Кластер хаотических колебаний

Размещено на http://allbest.ru

Институт электродинамики НАН Украины

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

УДК 621.314:517.938

Кластер хаотических колебаний

А.В. Кириленко, академик НАН Украины,

В.Я Жуйков, докт. техн. наук, М.Е. Количенко,

Электрическая система и ее элементы

В электрической системе, содержащей ключи и обратную связь, при определенных параметрах электрической цепи и цепи обратной связи существуют хаотические процессы [1,2,3,5], присущие всем системам, в которых происходит поочередное подключение и отключение источника энергии.

Для конкретности, рассмотрим устройство, электрическая схема которого приведена на рис.1, а, б.

а)

Размещено на http://allbest.ru

б)

Рис.1. Схема устройства с противофазно работающими ключами:

а) принципиальная схема;

б) структурна схема системы управления (СУ)

Моделирование процессов проводится при условии, что элементы схемы линейны, а переключение ключей S1 и S2 (рис.1,а) происходит мгновенно. Напряжение нагрузки u(t) через делитель напряжения с коэффициентом деления k_d (рис.1,б) поступает на узел сравнения с задающим напряжением u_r.

Сигнал ошибки (u_r-k_du(t)) усиливается в k раз, формируя напряжение u_er(t)=k(u_r-k_du(t)).

Напряжение u_er сравнивается с развертывающим напряжением u_s.v.(t), например пилообразным,

u_s.v.(t)=U_m(t-nT)/T, nTt>(n+1)T,

где: U_m и n - амплитудное значение и номер периода развертывающего напряжения.

По знаку напряжения u_z(t)= u_er(t)-u_s.v.(t) формируется функция переключения S исходя из условий: u_z(t)0, S=0 или u_z(t)>0, S=1. При S=1, ключ S1 замкнут, а S2 разомкнут, а при S=0 ключ S1 разомкнут, а S2 замкнут.

Уравнение, описывающие процессы в системе, имеет вид:

. (1)

При параметрах элементов системы R=100 Ом; r=0,1 Ом, L=0,1 Гн, C=10^-6 Ф, E=1000 В, U_r=10 В, U_М=10 В, T=0,001 с, k_d=0,01, корни p₁, p₂ характеристичного многочлена матрицы коэффициентов -действительны и при S=0: p₁=-8873,0; p₂=-1127,0, а при S=1: p₁=-8872,8; p₂=-1128,2, для диапазона коэффициента усиления k=1-200 с шагом Дk=1 получены зоны хаотических колебаний, которые приведены на бифуркационной диаграмме рис.2

Рис. 2. Бифуркационная диаграмма зависимости момента переключения ф_n от величины коэффициента усиления k цепи обратной связи.

Так как вид отображения зависит от параметров системы, то для получения отображения приведеного на рис. 3 подобраны такие параметры (R=4,8 Ом; r=0,01 Ом, L=0,006 Гн, C=0,0002 Ф, E=48 В, U_r=6 В, U_М=6 В, T=0,001 с, k_d=0,125, k=55, корни p₁ и p₂ характеристического полинома комплексно сопряженные: при S=0 - p1=-521,67+750,29i, p2=-521,67-750,29i, при S=1 - p1=520,83+749,71i, p2=-520,83-749,71i), которые дают возможность достаточно убедительно продемонстрировать получаемую неоднозначность.

Отметим, что если для логистического отображения [4] характерна однозначность и по нему могут быть воспроизведены точки хаотического процесса, то однозначность воспроизведения точек хаотического процесса по отображению приведенном на рис. 3 отсутствует.

Рис.3. Отображение вида ф_n+1 =F(ф_n) для k=55.

Видно, что хаотические колебания, соответствующие одним отображениям перекрываются с хаотическими колебаниями отвечающими другим отображениям, что показано на пилообразном напряжении u_s.v.(t) перекрывающимися зонами ch2, ch2, ch3 (рис.3).

Целью данной работы является исследование структуры хаотических колебаний в системах подобных описанной выше при построении отображения исключающего неоднозначность.

Исследование структуры хаотических колебаний

Рассмотрим приведенную ранее систему, рис.1. с параметрами, соответствующими бифуркационной диаграмме рис.2. Для устранения неоднозначности отображения, построим отображение в виде:

(e_n+1+ф_n+1)=f(e_n+ф_n),

где e_n и e_n+1 целое число периодов, развертывающего напряжения u_s.v.(t), укладываемое в предыдущий и последующий интервалы непрерывности хаотического процесса.

Тогда, для значения коэффициента усиления k=17, что соответствует второй зоне zc2 хаотического процесса показанного на рис.2 отображение (e_n+1+ф_n+1)=f(e_n+ф_n), примет вид представленный на рис.4.

Рис.4. Отображение вида (e_n+1+ф_n+1)=f(e_n+ф_n) для k=17.

Отображение (reflection chaos) rc1 для первого однородного хаотического процесса расположено в первом квадранте.

При движении вокруг неустойчивой точки А (рис.4.) осуществляется переход на трансферную кривую отображения (reflectijn transfer point) rtp12 c которой осуществляется переход на отображение rc2 второго однородного хаотического процесса с неустойчивой точкой В.

Этот переход происходит через трансферную точку, которая представляет собой точку разрыва между одним и другим однородными хаотическими процессами, причем слева точка разрыва принадлежит однородному хаотическому процессу (chaos1) ch1, а справа - однородному хаотическому процессу (chaos2) ch2. Трансферным точкам соответствуют трансферные кривые отображения rtp12 и rtp21.

Каждый из однородных хаотических процессов начинается в определенной временной зоне развертывающей функции, (ch1 и ch2) и каждому из них соответствуют внутренние точки переключения, лежащие на отображениях rc1 и rc2.

Построение отображения в виде (e_n+1+ф_n+1)=f(e_n+ф_n), где e_n и e_n+1 целое число периодов развертывающего напряжения укладываемое в предыдущий и последующий интервалы непрерывности хаотического процесса, привело к открытию нового явления в хаотическом движении названном - кластер хаотических колебаний.

В рассмотренном примере кластер хаотических колебаний zc2 содержит два однородных хаотических процесса. Отметим, что на развертывающей функции есть мертвая зона db (dead band), в которую не попадает сигнал обратной связи в виду конечности его производной в моменты nT.

При увеличении коэффициента усиления система переходит в режим регулярных движений rm (regular motion) , а затем через ряд межкластерных бифуркационных точек ibp (intercluster bifurcational point ), рис.2, к новому кластеру (зона zc3) содержащему три однородных хаотических движения и соответствующих им три функции отображения и шесть трансферных функций отображения. Для этого случая отображение вида ф_n+1 =F(ф_n) приведено на рис.3, а отображение вида (e_n+1+ф_n+1)=f(e_n+ф_n) на рис.5.

Рис.5. Отображение вида (e_n+1+ф_n+1)=f(e_n+ф_n), k=55.

Как отмечено, отображение ф_n+1 =F(ф_n), рис.3, является неоднозначным, а отображения rc1,rc2,rc3 (кривые 1,2,3 на рис. 3 ) приведенные на рис.5 являются однозначными и по ним однозначно определяются точки трех однородных хаотических процессов ch1,ch2, ch3, составляющих кластер хаотических колебаний zc3. Переход от одного однородного хаотического процесса к другому осуществляется через 6 трансферных кривых отображения трансферных точек rtp12, rtp13, rtp21, rtp23, rtp31,rtp32(кривые 1', 1'',2',2'',3', 3''на рис. 3 и рис.5 ).

В общем виде схематичная структура бифуркационной диаграммы перехода от одного кластера хаотических колебаний к другому представлена на рис.6.

В первой зоне zc1 (zone chaos 1) хаотических колебаний существует один однородный хаотический процесс, которому соответствует одна кривая отображения.

Во второй зоне zc2 существуют два однородных процесса и две трансферных кривых отображения.

В третьей зоне zc3 существуют три однородных хаотических процесса и шесть трансферных кривых отображения. В N-ой зоне zcN существует n однородных хаотических процессов и n(n-1) трансферных кривых отображения.

При переходе от предыдущей зоны регулярных движений rm к последующей происходит увеличение периода колебаний на период T, что обозначено на рис.6, как 1T, 2T, 3T, … .

Рис.6. Схематичное изображение бифуркационной диаграммы зависимости момента переключения от величины коэффициента усиления k.

Раскроем более подробно структуру кластера на примере кластера зоны zc2. На рис. 7 показано чередование и точки перехода от одного однородного хаотического процесса к другому.

Рис.7. Схематичная структура кластера зоны zc2.

Процесс рассматриваем с трансферной точки переключения (switching transfer point) stp. Слева значение точки t_n^- принадлежит предыдущему однородному процессу, на рис.7 - ch1, а справа t_n⁺ следующему однородному процессу, на рис.7 - ch2. Эти точки переключения образуют отображение rtp12. Процесс длиться до следующей точки трансферного переключения stp. Пример численных значений точек fsp и stp для отображений, показанных на рис.4, представлен на рис.8.

Рис.8. Значения точек fsp и stp для кластера zch2.

На протяжении существования однородного хаотического процесса ch2 формируется составляющая целочисленной компоненты, как целое число n периодов развертывающего сигнала. В показанном на рис.8 фрагменте для ch2, n=1. За время существования однородного хаотического процесса ch1 формируется следующая составляющая целочисленной компоненты - n=5, для фрагмента рис.8. Получаемая фрактальная последовательность является хаотической последовательностью целых чисел. Пример фрактальной последовательности целых чисел для zc2 соответствующих ch1 и ch2 приведен в табл.1.

Таблица 1 . Фрактальная последовательность целых чисел.

Нули означают, что движение системы переходит из одного однородного процесса ch2 в другой ch1 в пределах одного периода развертывающего напряжения. Пример фрактальной последовательности для кластера zc3 приведен в табл.2.

Таблица 2. Пример последовательности чисел для zc3.

Прочерк в табл.2 означает, что система, пропуская один из однородных хаотических процессов, переходит на некоторый, следующий за ним. Таким образом, последовательность ряда целых чисел порождаемая кластером zc3 каждым однородным хаотическим процессом имеет вид: для ch1 - 5 , 2, 5, 5, 8, 5, 2, 5, 5, 14, 2, 2, 11, 2,……..; для сh2 - 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 1,…..; для сh3 - 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0,….. .

Отметим, что кластеры хаотических колебаний получены и для других систем с ключами, при этом применялись различные развертывающие функции, в частности, синусоидальные (косинусоидальные), кусочно-синусоидальные, кусочно-экспоненциальные, кусочностепенные.

Алгоритм расчета

Расчет дифференциальных уравнений проводится в один поток численным методом Рунге-Кутта четвертого порядка с фиксированным шагом. Программа написана на языке С++ в среде Borland C++ Builder 6. В основе лежит объектно ориентированный подход. Все переменные имеют тип long double, заданная точность расчета составляет 10^-18, минимальное значение переменной - 3.4*10^-4932, максимальное значение переменной - 3.4*10⁴⁹³².

Блок схема алгоритма расчета приведена на рис.9. В начале работы программы происходит инициализация переменных и по умолчанию начальне условия i_L = 0А, u_C = 0В. Расчет проводится в цикле: расчет текущего значения развертывающего напряжения u_s.v.(t) - расчет дифференциального уравнения (1)- расчет сигнала обратной святи u_er(t)=k(u_r-k_du(t) - сравнение сигнала обратной святи с развертывающим сигналом и при u_er(t)> u_s.v.(t) ,s=1, при u_er(t) u_s.v.(t), s=0 - инкрементация переменной времени “t”- вывод значений момента переключения.

Основное влияние на результаты расчета вносит ошибка определения точки пересечения функции сигнала u_er(t) с развертывающей функцией u_s.v.(t). Выбор шага расчета проводился путем сравнения результатов и подтверждения их повторяемости при изменения шага расчета в диапазоне от 10^-4 сек. до 10^-8 сек.

Установлено, что начиная с шага, равного 10^-7 сек. и при меньших шагах, расчеты дают одни и те же результаты. Расчеты и соответствующие им данные, приведенные в работе, выполнены с шагом 10^-7 сек.

Рис. 9. Алгоритм расчета.

Выводы

1. Кластер хаотических колебаний состоит из n однородных хаотических процессов, а присущее кластеру отображение содержит n² функций отображения, из которых: n - количество функций отображений для однородных хаотических процессов и n(n-1) - количество трансферных функций отображения;

2. Переход от одного однородного хаотического процесса к другому внутри кластера происходит через трансферные функции отображения и точки разрыва (образующие эти трансферные функции), принадлежащие моменту окончания одного однородного хаотического процесса (слева от точки разрыва) и началу другого однородного хаотического процесса (справа от точки разрыва);

3. Во время протекания отдельного однородного хаотического процесса формируется целочисленная компонента кластера, определяемая как сумма целых временных интервалов (в частном случае периодов) повторяемости развертывающей функции, что приводит к формированию фрактальной последовательности целых чисел, своей для каждого однородного хаотического процесса.

4. Для каждого однородного непрерывного хаотического процесса и соответствующей ему целочисленной компоненты характерно, что начало их существования находится в ограниченной и определенной временной зоне интервала (периода) непрерывности развертывающей функции.

Таким образом явление существования кластера хаотических колебаний открывает новую разновидность движения материальных объектов.

Литература

1. Жуйков В. Я., Леонов А. О., Хаотические процессы в электротехнических системах. // Изв. АН СССР Энергетика и транспорт. - 1991. №1. С. 121-127.

2. Брушко В. В., Жуйков В. Я., Хаотизация динамики стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием. Техническая электродинамика. Киев, Украина, 1999, Силовая электроника и энергоэффективность ч 3 с. 115-118.

3. Стжелецкий Р., Коротеев И. Е., Жуйков В. Я., Хаотические процессы в системах силовой электроники. - К: Аверс, 2001. - 197 с.

4. Berzhe, P., I. Pomo, and K. Vidal', Order in Chaos (in Russian), 367 pp., Mir, Moscow, 1991.

5. Korotyeyev Igor. Electrotechnical systems: calculation and analysis with Mathematica and PSpise.- CRC Press.-2010.

Аннотация

Кластер хаотических колебаний

А.В. Кириленко, академик НАН Украины, -Институт электродинамики НАН Украины, пр. Победы, 56,Киев-57, 03680, Украина,

В.Я Жуйков, докт. техн. наук, М.Е. Количенко -Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт», пр. Победы, 37, Киев-56, 03056, Украина.

Рассмотрено новое явление - кластер хаотических колебаний, состоящий из n однородных хаотических процессов, причем, присущее кластеру отображение содержит n² функций отображения, из которых: n - количество функций отображений для однородных хаотических процессов и n(n-1) - количество трансферных функций отображения.

Показано, что во время протекания отдельного однородного хаотического процесса формируется целочисленная компонента кластера. Приведены конкретные параметры. Библ.5, рис.9.

Ключевые слова: хаотические процессы, электрические системы, ключи.

хаотический колебание фрактальный

Анотація

Кластер хаотичних коливань

А.В. Кириленко, академік НАН України, - Інститут електродинаміки НАН України, пр. Перемоги, 56,Київ-57, 03680, Україна,

В.Я Жуйков, докт. техн. наук, М.Е. Количенко, Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут», пр. Перемоги, 37, Київ-56, 03056, Україна.

Розглянуто нове явище - кластер хаотичних коливань, що складається з n однорідних хаотичних процесів, причому, властиве кластеру відображення містить n2 функцій відображення, з яких : n - кількість функцій відображень для однорідних хаотичних процесів і n(n - 1) - кількість трансферних функцій відображення. Показано, що під час протікання окремого однорідного хаотичного процесу формується цілочисельна компонента кластера. Приведені конкретні параметри. Библ.5, рис.9.

Ключові слова: хаотичні процеси, електричні системи, ключі.

Annotation

Claster of chaotic oscilations

O.V. Kyrylenko, - Institut of Electrodinamics National Academy of Science of Ukraine,Peremogy, 56, Kyiv-57, 03680, Ukraine.

V.J. Zhuikov, M.E. Kolichenko - National Technical University of Ukraine «Kyiv Polytechnic Institute» Peremogy, 37, Kyiv-56, 03056, Ukraine.

A new phenomenon was considered - a cluster of chaotic oscillations, consisting of n homogeneous chaotic processes, at that inherent cluster mapping contains n² mapping functions, of which: n - the number of mapping functions for homogeneous chaotic processes and n(n-1) - the number of transfer mapping functions through which the transition from one homogeneous chaotic process to another within a cluster is made. During the course of a single uniform chaotic process, an integral component of the cluster is formed, defined as the sum of the integer time intervals of continuity of developable function, which leads to the formation of fractal sequence of integers, which is characteristic for each homogeneous chaotic process. The inception of each homogeneous chaotic process is situated in the limited and specific time zone of the interval of continuity of developable function. The concrete parameters of the equations, for which the observed clusters of chaotic oscillations are given.

Key words: chaotic processes, power systems, switch.

Размещено на Allbest.ru