Классический метод идентификации

Размещено на http://www.allbest.ru/

Классический метод идентификации

СОДЕРЖАНИЕ

1. Системы с одним входом и одним выходом

2. Типовая идентификация линейных объектов

3. Идентификация с помощью частотной характеристики

1. СИСТЕМЫ С ОДНИМ ВХОДОМ И ОДНИМ ВЫХОДОМ

Для простоты ограничимся системами с одним входом и одним выходом. Рис. 1.1 иллюстрирует эту задачу: по наблюдениям входного и выходного сигналов линейной стационарной системы на конечном промежутке времени нужно определить ее весовую функцию h(t).

Мы будем наблюдать входные и выходные сигналы только в N равномерно распределенных на отрезке [0, Т] с шагом точках фиксации, причем N=Т. Основываясь на этих данных, мы будем искать приближенные значения весовой функции в указанных точках.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.1. Схема задачи определения весовой функции.

Выходной сигнал системы при входе x(t) и нулевых начальных условиях выражается хорошо известным интегралом свертки

. (1.1)

Здесь предполагается также, что вход x() равен нулю при < 0.

Кроме того, потребуем,

чтобы x(0) 0; если это ограничение не выполнено, ему легко удовлетворить соответствующим преобразованием независимой переменной t. фиксация линейный объект частотный

Введем теперь аппроксимацию входной функции времени x(t), полагая ее равной значению в левой точке фиксации на всем интервале между двумя соседними точками. Следовательно, мы принимаем

. (1.2)

Точно так же функцию (t) примем постоянной между точками фиксации, присвоив ей значение, соответствующее средней точке интервала:

. (1.3)

В терминах ступенчатых аппроксимаций x(t) и (t) интеграл в (1.1) при t = n приближенно запишется в виде

.(1.4)

Обозначив N-вектор наблюдений выхода через

(1.5)

и N-вектор значений весовой функции в точках фиксации через

, (1.6)

перепишем уравнение (1.1.4) в виде

.(1.7)

Здесь матрица W определяется равенством

.

Отметим, что X - левая треугольная матрица.

Теперь задача сведена к определению из уравнения (1.7) вектора значений весовой функции в точках фиксации. Ввиду условия x(0) 0, как легко видеть, detX=[x(0)]^N0 и X невырождена. Поэтому формально решение уравнения (1.7) можно записать в виде

= X^-1Y.(1.8)

Благодаря левой треугольной форме X выражение для легко переписать в рекуррентном виде

,(1.9)

Где

(1.10) и

. (1.11)

2. ТИПОВАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ

Из приведенного в гл. 1 определения идентификации следует, что нахождение оптимальной в каком-либо смысле модели реального объекта по результатам измерения входных и выходных переменных заключается в выборе оценки оператора данного объекта А из заданного класса операторов. Такое определение ведет к типовой идентификации, т. е. к необходимости располагать классом операторов [Л. 11, 166], из которого представилось бы возможным выбрать по характеристикам реализаций входа и выхода оператор, близкий к истинному значению неизвестного оператора объекта. Таким образом, речь идет о том, чтобы максимально использовать предыдущий опыт теоретических и экспериментальных исследований и на его базе составить классификацию объектов управления, по которой можно было бы приближенно оценить структуру и параметры реального объекта. Практическая ценность такой типизации очевидна. Действительно, для случая одномерного стационарного линейного объекта процедура использования результатов типовой идентификации выглядит следующим образом. По реализациям входной и выходной переменных, полученным в реальных условиях функционирования объекта, определяются оценки функций K_xx(t) и K_yx(t). По виду этих функций производится приближенное определение класса оператора, к которому может быть отнесен данный конкретный объект, т. е. определяется структура модели, описывающая данный объект. Затем осуществляется дальнейшая детализация в том смысле, что по виду полученных функций K_xx(t) и K_yx(t) данный объект относится к определенному типу, и определяются параметры модели.

Очевидно, что наличие альбомов типовой идентификации дает возможность значительно уменьшить затраты времени, необходимые для решения интегрального уравнения с целью определения характеристик многочисленных типов объектов, и, кроме того, в дальнейшем сможет служить основой для полной автоматизации процесса идентификации.

Задача составления таких альбомов может быть решена как с помощью рассмотренных выше методов (или при помощи моделирования на аналоговых машинах), так и аналитическими методами. На одном из возможных аналитических методов мы остановимся здесь подробней ввиду его простоты, а также в связи с тем, что первая укрупненная классификация была произведена при помощи этого метода.

Примем, что при идентификации весовая функция линейного стационарного объекта определяется по корреляционной функции входа K_xx(t) и взаимной корреляционной функции входа и выхода K_yx(t) из следующего интегрального уравнения:

(2.15)

Уравнение (2.15) представляет собой уравнение Фредгольма первого рода, решение которого связано с известными трудностями [Л. 197]. При определенных условиях, которые будут сформулированы ниже и которые не сильно сужают класс реальных объектов, уравнение (2.15) может быть сведено к уравнению Вольтерра первого рода, которое просто решается при помощи преобразования Лапласа. Для этого корреляционную функцию входа объекта представим в виде [Л. 166]

(2.16)

а взаимную корреляционную функцию входа и выхода в виде

(2.17)

Допустим теперь, что при t < 0 корреляционная функция входа и взаимная корреляционная функция входа и выхода представляют собой аналитические функции входной и выходной случайной функций и допускают аналитическое продолжение на положительную полуось. Кроме того, примем, что при t 0.

, (2.18)

которое всегда будет выполняться, когда в аналитическое представление K_yx(t) будет явно входить модульЈ. Очевидно, что в силу симметричности автокорреляционной функции для - < t < + имеет место тождество

. (2.19)

Для принятых ограничений уравнение Фредгольма первого рода сведем к уравнению Вольтерра первого рода типа свертки. Для этого уравнение (2.15) запишем раздельно для случая t 0 и для случая t 0. Для t 0 уравнение (2.15) представим следующим образом:

. (2.20)

В силу единственности аналитического продолжения для функций и уравнение (2.20) будет иметь место для всех t.

С учетом представления корреляционной функции в виде (2.16) интеграл в уравнении (2.15) для t 0 будет равен сумме двух интегралов

(2.21)

или

. (2.22)

Объединяя первый и третий интегралы, а также учитывая (2.20), получаем следующее уравнение:

. (2.23)

Если для всех рассматриваемых функций существует преобразование Лапласа, то решение уравнения (2.23) всегда существует и при том единственное. Решение уравнения (2.23) получается путем применения преобразования Лапласа к обеим частям уравнения. Так как согласно теореме умножения свертка оригиналов, имеет изображением произведение изображений, то передаточная функция объекта равна:

, (2.24)

где , , и - преобразование Лапласа корреляционных функций , , И соответственно.

Определение весовой функции объекта g() осуществляется при помощи обратного преобразования Лапласа

(2.25)

для 0, так как для < 0 весовая функция g() = 0.

При практическом решении задачи типовой идентификации принимается, что корреляционная функция входа K_xx(t-) может быть представлена в виде конечных сумм произведений неслучайных функций каждой из переменных t и [Л. 179]. Тогда с учетом принятого разбиения автокорреляционной функции (2.16) можно записать:

(2.26)

В этом случае взаимная корреляционная функция не может быть произвольной, а должна быть равна:

,(2.27)

;(2.28)

при этом может быть произвольной, но должно выполняться требование непрерывности взаимной корреляционной функции в нуле, т. е.

.

Рассмотренный метод разбиения корреляционных функций

K_xx(t)

и K_yx(t)

для принятых ограничений может быть использован для решения интегрального уравнения (1.35).

Аналогично изложенному получим уравнения

;(2.29)

,(2.30)

которые эквивалентны уравнению (1.35). Учитывая (2.26), уравнение (2.30) запишем следующим образом:

,(2.31)

где постоянные коэффициенты с, определяются уравнением (2.28). Применение преобразования Лапласа (если оно существует) к обеим частям (2.29) с учетом (2.31) дает следующее уравнение для передаточной функции объекта:

.(2.32)

3. ИДЕНТИФИКАЦИЯ С ПОМОЩЬЮ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Частотный метод идентификации линейных систем основан на работах Найквиста [6] и Боде [7] и использует амплитудные частотные характеристики. В частотном методе полагается, что на вход подается синусоидальный сигнал, частота которого изменяется в рассматриваемом диапазоне.

Следствием этого могут быть значительные практические трудности при формировании синусоидальных входных сигналов с различными частотами.

Метод основан на следующем преобразовании Лапласа для отношения входа и выхода (см. рис. 2.1):

,(2.14)

Или

(2.15)

где G(s), X(s) и Y(s) - передаточная функция, выход и вход системы соответственно. Взаимосвязь между концепциями передаточной функции и переменной состояния обсуждается в разд. 2.5. Возможен переход от концепции передаточной функции к пространству состояний и наоборот. Заметим, что переменная s преобразования Лапласа есть

(2.16)

а так как нас интересует только изменение соотношения вход/выход в передаточной функции G (рис. 2.1) по частоте, то можно предположить, что . Тогда получим

.(2.17)

Уравнение (2.17) представляет собой выражение преобразования Фурье, справедливое для сходящихся функций g(t), x(t) и y(t), где

g(t) = L^-l[G(s)],

х(t)=L^-1 [Х(s)],(2.18)

y(t)=L^-1[Y(s)].

Таким образом, G(j) обозначает передаточную функцию системы при частоте (рад/с). Так как G(j) - комплексная величина, то можно рассмотреть модуль передаточной функции G(j) и аргумент (сдвиг по фазе). Тогда для

(2.19)

Получим

(2.20)

и

. (2.21)

Выход x(t) линейной системы будет иметь ту же частоту, что и вход y(t), если y(t) - чисто синусоидальный входной сигнал c единственной частотой . В таком случае амплитуда x(t) в |G(j)| раз больше входного сигнала y(t), а ее фаза смещена на величину относительно y(t), так что для

у(t) = M sin (t)(2.22)

получаем

х(t) = Nsin (t),(2.23)

где

(2.24) и

(2.25)

Частотная характеристика G(j) определяется путем подачи синусоидальных входных сигналов Мsin(t) на различных частотах и записи соответствующих выходных сигналов Nsin(t+). С целью получения необходимой частотной характеристики величины M/N и определяются для каждой рассматриваемой частоты .

Таким образом, метод преобразований Фурье используется для анализа в случае синусоидальных входных сигналов. Теоретически преобразования Фурье неприменимы для несходящихся входных сигналов y(t), когда . Однако в разд. 2.1 уже говорилось, что синусоидальный входной сигнал можно рассматривать как несколько демпфированный, т. е.

(2.26)

где - малая положительная величина.

Амплитудные частотные характеристики, которые широко используются в классической теории управления [8], состоят из амплитудной и фазовой (частотной) характеристик. Поэтому в общем случае G(j) является комплексной величиной. Если построить модуль измеренной частотной характеристики устойчивой линейной системы в единицах 201g|G(j)| в зависимости от lg(), то можно непосредственно идентифицировать эту систему. Ограничение случаев устойчивых систем имеет не только теоретический, но и практический смысл, так как в неустойчивых системах частотные характеристики нельзя измерить. Общая форма выражения для G(s) имеет вид

, (2.27)

Где

q+p+2r=m

- порядок полинома s в числителе, а

- порядок полинома s в знаменателе. Тогда lg|(G(j)| и Arg[G(j)] определяются выражениями

,(2.28)

.(2.29)

(Отметим что для всех А и В

Arg()=Arg A+ArgB, Arg()=ArgA-ArgB

а для всех вещественных значений D

ArgjD=Argj+ArgD=/2+Arg D=/2. Размещено на Allbest.ru