Теория сигналов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Рассчитать и построить амплитудно-частотные спектры для последовательностей прямоугольных импульсов по следующим исходным данным:

· длительность импульсов: t₁=3,2мкс, t₂=4,5мкс;

· амплитуда импульсов: U_m= 7,2 В;

· скважность импульсов: S₁=13, S₂=8.

В задаче требуется рассчитать и построить по приведенным данным четыре спектра: по два для каждого из двух заданных значений скважности.

Зная длительность импульсов и их скважности можно определить период их следования по формуле:.

Любой несинусоидальный периодический сигнал можно разложить в тригонометрический ряд Фурье (сумму синусоидальных и косинусоидальных составляющих с определенными амплитудами, частотами и фазами). Заданный сигнал является симметричным относительно горизонтальной оси, следовательно его разложение содержит только косинусоидальные слагаемые - гармоники, основной частоты и постоянную составляющую. Частоты гармоник находятся из соотношения: где k=1,2,3,4,… - порядковый номер гармоник. Значения амплитуды каждой из гармоник и постоянной составляющей U₀(при f=0) определяются формулами:

.

Для каждого набора исходных условий требуется определить гармоники, амплитуды которых будут обращаться в ноль. Для этого необходимо приравнять к нулю выражение (1):

Т.о. нулевыми амплитудами обладают гармоники, порядковый номер которых кратен скважности.

При увеличении значения периода (при постоянной длительности импульса) спектр последовательности прямоугольных импульсов становиться более частым (на единицу шкалы частот) и уменьшает амплитудные значения основных гармоник, при этом нулевые значения гармоники принимают реже.

При увеличении длительности импульса (период следования постоянен) спектр последовательности прямоугольных импульсов частота не изменяется (отсчеты гармоник остаются на своих местах), нулевые гармоники встречаются чаще и максимальные значения гармоник возрастают.

1) Исходные условия: U_m= 7,2 В, t=3,2 мкс, S=13.

Заданная последовательность прямоугольных импульсов:

Таблица для построения спектрограммы:

Спектрограмма сигнала

2) Исходные условия: U_m= 7,2 В, t=4,5 мкс, S=13.

Заданная последовательность прямоугольных импульсов

Таблица для построения спектрограммы:

Спектрограмма сигнала

3) Исходные условия: U_m= 7,2 В, t=3,2 мкс, S=8.

Заданная последовательность прямоугольных импульсов

Таблица для построения спектрограммы:

Спектрограмма сигнала

4) Исходные условия: U_m= 7,2 В, t=4,5 мкс, S=8.

Заданная последовательность прямоугольных импульсов

Таблица для построения спектрограммы

Спектрограмма сигнала

Задача 2

Рассчитать и построить передаточные характеристики активной электрической цепи с операционным усилителем при нижней частоте расчетной полосы f=,8,2 кГц.

При этом R₁=45 кОм, R₂=1 кОм, L=60 мГн, С=6 мкФ.

В задаче требуется составить выражение для передаточной функции Н(jщ) , рассчитать АЧХ и ФЧХ в заданной полосе частот и построить их.

В общем случае комплексная передаточная функция Н(jщ) определяется соотношением:

,

где = - комплексное входное сопротивление схемы ;

- комплексное входное сопротивление обратной связи.

Оба комплексных сопротивления выражаются через модуль Z и угол ц. Исходя из заданной схемы, необходимо определить выражения для комплексных сопротивлений элементов общей схемы и привести их к эталонному виду, пригодному для дальнейших преобразований. Математические преобразования для комплексного входного сопротивления схемы будут выглядеть так:

,

тогда:

,

Математические преобразования для комплексного входного сопротивления обратной связи будут выглядеть так:

.

Тогда комплексная передаточная функция примет вид:

.

Модуль комплексной передаточной функции является амплитудно-частотной характеристикой фильтра (АЧХ):

Фазово-частотная характеристика (ФЧХ) определиться как угол между двумя комплексными составляющими:

Используя выражения (1) и (2), возможно рассчитать АЧХ и ФЧХ для заданной полосы частот , начинающейся с 8,2кГц и построить их графики.

При f=8,2кГц комплексная передаточная функция примет вид:

Задача 3

Рассчитать волновые параметры групповой линии на заданных частотах со следующими параметрами:

расстояние между аппаратами l = 3,3 км;

входное сопротивление аппаратов Z_a = 36 кОм, ц_а=20⁰;

Линии, в которые включены на протяжении всей длины параллельные нагрузки, называются групповыми. На железнодорожном транспорте к групповым линиям относятся линии оперативно-технологической связи: поездной диспетчерской, постанционной, линейно-путевой и другие.

Параллельную нагрузку создают аппараты промежуточных пунктов (ПП), расположенных вдоль магистрали железной дороги.

При расчете предполагается, что аппараты включены в линию равномерно, что отражено на следующей схеме:

При этом каждый аппарат ПП вносит в линию в точке включения дополнительную проводимость, равную 1/Z_a ( Z_a - сопротивление аппарата). Тогда дополнительная проводимость на 1 км линии будет составлять (l-расстояние между аппаратами) эквивалентная схема линии длиной 1 км с учетом дополнительной проводимости будет иметь следующий вид:

На этом рисунке величины R, L, G,C характеризуют первичные параметры линии. Километрический коэффициент распространения волны и волновое сопротивление групповой линии с учетом указанной схемы будут определяться из соотношений:

,

где б - километрический коэффициент затухания;

в - километрический коэффициент сдвига фаз;

Z_В - модуль волнового сопротивления;

ц - угол волнового сопротивления.

В задаче требуется определить величины б, в, Z_В и ц на шести частотах. Результаты расчета представлены в таблице:

Задача 4

Составить схему высокочастотного (ВЧ) LC - фильтра с характеристикой Баттерворта и рассчитать ее элементы.

Согласно заданию, проектируемый фильтр должен обладать следующими параметрами:

· частота среза f_c=100 кГц;

· сопротивление нагрузки R_н=650 Ом;

· затухание на октаву A_s= 37 дБ;

· рабочее затухание фильтров A_р= 3 дБ - в полосе пропускания.

При решении задачи требуется:

1) определить порядок фильтра верхних частот с характеристикой Баттерворта;

2) составить схему фильтра;

3) определить величины элементов схемы;

4) рассчитать затухание полученного фильтра на нескольких частотах и построить его частотную характеристику затухания.

Фильтр верхних частот - это схема, которая передает без изменений сигналы высоких частот, а на низких частотах обеспечивает затухание сигналов и опережение их по фазе относительно входных сигналов

1) Порядок фильтра n определяется в зависимости от заданного затухания A_s на некоторой частоте f_s = 1кГц в полосе задерживания при частоте среза f_c= 100 кГц. Для этого используется приближенная формула:

,

где - относительная (нормированная) частота для ФВЧ.

Тогда

2)При n=3 наиболее предпочтительна следующая схема фильтра (поскольку в ней всего одна катушка индуктивности):

3) Расчет величин элементов схемы делается с учетом сопротивления нагрузки R _н =650 Ом (оно принято равным сопротивлению генератора R_г) и нормированных элементов.

Индуктивность катушки определяется соотношением:

,

Емкость каждого элемента определяется соотношением:

После расчета элементов схемы определяется затухание фильтра по формуле:

.

4)Графически частотная характеристика затухания принимает вид:

Задача 5

Построить схему ARC - фильтра нижних частот с характеристикой Чебышева и рассчитать его элементы.

Активные RC - фильтры представляют собой электрические цепи, схемы которых строятся с использованием операционных усилителей (ОУ), резисторов и конденсаторов. ARC собираются из звеньев первого и второго порядков (по количеству накопителей энергии).

При решении задачи требуется:

1) определить порядок ARC- фильтра нижних частот

2) составить схему фильтра;

3) определить затухания звеньев фильтра и фильтра в целом

4) рассчитать сопротивления резисторов и емкости конденсаторов, входящих в схему на нескольких частотах;

5) по данным расчетов построить графики частотных характеристик затухания отдельных звеньев и фильтра в целом.

1) Рассчитываемый фильтр нижних частот (НЧ) должен обладать свойствами фильтра Чебышева, поэтому исходные величины будут такими же как и для пассивных LC - фильтров.

· частота среза f_c=30 кГц;

· неравномерность затухания ДA= 2 дБ;

· затухание на октаву при частоте f_s=45 кГц A_s= 16 дБ;

· рабочее затухание фильтров A_р= 3 дБ - в полосе пропускания.

Порядок фильтра Чебышева n зависит от допустимой неравномерности затухания ДA в полосе пропускания и определяется по формуле:

,

Пусть f_s=100 кГц - частота в полосе задерживания.

Тогда

2) Определив порядок фильтра n=4, необходимо найти затухания А_р его отдельных звеньев, полное затухание фильтра и величины элементов R C. Фильтр четвертого порядка можно представить как последовательно соединенные два звена второго порядка:

3) Затухание звена j-го порядка определяется по формуле:

,

Приведенные коэффициенты а_j, и b_j зависят от порядка фильтра n=4, номера звена j=1;2 и неравномерности затухания в полосе пропускания ДA=2дБ. частотный спектрограмма амплитудный

Для звена 1: а₁,= 2,403 b₁ = 4,986,

Для звена 2: а₂,= 0,237 b₂ = 1,19.

Тогда затухания звеньев:

,

В общем случае затухание фильтра в целом определяется как алгебраическая сумма затуханий во всех звеньях .

Тогда:

> 16 дБ.

4) После расчета затухания переходим к расчету элементов звеньев фильтра. В первом звене второго порядка пять элементов R₁₁, R₁₂, R₁₃, С₁₁ и С₁₂. Расчет производят для приведенных значений , соотношения между которыми . При расчете звеньев второго порядка задаются значениями а значения рассчитывают.

Примем значения .

В результате расчетов получим:

Поскольку второе звено тоже является звеном второго порядка, то оно формируется тоже из пяти элементов R₂₁, R₂₂, R₂₃, С₂₁ и С₂₂. расчеты производятся аналогично. Примем значения .

6) Графики частотных характеристик затухания отдельных звеньев и фильтра в целом выглядят следующим образом:

Размещено на Allbest.ru