Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекции 2

Теорема отсчётов Уиттакера -- Найквиста -- Котельникова -- Шеннона гласит, что, если непрерывный сигнал x(t) имеет спектр, ограниченный частотой Fmax, то он может быть однозначно и без потерь восстановлен по своим дискретным отсчетам, взятым с частотой:

дирек дискретизированный котельников

fдискр

где Fmax -- верхняя частота в спектре, или, по-другому, по отсчетам, взятым с периодом:

Tдискр

Теорема была сформулирована В. А. Котельниковым в 1933 году в его работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи» и является одной из основополагающих теорем в теории и технике цифровой связи.

Говоря шире, теорема Котельникова говорит о том, что непрерывный сигнал можно представить в виде следующего ряда:

Под интегральной суммой написана формула отсчетов функции x(t). Мгновенные значения этой функции есть значения дискретизированного сигнала в каждый из моментов времени.

Цифровая обработка сигнала подразумевает, что некий непрерывный во времени сигнал (например, человеческая речь) будет обработан компьютером. Но возникает серьезная проблема: в компьютер невозможно поместить все точки непрерывного сигнала, т.к. их количество бесконечно. Следовательно, необходимо искать способ, каким образом компьютер может оперировать с непрерывным сигналом. И такой способ есть.

Для начала рассмотрим понятие обратимого преобразования.

Обратимое преобразование - это преобразование объекта A в объект B, при котором существует еще одно преобразование, позволяющее из объекта B восстановить объект A обратно.

Другими словами, в результате обратимого преобразования объекта A в объект B вся информация об объекте A сохраняется в объекте B. Приведем пример обратимого преобразования. Возьмем класс функций вида:

Очевидно, что любую функцию этого класса, возможно представить в виде всего лишь дух чисел: и . Это и есть пример обратимого преобразования, когда из математического объекта (непрерывной функции) получается другой математический объект (пара чисел). При этом из этой пары чисел легко получить исходную функцию, так как вся информация об исходной функции заключена в этих двух числах. Да, мы все еще не можем поместить в компьютер все точки функции, но мы можем поместить в компьютер два числа: и и работать уже с ними.

Рассмотрим еще одно обратимое преобразование, позволяющее представить определенный класс функций - функций, непрерывных во времени, с ограниченным спектром - в виде последовательности чисел.

Пусть - дельта-функция Дирака, которая обладает стробирующим (фильтрующим) свойством:

Вид дельта-функции Дирака.

Как видно из рисунка, дельта функция на всей оси времени равна нулю. И только в точке она устремляется в бесконечность. Учитывая то, что - симметричная функция (т.е. ), формулу для случая можно переписать так:

На базе этой функции можно определить так называемую гребенку Дирака - сумму смешенных дельта-функций Дирака

,

Вид гребенки Дирака

Как видно из формулы (1.2.4), гребенка Дирака это, прежде всего, периодическая функция, где - период. Кроме этого, гребенка Дирака определена на всем интервале . Она также как и дельта-функция на всей оси времени равна нулю, кроме точек , в которых гребенка Дирака устремляется в бесконечность.

Теперь возьмем произвольную функцию , где , Пусть эта функция имеет финитный (ограниченный) спектр, как это показано на рис.

Финитный (ограниченный) спектр.

Как видно из рисунка, спектр ограничен интервалом .

Теперь преобразуем функцию в дискретизированный сигнал следующим образом:

Как можно видеть из приведенной формулы, дискретизированный сигнал определен на интервале . Т.е. это все еще функция, а не последовательность чисел.

Гребенка Дирака это периодическая функция, следовательно, ее можно разложить на периоде в ряд Фурье по функциям вида :

,

где коэффициенты разложения вычисляются по формуле:

Но на интервале гребенка Дирака, представляет собой просто дельта-функцию. Поэтому формулу можно переписать так:

Учитывая стробирующее свойство дельта-функции получаем:

Таким образом, все коэффициенты разложения функции в ряд Фурье одинаковы и равны :

Подставим формулу одно выражение в другое

Теперь ответим на вопрос: если у исходного сигнала спектр , то какой спектр у дискретизированного сигнала и есть ли возможность из дискретизированного сигнала получить обратно исходный сигнал ?

Как видно из формулы дискретизированный сигнал есть бесконечная сумма, каждое слагаемое которой представляет собой исходный сигнал, умноженный на комплексную синусоиду . Следовательно, спектр дискретизированного сигнала есть сумма спектров сигналов вида . Но исходя из свойств Преобразования Фурье, если у сигнала спектр , то у сигнала спектр будет иметь ту же форму, но он будет смещен по оси частот: . Таким образом, спектр дискретизированного сигнала имеет вид:

Графически это можно проиллюстрировать так: если спектр исходного сигнала изображен на рисунке то спектр дискретизированного сигнала будет иметь вид:

Спектр дискретизированного сигнала.

Как видно из рисунка исходный спектр просто «размножился». Теперь можно ответить на вопрос - как восстановить исходный сигнал из дискретизированного? Ответ: очень просто: для этого необходимо отфильтровать все «лишние» спектры, чтобы получить исходный спектр. Т.е. попросту пропустить дискретизированный сигнал через фильтр нижних частот с полосой от до

Спектр дискретизированного сигнала.

Итак, что мы имеем? Во-первых, вся информация об исходном сигнале содержится в дискетизированном сигнале . Во-вторых, согласно формуле (1.2.5) для получения дискретизированного сигнала не обязательно иметь сигнал полностью. Достаточно только отдельных значений этого сигнала - последовательности . А дискретная последовательность уже может быть обработана компьютером.

Теперь необходимо ответить на вопрос: как часто нужно брать отсчеты . Иными словами, какова должна быть частота дискретизации:

Для этого рассмотрим рисунок При уменьшении спектры дискретизированного сигнала начнут сближаться. И в итоге может возникнуть перекрытие спектров.

Перекрытие спектров дискретизированного сигнала при слишком малой частоте дискретизации.

Следовательно, во избежание перекрытия спектров, частота дискретизации должна выбираться так, чтобы превышать более чем в два раза максимальную частоту в спектре сигнала . В этом случае, вся информация об исходном сигнале полностью будет сохраняться в дискретизированном сигнале и в дискретной последовательности .

К сожалению, получить полностью ограниченный в области частот сигнал можно только в каком-то приближении, и реальный спектр сигнала выглядит так:

Реальный спектр сигнала перед дискретизацией

Т.е. у сигнала всегда есть «спектральные хвосты». Поэтому при дискретизации, полностью избавится от помех перекрытия не удается:

Дискретизация реального сигнала

Но если в дискретной последовательности содержится вся информация об исходном сигнале , то как найти исходя из этой последовательности значение сигнала в произвольный момент времени ? Для этого вспомним, что сигнал может быть восстановлен из дискретизированного сигнала при помощи восстанавливающего фильтра с идеальной прямоугольной частотной характеристикой, как показано на рис. 1.2.5.

Как известно, если частотная характеристика фильтра имеет вид:

,

то импульсная характеристика этого фильтра имеет вид:

Как было показано выше, если дискретизированный сигнал будет подан на фильтр с импульсной характеристикой то на выходе фильтра будет получен исходный сигнал . При этом эти сигналы будут связаны соотношением:

Меняем порядок интегрирования:

С учетом стробирующего свойства дельта-функции имеем:

Из формул (1.2.11) и (1.2.12) получаем . Следовательно в итоге имеем:

Теорема Котельникова, таким образом, утверждает, что непрерывный во времени сигнал со спектром, ограниченным частотой можно восстановить по его отсчетам в том случае, если . Сигнал восстанавливается по формуле

В заключении отметим разницу между дискретизированным сигналом и дискретным . Дискретизированный сигнал это функция. Т.е. он определен на всей оси времени. Между пиками дельта функций он просто равен нулю. Дискретный сигнал это совсем другой объект - последовательность. Он определен только для дискретных значений времени . Поэтому часто дискретный сигнал обозначают так: .

Теорема Котельникова (в англоязычной литературе -- теорема Найквиста -- Шеннона, теорема отсчётов) -- фундаментальное утверждение в области цифровой обработки сигналов, связывает аналоговые и дискретные сигналы и гласит, что «любую функцию , состоящую из частот от 0 до , можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через секунд».

При доказательстве теоремы взяты ограничения на спектр частот , где .

Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временной характеристике точек разрыва. Если сигнал имеет разрывы любого рода в функции зависимости его от времени, то его спектральная мощность нигде не обращается в нуль. Именно это подразумевает понятие «спектр, ограниченный сверху конечной частотой ».

Разумеется, реальные сигналы (например, звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, так как они конечны по времени и обычно имеют разрывы во временной характеристике. Соответственно, ширина их спектра бесконечна. В таком случае полное восстановление сигнала невозможно, и, из теоремы Котельникова, вытекают следствия:

· любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой , где -- максимальная частота, которой ограничен спектр реального сигнала;

· если максимальная частота в сигнале равна или превышает половину частоты дискретизации (наложение спектра), то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует.

Говоря шире, теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал можно представить в виде интерполяционного ряда:

,

где -- функция sinc. Интервал дискретизации удовлетворяет ограничениям . Мгновенные значения данного ряда есть дискретные отсчёты сигнала .

Размещено на Allbest.ru