Исследование дискретизации непрерывных сигналов во времени (теорема Котельникова)

Размещено на http://www.allbest.ru/

АСТРАХАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «СВЯЗЬ»

Отчет по лабораторной работе

Исследование дискретизации непрерывных сигналов во времени

(теорема Котельникова)

Выполнил студент

группы ЗИСС-22с

Мочалов Д.Н.

Проверил преподаватель

Семейкин В.Д.

Астрахань 2012

Цель Работы:

Исследование процессов дискретизации и восстановления непрерывных сигналов.

Решаемые Задачи:

- дискретизация сложных сигналов,

- исследование исходного и дискретизированного сигналов,

- частотные и импульсные характеристики фильтров - восстановителей,

- восстановление дискретизированных сигналов.

1. Понятие дискретизации

Суть дискретизации непрерывного сигнала можно легко проиллюстрировать на примере процесса дискретизации телефонного сигнала (рис.1).

Рис.1 Дискретизация телефонного сигнала

дискретизация сигнал лабораторный программа

Если в цепь микрофона, где ток является непрерывной функцией времени, встроить электронный ключ и периодически на короткие мгновения замыкать его, то ток в цепи будет иметь вид узких импульсов с амплитудами повторяющими форму непрерывного сигнала, и представлять собой ничто иное, как дискретный сигнал. Интервал времени t_Д, через который отсчитываются значения непрерывного сигнала, называются интервалом дискретизации. Обратная величина 1/ t_Д (далее F_Д) называется частотой взятия отсчетов или частотой дискретизации.

Отсчеты непрерывного сигнала следует брать с такой частотой, чтобы успевать отследить все, даже самые быстрые, изменения сигналов. Иначе при восстановлении этого сигнала по дискретным отсчетам часть информации будет потеряна, и форма восстановленного сигнала будет отличаться от исходной. А значит, будут иметь место искажения сигнала (рис.2)

Рис.2 Искажение формы восстановленного сигнала

2. Выбор частоты дискретизации

Чтобы отследить все изменения исходного сигнала, очевидно, достаточно выбрать отсчетные значения в моменты, соответствующие максимумам и минимумам простых синусоид, составляющих сложный сигнал, то есть с частотой, превышающей, по крайней мере, вдвое частоту исходного сигнала. Например, если простой сигнал проходит с частотой 20 Гц (20 раз в секунду), то его максимумы будут наблюдаться через каждые 50 мс (1с/20). Максимумы и минимумы кривой сигнал разделены интервалами в 25 мс. Значит, отсчетные значения должны следовать не реже чем через 25 мс, или с частотой отсчетов равной 40 отсчетов/с (40 Гц). Обычно частота дискретизации выбирается большей, чем в два раза частоты исходного сигнала, в этом случае отсчеты более точно передают форму кривой. При наличии нескольких составляющих сигнала (рис.3), для выбора частоты дискретизации берут наивысшую частоту колебания.

По рекомендации МСЭ (Международный Союз Электросвязи) для передачи человеческой речи достаточно использования частоты в 3400 Гц. При переходе от аналогового речевого сигнала к цифровому, это значение обычно округляют до 4000 Гц (4кГц). Это означает, что при замене непрерывной кривой электрического тока на выходе микрофона телефонного аппарата отсчетными значениями последнее необходимо брать с частотой 8000 Гц или, другими словами, не реже, чем через 1/8000 = 0,000125с = 125мкс.

В 1933 году в работе «О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи» Владимир Александрович Котельников доказал теорему, ставшую основополагающей в теории и технике цифровой связи. Суть этой теоремы состоит в том, что непрерывный сигнал, у которого спектр ограничен частотой F, может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым с частотой F_Д = 2F, то есть взятые через интервалы времени t_Д = 1/F_Д.

Рис.3 Сигналы разных частот и их результирующие

Спектр дискретного сигнала содержит спектр исходного сигнала (в диапазоне частот от 0 до F). Чтобы восстановить исходный сигнал из дискретного, достаточно пропустить дискретный сигнал через фильтр нижних частот с граничной частотой полосы пропускания F. На выходе такого фильтра появится исходный непрерывный сигнал.

3. Выполнение лабораторной работы в среде программы Multisim

В этом пункте рассмотрен практический пример дискретизации и восстановления сигнала. Для моделирования используется среда программы Multisim. Для реализации условия сложного исходного сигнала аппаратно моделируется схема, состоящая из двух источников сигнала разной частоты и сумматора. Для генерирования частоты дискретизации используется функциональный генератор. Дискретизатор реализован на полевом транзисторе, функциональном генераторе (8кГц) и двух операционных усилителях. Дискретизатор выполняет функцию перемножителя непрерывного сигнала сигнала на короткие импульсы напряжения дискретизации. Дискретизация происходит при условии, что создаваемое напряжение на затворе полевого транзистора должно быть больше напряжения исходного сигнала подаваемого на сток. Для восстановления сигнала используется фильтр низких частот. Также используются осциллограф, для отображения формы сигналов, и плоттер Боде для снятия характеристик фильтра. Функциональная схема приведена на рисунке 4.

Рис.4 Функциональная схема

На рисунках 5, 6, 7, 8 приведены формы кривых, снятых с помощью осциллографа в разных точках схемы до восстановления.

Рис.5 Сигналы с частотами 2 и 4 кГц

Рис.6 Результирующая кривая суммированного сигнала

Рис.7 Сигнал генератора частотой 8кГц, амплитудой 5кВ

Рис.8 Сигнал на выходе дискретизатора с остчетами

В качестве фильтров-восстановителей используются три активных ФНЧ с частотами среза 12, 6, 3 кГц. Для выбора фильтра, наиболее пригодного для восстановления дискретизированного сигнала следует учесть, что идеальный фильтр низких частот пропускает без искажений колебания частот ниже частоты среза. Это значит, что сигнал с верхней частотой в 4кГц первый фильтр с частотой 12 кГц пропустит, но вместе с помехами, которые внесут искажения в сигнал, так как имеет частоту среза большую, чем необходимо для восстановления сигнала. Третий фильтр с частотой среза в 3 кГц также внесет значительные искажения, так как имеет частоту среза меньшую верхней частоты исходного сигнала. Поэтому в рассмотрение берем фильтр с частотой среза в 6кГц, так как он является оптимальным в данной ситуации. Частотная характеристика фильтра приведена на рисунке 9.

Рис.9 АЧХ ФНЧ с частотой среза 6кГц

Частота среза фильтра увеличивается путем увеличения емкости первого конденсатора, и уменьшения, при этом, сопротивления первого резистора во столько раз, во сколько необходимо увеличить частоту среза фильтра. Уменьшение частоты среза производится в обратном порядке.

Восстановление исходного сигнала из дискретизированного происходит более информативно при увеличении частоты дискретизации. На рисунках 10, 11, 12, 13 показаны графики исходного и восстановленного сигналов с частотами дискретизации 8, 12, 24, 48кГц соответственно.

Рис.10 Частота дискретизации 8кГц

Рис.11 Частота дискретизации 12кГц

Рис.12 Частота дискретизации 24кГц

Рис.13 Частота дискретизации 48кГц

Вывод

В данной лабораторной работе был приобретен опыт по дискретизации и восстановлению гармонического сигнала. Было выявлено, что для дискретизации сигнала с частотой в 4кГц, достаточным является частота дискретизации 8кГц, а для его восстановления необходимо наличие фильтра частотой 6кГц.

Контрольные вопросы

1. Какой физический смысл в дискретизации аналоговых сигналов?

2. Сформулируйте теорему Котельникова.

3. При каких условиях теорема Котельникова гарантирует двойное преобразование сигналов (дискретизация и восстановление) без искажений?

4. Могут ли быть дикретизированы и затем восстановлены импульсы прямоугольной формы?

5. Каков алгоритм восстановления дискретизированного сигнала?

6. Какова роль ряда Котельникова в объяснении процесса восстановления сигнала?

7. Что такое базисная функция?

8. Какую функцию выполняет ФНЧ?

9. С какой целью в работе исследовались спектры исходного и дискретизированного сигналов?

10. Можно ли произвольно увеличить или уменьшить промежуток времени между отсчетами? К чему это может привести?

11. В чем отличие идеального и реального ФНЧ?

12. Как вы представляете себе процесс дискретизации аналогового сигнала? Какие функциональные узлы для этого необходимы?

13. С чем связана необходимость корректировать значение частоты дискретизации?

14. Все ли аналоговые сигналы могут быть дискретизированы во времени и восстановлены после дискретизации?

15. Назовите причины, вызывающие искажения при восстановлении и дискретизации сигналов.

Размещено на Allbest.ru