Полностью известным называется сигнал, значение напряжения которого, если он имеется на входе приемника, может быть заранее точно указано для любого момента времени. Пусть используется сигнал с амплитудой , частотой , начальной фазой и длительностью :

, (6)

где лишь в интервале времени .

Считается, что все параметры такого сигнала - амплитуда , частота и начальная фаза определены заранее Возникает вопрос: зачем обнаруживать сигнал, который как будто известен заранее и полностью? Однако вся проблема заключается в том, что мы не знаем заранее, есть ли сигнал вообще или его нет, т.е. неизвестен сам факт наличия сигнала. Другими словами, если на входе приемника появится сигнал, то только на интервале и только такой, параметры которого определены и известны заранее.. Очевидно, что на практике подобная ситуация полностью исключается. Модель сигнала с полностью известными параметрами представляет чисто теоретический интерес, однако она является весьма полезной основой для синтеза оптимальных приемников сигналов с не полностью известными параметрами. При рассмотрении такого гипотетического случая можно оценить теоретический предел качества обнаружения. Более того, установлено, что структуры оптимальных приемников для полностью известного сигнала и для не полностью известных сигналов практически одинаковы. Отличия имеются только в параметрах приемников.

Допустим, что требуется построить приемник, оптимальный по критерию Котельникова. Такой приемник должен обеспечивать определение апостериорных (послеопытных, т.е. получаемых после обработки входного напряжения) вероятностей наличия и отсутствия сигнала и сравнения их между собой. Решение принимается в соответствии с тем, какая из вероятностей окажется больше. При этом вероятность ошибки будет минимально возможной, что и необходимо обеспечивать по данному критерию.

Нетрудно убедиться, что подобный приемник будет оптимальным и по критерию Неймана-Пирсона, когда считается заданной, и требуется обеспечить максимум . Из формулы (4) видно, что если а и известны до опыта, то минимуму вероятности полной ошибки соответствует минимум вероятности пропуска сигнала. Но так как , то, добиваясь получения минимальной вероятности полной ошибки, мы одновременно обеспечим максимум вероятности правильного обнаружения сигнала.

Для синтеза структуры оптимального приемника следует проанализировать выражения, которыми определяются указанные вероятности. Сначала обратимся к плотностям апостериорных распределений при следующих предположениях:

· полностью известных сигналов может быть бесконечное множество;

· кодирование сигналов производится по амплитуде;

· амплитуды сигналов лежат в пределах от нуля до ;

· различие амплитуд двух соседних сигналов бесконечно мало;

· все параметры каждого сигнала заранее известны.

Неизвестно только, какой из множества сигналов имеется на входе приемника в настоящее время.

Отсутствие сигнала соответствует при данной постановке задачи наличию сигнала с нулевой амплитудой.

Поставим следующую задачу. Имеется полная группа несовместимых гипотез (сигналов) . Вероятности этих гипотез известны до опыта и равны соответственно . Произведен опыт (прием сигнала), в результате которого имело место появление некоторого события . Спрашивается, как изменятся вероятности гипотез в связи с появлением этого события? Здесь, по существу, речь идет о том, чтобы найти условную вероятность для каждой гипотезы.

Из теоремы умножения вероятностей имеем:

,

или, отбрасывая левую часть,

,

откуда .

Выражая с помощью формулы полной вероятности

,

имеем (7)

Формула (7) называется теоремой гипотез или формулой Бейеса.

Из этой теоремы следует, что плотность апостериорной вероятности наличия различных сигналов

, (8)

где - нормирующий множитель, определяемый из условия, что интеграл от плотности апостериорной вероятности сигналов по всей области возможных сигналов должен быть равен единице:; - плотность априорной вероятности присутствия различных сигналов ; - плотность условной вероятности образования входного напряжения при наличии на входе сигнала .

Так как в (7) - постоянная величина, априорное распределение сигналов должно быть известно до опыта, то для определения апостериорного распределения нужно найти функцию , называемую обычно функцией правдоподобия. Эта функция позволяет оценить, какому сигналу соответствует имеющееся входное напряжение с наибольшей степенью правдоподобия.

Во входном напряжении случайной величиной является только помеха. Будем полагать, что помеха представляет собой белый шум - помеху с равномерным спектром в области частот, ширина которой значительно превышает полосу пропускания приемника . Мгновенные значения шумового напряжения подчинены нормальному (Гауссовскому) распределению с нулевым математическим ожиданием:

, (9)

где - среднеквадратическое или эффективное значение напряжения шума;

- дисперсия шума, равная мощности шума , выделяемой на сопротивлении 1 Ом.

Анализируя входное напряжение приемника в течение времени существования сигнала , мы можем, используя теорему Котельникова, представить шумовое напряжение его независимыми дискретными значениями (отсчетами). Число отсчетов выбирается из условия , где - наивысшая частота полосы пропускания приемника.

Поскольку шумовое напряжение типа гауссовского белого шума имеет корреляционную функцию вида -функции, любые его значения, сколь угодно близко расположенные друг к другу на временной оси, будут независимыми. Следовательно, совместная (многомерная) плотность распределения шума представляет произведение одномерных плотностей вида (8) и может быть представлена следующим образом:

. (10)

Входное напряжение представляет собой сумму напряжений сигнала и шума:

.

Так как сигнал является детерминированной функцией времени, а случайным изменениям подвержен только шум, то распределение входного напряжения определяется распределением шума. Следовательно, для отыскания функции правдоподобия нужно использовать формулу (10), в которую вместо напряжения шума необходимо подставить равную ему разность входного напряжения и напряжения сигнала .

Тогда условная плотность распределения сигнала примет следующий вид:

(11)

С учетом (11) плотность апостериорной вероятности (8) равна

. (12)

Проанализируем показатель экспоненты. Здесь из трех членов информативное значение имеет только один. Интеграл характеризует энергию суммарного входного воздействия. Мы не умеем извлекать из этой величины полезную информацию о принимаемом сигнале. При дальнейшем анализе объединим экспоненциальный множитель с множителями и , обозначив их произведение символом : . Как будет видно из дальнейшего, величина не войдет в результирующие соотношения.

Интегралом определяется энергия принимаемого сигнала - величина, известная до опыта, и, следовательно, он тоже не несет новой информации о сигнале.

Единственным членом, позволяющим получить дополнительную (по отношению к ранее известной, априорной) информацию о присутствии сигнала, является интеграл , подынтегральное выражение которого представляет собой произведение неизвестного входного напряжения и известного напряжения сигнала. Перепишем выражение (12) с учетом сделанных замечаний:

. (13)

Используя формулу (12), обратимся к решению задачи обнаружения одного-единственного полностью известного сигнала. Вместо плотности распределения апостериорной вероятности множества сигналов теперь будут лишь две вероятности двух возможных событий: апостериорная вероятность наличия сигнала и апостериорная вероятность его отсутствия . Выражение, определяющее , получим из (13), подставив в него вместо априорного распределения сигналов априорную вероятность появления одного возможного сигнала , т.е.

. (14)

Для определения апостериорной вероятности отсутствия сигнала нужно в (13) подставить априорную вероятность того, что сигнала нет и приравнять нулю энергию сигнала (), тогда:

. (15)

В оптимальном приемнике следовало бы выполнить операции, соответствующие формулам (14) и (15), и сравнить результаты между собой; в зависимости от того, что будет больше, принимается решение о наличии или отсутствии сигнала.

Однако можно существенно упростить решаемую техническую задачу. С принципиальной точки зрения безразлично, что сравнивать - значения самих апостериорных вероятностей или значения монотонных функций этих величин. Если использовать логарифмы апостериорных вероятностей, то выражение, в соответствии с которым строится оптимальный приемник, сильно упрощается:

(16а)

(16б)

Значит, в приемнике нужно воспроизвести величины, соответствующие функциям (16а) и (16б) и определить, какая из них больше. Но это равнозначно сравнению величин

и . (17)

Таким образом, можно убедиться, что в приемнике, оптимальном по критерию Котельникова (а значит, и по критерию Неймана-Пирсона), при обнаружении полностью известного сигнала достаточно образовать интеграл вида и сравнить результат интегрирования (после умножения на постоянный множитель ) с величиной , называемой порогом. Если порог превышен, то принимается решение о наличии сигнала; если не превышен, то считается, что сигнала нет.

Интеграл называется корреляционным интегралом.

Практически в приемнике сравниваются не сами указанные величины, а пропорциональные им напряжения: напряжение на выходе схемы интегрирования и пороговое напряжение . Здесь - одинаковый для обеих схем коэффициент пропорциональности. При математическом анализе процессов коэффициент принимается равным единице.

Статистики (9) и (12-13) называются достаточными в том смысле, что для данной задачи никакая дополнительная статистическая информация о сигналах и шумах не даст дополнительного выигрыша - улучшения качества обнаружения. Приемник, в котором выполняются указанные операции, также называется достаточным.

Здесь речь идет лишь об операциях принципиального характера, позволяющих получить дополнительную информацию о сигнале и помехах в процессе обработки входного напряжения в приемнике. Помимо указанных операций удобно применять и целый ряд вспомогательных операций технического характера (усиление, преобразование частоты и др.), которые не уменьшают информации о принимаемом сигнале, но и не могут в принципе дать никакой дополнительной информации.

Следовательно, самое лучшее, что можно сделать в приемнике для выявления сигнала на фоне шума - это сопоставить входное напряжение с опорным, являющимся копией принимаемого сигнала.

В соответствии с правилами (17) можно построить схему достаточного приемника для обнаружения полностью известного сигнала (см. рис. 1). Устройства умножения и интегрирования в приемнике производят операции, которые с точностью до постоянного множителя совпадают с выполнением операции вычисления корреляционной функции. Такой приемник называют корреляционным.

Рис. 1.

Поскольку параметры входного сигнала - амплитуда, фаза, частота известны точно, опорное напряжение подается в момент возможного поступления сигнала на вход приемника. Поэтому входной сигнал и опорное напряжение всегда находятся в фазе, и при отсутствии шума выходное напряжение коррелятора практически линейно нарастало бы в течение всей длительности сигнала. Эпюры напряжений изображены на рис. 2.

На рис. 3 изображены эпюры напряжения на выходе схемы умножения и на выходе интегратора при отсутствии сигнала (чистый шум на входе приемника). На рис. 4 изображены эпюры напряжения на выходе схемы умножения и напряжения на выходе интегратора при наличии смеси сигнала и шума на входе приемника. Отметим, что при внешнем сходстве выходных сигналов перемножителя и результаты интегрирования совершенно отличаются друг от друга.

Предсказать значения выходного напряжения коррелятора нельзя. Но известно, что составляющая напряжения от сигнала будет достигать своего максимума в момент , соответствующий окончанию сигнала. Именно в этот момент отношение напряжения сигнала к среднеквадратическому значению напряжения шума также достигнет максимума. Поэтому в момент следует производить сравнение выходного напряжения коррелятора с порогом. При этом вероятность правильного суждения о наличии или отсутствии сигнала будет наибольшей.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

При использовании коррелятора необходимо подавать опорное напряжение на вход перемножителя в те моменты времени, когда ожидается появление сигнала на входе. Если моменты прихода сигнала заранее неизвестны (как это всегда и бывает на практике), необходимо строить многоканальную систему - набор корреляционных приемников, каждый из которых настроен на свой момент ожидаемого прихода сигнала. Это неудобно для практической реализации.

Однако вместо коррелятора в достаточном приемнике можно применить фильтр, согласованный с сигналом. Как известно, согласованный с сигналом фильтр имеет такую передаточную функцию, которая с точностью до постоянного множителя и постоянной задержки во времени является комплексно сопряженной со спектром сигнала. Амплитудно-частотная характеристика фильтра совпадает с амплитудно-частотным спектром сигнала, а фазочастотная характеристика фильтра является зеркально-симметричной к фазочастотной характеристике сигнала относительно оси ординат. Говорят, что согласованный с сигналом фильтр инвариантен к времени прихода сигнала.

Можно также, используя теорему Хинчина, значительно ускорить процесс вычислений путем замены прямого расчета АКФ применением преобразования Фурье. Теоретической основой такой замены является теорема Хинчина:

, (18)

где - корреляционная функция; - неубывающая ограниченная функция, удовлетворяющая условиям Дирихле и условию абсолютной интегрируемости. Если функция дифференцируема, то, обозначив , получим вместо (18) уравнение вида

, (19)

следовательно, есть обычное преобразование Фурье для , т.е. спектральная плотность сигнала:

. (20)

Пара преобразований (19 - 20) называется уравнениями Винера - Хинчина.

В нашем распоряжении имеется только последовательность дискретных отсчетов сигнал, т.е. так называемая периодограмма сигнала . Чтобы из неё получить спектральную плотность , применим свойство преобразования Фурье, по которому произведению двух спектров и соответствует функция времени , являющаяся сверткой функций и :

(21)

Для рассматриваемого случая . Тогда выражение (21) примет следующий вид:

(22)

Левый интеграл в (22) - не что иное как автокорреляционная функция сигнала . Правый интеграл - обратное преобразование Фурье от квадрата спектра сигнала . Следовательно, чтобы получить автокорреляционную функцию сигнала , нужно выполнить такую последовательность действий.

1. Вычислить спектр выходного сигнала демодулятора, т.е. выполнить прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

2. Возвести полученный результат в квадрат.

3. Путем применения обратного ДПФ к квадрату спектра вычислить автокорреляционную функцию сигнала.

Естественно, для вычисления прямого и обратного преобразований Фурье дискретных последовательностей целесообразно применить алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) в одной из его многочисленных модификаций. Как известно, выигрыш в уменьшении числа операций при использовании БПФ в сравнении с обычным ДПФ определяется отношением . Уже при выигрыш составляет более 32, а при от достигает почти 60.

Рассмотрим характеристики обнаружения оптимального приемника. Образующийся в приемнике сигнал можно разложить на две составляющие, принимая во внимание, что входное напряжение состоит из сигнала и шума :

.

Первая составляющая, содержащая произведение сигнала и опорного напряжения, равна

. (23)

Так как опорное напряжение точно совпадает с напряжением сигнала, то значение величины вполне определенно:

. (23а)

В более общем случае, когда рассматривается обнаружение сигнала с неизвестными заранее параметрами, величина становится функцией временного сдвига , и её называют сигнальной функцией.

Вторая составляющая содержит произведение шума с опорным напряжением и называется шумовой функцией.

(23б)

Если сигнала нет, то на выходе коррелятора имеется только шумовая функция; превышение ею порога приводит к ложной тревоге. Шумовая функция является случайной величиной с нормальным законом распределения, так как сам шум распределен по нормальному закону, а - детерминированная величина. Среднее значение (математическое ожидание) шумового напряжения, как следует из формулы (9), равно нулю, дисперсия - , а среднеквадратическое напряжение - . Дисперсию шумовой функции выразим через отношение сигнал/ шум (23а): ; здесь - энергия опорного напряжения, выделяемая за длительность сигнала . Соответственно среднеквадратическое значение шумовой функции

. (24)

Таким образом, максимальное отношение сигнал/шум по напряжению на выходе коррелятора (так же, как и на выходе согласованного с сигналом фильтра) составляет

, (25)

т.е. оно зависит только от соотношения энергии сигнала к спектральной плотности шума на входе приемника.

С учетом сказанного плотность распределения шумовой функции равна

. (26)

Вероятность ложной тревоги представляет собой вероятность того, что шумовая функция превысит порог , т.е.

. (27)

Используя функцию ошибок

, (28)

формулу (27) можно преобразовать к следующему виду:

. (29)

Функция ошибок связана с так называемым интегралом вероятности (или функцией Лапласа) следующей зависимостью: . Интеграл вероятностей вычисляется по формуле

. Напомним что .

При наличии сигнала следует учитывать и шумовую, и сигнальную функции. Выходное напряжение коррелятора будет характеризоваться суммой шумовой функции и постоянной величины . Плотность распределения этой суммы подчиняется Гауссовскому закону со средним значением, равным и дисперсией :

. (30)

Вероятность правильного обнаружения представляет собой вероятность того, что превысит порог, т.е.

. (31)

Используя функцию ошибок, получим

. (32)

Формулами (29) и (32) устанавливается взаимосвязь между вероятностями правильного обнаружения и ложной тревоги, с одной стороны, и пороговым уровнем и энергетическим отношением сигнал/шум на входе приемника, с другой. Задавшись значениями и , можно вычислить и .

Распределения (26) и (30) называют также распределениями корреляционного интеграла для случаев отсутствия и наличия сигнала соответственно. На рис. 5 изображены распределения корреляционного интеграла.

Рис. 5.

Однако пользоваться непосредственно выведенными формулами и изображенными на рис. 5 графиками неудобно. На практике обычно используют следующие зависимости:

- зависимости вероятности правильного обнаружения от вероятности ложной тревоги при постоянных отношениях сигнал/шум (рабочие характеристики обнаружения);

- зависимости вероятности правильного обнаружения от отношения сигнал/шум при постоянных вероятностях ложной тревоги (вероятностные характеристики обнаружения).

Для расчета этих характеристик используют выражения (29) и (32). Следует подчеркнуть, что при постоянном отношении сигнал/шум регулировка порога приводит к изменению и в одном и том же направлении. При повышении порога одновременно уменьшаются как , так и , а при снижении порога они обе увеличиваются. Увеличить при сохранении на прежнем уровне можно только путем увеличения отношения сигнал/шум. В этом легко можно убедиться, сравнив точки пересечения графиков на рис. 5 при различных значениях полезного сигнала.

Применение метода пространства состояний для обнаружения и оценки на фоне шума.

При обнаружении и оценке параметров детерминированного сигнала на фоне белого гауссовского шума характеристики корреляционного интеграла являются постоянными на интервале наблюдения. Соответственно и структура оптимального приемника остается постоянной.

На практике, как параметры сигнала, так и параметры шумов и помех могут меняться в течение интервала наблюдения. В этом случае параметры, а иногда и структура синтезированного приемника уже не будут удовлетворять условиям оптимальности.

В принципе можно описать оптимальный приемник обнаружения в условиях нестационарности сигнала и шума оптимальным фильтром с изменяющейся во времени импульсной характеристикой. Однако в этом случае нужно решить соответствующее интегральное уравнение типа (16а), но для нестационарного случая:

, (33) или

(33а) где - переменная во времени спектральная плотность помех и шумов;

- переменная во времени импульсная характеристика фильтра, согласованного с переменным во времени полезным сигналом .

Решение такого уравнения - сложная и трудоемкая задача.

Оказывается проще вместо оптимальной оценки как выходной величины, определяемой интегральным уравнением, задавать оптимальную оценку как решение двойственного ему дифференциального уравнения. Коэффициенты дифференциального уравнения определяются статистикой сигналов и помех и в общем случае являются переменными величинами, зависящими от времени. Преимуществом такого подхода является то, что если даже не удается получить аналитическое решение дифференциального уравнения, то всегда можно получить его численное решение на вычислительной машине. Более того, решение можно получать в реальном масштабе времени с учетом вновь получаемой информации об изменениях параметров сигналов и помех.

Если представить алгоритм оптимального приема в виде численного решения дифференциального уравнения с соответствующими начальными условиями, то импульсная характеристика приемника есть просто решение этого дифференциального уравнения, когда входным сигналом является -функция в момент времени , т.е. .

Определим состояние системы как минимальное количество информации относительно воздействий предыдущих сигналов на входе системы, необходимое для полного описания выходного сигнала на некотором интервале наблюдения . Переменные величины, которые содержат эту информацию, называются переменными состояния.

Должно быть достаточное число состояний, которым можно поставить в соответствие каждую пару «вход - выход» символов. При строгой математической формулировке задачи из этих допущений следует, что если заданы состояние системы в момент времени и входной сигнал на интервале от до , то можно найти как выходной сигнал, так и состояние системы в момент времени . Подразумевается, что искомый оптимальный приемник как динамическая система Динамической системой называется система, выходные сигналы которой наблюдаются только при наличии некоторых входных сигналов. В динамической системе выходные сигналы появляются только с определенной задержкой после появления входных сигналов, т.е. динамические системы являются инерционными по определению. имеет детерминированную структуру и параметры, которые могут изменяться, но также по некоторым заданным правилам. Кроме того, из условий физической реализуемости оптимальный приемник является конечномерной динамической системой.

Рассмотрим общий метод описания динамической системы в терминах переменных состояния. Пусть система описывается дифференциальным уравнением вида:

, (34)

где n-я производная от ;

- зависящие от времени коэффициенты;

- зависящий от времени коэффициент, на который умножается входной сигнал .

Для отыскания решения уравнения -го порядка необходимо знать значения в момент времени , т.е. начальные условия. В формальном соответствии с выражением (29) изобразим схему систем, в которой моделируется это уравнение (рис. 6). Аргументы для краткости опущены.

Рис. 6.

Схема включает в себя интеграторы, сумматор и умножители (усилители с соответствующими коэффициентами усиления). Напомним, что коэффициенты в общем случае зависят от времени.

Уравнение (34) часто представляют в векторной форме. Пусть:

(35а)

Или

(35б)

Представим набор переменных в виде вектор - столбца . Тогда скалярному уравнению (34) -го порядка соответствует -мерное векторное уравнение первого порядка:

(36)

;

Здесь матрица F имеет размерность , а вектор-столбец G имеет размерность .

Вектор называется вектором состояния системы, а уравнение (36) - уравнением состояния. Любое невырожденное линейное преобразование вектора дает другой вектор состояния ²² Под невырожденным или несингулярным преобразованием понимают преобразование вида , где А - невырожденная матрица, т.е. матрица, определитель которой не равен 0. Определитель матрицы D может быть больше или равен 0..

Выходное напряжение системы связано с вектором состояния уравнением:

, (37)

где - вектор-строка размерности.

Динамическая система полностью определяется уравнениями (36 - 37). Подбирая или рассчитывая коэффициенты соответствующим образом, можно сконструировать приемник с требуемой импульсной характеристикой, т.е. оптимальный приемник. Задав требуемую точность аппроксимации импульсной характеристики, можно определить необходимый порядок и дифференциального уравнения и, соответственно, число блоков в схеме на рис. 6. Более того, приемник можно реализовать в форме последовательного или параллельного соединения динамических звеньев первого порядка. В первом случае коэффициенты звеньев представляют собой корни характеристического уравнения вида:

(38)

Во втором случае коэффициенты определяются путем разложения передаточной функции системы

(39)

на неприводимые многочлены:

, (40)

где - корни знаменателя (39), которые считаются некратными, а - соответствующие остатки. Уравнение (40) решается методом неопределенных коэффициентов или методом вычетов.

Схемные реализации по рассмотренным методам представлены на рис. 7а и 7б.

Рис. 7а.

Рис. 7б.

Все три рассмотренных реализации (возможны и другие варианты) принципиально равносильны. Оптимальный приемник, построенный по любой из приведенных схем, будет иметь одни и те же потенциальные характеристики. При выборе метода реализации основную роль играют соображения практического характера. Например, система, реализованная в канонической форме (рис. 6), может часто быть неустойчивой, особенно при нестационарных помехах и, соответственно, при переменных коэффициентах в цепях обратной связи. Система, реализованная в параллельной форме (рис. 7б), вычисляет выходной сигнал быстрее, чем другие, однако процесс вычисления коэффициентов и особенно требует больших вычислительных ресурсов. Поэтому окончательный выбор варианта схемной реализации (как аппаратно, так и программно) необходимо делать с учетом этих и других, менее значительных практических соображений.

Размещено на Allbest.ru