Интегральные оценки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Квадратичная интегральная оценка с учетом производной

Недостатком квадратичной интегральной оценки , как и предыдущих оценок, является то, что при минимизации оценки не накладываются ограничения на форму переходного процесса. На пример, показанные на рис. 1 графики - (а, б, в) могут иметь одинаковые значения существенно при этом отличаясь по форме переходного процесса.

Рис. 1

Кроме того, часто оказывается, что выбранные по параметры системы приводят к существенно колебательному процессу, большим производным из-за стремления приблизить процесс к идеальному скачку.

Поэтому используют еще один вид интегрально квадратичной оценки, в которой ограничение накладывается не только на величину отклонения , но и на скорость его изменения . Эта оценка имеет следующий вид -

(1)

где - некоторая постоянная времени.

Разницу между оценками и можно представить графически, как это показано на рис. 2.

Рис. 2

квадратичный интегральный оценка переходной

То есть оптимизированный по переходный процесс стремиться к идеальному скачку, а оптимизированный по - к кривой экспоненциального вида, которая описывается следующим выражением -

Докажем последнее утверждение. Для этого проанализируем выражение (1).

,

с учетом того, что

,

получаем

(2)

С учетом того, что последнее слагаемое в (2) является величиной постоянной -

квадратичная оценка будет иметь минимум при

(3)

Решение дифференциального уравнения (3) имеет вид -

,

а если перейти от ошибок к выходным переменным, то получим -

,

что и требовалось доказать.

Следовательно, выбирая параметры системы по , можно приблизить переходный процесс к экспоненте с заданной постоянной времени , тем самым вводится ограничение на скорость нарастания выходной величины .

Методика определения может быть аналогичной методике определения , рассмотренной выше, если представить квадратичную оценку с учетом производной в следующем виде -

,

где определяется по формулам для , но с учетом того, что порядок числителя - увеличивается на 1.

В теории автоматического управления используют квадратичные оценки с производными более высокого порядка (до ) для более точного задания желаемой формы переходного процесса, естественно, что при этом усложняется и процесс вычисления оценок.

Вычисление квадратичных интегральных оценок

Пример

В системе управления с передаточной функцией -

,

зададим :

· из условия ,

· из условия ,

и сравним переходные процессы для двух этих случаев.

Решение

Получим выражение для . Для этого преобразуем передаточную функцию системы к заданному виду

,

тогда получим

(4)

Выражение для принимает вид -

(5)

Определим компоненты (5) по параметра передаточной функции системы (4).

(6)

Для нахождения определим (), при ,

,

Заменим в выражении (6) для первый столбец столбцом вида

.

Тогда получаем

.

Определим -

.

После подстановки полученных компонент в (5) получаем выражение для квадратичной интегральной оценки.

(5)

Найдем выражение для частной производной по от выражения (5)

,

приравнивая полученное выражение к нулю получаем уравнение для нахождения оптимального значения .

.

В результате получаем оптимизированное по квадратичной оценке значение -

(6)

Передаточная функция системы при примет вид -

.

На рис. 3 покажем вид переходного процесса системы при единичном ступенчатом воздействии и оптимизированным по параметром.

Рис. 3

Таким образом, имеем следующие показатели качества переходного процесса,

 (7)

Определим по отработанной выше методике для -

,

выражение для берем из предыдущего случая -

.

Определим теперь . Передаточная функция системы для этого случая имеет вид -

,

тогда получим

(8)

Выражение для принимает вид -

(9)

Определим компоненты (9) по параметра передаточной функции системы (8).

 (10)

Определим коэффициенты -

.

не определяем, так как . Для нахождения определим (), при

,

,

Заменим в выражении (10) для второй столбец столбцом вида

.

Тогда получаем

.

После подстановки полученных компонент в (9) получаем выражение для квадратичной интегральной оценки.

 (11)

Окончательно получаем

(12)

Найдем выражение для частной производной по от выражения (12)

,

приравнивая полученное выражение к нулю получаем уравнение для нахождения оптимального значения .

.

В результате получаем оптимизированное по квадратичной оценке с учетом производной значение -

(13)

Полагаем для определенности , тогда

.

Передаточная функция системы при примет вид -

.

На рис. 3 покажем вид переходного процесса системы при единичном ступенчатом воздействии и оптимизированным по параметром.

Рис. 4

Таким образом, имеем следующие показатели качества переходного процесса,

(14)

Сравнивая переходные процессы, видим, что при оптимизации по квадратичной оценке с учетом производной () получили существенно меньшие значения перерегулирования и быстродействия, при более плавном нарастании переменной.

Размещено на Allbest.ru