Моделювання нелінійних об’єктів з розподіленими параметрами на основі відтворюючих ядер

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Моделювання нелінійних об'єктів з розподіленими параметрами на основі відтворюючих ядер

ЧУМАЧЕНКО СВІТЛАНА ВІКТОРІВНА

Харків 2008

Дисерацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті радіоелектроніки Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант - д.т.н., проф. Хаханов Володимир Іванович,

Харківський національний університет радіоелектроніки, декан факультету комп,ютерної інженерії та управління.

Офіційні опоненти: д.ф.-м.н., проф. Руткас Анатолій Георгійович,

Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна,

завідувач кафедри математичного моделювання та програмного забезпечення;

д.т.н., проф. Любчик Леонід Михайлович,

Національний технічний університет “ХПІ”, завідувач кафедри комп,ютерної математики та математичного моделювання;

д.ф.-м.н., проф. Старостєнко Володимир Вікторович,

Таврійський національний університет ім. В.І. Вернадського,

м. Сімферополь, завідувач кафедри радіофізики та електроніки.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Процес об'єднання обчислювальних і комунікаційних технологій надає в розпорядження користувачів усього світу надзвичайні можливості. Обчислювальні пристрої обладнуються безпровідними засобами прийому-передачі інформації, а всі комунікаційні пристрої стають комп'ютерними. Корпорація Intel бачить свою задачу в тому, щоб прискорити процес об'єднання обчислювальних і комунікаційних технологій за допомогою нових комбінованих апаратних засобів - інтегральних мікросхем нового типу. Людство перебуває на початку інтеграційного процесу, що приведе до найбільш значної революції в радіо- і обчислювальній техніці за останні 70 років. Швидке вдосконалювання мікропроцесорів уможливлює створення більш інтелектуальних, гнучких, програмно-керованих і універсальних ра-діопристроїв із конфігурацією, яка перебудовується, що забезпечує мульти-сервісну, мульти-стандартну, мульти-режимну і мульти-діапазонну роботу. Взаємопроникнення телекомунікаційних і комп'ютерних технологій підтверджує практичну доцільність використання методів радіотехніки в комп'ютерних обчисленнях і навпаки, що приводить до появи нової якості. Запропоновані в дисертації математичні моделі й методи точного підсумовування рядів практично орієнтовані на істотне підвищення точності розрахунків як радіотехнічних пристроїв (у частині аналізу й моделювання антенно-фідерних систем, хвилеводів з неоднорідностями), так і обчислювальних спецпроцесорів (для підвищення точності та швидкодії обробки спеціальних математичних функцій).

Методи підсумовування рядів становлять інтерес як для математичної теорії, так і для підвищення ефективності проектування радіоелектронних і цифрових систем. Розв'язання багатьох граничних задач математичної фізики пов'язане з розкладаннями функцій у ряди. Вони з'являються в процесі розв'язку дифракційних задач, пов'язаних з поширенням електромагнітних хвиль, при розгляді питань дифракційної електроніки на періодичних структурах з похилих напівплощин, у теорії фазованих антенних решіток. Визначення суми ряду в тих випадках, коли це можливо, дозволяє одержати аналітичний розв'язок задачі, що є досить актуальним.

Математичне моделювання в теперішній час - невід'ємний етап роз-в'язку будь-якої практично важливої задачі, оскільки надає істотну інформацію про досліджуваний об'єкт. Воно передбачає: дослідження проблеми; розробку алгоритму її розв'язання; написання коду мовою програмування; тестування й верифікацію моделей, методів, алгоритмів і програм. Класифікація математичних моделей за рівнями складності організації обчислень включає складові: 1) модель-формула як найпростіший тип, що складається з одного рівняння; 2) модель-рівняння, параметри якого, у свою чергу, можуть бути розраховані за моделями-формулами; 3) модель - система рівнянь, наприклад, система лінійних алгебраїчних рівнянь; 4) модель-алгоритм як сукупність рівнянь математичної моделі й алгоритму розрахунку шуканих характеристик досліджуваного об'єкта; 5) модель-методика як найбільш складний вигляд організації обчислень, що поєднує кілька моделей-алгоритмів. Очевидно, при оцінюванні адекватності результатів моделювання первинним є підвищення точності розрахунку моделі-формули. Перевагою на цьому етапі варто вважати можливість розрахунків без застосування обчислювальної техніки.

Дослідження ґрунтуються на роботах вчених: Aronszajn A., Котельников В.А., Шенон К., Размахнін М.К., Яковлєв В.П., Вапник В.Н., Тitchmarch Е.C., Tranter C.J., Ахієзер Н.І., Анго А., Watson G.N., Деч Г., Садовничий В.А., Daubeshies I., Sethu Vijayakumar, Saitoh S., Girosy F., Laslo Mate, Xiang-Gen Xia, Nashed M.Z., G. Wahba.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційне дослідження виконувалося в рамках докторантської підготовки, а також відповідно до планів НДР, програм і договорів, що виконувалися у Харківському національному університеті радіоелектроніки: договір про довгострокове науково-технічне співробітництво з фірмою Аldec Inc. (USA), № 02 від 19.11.2001 “Розробка програмних і апаратних засобів верифікації систем на кристалі, реалізованих на основі програмувальних логічних інтегральних схем”; договір про науково-технічне співробітництво з Талліннським технічним університетом № 01 від 07.04.2004; грантовий дослідницький проект «SIGETEST - моделювання й синтез тестів для складних цифрових систем», ініційований компанією Intel, 2003; госпдоговір № 01 від 07.03.2005 із ЗАТ «Сєверодонецьке НВО “Імпульс”» «Розробка системи ієрархічного діагностування програмно-технічних комплексів»; держбюджетна НДР № 01 від 07.01.2005 «Розробка методів і засобів тестування цифрових систем на кристалах»; НДР 216 “Енергозберігаючі інформаційні технології на основі паралельних обчислювальних процесів, безпровідних систем і мереж”. При виконанні означених вище договорів автор брала участь як виконавець, консультант, відповідальний виконавець.

Проблема, що розв'язується в дисертації: розроблено моделі та методи аналітичного перетворення деяких типів білатеральних, знакозмінних, нестепеневих рядів до точної суми шляхом синтезу моделей-формул на основі методу підсумовування рядів у ГПВЯ завдяки знаходженню їхніх функціональних еквівалентів у гільбертовому просторі L2 з відтворюючими ядрами Ker1-Ker4, які мають властивості відновлювати функцію за її розкладанням, і їх застосування для моделювання електродинамічних процесів у радіоелектронних пристроях.

Клас практичних задач - моделювання процесів, опис яких зводиться до електродинамічних задач із розподіленими параметрами, де фігурують системи лінійних алгебраїчних рівнянь щодо шуканих амплітудних коефіцієнтів електромагнітних полів із кратними рядами.

Мета і завдання дослідження - розробка методу підсумовування рядів у гільбертовому просторі з відтворюючим ядром (ГПВЯ) для вирішення проблеми моделювання класу нелінійних об'єктів з розподіленими параметрами шляхом аналітичного синтезу нових більш точних математичних моделей сум рядів, що суттєво зменшують їх обчислювальну складність та підвищують швидкодію розрахунку параметрів і аналізу моделей радіоелектронних компонентів.

Формулювання задач дослідження: 1. Виконати аналітичний огляд методів ГПВЯ для моделювання радіоелектронних пристроїв з метою визначення найбільш ефективних математичних моделей, заснованих на ГПВЯ, і проблем, які підлягають розв'язанню. 2. Виконати аналіз математичних просторів на основі їхніх характеристичних властивостей у взаємозв'язку із множинами, алгебрами й моделями для теоретичного обґрунтування методу підсумовування рядів за вибірковими значеннями у ГПВЯ; визначити структуру методів підсумовування рядів для порівняння ефективності нових методів, описаних далі в роботі. 3. Довести основні теоретичні положення, пов'язані з методом підсумовування рядів у ГПВЯ, для одержання нових точних математичних моделей-формул сум рядів, а також моделей-рівнянь (суматорних, інтегральних) і моделей-систем на їхній основі. 4. Визначити точні аналітичні розв'язки задач розрахунку електромагнітного поля з використанням методу підсумовування рядів у ГПВЯ: у решітках із плоских хвилеводів і з діелектричною пластиною; у фазованій антенній решітці складної структури. 5. Удосконалити метод розв'язання граничних електродинамічних задач для хвилеводних та резонаторних пристроїв і систем на основі використання точних моделей-формул підсумовування рядів у ГПВЯ. 6. Удосконалити модель дифракції електромагнітних хвиль на системі об'ємних діафрагм у прямокутному хвилеводі й електромагнітної хвилі на нескінченно довгій плоскій провідній смузі з використанням точних моделей-формул підсумовування рядів у ГПВЯ. 7. Виконати верифікацію й тестування моделей і методу шляхом проведення обчислювальних експериментів і порівняльного аналізу точності й швидкодії процедур для підтвердження вірогідності отриманих формул, рівнянь і систем.

Об'єктом дослідження є клас нелінійних систем з розподіленими параметрами, які можуть представляти компоненти радіоелектронних пристроїв, неоднорідні хвилеводні й резонаторні структури, фазовані антенні решітки.

Предмет дослідження - математичні моделі, чисельні й аналітичні методи підсумовування рядів за вибірковими значеннями у ГПВЯ.

Методи досліджень, що використовуються при розв'язанні задач, засновані на математичному апараті: теорія рядів, теорія функцій, математичний аналіз, теорія функцій комплексного змінного (для підсумовування та аналізу рядів); теорія множин (для класифікації типів просторів); рівняння математичної фізики, граничні задачі математичної фізики, теорія диференціальних рівнянь (для розв,язання граничних електродинамічних задач), чисельні методи і засоби моделювання (MatLab, Mathematica, Simulink - для моделювання, верифікації та підтвердження вірогідності отриманих теоретичних результатів).

Наукова новизна одержаних результатів:

1. Удосконалено структурну ієрархічну модель просторів, що, на відміну від існуючих, ураховує характеристичні властивості та дає можливість: визначити взаємозв'язки з множинами, алгебрами та моделями; теоретично обгрунтувати метод підсумовування рядів за вибірковими значеннями у ГПВЯ. Запропоновано структуру методів підсумовування рядів, що являє собою базу відомих обчислювальних технологій для порівняння ефективності нових методів, описаних далі в роботі.

2. Вперше запропоновано нові доведення основних теоретичних положень, пов'язаних із методом підсумовування рядів у ГПВЯ, що складають базову теорію переходу від апроксимуючих виразів до точних функцій, у вигляді 23-х теорем для отримання нових точних математичних моделей-формул сум рядів, а також інтегральних тотожностей, моделей-рівнянь і систем на їх основі, що дає можливість суттєво зменшити обчислювальну складність.

3. Удосконалено аналітичні розв'язки граничних електродинамічних задач аналізу електромагнітного поля з використанням методу підсумовування рядів у ГПВЯ, що відрізняються меншою обчислювальною складністю виразів для амплітудних множників (решітки з плоских хвилеводів і з діелектричною пластиною; фазована антенна решітка складної структури, циліндричні резонатори та хвилеводи) та дозволяють сутєво зменшити кількість ітерацій при одночасному підвищенні точності розрахунків радіоелектронних пристроїв.

4. Удосконалено метод розв'язання граничних електродинамічних задач моделювання хвилеводних і резонаторних пристроїв на основі використання процедури підсумовування рядів у ГПВЯ, що відрізняється представленням розв'язку у явному вигляді або зменшенням кількості ітерацій при розв'язанні систем линійних алгебраічних рівнянь відносно шуканих амплітудних коефіцієнтів електромагнітних полів з кратними рядами, що дає можливість підвищити швидкодію методу в десятки разів.

5. Удосконалено моделі дифракції електромагнітної хвилі на нескінченно довгій плоскій провідній смузі в системі об'ємних діафрагм прямокутного хвилеводу з використанням підсумовування рядів у ГПВЯ, що відрізняються меншою обчислювальною складністю та отриманням рішення в явному вигляді, що дозволяє суттєво спростити процедури моделювання з одночасним отриманням точних значень сум рядів.

Практичне значення отриманих результатів визначається:

1) застосуваням запропонованого методу підсумовування рядів у ГПВЯ в процесі синтезу й аналізу широкого класу моделей, що описують компоненти радіоелектронних систем (моделювання електромагнітних полів у хвилеводних і резонаторних структурах), який дозволяє на декілька порядків зменшити час моделювання радіоелектронних пристроїв і виключити погрішність обчислень;

2) тестуванням і верифікацією методу підсумовування рядів у ГПВЯ на основі виконання модельних експериментів у пакеті Mathematica 4.1, які підтвердили переконливість, достовірність та обгрунтованість теоретичних положень методу, синтезованих точних моделей-формул, оцінок швидкодії та нульової погрішності в обчисленнях;

3) суттєвим зменшенням часу обчислення точних аналітичних моделей сум рядів, які можна багаторазово використовувати при розробці різних програмних продуктів, а також апаратних спеціалізованих математичних процесорів і систем на кристалах.

4) використанням результатів дисертації у навчальних курсах ХНУРЕ: “Дискретна математика”, “Основи автоматизації проектування”, а також при виконанні курсових і дипломних проектів з розробки цифрових систем на кристалах для підвищення ефективності обчислення рядів при розрахунках радіоелектронних пристроїв за допомогою продуктів компаній: Xilinx, Intel, Aldec, Synopsis.

5) впровадженням результатів дисертаційної роботи у компанії Aldec, USA, лист від 12.01.2006; Талліннському технологічному університеті, Естонія, акт від 19.12.2005; ВАТ “АТ НДІРВ”, довідка від 14.02.2006; ЗАТ “Сєвєродонецьке НВО “Імпульс””, довідка від 17.02.2006; ХНУРЕ, акт від 17.01.2006.

У порівнянні з існуючими методами і реалізаціями запропонована методика обчислення рядів певного типу дає можливість підвищити швидкодію одержання результату в сотні й тисячі разів, що є актуальним і, безумовно, затребуваним для проектування IP-core, засобів Mathematicа, математичних спецпроцесорів і радіоелектронної апаратури.

Особистий внесок здобувача полягає в самостійних теоретичних дослідженнях щодо реалізації поставлених задач. Усі результати отримані здобувачем особисто. У роботах, опублікованих у співавторстві, автору належать: [2] - аналітичне розв'язання задачі дифракції електромагнітних хвиль; [3] - постановка задачі поширення електромагнітних хвиль у циліндричних періодичних структурах та опис аналітичної моделі; [4] - модель процесу аналітичного вирішення задач поширення електромагнітних хвиль у циліндричних періодичних структурах; [5] - класифікація моделей просторів; [6] - розв'язання задачі збуждення решітки на основі методу підсумовування рядів у ГПВЯ; [19] - метод підсумовування рядів у ГПВЯ; [20] - модель для аналізу методу часткових областей на основі усікання використовуваних рядів; [21] - модель збудження циліндричного резонатора електронним струмом; [22] - математична модель циліндричного резонатора з відрізком періодичної структури на осі; [23] - метод аналізу та алгоритм використання матриці суміжності, що описує граф цифрового пристрою, для моделювання цифрових систем; [24] - модель циліндричного резонатора складної форми; [26] - математична модель електромагнітної хвилі у циліндричній структурі; [32] - аналітичний розв,язок граничної задачі для отримання дисперсійного рівняння; [33] - модель позамежного хвилеводно-діелектричного резонатора; [34] - аналітичні та чисельні моделі розрахунку електродинамічних характеристик у циліндричному резонаторі складної структури; [35] - модель електромагнітного поля в прямокутному діафрагмованому хвилеводі; [37] - моделі-формули підсумовування рядів у ГПВЯ та методи їх визначення; [38] - приклади вирішення радіофізичних задач з використанням методу підсумовування рядів у ГПВЯ; [39] - метод підсумовування рядів у ГПВЯ для програмної імплементації; [42] - метод підсумовування рядів у ГПВЯ; [43] - модель позамежного хвилеводно-діелектричного резонатора складної структури; [44] - метод відтворюючих перетворень для розв,язання суматорних та інтегральних рівнянь на основі підсумовування у ГПВЯ; [45] - приклади підсумовування рядів методами ГПВЯ та програмна імплементація; [46] - застосування методу підсумовування у ГПВЯ для САПР; [48] - верифікація і тестування формул підсумовування рядів у ГПВЯ.

Обгрунтованість та достовірність результатів пiдтверджується розрахунковими даними, якi здобутi внаслiдок виконання модельних експериментів із наступним порівнянням отриманих результатів із відомими методами підсумовування рядів: теорія лишків, перетворення Лапласа, інтегральні зображення.

Апробація результатів дисертації. Основнi результати та висновки дисертацiйної роботи доповiдались та обговорювались на міжнародних конференціях, що мають пряме відношення до теми дисертаційної роботи: 1) International Conference TCSET'2004 “Modern Problems of Radio Engineering Telecommunications and Computer Science”. February 24-28. 2004. Lviv-Slavsko, Ukraine; 2) International Conferences on Information Theories and Applications - Third International Conference “Information research, applications, and education”. Varna-Sofia, Bulgaria. June, 2005; 3) IV International Conference on Antenna Theory and Techniques. Sebastopol, Ukraine. September 9-12, 2003; 4) 2-га міжнародна науково-технічна конференція «Проблеми інформатики й моделювання», Харків, 28-30 листопада, 2002; 5) 7-ма міжнародна конференція «Теорія й техніка передачі, прийому й обробки інформації». Туапсе, 2002; 6) 1-st International Conference on Advanced Optoelectronics and Lasers 2003; 7) DSD 2004 Euromicro Symposium on Digital System Design: Architectures, Methods and Tools. August 31 - September 3, 2004, Rennes - France; 8) Міжнародна конференція «Теорія й техніка передачі, прийому й обробки інформації». Туапсе, 2003; 9) Міжнародна науково-практична конференція «Сучасні технології проектування систем на мікросхемах програмованої логіки». 23 вересня 2003. “Aldec Inc”-ХНУРЕ; 10) IEEE EWDTW, 2004. Yalta-Alushta, September 23-26; 11) BEC 2004. Tallinn. October 3-6, 2004; 12) 10-та міжнародна конференція «Теорія й техніка передачі, прийому й обробки інформації». Туапсе, 2004; 13) Науково-практична конференція «Інформаційні технології - в науку й освіту». Харків, 21-22 березня, 2005; 14) IEEE EWDTW, 2005. Odessa, September 15-19; 15) 5-й міжнародний форум «Радіоелектроніка й молодь у ХХ столітті» 24-26 квітня, 2001; 16) The Fifth International Kharkov Symposium оn Physics аnd Engineering оf Microwaves, Millimeter аnd Submillimeter Waves. Kharkov, Ukraine, June 21-26, 2004; 17) 2-й міжнародний радіоелектронний форум “Прикладна радіоелектроніка. Стан та перспективи розвитку”. 2005; 18) 9-th International Conference “Electronics”, 2005. Kaunas - Lithuania.

За результатами наукових досліджень автор є переможцем конкурсу “Молода людина року - 2003” у номінації “Наукова діяльність”, що був проведений Харківською міською адміністрацією; у складі наукового колективу - переможцем конкурсу науково-технічних проектів фірми Intel, 2003; стипендіатом і власником диплома ім. Г.Ф. Проскури Харківської обласної адміністрації за досягнення в області технічних наук, 2005 р.; власником диплома за кращу доповідь на міжнародній конференції “Electronics”, що проводилася у Каунаському технологічному університеті, 2005.

Публікації. Результати наукових досліджень відбиті в 49 друкованих працях, серед яких: 1 монографія, 23 статті, опубліковані фахових виданнях, що входять до переліків, затверджених ВАК України, 5 статей у закордонних журналах, а також 20 тез доповідей на міжнародних конференціях.

Структура й обсяг дисертації. Дисертаційна робота містить 290 сторінок, 48 рисунків, 29 таблиць, серед яких жоден не займає повну сторінку. Її структура включає: вступ, 7 розділів із висновками, загальний висновок, список використаних джерел із 190 назв на 17 сторінках та 1 додаток на 7 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ

Вступ містить обгрунтування актуальності проблеми, що розв'язується; формулювання мети, об'єкта і задач дослідження; сукупність наукових результатів, що виносяться на захист; відомості про їхню апробацію і реалізацію.

Перший розділ “Методи ГПВЯ для моделювання РЕП” дисертаційної роботи присвячений аналізу робіт за проблемою, що висвітлюється в дисертації, а саме: методам ГПВЯ та систематизації наукових напрямків щодо їх застосування. Розглядаються області застосування методів ГПВЯ. Математичні моделі, засновані на ГПВЯ, використовуються в теорії вейвлет-функцій для розпізнавання образів, у цифровій обробці даних, при стиску зображень, у комп'ютерній графіці. Практичне застосування вейвлетів ґрунтується на теорії функцій та аналізі, використанні відомостей про ряди і перетворення (безперервне й дискретне) Фур'є, фільтрах, розкладанні сигналів. Вейвлети здатні ефективно представляти локальні особливості функцій і сигналів, забезпечувати високий ступінь компресії сигналів і зображень, проводити їх ефективну частотно-часову обробку. У зв'язку із цим вейвлет-аналіз має практичне застосування в теорії часових рядів, методах розпізнавання образів, цифровій обробці даних; при аналізі динамічних систем, складних процесів, що протікають у схемах різної природи; в області радіофізики, теорії коливань і хвиль, нелінійній динаміці. Апарат теорії вейвлетів дозволяє досліджувати процеси структуроутворення в електронному пучку зі сверхкритичним струмом за допомогою вейвлетної бікогерентності. Методи ГПВЯ є також основою для точного інкрементного (покрокового) навчання і його статистичної теорії. Використання методів ГПВЯ можна зустріти й у теорії вимірювань. Однак перелічені наукові напрямки не розглядають методи ГПВЯ стосовно підсумовування рядів.

У другому розділі “Моделі просторів і аналіз методів підсумовування рядів” надано аналітичний огляд математичних просторів. Розглядаються методологічні питання, пов'язані з моделями існуючих у математиці просторів, стосовно наукових досліджень в галузі радіоелектроніки. Наводяться визначення просторів, їх горизонтальні й вертикальні взаємозв'язки. Розглядаються алгебраїчні структури й множини, що визначають вертикальні взаємо-зв'язки. Запропонований аналіз моделей просторів дозволяє класифікувати їх за напрямками: історико-часовому розвитку, різноманіттю моделей прос-торів, зумовлених їхніми характеристичними властивостями (рис. 1). Класифікація не претендує на повноту, але дозволяє в сукупності визначити палітру використовуваних типів при виконанні наукових досліджень.

У рамках уведеної класифікації розглянуто основні положення теорії гільбертових просторів з відтворюючими ядрами. Виконано аналіз методів підсумовування рядів, достатній для порівняння результатів підсумовування й ефективності нового підходу, запропонованого в наступному розділі.

Запропоновано структуру методів підсумовування рядів, що являє собою базу відомих обчислювальних технологій для порівняння ефективності нових методів, описаних далі в роботі. Наведено огляд відомих методів і узагальнення теорії підсумовування деяких типів рядів для проведення порівняльного аналізу отриманих результатів. Способи підсумовування окремих рядів поєднуються в загальні методи, де деякі з них ґрунтуються на висновках, що не витримують строгих доведень. Вони є прийнятними, поки не будуть запропоновані нові, математично строгі обґрунтування. Проте у теорії підсумовування рядів можна виділити такі основні методи: підсумовування на основі перетворення Лапласа (переводить суму ряду в інтеграл, під знаком якого перебуває функція, що є геометричною прогресією або експонентним рядом; обчислення інтеграла вирішує задачу підсумовування ряду). Для застосування цього способу необхідні таблиці перетворень Лапласа й визначених інтегралів. За допомогою згаданого методу підсумовуються ряди із загальним членом у вигляді: дробу, знаменник якого є багаточленом другого ступеня; правильного раціонального дробу зі знаменником у вигляді багаточлена вищого порядку, приведеного до відомих результатів шляхом розкладання знаменника на множники й зображенням виразів у вигляді суми найпростіших дробів; підсумовування за допомогою теореми про лишки (дозволяє обчислювати білатеральні ряди, у тому числі знакозмінні); підсумовування рядів з функціями Бесселя на підставі інтегральних зображень.

У третьому розділі “Метод підсумовування рядів у ГПВЯ” представлено основні положення методу підсумовування рядів у ГПВЯ. На основі окремих фактів теорії ГПВЯ пропонується новий підхід до визначення значень деяких типів рядів - метод підсумовування рядів за вибірковим значенням.

Абстрактний гільбертів простір з відтворюючим ядром є сукупністю функцій , , для яких існує єдине відтворююче ядро, , що має властивості: 1) ; 2) .

Для кожного ГПВЯ існує оператор G, що переводить будь-яку функцію з гільбертового простору з інтегрувальним квадратом модуля у функцію із ГПВЯ і залишає без зміни останню. Наприклад, функції з фінітними спектрами косинус- і синус- перетвореня, а також Ганкеля утворюють ГПВЯ. У кожному ГПВЯ має місце теорема про вибірки, відповідно до якої вибіркова функція пропорційна відтворюючому ядру , де - точки вибірок. Фундаментальне дослідження проблеми розкладання за вибірковим значенням було виконано К. Шенноном і В.А. Котельниковим.

Далі робиться висновок про те, що будь-якій функції із ГПВЯ можна поставити у відповідність ряд за вибірковими значеннями. Якщо ж є ряд, загальний член якого можна привести до стандартного вигляду - шляхом еквівалентних перетворень виділити відтворююче ядро - то такому ряду можна поставити у відповідність функцію із ГПВЯ. Інакше кажучи, ряд може бути просумований на підставі відомих уявлень про розкладання функцій у ГПВЯ:

Таким чином, на основі відомих положень теорії ГПВЯ далі пропонується метод підсумовування рядів за вибірковими значеннями.

Далі пропонуються нові результати з теорії рядів, що мають практичну значущість. Шляхом доведення теорем виводяться формули для обчислення сум знакозмінних рядів певного типу. Наводяться приклади розв'язку суматорних та інтегральних рівнянь, а також їхніх систем. Доводяться інтегральні тотожності.

Нижче надані теореми, що становлять математичну основу дисертації (доведення наведені в дисертації).

Теорема 1. Для знакозмінних рядів має місце рівність у ГПВЯ при ,

. (6)

Приклад 1. За допомогою фомули (6) можна визначити суму ряду , , , , а саме:

Аналітичне доведення тотожності (7) виконано Титчмаршем на основі теорії лишків. Очевидно, запропонований метод виграє за трудомісткістю обчислень у порівнянні з існуючими підходами теорії функцій комплексного змінного, які використовуються при підсумовуванні рядів.

Теорема 2. Має місце формула в ГПВЯ :

, (8)

Зауваження: для періодичних функцій формула (8) справедлива в основному інтервалі, наприклад, для синуса й косинуса. Можна показати також, що для них в інтервалі формула (8) вірна, якщо її праву частину домножити на (-1).

Теорема 3. Для знакозмінних рядів справедлива рівність

. (9)

Теорема 4. Має місце формула:

(10)

Теорема 5. Сума білатерального знакозмінного ряду в ГПВЯ визначається наступною формулою:

(11)

Для формул (8)-(11) проведені чисельні розрахунки показали, що втрати при усіканні ряду можуть становити до 20% і зростають поблизу границь інтервалу зміни змінної. Сучасні стандартні математичні програми, такі як Mathematica 4.1, у середовищі якої виконувалися розрахунки, дають однакові результати при утриманні 20, 50 і 100 доданків.

Теорема 6. Має місце рівність

, (12)

Теорема 7. Має місце формула підсумовування подвійного ряду для функцій із ГПВЯ

, (13)

Наслідок. Результати теореми 7 можна поширити для потрійного ряду в цілях отримання такого виразу:

, (14)

Теорема 8. Для підсумовування подвійних знакозмінних рядів справедлива формула:

(15)

Теорема 9. Для функцій із ГПВЯ справедлива така формула, що визначає суму подвійного ряду:

, (16)

На основі методу підсумовування рядів у ГПВЯ можна знаходити розв'язки суматорних та інтегральних рівнянь згідно з наступними теоремами.

Теорема 10. Розв'язком суматорного рівняння вигляду

, , (17)

де , , , - задані параметри, є

, (18)

де (), - відомі величини, - функції Бесселя.

Теорема 11. Розв'язком інтегрального рівняння

, (19)

є функція

, (20)

Рівняння вигляду (19) зустрічається в задачі дифракції електромагнітних хвиль на плоскому провідному екрані із щілиною. Аналогічне рівняння розв'язується в задачі про нормальне падіння Н-поляризованої хвилі на смугу шириною 2а. Інтегральне рівняння (19) зустрічається також при розв'язку задачі дифракції електромагнітної хвилі на структурі з скінченної кількості нееквідистантно розташованих стрічок різної ширини.

Суматорне рівняння вигляду (17), де d - період решітки, - довжина падаючої хвилі, з'являється, зокрема, при розв'язанні задач: про нормальне падіння плоскої Е-поляризованої електромагнітної хвилі на решітку, що складається з тонких ідеально провідних нескінченно довгих металевих стрічок; про порушення кільцевого хвилеводу диполем; про випромінювання електромагнітної хвилі електронним потоком, що рухається усередині кільцевого хвилеводу.

На основі запропонованого методу підсумовування рядів у ГПВЯ визначаються результати для деяких інтегральних рівнянь від функцій Бесселя шляхом доведення тотожностей з використанням методу підсумовування рядів у ГПВЯ, які сформульовані у вигляді теорем.

Теорема 12. Має місце тотожність

, (21)

де , - модифіковані функції Бесселя 1-го й 3-го роду відповідно; , , .

Теорема 13. Має місце тотожність

, (22)

де - функція Бесселя 3-го роду, , , .

Теорема 14. Має місце рівність

, (23)

Теорема 15. Справедлива інтегральна тотожність

, , , (24)

де ; ; - функція Ломеля; - гамма-функція; - функція Неймана.

Теорема 16. Має місце тотожність

(25)

Шляхом доведення теорем, що мають теоретичне й практичне значення, визначаються розв'язки інтегро-суматорних рівнянь і систем складної структури. Вони є затребуваними, наприклад, у задачах радіофізики, а також становлять суто математичний інтерес. Далі формулюються теореми, що визначають розв'язки двох інтегро-суматорних рівнянь і трьох систем складної структури.

Теорема 18. Система інтегро-суматорних рівнянь

, , (27)

, (28)

, (29)

Теорема 19. Інтегро-сумматорне рівняння

відтворююче ядро електродинамічний радіоелектронний

, (31)

має розв'язок

, (32)

Теорема 20. Інтегро-сумматорне рівняння

, (33)

де , - модифіковані функції Бесселя 1-го й 3-го роду відповідно; , , має розв'язок

, (34)

за умови, що функція відома й належить ГПВЯ .

Теорема 21. Система інтегро-суматорних рівнянь

, , (35)

, , (36)

де - задана функція із ГПВЯ, , має розв'язок

, (37)

де , (38)

Теорема 22. Система інтегральних рівнянь

, , , (39)

, (40)

має при розв'язок

(41)

, , (43)

, . (44)

У четвертому розділі “Верифікація методу та моделей підсумовування рядів в ГПВЯ” представлено процедури тестування й верифікації основних моделей підсумовування рядів у ГПВЯ шляхом виконання обчислювальних експериментів. Розроблений SUM IP Core Generator, що дозволяє користувачеві автоматично генерувати Test Bench за допомогою скрипт-файлів для верифікації проекту на основі інструментальних засобів моделювання Mathematica. Наведено класи функцій, що утворюють ГПВЯ. Наводиться чисельне обґрунтування отриманих результатів. Розглянемо приклади застосування теорем 14-16 і деякі чисельні результати.

Абсолютна похибка обчислень у зазначених інтервалах зміни параметрів надана матрицею:

Наведені приклади ілюструють істотне підвищення точності підсумовування ряду при обчисленні за запропонованими моделями-формулами до його реального значення в порівнянні з існуючими підходами, пов'язаними з усіканням ряду, які дають 5-20%-ну похибку. Для розв'язання розрахункових задач такий виграш є істотним. Необхідність підсумувати подвійні ряди постає, зокрема, при розрахунку характеристик антен з похилими щілинами у хвилеводах, а також при розв'язанні задач дифракції хвиль на решітках і у дифракційній електроніці, що має практичну значущість.

У п,ятому розділі “Застосування методу підсумовування рядів у ГПВЯ в задачах теорії антен” розв'язуються три практично значущі задачі розрахунку антенної техніки з використанням методу підсумовування рядів у ГПВЯ. Демонструються переваги описаного підходу.

Задача 1. Для нескінченної фазованої решітки, утвореної плоскими напівобмеженими хвилеводами, стінки яких вважаються нескінченно тонкими, ідеально провідними (ширина між ними), отримано точний розв'язок. Сформульована задача вирішена методом зшивання із застосуванням гармонік Флоке в сполученні з методом розкладання функцій у гільбертовому просторі з відтворюючим ядром у ряд за вибірковими значеннями. Застосування останнього дозволило одержати альтернативні зображення для невідомих амплітудних коефіцієнтів у явному вигляді в термінах більш простих функцій:

Розглянута задача розв'язана в [Митра Р., Лі С. Аналітичні методи теорії хвилеводів: Пер. з англ. М.: Мир, 1974. 328с.] методом лишків. Амплітудні коефіцієнти було отримано у вигляді:

Очевидно, у такому зображенні амплітудні множники (49), (50) містять нескінченні добутки. Отже, тут можна одержати тільки наближені значення для й . Порівняння виразів (47), (48) і (49), (50) дає формулу для нескінченних добутків:

Отриманий розв'язок є точним. Він зручний для чисельного аналізу при різних геометричних розмірах структури.

Задача 2. Розглядається нескінченна періодична система плоских хвилеводів, стінки яких вважаються нескінченно тонкими, ідеально провідними, з розташованою над нею діелектричною пластиною. Потрібно знайти розсіяне поле усередині хвилеводів і у вільному просторі. Для цього необхідно одержати вирази для амплітудних коефіцієнтів електромагнітного поля з використанням методу підсумовування рядів за вибірковими значеннями. Сформульована задача розв'язана методом зшивання із застосуванням гармонік Флоке, як і в [Амитей Н., Галиндо В., Ву Ч. Теорія й аналіз фазованих антенних решіток: Пер. з англ. М.: Мир, 1974. 455с.], але в сполученні з методом підсумовування рядів за вибірковими значеннями у ГПВЯ. Застосування останнього при обчисленні рядів, що зустрічаються в процесі розв'язання задачі, дозволило одержати розв'язки нескінченних систем рівнянь щодо невідомих амплітудних коефіцієнтів електромагнітного поля. Для амплітудного множника вдалося одержати явне зображення в термінах елементарних функцій:

Таким чином, розв'язання цієї задачі продемонструвало можливість аналітичного визначення амплітудних коефіцієнтів електромагнітного поля в явному вигляді, що дає можливість істотно спростити подальші обчислення при моделюванні електромагнітних полів.

Задача 3. Необхідно одержати точний аналітичний розв'язок задачі про порушення фазованої антенної решітки складної структури. Задача розв'язана методом часткових областей із застосуванням гармонік Флоке, але в сполученні з методом підсумовування рядів за вибірковими значеннями у ГПВЯ. Останній використовувався для виведення амплітудних коефіцієнтів поля. Для них отримано зображення в аналітичній формі, що не містять рядів, у той час як раніше амплітуди визначалися з нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь, до складу яких входили кратні ряди, у тому числі білатеральні.

Розділ 6 “Застосування підсумовування в ГПВЯ при моделюванні електромагнітних полів у хвилеводних і резонаторних структурах” містить приклади застосування підсумовування в ГПВЯ при моделюванні електромагнітних полів у хвилеводних і резонаторних структурах. Розв'язуються п,ять задач.

Задача 1. Для циліндричного хвилеводу, геометрія якого визначається умовами: на періодичній границі розподілу ділянки відповідають ідеально провідним елементам, а інша її частина - - відповідає щілинам між ними; необхідно відшукати електромагнітне поле, що задовольняє вимогам: а) є рішенням однорідного рівняння Гельмгольця; б) підпорядковується граничним умовам на ідеально провідних поверхнях і неперервне всюди в додатковій області простору. З виконання граничних умов для компонентів електромагнітного поля випливає система функціональних рівнянь відносно Фур'є-коефіцієнтів і . Користуючись повнотою функції на відповідних інтервалах, одержуємо еквівалентну їй систему алгебраїчних рівнянь:

Задача 2. Про збудження циліндричного резонатора коаксіального типу, геометрія якого описується такими інтервалами зміни координат: , (область І); , (область ІІ - приосьова). Визначаються власні значення коливань електричного типу і відповідні їм власні поля. Для цього необхідно знайти нетривіальні розв'язки рівнянь Максвелла, які задовольняють таким умовам: дотичні складового вектора електричного поля обертаються на нуль на ідеально провідних стінках резонатора; на границі розподілу часткових областей електричне і магнітне поля мають бути неперервними. Отриманий розв'язок має вигляд:

Тут система щодо коефіцієнтів набула спрощення за рахунок підсумовування одного ряду.

Задача 3. Про випромінювання електромагнітних хвиль електронним потоком, що рухається усередині кільцевого хвилеводу, який утворений нескінченною періодичною послідовністю однакових металевих циліндрів радіуса b (період структури l, ширина щілин d). Уздовж осі z хвилеводу (початок координат розміщений у середині металевого кільця) рухається з постійною швидкістю v порожній циліндричний електронний потік радіуса a. Потрібно знайти електромагнітне поле, що може випромінюватися при русі електронного потоку усередині хвилеводу. Внаслідок отримано строгий розв'язок задачі про випромінювання електромагнітних хвиль, що виникає при русі порожнього монохроматичного електронного потоку усередині кільцевого хвилеводу, який відрізняється від відомого тим, що шукані коефіцієнти, через які зображуються електромагнітні поля, виводяться аналі-тично в явному вигляді в термінах більш простих функцій і виразів, що не містять рядів.

В цьому розділі також наведено модифікації математичних моделей щодо випромінювання електромагнітних хвиль електронним струмом, що рухається всередині кільцевого хвилеводу, та позамежного хвилеводно-діелектричного резонатора складної структури, які отримані за допомогою методу підсумовування рядів у ГПВЯ.

Отже, запропонована модифікація методу розв'язку граничних електродинамічних задач для хвилеводних та резонаторних пристроїв і систем на основі використання процедури підсумовування рядів у ГПВЯ дає можливість істотно (мінімум на М рядів) зменшити обчислювальну складність згаданих задач шляхом спрощення вигляду СЛАУ і дисперсійних рівнянь за рахунок аналітичного визначення сум рядів, що містяться в них, і тим самим зменшити відносну похибку подальших чисельних розрахунків.

У розділі 7 “Застосування методів гпвя в задачах дифракції” розглядаються дві задачі.

Задача 1. Про дифракцію электромагніних хвиль у прямокутному хвилеводі з об'ємними діафрагмами. Розробляються математичні моделі діафрагмованих систем, які враховують кількість діафрагм, їхнє розташування й геометричні розміри. Істотною є модифікація систем рівнянь щодо шуканих коефіцієнтів an1, bn1, An2, Bn1, які описують електромагнітне поле (a1, b, d - геометричні параметри системи):

Результати, отримані при розгляді задачі, поширені на випадок структури з потрійною діафрагмою. Як про узагальнення розв'язку окремих випадків задачі, можна говорити про методику побудови математичної моделі діа-фрагмованих прямокутних хвилеводів для наступного розрахунку їхніх характеристик. Побудована модель відрізняється від відомих тим, що вона має меншу (на N рядів у моделях-рівняннях) обчислювальну складність завдяки аналітичному визначенню сум деяких рядів, що зустрічаються в ній.

Задача 2. Про дифракцію плоскої електромагнітної хвилі на нескінченно довгій плоскій провідній смузі, що займає область а. В [Борн М., Вольф Э. Основы оптики: Пер. с англ. - М.: Наука, 1970. - 856 с.] показано, що розв'язок цієї задачі зводиться до такої парної (дуальної) системи інтегральних рівнянь:

Таким чином, отримано точний розв'язок системи парних рівнянь, що є моделлю дифракції Н-поляризованої плоскої електромагнітної хвилі на нескінченно довгій плоскій провідній смузі; визначено вираз для щільності наведеного струму.

ВИСНОВКИ

Отже, внаслідок досліджень, присвячених розробці методу підсумовування рядів у гільбертовому просторі з відтворюючим ядром для вирішення проблеми моделювання класу нелінійних динамічних систем з розподіленими параметрами шляхом аналітичного синтезу нових точних математичних моделей-формул сум рядів, що суттєвно зменшують їх обчислювальну складність та підвищують швидкодію розрахунку й аналізу компонентів радіоелектронних пристроїв, було отримано такі наукові результати:

1. Удосконалено структурну ієрархічну модель просторів, що, на відміну від відомих, ураховує характеристичні властивості та дає можливість: визначити взаємозв'язок із множинами, алгебрами й моделями; теоретично обґрунтувати метод підсумовування рядів за вибірковими значеннями у ГПВЯ. Запропоновано структуру методів підсумовування рядів, що являє собою базу відомих обчислювальних технологій для порівняння ефективності нових методів, запропонованих у роботі.

2. Вперше запропоновано нові доведення основних теоретичних положень, пов'язаних із методом підсумовування рядів у ГПВЯ, що складають базову теорію переходу від апроксимуючих виразів до точних функцій, у вигляді 23-х теорем для одержання нових точних математичних моделей-формул сум рядів, а також інтегральних тотожностей, моделей-рівнянь і систем на їхній основі, що дає можливість істотно зменшити обчислювальну складність.

3. Модифіковано аналітичні розв'язки граничних електродинамічних задач аналізу електромагнітного поля з використанням методу підсумовування рядів у ГПВЯ, які відрізняються меншою обчислювальною складністю виразів для амплітудних множників (решітки з плоских хвилеводів і з діелектричною пластиною; фазована антенна решітка складної структури, циліндричні резонатори та хвилеводи) і дозволяють істотно зменшити кількість ітерацій при одночасному підвищенні точності розрахунків радіоелектронних пристроїв.

4. Удосконалено метод розв'язку граничних електродинамічних задач моделювання хвилеводних і резонаторних пристроїв на основі використання процедури підсумовування рядів у ГПВЯ, що відрізняється поданням розв'язку в явному вигляді або зменшенням кількості ітерацій при розв'язанні систем лінійних алгебраїчних рівнянь щодо шуканих амплітудних коефіцієнтів електромагнітних полів із кратними рядами, що дає можливість підвищити швидкодію методу в десятки разів.

5. Удосконалено моделі дифракції електромагнітної хвилі на нескінченно довгій плоскій провідній смузі та в системі об'ємних діафрагм прямокутного хвилеводу з використанням підсумовування рядів у ГПВЯ, які відрізняються меншою обчислювальною складністю й одержанням розв'язку в явному вигляді, що дозволяє істотно спростити процедури моделювання з одночасним одержанням точних значень сум рядів.

6. Для верифікації наукових результатів у вигляді моделей-формул точних сум рядів розроблено програмну систему SUM IP Core Generator (рис. 4), що дозволяє здійснювати введення опису моделі-формули за допомогою GUI-інтерфейсу; моделювати моделі-формули за допомогою програмних продуктів Mathematica, Sinplify, Modelsim, Riviera, Active HDL; генерувати вихідні файли IP-core мовами опису апаратури VHDL, Verilog, System C; генерувати скрипт-файли для моделювання, синтезу, імплементації, часового моделювання; синтезувати тести, параметри, умови для верифікації на основі Testbench; виконувати післясинтезне моделювання на предмет виявлення помилок в кодах.

Практична значущість отриманих результатів визначається:

- застосуванням запропонованого методу підсумовування рядів у ГПВЯ при синтезі й аналізі широкого класу моделей, що описують компоненти радіоелектронних систем (моделювання електромагнітних полів у хвилеводних і резонаторних структурах), що дозволяє на кілька порядків зменшити час моделювання радіоелектронних пристроїв і виключити похибку обчислень;

- тестуванням і верифікацією методу підсумовування рядів у ГПВЯ на основі виконання модельних експериментів у пакеті Mathematica 4.1, які підтвердили вірогідність та обгрунтованість теоретичних положень методу, синтезованих точних моделей-формул, оцінок швидкодії та нульової похибки в обчисленнях;

- суттєвим зменшенням часу обчислення точних аналітичних моделей сум рядів, які можна багаторазово використовувати при розробці різних програмних продуктів, а також апаратних спеціалізованих математичних процесорів і систем на кристалах;

- використанням результатів дисертації у навчальних курсах ХНУРЕ “Дискретна математика”, “Основи автоматизації проектування”, а також при виконанні курсових і дипломних проектів з розробки цифрових систем на кристалах для підвищення ефективності обчислення рядів при розрахунках радіоелектронних пристроїв за допомогою продуктів компаній: Xilinx, Intel, Aldec, Synopsis;

- впровадженням результатів дисертаційної роботи у компанії Aldec, USA, лист від 12.01.2006; Талліннському технологічному університеті, Естонія, акт від 19.12.2005; ВАТ “АТ НДІРВ”, довідка від 14.02.2006; ЗАТ “Сєвєродонецьке НВО Імпульс”, довідка від 17.02.2006; ХНУРЕ, акт від 17.01.2006.

СПИСОК ОПУБЛIКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Чумаченко С.В. Cуммирование избранных рядов при моделировании радиоэлектронных устройств. - Харьков: ХНУРЭ, 2005. - 174 с.

2. Чумаченко С.В., Руженцев И.В., Хмель С.И. Дифракция электромагнитных волн на системе объемных диафрагм в прямоугольном волноводе // Технічна електродинаміка. - К., 2001.- № 3. - С. 9-13.

3. Зуев Н.Г., Пятак Н.И., Чумаченко В.С., Чумаченко С.В. Численно-аналитический и физический анализ распространения электромагнитных волн в цилиндрических периодических структурах. Часть I // Радиотехника: Сб. науч. трудов. - Харьков: ХНУРЭ, 2001. - Вып. 117. - С. 100-103.

4. Зуев Н.Г., Чумаченко В.С., Чумаченко С.В. Численно-аналитический и физический анализ распространения электромагнитных волн в цилиндрических периодических структурах. Часть II // Радиотехника: Сб. науч. трудов. - Харьков: ХНУРЭ, 2001. - Вып. 121. - С. 94-99.

5. Хаханов В.И., Чумаченко С.В. Модели пространств в научных исследованиях // Радиоэлектроника и информатика. - 2002. - №1. - С. 124-132.

6. Чумаченко В.С., Чумаченко С.В. Синфазне збудження решітки, утвореної плоскими напівобмеженими хвилеводами // Радіоелектроніка та інформатика. - 2002. - № 2. - С. 15-18.

7. Чумаченко С.В. Возбуждение решетки с диэлектрической пластиной // Радиоэлектроника и информатика. - 2002. - № 3. - С. 14-17.

8. Чумаченко С.В. Возбуждение фазированной антенной решетки сложной структуры // Радиоэлектроника и информатика. - 2003. - № 1. - С. 10-14.

9. Чумаченко С.В. Електромагнітне випромінювання електронного кільця, що рухається уздовж неоднорідної хвилеводної структури // Радиоэлектроника и информатика. - 2003. - № 2(23). - С.31-33.

10. Чумаченко С.В. Гильбертовы пространства с воспроизводящими ядрами и некоторые их применения // Радиоэлектроника и информатика. - 2003. - № 4(25). - С. 141-144.

11. Чумаченко С.В. Теоремы о некоторых интегральных тождествах // Радиоэлектроника и информатика. - 2004. - № 1(26). - С. 113-115.

12. Чумаченко С.В. Решение интегро-сумматорных уравнений и систем сложной структуры на основе методов суммирования рядов в ГПВЯ // Радиоэлектроника и информатика. - 2004. - № 2(27). - С. 122-125.

13. Чумаченко С.В. Взаимодействие движущегося кольцевого тока с неоднородной волноводной структурой // Радиотехника: Сб. науч. трудов. - Харьков: ХНУРЭ, 2004. - Вып. 137. - C. 31-35.

14. Чумаченко С.В. Суммирование двойных рядов на основе методов ГПВЯ // Радиоэлектроника и информатика. - 2004.- № 4(29). - С. 140-143.

15. Чумаченко С.В. Моделирование электромагнитных полей в резонаторных устройствах сложной структуры с применением метода суммирования рядов в ГПВЯ // Вестник НТУ “ХПИ”: Сб. науч. трудов. - Харьков: ХПИ, 2005. - № 41. - С. 28-36.

16. Чумаченко С.В. Численное обоснование метода суммирования рядов в ГПВЯ // Радиоэлектроника и информатика. - 2005. - № 1(30). - С. 111-114.

17. Чумаченко С.В. Верификация метода суммирования кратных рядов в гпвя // Радиоэлектроника и информатика. - 2005. - № 2(31). - С.83-85.

18. Хаханов В.И., Чумаченко С.В., Скворцова О.Б. SUM IP Core Generator - средство для верификации моделей-формул суммирования рядов в ГПВЯ // АСУ и приборы автоматики: Сб. науч. трудов. - Харьков: ХНУРЭ, 2005. - Вып. 133. - С. 151-156.

19. Хаханов В.И., Чумаченко С.В. Метод суммирования рядов в гильбертовом пространстве с воспроизводящим ядром для анализа моделей радиоэлектронных устройств // Электронное моделирование. 2006. - № 4. - С. 15-28.