажимов 1 -1', в режиме

холостого хода на зажимах 2 - 2', Ом. То есть зажимы 2 -2' не подключены. Таким образом токи заданной цепи будут проходить через все элементы (рисунок 4.2), поэтому будем определять выражением (4.1).

Преобразуем выражения (4.1) и подставляем численные значения для нахождения комплексного сопротивления :

где - сопротивление со стороны зажимов 2 - 2', в режиме холостого хода на зажимах 1 - 1' , Ом. То есть зажимы 1 - 1' разомкнуты и ток не будет проходить через конденсатор, а будет протекать в направлении резистора (рисунок 4.4), поэтому будет определяться выражением.

Рисунок 4.4 - Распределение токов в режиме холостого хода



Аналогичным образом преобразуем выражение (4.3) и подставляем численные значения:

Сопротивления короткого замыкания цепи найдем, используя выражения:

где - входное сопротивление со стороны зажимов 1 - 1' , при закороченных зажимах 2 - 2', Ом. Так как зажимы 2 - 2' соединены между собой, соответственно ток третий, протекающий через резистор не будет проходить через катушку, а пойдет по пути наименьшего сопротивления, поэтому будет определяться выражением;

Преобразуем выражения и подставляем численные значения для нахождения комплексного сопротивления :



где - входное сопротивление со стороны зажимов 2 - 2', в режиме короткого замыкания на зажимах 1 - 1', Ом. То есть зажимы 1 - 1' соединены между собой и токи, протекающие в заданной схеме, будут проходить через все элементы цепи (рисунок 4.4). Поэтому будет определяться выражением.

Преобразуем выражения и подставляем численные значения для нахождения комплексного сопротивления :

Используя значения определяю - параметры по формулам:



Проверяем правильность расчетов - параметров, используя тождество:

Можно сделать вывод, что расчеты выполнены правильно, с учетом допустимой погрешности.



5. Расчет характеристической (собственной) постоянной передачи четырехполюсника

Используя - параметры четырехполюсника, получаем характеристические сопротивления четырехполюсника.

В формулу подставляем полученные ранее значения - параметров.

Для того, что бы перевести некоторые полученные значения в децибелы и в радианы нужно воспользоваться справочными данными.

И так характеристическая (собственная постоянная передачи четырехполюсника) (рисунок 4.1) будет выглядеть:

Подставляем полученные значения и в выражение (5.6) и получаем:

Для проверки правильности предыдущего расчета рассчитываю вторым способом, с использованием параметров холостого хода и короткого замыкания по формулам.

Для определения используем следующее выражение:



Откуда можно вывести:

Подставляем полученное в комплексно-сопряженном виде выражение в выражение и производим вычисления:

Пользуясь справочными данными (5.5), определяем для выражения и :

Подставляем в формулу полученные значения из):

Если сравнить полученные выражения, характеристической постоянной передачи , то можно сделать вывод, что и первым, и вторым способом получились практически одинаковые комплексные выражения, с учетом допустимой погрешности



Заключение

В данной работе были рассмотрены несколько методов анализа переходных процессов. Если цепь имеет невысокий порядок сложности, а внешнее воздействие на нее после момента коммутации является гармонической функцией времени, либо постоянно, то в этом случае, в основном, применяют классический метод анализа переходных процессов. Если внешнее воздействие на цепь носит более сложный характер, то определение установившейся составляющей реакции цепи существенно затрудняется, а при повышении порядка цепи, усложняется определение постоянных интегрирования. Значительно эффективнее и целесообразнее при анализе переходных процессов использовать операторный метод анализа, основанный на применении преобразований Лапласа.



Список литературы

1 В.П.Попов «Основы теории цепей», Москва 1985 г.

2 Г.И.Атабеков «Теоретические основы электротехники», Москва 1978 г.

3 М.Р.Шебес, М.В.Каблукова «Задачник по теории линейных электрических цепей», Москва 1990 г.

4 А.Ф.Белицкий «Теория линейных электрических цепей», Москва 1986 г.

5 В.В.Фриск «Основы теории цепей», Москва, 2002 г.

6 П.Н.Матханов «Основы анализа электрических цепей», Москва 1981 г.

7 В.В.Крылов, С.Я.Корсаков «Основы теории цепей для системников», Москва 1990 г.

8 У.М.Сибет «Цепи, сигналы, системы», Москва 1988 г.

9 В.П.Бакалов, В.Ф.Дмитриков, Б.И.Крук «Основы теории цепей», Москва 2000 г.

Размещено на Allbest.ru