Преобразование структурной схемы и поиск передаточной функции разомкнутой и замкнутой системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Постановка задачи

В данной курсовой работе предложено выполнить преобразование структурной схемы, найти передаточную функцию разомкнутой и замкнутой системы, рисунок 1.

Рисунок 1 - Структурная схема

Перечислим основные элементы схемы:

-А1 - усилительное звено с передаточной функцией W₁(p)

где К₁ - коэффициент усиления;

-А2 - апериодическое звено с передаточной функцией

где К₂ - коэффициент усиления апериодического звена;

Т₂ - постоянная времени апериодического звена, с;

-А3 - интегрирующее идеальное звено с передаточной функцией



-А4 - апериодическое звено с передаточной функцией

где К₄ - коэффициент усиления апериодического звена;

Т₄ - постоянная времени апериодического звена, с.

Таблица 1 - Данные для расчета

К1	К2	К3	Т2,с	Т4,с	,с	д %
75	2,5	2,6	0,055	0,019	0,26	20



2. Построение частотных характеристик разомкнутого контура

Для построения характеристик: амплитудно-частотной (АЧХ); амплитудно-фазовой частотной (АФЧХ); фазово-частотной (ФЧХ), определим передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы:

Подставим в формулу (5) исходные данные, получим:

Для того, чтобы построить частотные характеристики АЧХ, АФЧХ, ФЧХ, заменим p на i•w в (6), получим:

Представим передаточную функцию в виде мнимой V(w) и вещественной U(w) частей:



2.1 Построение АЧХ

Для построения АЧХ определим амплитудуA(w) по формуле:

2.2 Построение ФЧХ

Для построения ФЧХ найдем фазовый угол ц(w) по формуле:



Рисунок 3 - График ФЧX

2.3 Построение АФЧХ

Рисунок 4 - График АФЧX



3. Построение логарифмических частотных характеристик исходной системы

Для построения логарифмических частотных характеристик: логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ), логарифмической фазово-частотной характеристики (ЛФЧХ) находим L(w) по следующим формулам:

Подставим значения из таблицы 1 в формулы (14) и (15), получим:

L(w)= 62 дБ,

w₂=18,18 c^-1,

w₃= 52,63 c^-1.

Для построения графика ЛФЧХ находим ц(w), который рассчитывается по формуле:

Таблица 2 - Данные для построения графика ЛФЧХ

w,c-1	0,1	1	5	10	50	100	200	500	1000
	-90,3	-94,3	-110	-129,3	-204,2	-231	-243,7	-263,6	-265

Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ изображены в приложении А под названием L_исх и ц_исх(W).



4. Определение устойчивости

Для определения устойчивости исходной системы пользуемся методами определения устойчивости, которые называем критериями.

4.1 Критерий Рауса [2]

Устойчивость системы определим по характеристическому уравнению D(p) передаточной функции (7)

Таблица 3- Критерий Рауса

Коэффициентr	№ строки	Номер столбца
		1	2	3
-	1	С1,1=0,00105	С2,1=1	С3,1=0
-	2	С1,2=0,074	С2,2=1218,75	С3,2=0
r3=0,014	3	С1,3=-16,06
r4=-0,0047	4	С1,4=-1218,75

Вывод: система не устойчива, т. к. коэффициенты первого столбца меньше нуля(отрицательные).

4.2 Критерий Михайлова [2]

Определение устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования производим по виду передаточной функции замкнутой системы формулы (7).



Для построения годографа Михайлова в характеристическом уравнении заменим p на (i_w). Делим полученное выражение на мнимую и вещественную части, получим:

Рисунок 5 - Годограф Михайлова

Вывод: система не устойчива, т.к. годограф не обходит квадранты последовательно.



5. Синтез корректирующего устройства

Синтезом в теории управления называют нахождение структуры и параметров системы по заданным показателям.

Порядок синтеза последовательного корректирующего устройства следующий:

- построим ЛАЧХ неизменяемой части исходной системы Lн(w);

- по заданным показателям качества определим желаемую ЛАЧХ Lж(w);

- определим ЛАЧХ последовательно корректирующего устройства Lк(w);

-определим передаточную функцию корректирующего устройства, его схему.

Для построения ЛАЧХ желаемой характеристики определим частоту среза w_ср:

где t_p- время регулирования, с.

Из таблицы 1 возьмем следующие значения:

t_p= 0,26с

Получим:

w_ср= 30 с^-1

Примем при д=20% , ?L= 16 дБ

График ЛАЧХ изображен в приложении А под названием Lж(w).

Воспользуемся приложением А (график Lж(w)), найдем w_л, w_п, w_а и w_в:

w_л = 2,5 с^-1

w_п = 450 с^-1

wа = 0,12 с

wв = 1000 с

Построение ЛАЧХ корректирующего устройства. Построение ЛАЧХ корректирующего устройства производим по формуле:

Lк(w)=Lж(w)-Lн(w) (20) [2]

График ЛАЧХ корректирующего устройства Lк(w) изображен в приложении А. По графику ЛАЧХ определим передаточную функцию корректирующего устройства:

Для построения ЛФЧХ скорректированной системы определим ее передаточную функцию Wcк(p) по формуле:

Wск(р)=Wр(р) _Wку(р) (22) [2]

Подставим значения Wку(p) из формулы (21) и Wск(p) из формулы (6):

Для построения ЛФЧХ скорректированной системы рассчитаем ц(w),

который найдем следующим образом:

ц(w)=-arctg(5,88w)-arctg(0,002w)-arctg(0,001w)+arctg(0,4_w) (24)



Таблица 4- Данные для построения ЛФЧХ скорректированной системы

w,с-1	0,1	0,5	10	50	100	450	1000
	-118,2	-149	-104,8	-101,5	-108,4	-156,5	-198,6

График ЛФЧХ скорректированной системы ц_ск(w) изображен в приложении А.



6. Определение устойчивости скорректированной системы

6.1 Критерий Гурвица [2] контур трапеция раус логарифмический

Устойчивость системы определим характеристическим уравнением передаточной функции скорректированной системы:

D(p)= (25)

Проверим необходимые условия:

а₀ =0,000012>0

а₁ =0,0179>0

а₂=5,88>0

а₃ =475,5>0

а₄ =1218,75>0

Условия выполняются.

Составляем матрицу:

1=0,0179

2=0,9945

3=51,336

4=62566

Вывод: система устойчива, т.к. выполняются все необходимые и достаточные условия, т.е. все коэффициенты положительные.



6.2 Критерий Михайлова [2]

Устойчивость системы определим характеристическим уравнением передаточной функции скорректированной системы:

D(p)=

Для построения годографа Михайлова в характеристическом уравнении заменим p на (i_w). Делим полученное выражение на мнимую и вещественную части, получим:

U(w)=0,000012

V(w)=

Рисунок 6- Годограф Михайлова



Вывод: система устойчива, т.к. годограф обходит квадранты последовательно.



7. Выбор схемы корректирующего устройства

Корректирующее устройство выберем по внешнему виду ЛАЧХ корректирующего устройства.



8. Построение вещественной частотной характеристики (ВЧХ)

Для построения вещественной частотной характеристики:

- домножим передаточную функцию (24) на комплексно сопряженное число и выделим вещественную часть U(w);

- построим график вещественной частотной характеристики ;

- разобьем график ВЧХ на трапеции;

- определим параметры трапеций и построим график переходного процесса для каждой трапеции;

- построим суммарный график переходного процесса и определим показатели качества.

Рисунок 7 - График ВЧХ



8.1 Параметры трапеций:

Трапеция 1	Трапеция 2
r1= 1,18	r2= -0,166
wc1= 160,7	wc2=790
wd1= 3	wd2= 242,9
л1= 0,018	л2= 0,3

Таблица 5 - Данные для построения переходного процесса по трапеции 1

to	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2	1,4	1,6	1,8	2
h(to)	0	0,076	0,1523	0,2267	0,3001	0,3711	0,4399	0,505	0,5682	0,6272	0,7853
t1	0	0,00571	0,0114	0,0171	0,0229	0,0285	0,0342	0,04	0,0457	0,0514	0,0571
x1	0	0,15308	0,3051	0,4545	0,6007	0,7422	0,8770	1,008	1,130	1,245	1,351
to	2,6	3,2	3,8	4,4	5	6	7	8	9	10	11
h(to)	0,9382	1,042	1,1	1,1196	1,1117	1,068	1,0229	0,9976	0,9917	0,9937	0,9934
t1	0,0743	0,0914	0,1086	0,1257	0,1429	0,1714	0,2	0,229	0,2571	0,2857	0,3142
x1	1,6137	1,7924	1,892	1,9257	1,9121	1,8369	1,7593	1,7158	1,7057	1,7091	1,7086
to	15	20	25	30	35	40	45	50	54	60	70
h(to)	0,9903	1,0039	0,9988	0,9992	1,0023	0,9992	0,9985	1,0009	1,0006	0,9994	0,9961
t1	0,4285	0,5714	0,7143	0,8571	1	1,1429	1,2857	1,4286	1,5429	1,7143	2
x1	1,7033	1,7267	1,7179	1,7186	1,7239	1,7186	1,7174	1,7215	1,7210	1,7190	1,7133

Таблица 6 - Данные для расчета переходного процесса по трапеции 2

to	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2	1,4	1,6	1,8
h(to)	0	0,0637	0,1258	0,189	0,2502	0,3096	0,3671	0,4223	0,4748	0,5246
t2	0	0,0303	0,0606	0,0909	0,1212	0,1515	0,1818	0,2121	0,2424	0,2727
x2	0	-0,005	-0,010	-0,015	-0,021	-0,026	-0,030	-0,035	-0,039	-0,044
to	2,6	3,2	3,8	4,4	5	6	7	8	9	10
h(to)	0,6915	0,781	0,8416	0,8777	0,8954	0,9028	0,9036	0,911	0,9248	0,9386
t2	0,3939	0,4848	0,5757	0,6666	0,7575	0,9090	1,0606	1,2121	1,36	1,5151
x2	-0,058	-0,065	-0,071	-0,073	-0,074	-0,075	-0,076	-0,077	-0,078	-0,079
to	15	20	25	30	35	40	45	50	54	60
h(to)	0,9533	0,9688	0,9747	0,9795	0,982	0,9837	0,9856	0,9873	0,9883	0,9894
t2	2,2727	3,0303	3,7878	4,5454	5,3030	6,0606	6,8181	7,5757	8,1818	9,0909
x2	-0,080	-0,081	-0,082	-0,082	-0,083	-0,083	-0,083	-0,083	-0,084	-0,084



Построим график переходного процесса и сложим их для построения результирующего графика (Приложение Б).

8.2 Показатели качества

Из графика переходных процессов находим показатели качества:

x_max = 1,25

t_max = 0,025с

x_уст = 1,09

д = 18,4 %

t_р = 0,02с

Вывод: Параметры системы соответствуют предъявленным требованиям.



Заключение

По ходу выполнения курсового проекта решены поставленные задачи:

- определена устойчивость исходной системы;

- выбрано и внесено в систему корректирующее устройство;

- определена устойчивость скорректированной системы;

- определены показатели качества.

После внесения корректирующего устройства в исходную систему, определили показатели качества. Параметры системы соответствуют предъявленным требованиям, следовательно расчеты проведены правильно и корректирующее устройство было подобрано верно.

При выполнении данного курсового проекта были использованы компьютерные программы:

- Microsoft Word;

- Microsoft Excel;

- MathCAD.

Размещено на Allbest.ru