Расчет передаточной функции для заданной схемы

Размещено на http://www.allbest.ru

Вариант 21

1. Постановка задачи

1. Для заданной схемы (рисунок 1.1) вывести передаточную функцию.

2. Передаточную функцию представить в виде набора типовых динамических звеньев.

3. Рассчитать и построить АФЧХ в двух системах координат.

4. Рассчитать и построить ЛАФЧХ двумя методами: аппроксимированным и аналитическим.

5. Рассчитать и построить переходную характеристику двумя способами: аналитическим и методом трапеции.

Рисунок 1.1 - Исходная схема

Параметры схемы:

передаточный функция частотный логарифмический

R1 = R2 = 2 кОм = 2000 Ом,

R3 = R4 = 4 кОм = 4000 Ом,

С1 = С2 = 4 мкФ = 4•10^-6 Ф.



2. Расчёт передаточной функции

Упростим электрическую схему, путём замены параллельно и последовательно соединённых элементов эквивалентными полными сопротивлениями.

Так как R₃ = R₄ и С₁ = С₂, то выражение принимает вид:

После преобразований схема принимает вид, показанный на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1



Определим количество узлов и ветвей схемы для составления системы уравнений и отметим на рисунке 2.1. Потенциал точки 4 принимаем равным нулю, потенциал точки 1 равен входному напряжению. Таким образом, необходимо составить систему уравнений для узлов 2,3, причём потенциал точки 2 является выходным.

Составим систему уравнений методом узловых потенциалов.

где ц₁, ц₂, ц₃ - потенциалы первого, второго и третьего узлов.

Так как R₁ = R₂, то система принимает вид:

Из второго уравнения (2.1):

Подставляя ц₃ в первое уравнение системы (2.1), получим:

Подставим в формулы значения элементов.

Проведём проверку передаточной функции (2.3) на постоянное напряжение и импульсное воздействие.

При действии постоянного напряжения емкостное сопротивление равно бесконечности Х_с(щ) = ?. Исходя из этого расчётная схема (рисунок 2.2) будет иметь вид:



Рисунок 2.2

Тогда

При проверке на импульсное воздействие необходимо нарисовать схему, исходя из условий коммутаций, т. е. в момент коммутации ток на ёмкости скачком изменяться, не может. Исходя из этого, в момент коммутации емкостное сопротивление бесконечно малое, т. е. X_c(щ) = 0. Исходная схема примет вид (рисунок 2.3):



Рисунок 2.3

Из схемы находим отношение выходного напряжения к входному:

3. Представление передаточной функции в виде набора типовых динамических звеньев

Разложим на множители числитель и знаменатель. Для этого решим уравнение:

Находим корни:



Решим уравнение для знаменателя:

Находим корни:

Передаточную функцию можно представить в следующем виде:

где

Передаточная функция представлена в виде двух типовых динамических звеньев: одного форсирующего звена и второго - апериодического (инерционного) первого порядка , соединённых последовательно.

Схема соединения представлена на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1

4. Расчёт и построение АФЧХ в двух системах координат

АФЧХ системы получается подстановкой в передаточную функцию (3.1) множителя j•щ вместо p.

Разделим числитель и знаменатель на 1,6•10^-2. Тогда АФЧХ системы принимает следующий вид:

Чтобы выделить вещественную и мнимую части, необходимо знаменатель и числитель умножить на комплексно - сопряжённое число знаменателя.

Амплитудночастотная характеристика (АЧХ):

Фазочастотная характеристика (ФЧХ):

Вещественная частотная характеристика (ВЧХ), рисунок 4.1:

Мнимая частотная характеристика (МЧХ), рисунок 4.2:



Для построения АФЧХ найдём частоты, при которых мнимая и вещественная частотные характеристики обращаются в ноль.

Из уравнения (4.6) МЧХ равняется нулю при следующих частотах:

По формуле (4.5) определяем значение ВЧХ при щ₀ = 0:

Из уравнения (4.5) ВЧХ равняется нулю при следующих частотах:

Следовательно, таких значений частоты щ не существует, при которых ВЧХ равнялась бы нулю.

Амплитудночастотную характеристику определяем по формуле, рисунок 4.3:

Задаваясь рядом значений частот, определяем P(щ), Q(щ) и A(щ). данные расчёта сведены в таблицу 4.1.

Таблица 4.1

щ, с-1	0	100	150	200	250	300	500	700	1400	2500
P(щ)	1,0	0,922	0,882	0,856	0,84	0,83	0,812	0,806	0,802	0,8
Q(щ)	0	-0,098	-0,098	-0,09	-0,08	-0,071	-0,047	-0,035	-0,018	0
A(щ)	1	0,927	0,887	0,861	0,844	0,833	0,813	0,807	0,802	0,8

На рисунке 4.4 представлен годограф АФЧХ.

Рисунок 4.1 - Вещественная частотная характеристика



Рисунок 4.2 - Мнимая частотная характеристика

Рисунок 4.3 - Амплитудночастотная характеристика

Рисунок 4.4 - Годограф АФЧХ

5. Расчёт и построение ЛАФЧХ двумя методами (аналитическим и аппроксимированным)

Аналитически логарифмические амплитудные и логарифмические фазовые характеристики рассчитываются и строятся по формулам:

а) для форсирующего звена:

б) для апериодического звена:

в) для всей схемы:

Для расчёта определяем значения минимальной и максимальной частоты по формулам:

Данные расчёта представлены в таблице 5.1. Графики ЛАФЧХ схемы изображены на рисунке 5.1.

Таблица 5.1

щ	c-1	125	200	255	400	510	1000	1600	2550	4000
lg(щ)	-	2,1	2,3	2,4	2,6	2,7	3,0	3,2	3,4	3,6
L1(щ)	дБ	2,15	4,21	5,64	8,78	10,66	16,23	20,25	24,27	28,17
ц1(щ)	град	38,66	52,0	58,5	68,66	72,97	81,12	84,42	86,49	87,76
L2(щ)	дБ	-3,01	-5,51	-7,13	-10,51	-12,47	-18,13	-22,17	-26,2	-30,11
ц2(щ)	град	-45,0	-57,99	-63,89	-72,65	-76,23	-82,87	-85,53	-87,19	-88,21
L(щ)	дБ	-0,86	-1,3	-1,49	-1,73	-1,8	-1,9	-1,92	-1,93	-1,94
ц(щ)	град	-6,34	-5,99	-5,38	-3,98	-3,26	-1,76	-1,11	-0,7	-0,45

Для построения ЛАЧХ схемы аппроксимированным методом, необходимо рассмотреть каждое звено отдельно. Искомая ЛАЧХ представляет собой сумму ЛАЧХ каждого звена. Определяем частоты сопряжения щ_с для форсирующего и апериодического звена.

Для форсирующего звена:

Для апериодического звена:

Построение аппроксимированной ЛАЧХ апериодического звена проводится в следующей последовательности:

а) слева от частоты сопряжения проводится прямая с нулевым наклоном;

б) справа от этой частоты - прямая с наклоном минус 20 дБ/дек.

Аналогично строится аппроксимированная ЛАЧХ форсирующего звена только с наклоном плюс 20 дБ/дек.

Результаты построения представлены на рисунке 5.1.

Логарифмические фазочастотные характеристики строятся по формулам (5.1) и (5.2) и представлены на рисунке 5.1.



Рисунок 5.1 - ЛАФЧХ схемы



Из рисунка видно, что искомая аппроксимированная ЛАЧХ схемы не имеет наклона в области высоких частот.

6. Расчёт и построение переходной характеристики заданной схемы двумя методами (аналитическим и методом трапеций)

Рассчитаем переходной процесс по формуле разложения. Ступенчатый единичный импульс имеет изображение 1/p:

где М(p_k) - многочлен числителя,

N(p_k) - многочлен знаменателя,

N'(p_k) - производная знаменателя,

p_k - корни характеристического уравнения.

Многочлен числителя:

Многочлен знаменателя:

Корни характеристического уравнения N(p) = 0 равны:

Значения числителя для этих корней:

Производная знаменателя проводится с использованием формулы:

Следовательно:

Значения для найденных корней:

Переходная характеристика равна:

График переходной функции представлен на рисунке 6.3

Расчёт переходной функции по методу трапеций

Вещественная частотная характеристика P(щ) представлена на рисунке 6.1 (данные взяты из раздела 4).

Разобьём график P(щ) на три трапеции (рисунок 6.1). Для каждой трапеции определим высоту трапеции ht, частоту положительности щ_n, частоту сопряжения щ_d и отношение параметры трапеции приведены в таблице 6.1.

Рисунок 6.1 - Вещественная частотная характеристика

Таблица 6.1

Трапеция	1	2	3
hтр	0,133	0,047	0,02
щd	19	180	375
щn	180	375	1050
ч	0,106	0,48	0,357

Сумма высот трапеций должна быть равна значению ВЧХ при щ = 0.

Для каждой трапеции по h-таблицам по ч выписываем 10-15 значений функций h(ф,ч) для типовой единичной трапеции - трапеции с высотой, равной единице и имеющей единичную частоту положительности. Пересчёт стандартного переходного процесса на истинный производится по формулам (6.3).

Результаты расчёта представлены в таблице 6.2.

Истинный переходный процесс равен алгебраической сумме частичных переходных процессов. На рисунке 6.2 представлены переходные характеристики от каждой трапеции, результирующая переходная характеристика h_У(t) и переходная характеристика h(t), построенная по уравнению (6.3).

Рисунок 6.2 - Переходные характеристики

Рассчитанная характеристика имеет следующие показатели качества:

- начальное значение напряжения на выходе равно 0,8 В;

- установившееся значение выходного напряжения равно 1 В;

- время регулирования составляет 0,05 с.

- переходной процесс будет происходить без перерегулирования, так как вещественная частотная характеристика монотонно убывающая.

Таблица 6.2

Трапеция 1 ч1 = 0,106 ? 0,1	ф	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	hт	0	0,341	0,628	0,828	0,937	0,978	0,981	0,978	0,983	0,996	1,009	1,015	1,015	1,012	1,01
	t	0	0,006	0,011	0,017	0,022	0,028	0,033	0,039	0,044	0,050	0,056	0,061	0,067	0,072	0,078
	hи	0	0,045	0,084	0,110	0,125	0,130	0,130	0,130	0,131	0,132	0,134	0,135	0,135	0,135	0,134
Трапеция 2 ч2 = 0,48 ? 0,5	ф	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	hт	0	0,461	0,831	1,061	1,141	1,117	1,051	0,992	0,966	0,968	0,982	0,993	0,997	0,997	0,999
	t	0	0,003	0,005	0,008	0,011	0,013	0,016	0,019	0,021	0,024	0,027	0,029	0,032	0,035	0,037
	hи	0	0,022	0,039	0,050	0,054	0,052	0,049	0,047	0,045	0,045	0,046	0,047	0,047	0,047	0,047
Трапеция 3 ч3 = 0,357 ? 0,35	ф	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	hт	0	0,417	0,761	0,952	1,09	1,102	1,069	1,033	1,011	1,006	1,005	1,002	0,994	0,986	0,983
	t	0	0,001	0,002	0,003	0,004	0,005	0,006	0,007	0,008	0,009	0,010	0,010	0,011	0,012	0,013
	hи	0	0,008	0,015	0,019	0,022	0,022	0,021	0,021	0,020	0,020	0,020	0,020	0,020	0,020	0,020

Заключение

В результате выполнения контрольной работы мы научились выводить передаточные функции электрических схем, строить амплитудночастотные и фазочастотные характеристики в различных системах координат, рассчитывать и строить логарифмические характеристики, как аналитическим, так и аппроксимированным способом, рассчитывать и строить переходные функции по формулам разложения и с использованием метода трапеций.

Вывод: результаты расчётов привели к выводу о соответствии методов расчётов, используемых в инженерной практике с точными методами математики.



Список использованных источников

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники, электрические цепи: учебник. - М.: Высшая школа, 1996. - 544 с.

2. Греков Э.Л., Фатеев В.Б. Теория автоматического управления: Методические указания к расчётно-графической работе. - Оренбург: ОГУ, 2005. - 37 с.

3. Греков Э.Л., Фатеев В.Б. Теория автоматического управления. Конспект лекций по курсу «Теория автоматического управления». - Оренбург: ОГУ, 2007. - 111 с.

4. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем: учебник для вузов. Изд. 4-е, перераб. и доп. - М.: «Машиностроение», 1978. - 738 с.

Размещено на Allbest.ru