Численное моделирование системы, описанной системой дифференциальных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Тульский государственный университет»

Институт высокоточных систем им. В.П. Грязева

Кафедра «Приборы управления»

Контрольно-курсовая работа

по дисциплине

«Моделирование динамических систем»

Выполнил:

студент группы Б161232с Мишин А.А.

Проверил:

доц.кафедры ПУ Погорелов М.Г.

Тула 2015 г.

Содержание

Введение

Задание на ККР

1. Задание №1

1.1 Метод последовательного интегрирования

1.2 Метод канонической формы

1.3 Метод вспомогательной переменной

1.4 Модель в пространстве состояний в нормальной форме

1.5 Модель в пространстве состояний в канонической форме

1.6 Модель в пространстве состояний в форме простых сомножителей

2. Задание №2

Вывод

Список использованной литературы

Введение

Контрольно-курсовая работа (ККР) имеет целью закрепление полученных знаний в области применения компьютерных технологий, углубление навыков, полученных на практических и лекционных занятиях по курсу «Моделирование систем».

Целью работы является проведение численного моделирования системы, описанной системой дифференциальных уравнений (передаточной функцией). Для этого нужно решить следующие задачи:

построить систему дифференциальных уравнений первого порядка;

получить передаточную функцию;

составить схемы моделирования методом последовательного (непосредственного) интегрирования, методом вспомогательной переменной и методом канонической формы;

построить системы уравнений, соответствующие методам последовательного (непосредственного) интегрирования, вспомогательной переменной и канонической формы;

составить схемы моделирования;

получить матрицы пространства состояний в нормальной форме, канонической форме и форме простых сомножителей;

определить значения коэффициентов для всех схем моделирования;

смоделировать переходные процессы в системе для всех схем моделирования и сделать вывод о результатах моделирования.

для нелинейной системы необходимо построить схему моделирования и привести результаты моделирования для заданных входных воздействий.

Задание на ККР

Задание №1

№ Варианта	Передаточная функция
4		9	11	0

Задание №2

Вариант	Нелинейность
	4

Размещено на http://www.allbest.ru/

2	±1,5	1,75	0,2	0,07	0,5

1. Задание №1

Передаточная функция:

,

где: , , .

Тогда передаточная функция примет окончательный вид:

.

Получим дифференциальное уравнение системы 3-его порядка:

.

1.1 Метод последовательного интегрирования

Выходной сигнал системы можно представить в виде суммы сигналов нескольких систем, на которые воздействует один и тот же входной сигнал :

;

;

.

Запишем уравнение в нормальной форме. К таким уравнениям применим метод последовательного интегрирования.

.

Ему соответствует передаточная функция

.

Суть метода последовательного интегрирования состоит в том, что дифференциальное уравнение разрешают относительно старшей производной:

а младшие производные и сам выходной сигнал получают последовательным интегрированием сигнала старшей производной. При этом выходная переменная и ее производные заменяется машинными переменными:

, , , .

Тогда уравнение принимает вид:

.

Для составления схем уравнений системы обратимся к передаточной функции

.

Из этого выражения следует:

;

отсюда из теоремы Лапласа об изображении производной получаем:

.

Для второго уравнения системы:

.

Из этого выражения следует:

;

отсюда из теоремы Лапласа об изображении производной получаем:

.

Тогда выходной сигнал представляется в виде суммы сигналов:

.

Система дифференциальных уравнений имеет вид:

Рисунок 1. - Схема моделирования методом последовательного интегрирования



Рисунок 2. - Результат моделирования методом последовательного интегрирования

1.2 Метод канонической формы

Суть метода состоит в том, что исходное уравнение разрешают относительно искомой переменной . Для этого его записывают в операторной форме:

,

и делят на ( - порядок уравнения):

.

Далее уравнение разрешают относительно и группируют по степеням :

.

Отсюда получают выражение для выходного сигнала :

.

Введем обозначения:

, , ,

тогда выходной сигнал принимает вид:

.

Это выражение можно преобразовать к следующему виду:

.

Схема моделирования методом канонической формы имеет вид, представленный на рисунке 3.



Рисунок 3. - Схема моделирования методом канонической формы

Рисунок 4. - Результат моделирования методом канонической формы

1.3 Метод вспомогательной переменной

Запишем уравнение в операторной форме:

.

Из данного уравнения получаем передаточную функцию:

.

Вводим вспомогательную переменную

.

Этой передаточной функции соответствует уравнение:

,

Отсюда

.

Из передаточной функции следует, что в операторной форме

,

отсюда, на основании обратного преобразования Лапласа:

.

Введем переменные:

, , , .

Уравнения, с учетом переменных , образуют систему уравнений, решающую исходное дифференциальное уравнение:

;

;

;

.

Рисунок 5. - Схема моделирования методом вспомогательной переменной



Рисунок 6. - Результат моделирования методом вспомогательной переменной

1.4 Модель в пространстве состояний в нормальной форме

.

Моделью в пространстве состояний называется описание вида:

Элементы матриц A, B, C, D равны коэффициентам при соответствующих переменных системы уравнений.

Для составления системы уравнений воспользуемся методом вспомогательной переменной

.

Этой передаточной функции соответствует уравнение:

,

Отсюда

.

Из передаточной функции следует, что в операторной форме

,

отсюда, на основании обратного преобразования Лапласа:

.

Введем переменные:

канонический форма моделирование система

, , , .

Тогда система уравнений будет иметь вид:

;

;

;

.

Отсюда находим матрицы пространства состояний:

Рисунок 7. - схема моделирования в пространстве состояний в нормальной форме

Рисунок 8. - Результат моделирования в пространстве состояний в нормальной форме

1.5 Модель в пространстве состояний в канонической форме

.

Так как корни полинома, стоящего в знаменателе комплексные, перейдём к передаточной функции в виде:

.

Найдём A, B и C

;

;

.

.

Рассмотрим первую подсистему:

.

Составим систему уравнений:

;

;

;

Введем переменные:

Тогда система уравнений будет иметь вид:

;

.

Рассмотрим вторую подсистему:

.

Составим систему уравнений.

Введём вспомогательную переменную

.

Этой передаточной функции соответствует уравнение:

,

Отсюда

.

Из передаточной функции следует, что в операторной форме

,

отсюда, на основании обратного преобразования Лапласа:

.

Введем переменные:

, .

Тогда система уравнений будет иметь вид:

;

;

.

Рисунок 9. - Объединение подсистем

При объединении подсистем:

, .

После объединения подсистем, система уравнений будет иметь вид:

;

;

;

.

Отсюда находим матрицы пространства состояний:

Рисунок 10. - Схема моделирования в пространстве состояний в канонической форме



Рисунок 11. - Результат моделирования в пространстве состояний в канонической форме

1.6 Модель в пространстве состояний в форме простых сомножителей

.

Так как корни полинома, стоящего в знаменателе комплексные, перейдём к передаточной функции в виде:

.

Рассмотрим первую подсистему:

.

Составим систему уравнений.

Введём вспомогательную переменную

.

Этой передаточной функции соответствует уравнение:

,

Отсюда

.

Из передаточной функции следует, что в операторной форме

,

отсюда, на основании обратного преобразования Лапласа:

.

Введем переменные:

.

Тогда система уравнений будет иметь вид:

;

.

Рассмотрим вторую подсистему:

.

Составим систему уравнений.

Введём вспомогательную переменную

.

Этой передаточной функции соответствует уравнение:

,

Отсюда

.

Из передаточной функции следует, что в операторной форме

,

отсюда, на основании обратного преобразования Лапласа:

.

Введем переменные:

, .

Тогда система уравнений будет иметь вид:

;

;

.

Рисунок 12. - Объединение подсистем

При объединении подсистем:

, , .

После объединения подсистем, система уравнений будет иметь вид:

;

;

;

.

Отсюда находим матрицы пространства состояний:

Рисунок 13. - Схема моделирования в пространстве состояний в форме простых сомножителей

Рисунок 14. - Результат моделирования в пространстве состояний в форме простых сомножителей

2. Задание №2

Дано:

Где

.

Параметры системы уравнений:

, , , , , .

Нелинейность :

Подставляя значения, получим:

.

Схема моделирования, соответствующая данной системе уравнений, представлена на рисунке 15.

Рисунок 15. - Схема моделирования

Рисунок 14. - Результат моделирования задания 2

Вывод

В данной работе рассмотрены различные методы составления схем моделирования: метод последовательного интегрирования, метод канонической формы и метод замены переменной. Метод последовательного интегрирования лучше использовать при решении дифференциальных уравнений, не содержащих производные по входному сигналу. При наличии таких производных лучше использовать метод канонической формы или замены переменной. По каждому методу составлены схемы и системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрены методы моделирования в пространстве состояний, т. е. запись дифференциальных уравнений в матричной форме. Коэффициенты матриц записаны в трёх формах: в нормальной форме, канонической форме и форме простых сомножителей. Если корни характеристического полинома, стоящего в знаменателе, комплексные, то наиболее удобна нормальная форма. В случае если корни действительные, то можно применить каноническую форму или форму простых сомножителей.

В результате моделирования получены графики переходного процесса в системе. Во всех случаях результат моделирования для одной и той же передаточной функции получился одинаковый, что доказывает правильность составления схем и матриц состояний.

Так же в работе построена схема моделирования нелинейной системы согласно системе дифференциальных уравнений, описывающих её работу. При моделировании нелинейной системы используют нелинейные блоки, то есть блоки с изменяющимися во времени параметрами. Такие блоки не обладают свойством суперпозиции. Форма выходного сигнала зависит не только от параметров нелинейного блока, но и от его расположения в схеме. В результате моделирования получен график реакции системы на единичное ступенчатое воздействие.

Список литературы

1. Бахвалов Л.А. Моделирование систем: учеб. пособие для вузов / Л.А. Бахвалов. - М.: Изд-во МГГУ, 2006. - 295с.

2. Лазарев Ю. Моделирование процессов и систем в MATLAB: учебный курс / Ю. Лазарев. - СПб.: Питер, 2005. - 512 с.

3. Мартынов Н.Н. Введение в MATLAB 6.x: Учебник / Н.Н. Мартынов. - М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2002. - 352 с.

4. Новгородцев, А.Б. Расчет электрических цепей в MATLAB: Учеб. курс / А.Б. Новгородцев. - М. [и др.]: Питер, 2004. - 250 с.

5. Поршнев С.В. Компьютерное моделирование физических процессов в пакете MATLAB: Учеб. пособие для вузов / С.В. Поршнев. - М.: Горячая линия-Телеком, 2003. - 592с.

6. Поршнев С.В. MATLAB 7: основы работы и программирования: учеб. пособие для вузов / С.В. Поршнев. - М.: Бином, 2006. - 320 с.

7. Советов Б.Я. Моделирование систем: Практикум: Учеб. пособие для вузов / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2003. - 295 с.

8. Советов Б.Я. Моделирование систем: учебник для вузов / Б.Я.Советов, С.А. Яковлев. - 4-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2005. - 342 с.

9. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: учебник для вузов / В.П. Тарасик. - 2-е изд., испр. и доп. - Минск: Дизайн ПРО, 2004. - 640с.

Размещено на Allbest.ru