Дискретное преобразование Карунена-Лоэва

Размещено на http://www.allbest.ru/

• Дискретное преобразование Карунена-Лоэва
• Содержание
• 1. Оптимальное преобразование
• 2. Дискретное разложение Карунена - Лоэва периодической случайной последовательности
• Литература
• 1. Оптимальное преобразование
• Пусть x = [x[1], x[2], …, x[M]]^T - случайный вектор с нулевым средним и корреляционной матрицей R_x. Подвергнем этот вектор линейному преобразованию
• w = A^Hx ; A ^-1 = A^H, (1)
• где A = [ a_j ], j = 1,…, M - унитарнаяя матрица. При этом
• ; при i j.
• Рассмотрим оценку вектора x в форме m компонент (1 m M ) вектора w
• .
• Ошибка принимает вид
• ,
• при этом средний квадрат ошибки
• . (2)
• Из (1) следует, что и следовательно .
• Определим такую матрицу A, которая минимизировала бы средний квадрат ошибки, при условии нормировки вектора a_i:
• .
• Задача сводится к поиску минимума функции Лагранжа
• ,
• где _I - множитель Лагранжа.
• Приравнивая градиент этого выражения нулю, получим уравнение
• ,
• из которого получается соотношение
• R_xa_i = _ia_i. (3)
• Используя данное соотношение и учитывая (2) выразим минимальную ошибку как
• . (4)
• Из (3), (4) и определения собственных значений и векторов следует, что задача минимума среднего квадрата ошибки сведена к поиску собственных значений _i и собственных векторов a_i матрицы R_x. Следовательно, матрица преобразований A является матрицей состоящей из ортонормированных собственных векторов матрицы R_x . Обозначим эту матрицу через Q = {q_i}, i=1,…, M.
• Тогда
• W = Q^H x. (5)
• В результате преобразования (5) формируется вектор w с нулевым средним значением и с корреляционной матрицей
• = diag(₁, …, _M).
• Такое преобразование называется дискретным преобразованием Карунена-Лоэва (ДПКЛ).
• Обратное преобразование выражает вектор x через координаты вектора w:
• x = Q w = q₁ w₁ + q₂ w₂ , + … + q_M w_M.
• 2. Дискретное разложение Карунена - Лоэва периодической случайной последовательности
• Известно, что корреляционная матрица стационарного процесса является теплицевой. Если корреляционная последовательность случайного процесса является периодической с периодом M , то корреляционная матрица становится циркулянтной. Общий вид циркулянтной матрицы
• .
• Любая строка такой матрицы получается из предыдущей путем циклического сдвига га одну позицию вправо.
• Циркулянтная корреляционная матрица имеет вид
• .
• Введем M - точечное ДПФ последовательности отсчетов корреляционной функции r_x(l)
• ,
• где W_M = exp(-2j/M) .
• Рассмотрим вектор
• .
• преобразоване дискретный циркулянтный матрица
• Нетрудно установить, что справедливо следующее соотношение
• .
• Отсюда следует, что вектор w_k ДПФ является собственным вектором циркулянтной корреляционной матрицы R_x, а величина - собственным значением этой матрицы. Таким образом, ДПФ эквивалентно ДПКЛ периодической импульсной последовательности.
• Справедливо еще одно полезное соотношение
• ,
• где w - матрица ДЭФ, которое говорит о том, что ДПФ диагонализирует циркулянтную корреляционную матрицу.
• Пример. Дано разностное уравнение
• x[n] = v[n]+bv[n-1],
• где v[n] - белый гауссовский шум с нулевым средним значением и единичной дисперсией.
• Найти ДПКЛ при M = 3.
• Решение. Найдем матрицу R_x
• .
• Вычислим собственные значения матрицы R_x:
• | R_x - I|=(1 + b² - )[(1 + b² - )² -2b²] = 0.
• Отсюда находим собственные значения
• ⁽¹⁾ = 1 + b²; ^(2,3) = 1 + b² b2.
• Матрица Q состоит из ортонормированных собственных векторов
• Q = [q₁, q₂, q₃]
• матрицы R_x:
• .
• ДПКЛ принимает вид
• x(n) = w₁(n) q₁ +w₂(n) q₂ +w₃ q₃.
• Причем M{w₁²} = ₁, M{w₂²} = ₂, M{w₃²} = ₃ .
• Литература
• 1. Шахтарин Б.И. Случайные процессы в радиотехнике. Т.1. Линейные преобразования. - М.: Гелиос АРВ, 2006. -464 с.
• 2. Ахмед Н., Рао К. Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов.-М.: Связь, 1980. - 248 с.
• Размещено на Allbest.ru