Размещено на http://www.allbest.ru/

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗОМКНУТЫХ СИСТЕМ

Рассмотрим систему автоматического управления, структурная схема которой имеет вид

К такой структурной схеме (расчётной схеме) можно привести любую систему автоматического управления с помощью правил преобразования структурных схем.

Как следует из расчётной структурной схемы

или . В случае если или для всех значений , то говорят, что система автоматического управления разомкнута - отсутствует главная обратная связь.

Передаточная функция разомкнутой системы автоматического управления . Ее, как правило, можно представить в виде

,

где - передаточная функция элементарных звеньев.

В этом случае модули и аргументы передаточных функций системы и звеньев

 ; ,

;

связаны между собой соотношением

, .

Отсюда следует, что логарифмические амплитудно-частотные характеристики разомкнутой системы определяются как

.

Из сказанного следует, что для построения логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы автоматического управления нужно:

передаточную функцию разомкнутой системы представить в виде произведения элементарных звеньев;

построить логарифмические частотные характеристики элементарных звеньев системы, и затем эти характеристики графически суммировать.

Пример 1. Построить логарифмические частотные характеристики системы с передаточной функцией

.

Решение. Передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в виде последовательного соединения элементарных звеньев:

Интегрирующего звена с передаточной функцией

.

Апериодического звена с передаточной функцией

Усилительного звена с передаточной функцией .

Затем строим логарифмические частотные характеристики каждого из этих звеньев и производим их графическое сложение (см. рис.1).

Можно предположить несколько иной, более простой порядок построения логарифмической амплитудно-частотной характеристики разомкнутой системы.

Проиллюстрируем это на конкретном примере.

Пример. Построить логарифмическую амплитудно-частотную характеристику системы, передаточная функция которой

Решение. Представим передаточную функцию разомкнутой системы в виде

.

Асимптотическая логарифмическая амплитудно-частотная характеристика состоит из пяти асимптотических логарифмических амплитудно-частотных характеристик пяти элементарных звеньев.

- усилительное звено.

- интегрирующее звено.

- апериодическое звено.



- дифференцирующее (форсирующее) звено 1-го порядка.

- колебательное звено.

Определим сопрягающие частоты:

 ; ; .

Пусть постоянные времени таковы, что

.

Отметим эти частоты на оси (частот). Напомним, что на этой оси масштаб логарифмический.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика определяется уравнением:

.

Напоминание. При построении асимптотической логарифмической амплитудно-частотной характеристики элементарных звеньев при частотах, меньших сопрягающей частоты, под корнем оставляют только единицу, а остальными членами пренебрегают. При частотах, больших сопрягающей частоты, оставляют члены с наивысшей степенью .

В рассматриваемом примере при уравнение первой асимптоты будет

.

Согласно этому уравнению, первую асимптоту проводят через точку с координатами с наклоном (см. рис. 2).

Она оканчивается на первой сопрягающей частоте .



При аналогично имеем

.

Это уравнение второй асимптоты. Её наклон изменился на и обусловлен апериодическим звеном.

Вторую асимптоту проводят от конца первой асимптоты до второй сопряжённой частоты согласно ее уравнению с наклоном .

При имеем

.

Это уравнение третьей асимптоты. Её наклон изменяется на +20 дБ/дек и обуславливается форсирующим звеном первого порядка.

Третью асимптоту проводят от конца второй асимптоты до третьей сопрягающей частоты с наклоном (-20 дБ/дек).

При имеем

 .

Это уравнение последней, четвертой асимптоты. Её наклон изменяется по отношению к третьей асимптоте на и обуславливается колебательным звеном.

Теперь можно сформулировать общее правило построение асимптотической амплитудно-частотной характеристики системы с передаточной функцией

,

где - передаточная функция элементарных звеньев.

Правило построения асимптотических амплитудно-частотных характеристик разомкнутых систем автоматического управления.

Получить передаточную функцию разомкнутой системы автоматического управления:

Представить передаточную функцию разомкнутой системы управления в виде

,

где - передаточная функция -го элементарного звена.

Определить сопрягающие частоты и значение и наносят значения сопрягающих частот на ось и отмечают точку с координатами .

Через точку с координатами проводят первую асимптоту с наклоном дБ/дек до первой сопрягающей частоты.

Проводят вторую асимптоту от правого конца первой до второй сопрягающей частоты. Её наклон изменяется на или на в зависимости от того, является ли сопрягающая частота - сопрягающей частотой апериодического, дифференцирующего звена первого порядка и т.п.

Строят каждую последующую асимптоту аналогично второй. Изменение наклона -ой асимптоты зависит от того, сопрягающей частотой какого элементарного звена является .

Если какая-либо сопрягающая частота является кратной и ее кратность равна (имеется одинаковых элементарных звеньев), то изменение наклона при этой частоте в раз больше, чем при соответствующей простой частоте.

Для колебательных звеньев необходимо выполнить поправки в соответствии с графиками, шаблонами и т.п., можно по формуле:



Качество процессов управление.

Одной из основных задач теории автоматического управления является изучение характерных особенностей процессов, которые протекают в исследуемой системе. Это осуществляется средствами математики.

Каждую систему управления можно описать системой дифференциальных уравнений - это математическая модель системы в форме дифференциальных уравнений.

Математической моделью процессов в исследуемой системе является решение дифференциальных уравнений, которые описывают динамические процессы в исследуемой системе. Это решение (для выходной переменной) имеет вид

,

где -собственное движение системы, определяется общим решением соответствующего однородного уравнения; -вынужденное движение, определяется частным решением неоднородного уравнения и зависит от вида правой части уравнения.

С точки зрения протекания процессов в системе, требования к процессам делятся на три группы:

1.Устойчивость системы

2.Качество переходного процесса

3.Точность отработки заданного входного воздействия

С точки зрения теории автоматического управления

- в основном определяет характер переходных процессов в исследуемой системе; характеризует устойчивость системы.

- установившиеся процессы в системе. На эту составляющую накладывается переходной процесс, влияние которого становится незначительным по истечении времени.

Об устойчивости.

Под устойчивостью системы понимают ее способность возвращаться в состояние равновесия после снятия возмущающих факторов, действующих на систему. Если система неустойчива, то под воздействием внешних возмущений или после их снятия, она переходит из одного состояния равновесия в другие состояния равновесия (или остается в исходном состоянии). Если система неустойчива, то она не возвращается в состояние равновесия, из которого ее вывели, а либо удаляется от него, либо совершает вокруг него недопустимо большие колебания.

Устойчивость системы автоматического управления затухание процессов в системе: при

О качестве процессов управления, о неточности отработки заданного входного воздействия речь может идти толь для устойчивых систем.

О переходном процессе.

Переходной процесс в системе автоматического управления - это .

Качество переходного процесса принято часто характеризовать при помощи следующих величин, называемых показателями качества:



Величина перерегулирования

Статическое отклонение (установившееся значение) .

Времени переходного процесса или времени регулирования: наименьшее значение времени, после которого имеет место неравенство , , - заданная малая постоянная величина (обычно 5% от установившегося значения)

N - число колебаний регулируемой величины в течении времени переходного процесса .

О точности системы.

Точность системы автоматического управления определяется формулой установившегося процесса . При этом установившаяся ошибка системы будет при и характеризует степень близости выходной переменной к заданному значению после окончания переходного процесса в системе.

Переходной процесс в системе автоматического управления как правило рассматривают при подаче на вход системы постоянного входного воздействия при нулевых начальных условиях.

Если - тогда математической моделью переходного процесса является переходная функция замкнутой системы.

Характеристики замкнутых систем автоматического управления.

Пусть структурная схема системы автоматического управления преобразована к расчетной структурной схеме:

Как следует из ранее изложенного для замкнутой системы справедливы следующие соотношения:

,

.

Изучим временные и частотные характеристики замкнутых систем.

Временные характеристики замкнутых систем автоматического управления. передаточный разомкнутый частотный преобразование

Переходная функция замкнутой системы . Переходная функция замкнутой системы автоматического управления - это ее реакция на единичное входное воздействие:

; .

Следуя ранее введенным обозначениям, - переходная функция системы, а ее изображение по Лапласу - , .

При , будем иметь и, следовательно, . Тогда, по передаточной функции разомкнутой системы управления определим переходную функцию замкнутой системы:

.

.

Из последнего равенства следует, что для получения переходной функции замкнутой системы управления необходимо:

Преобразовать структурную схему системы к расчетной структурной схеме и получить передаточную функцию разомкнутой системы .

По передаточной функции разомкнутой системы получить передаточную функцию замкнутой системы по формуле:

.

Выполнить обратное преобразование Лапласа от выражения:

, т. е.

.

Не используя равенства (1), можно определить установившееся значение переходной функции замкнутой системы, если воспользоваться «предельными» теоремами преобразования Лапласа. Имеем:

Для замкнутых систем автоматического управления особый интерес представляет изучение изменения во времени ошибки системы . Для ошибки системы справедливы следующие равенства:

;

Таким образом для имеем

и окончательно

Для того чтобы получить закон изменения во времени ошибки системы необходимо:

Преобразовать структурную схему системы к расчетной структурной схеме и получить передаточную функцию системы .

По передаточной функции разомкнутой системы вычислить передаточную функцию замкнутой системы по ошибке по формуле:

.

Выполнить обратное преобразование Лапласа от выражения

, т.е.

.

Не используя равенства (3), можно определить установившееся и начальное значение ошибки системы, если воспользоваться «предельными» теоремами преобразования Лапласа. Имеем



,

Импульсная переходная (весовая) функция замкнутой системы .

Весовой функцией замкнутой системы автоматического управления называется функция, описывающая реакцию замкнутой системы, когда на ее вход подается -функция при нулевых начальных условиях

; .

Следуя ранее введенным обозначениям, - импульсная переходная (весовая) функция системы, а ее изображение по Лапласу - , .

При , будем иметь и, следовательно, . Тогда, по передаточной функции разомкнутой системы управления определим весовую (импульсную переходную) функцию замкнутой системы

.



Из полученного равенства следует, что для получения импульсной переходной функции (весовой функции) замкнутой системы необходимо:

Преобразовать структурную схему системы к расчетной структурной схеме и получить передаточную функцию системы .

По передаточной функции разомкнутой системы получить передаточную функцию замкнутой системы по формуле:

.

Выполнить обратное преобразование Лапласа от передаточной функции замкнутой системы .

Для рассматриваемого случая, чтобы определить закон изменения во времени ошибки системы необходимо вычислить передаточную функцию замкнутой системы по ошибке:

,

а затем найти обратное преобразование по Лапласу от , т.е.

.

Установившееся и начальное значения функций и находим на основании предельных теорем преобразования Лапласа:

,

,

,

.

Установим связь между импульсной переходной (весовой) функцией и переходной функцией замкнутой системы. Имеем

; ;

; ;

.

Следовательно . Применим обратное преобразование Лапласа к обеим частям последнего равенства . Но так как , то на основании свойства преобразования Лапласа ( при нулевых начальных условиях умножение на в области изображений соответствует дифференцированию по в области оригиналов) имеем



Размещено на Allbest.ru