Основные понятия теории электрических цепей

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Радиоэлектроника»

ЛЕКЦИЯ

по дисциплине ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ

Тема лекции: «ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ»

Руденко Н.В.

Ростов-на-Дону

Учебные вопросы

1. Введение

2. Понятие об электрической цепи

3. Основные электрические величины: электрический ток, напряжение, ЭДС, мощность и энергия

4. Идеализированные пассивные элементы. Схемы замещения реальных элементов электрических цепей

5. Идеализированные активные элементы. Схемы замещения реальных источников

1. Введение

Одной из главных тенденций развития человеческого общества на рубеже XX и XXI столетия является стремительный рост потоков разнообразной информации, обеспечивающей его жизнедеятельность. Мировое сообщество вступает в новую эру-эру информатизации.

Технологическую базу информатизации составляет связь, вычислительная техника и радиоэлектронные системы, грань между которыми все больше стирается.

В основе развития радиоэлектронных систем и в том числе, радиоэлектронных устройств бытового назначения лежат современные достижения многих наук и в первую очередь электротехники, радиотехники и электротехники электроники. Общим для этих наук является изучение электромагнитных процессов в пассивных и активных электрических цепях с целью создания различных устройств для преобразования, передачи, обработки и хранения информации. На основе достижений в области радиотехники и электроники развиваются средства связи, автоматика и вычислительная техника, телеметрия, радиолокация и навигация, системы управления технологическими процессами и др.

Основными задачами электротехники является генерирование, передача и преобразование электрической энергии в другие виды энергии (механическую, тепловую, световую, химическую и т.д.).

Основные задачи радиотехники - передача, преобразование информации и осуществление связи на расстоянии с использованием электромагнитных волн.

Зарождение науки об электричестве относится к XVI в., когда английский ученый У. Гильберт (1544-1603) написал свой знаменитый трактат "О магните, магнитных телах и большом магните - земле." В XVII-XVIII вв. были проведены многочисленные опыты, позволяющие установить существование электрических зарядов двух типов - положительных и отрицательных, изобрести первый конденсатор (Ж. Нолпе, 1745), разработать первую последовательную теорию электрических явлений (Б. Франклин ).

Во второй половине началось "количественное изучение" электрических и магнитных явлений, появились первые измерительные приборы - электроскопы. В 1756 г. петербургский физик Ф. Эпинус (1724-1802) изобрел воздушный конденсатор, с помощью которого показал, что стекло в «лейденской» банке обладает свойством накапливать электричество, открыл явление электризации некоторых тел (турмалин) при нагревании (пироэлектричество). В работе Ф. Эпинуса впервые предпринята систематическая попытка подойти к изучению электрических явлений не только с качественной, но и с количественной стороны. В частности, им было установлено, что сила взаимодействия между зарядами пропорциональна величине этих зарядов. И хотя он не установил. как эта сила зависит от расстояния, однако значение его работы очень велико, так как она дала определенное направление дальнейшим исследованиям. Наконец, в 1784 г. французский 48-летннй военный инженер Ш. Кулон (1736-1806) открывает закон, согласно которого сила взаимодействия между электрическими зарядами обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. С помощью созданных им крутильных весов, а также ряда оригинальных методов (методы колебаний) этот человек, никогда специально не занимавшийся электричеством и магнетизмом, проводя в качестве побочного занятия свои исследования, заложил основы количественной электростатики.

21 июля 1820 г. появилась небольшая заметка датского физика Г. Эрстеда (1777--1851), в которой он доказал, что ток в прямолинейном проводнике, идущем вдоль меридиана, отклоняет от него магнитную иглу. Это сообщение произвело большое впечатление на ученый мир, так как из опыта Эрстеда явствовало, что сила, действовавшая между элементом тока и магнитным полюсом, направлена не по соединяющей их прямой, а по нормали к ней. Эта работа вызвала первую трещину в ньютоновской модели мира.

Особое значение в развитии теории электрических явлений сыграли открытия законов Ома (1826) и Кирхгофа (1847), а также открытие М. Фарадеем (1831) явления электромагнитной индукции. В 1833 г. русский ученый Э. Ленц (1804-1865) открыл закон, устанавливающий связь между направлением индукционных токов и их электромагнитными взаимодействиями. Таким образом, к концу XIX в. было установлено единство электромагнитных явлений, получивших свое логическое завершение в работах Дж. Максвелла, сформулировавшего в 1873 г. фундаментальные уравнения классической электродинамики.

В конце XIX - начале XX исков с открытий дискретного характера зарядов (Дж. Томсон, 1897 г.) начался новый этан в развитии науки об электричестве. В этот период были заложены основы электронной теории строения вещества как совокупности электрически заряженных частиц, создана квантовая теория электромагнитных процессов, что привело к рождению электроники как науки о взаимодействии электронов с электромагнитными полями и о методах создания электронных приборов и устройств.

Со второй половины XIX в. началось широкое использование электрических и магнитных явлении в технике: построены электродвигатели и генераторы тока, появились первые электромагниты, массовое распространение получило электрическое освещение, начало которому положило изобретение электрической свечи русским ученым П.П. Яблочковым. Начало применения электрической энергии для технологических целей положили работы Б.С. Якоби (1838 г.), предложившего использовать электрический ток для нанесения различных металлических покрытий. Электроэнергию стали использовать при получении алюминия, меди, цинка, для резки и сварки металлов, упрочения деталей и в других технологических процессах; начинается применение электроэнергии на транспорте. Большое значение для развития электротехники имели изобретения русского инженера М.О. Доливо-Добровольского, разработавшего к концу 90-х гг. ряд промышленных конструкции трехфазных асинхронных двигателей, трансформаторов и построившего трехфазную линию электропередачи Лауфен--Франкфурт длиной 175 км, положившей начало современному развитию электротехники.

Подлинную революцию в электросвязи произвел П.Л. Шиллинг (1786--1837) в 1832 г. в России, который построил первый в мире электромагнитный телеграф и осуществил связь между Зимним дворцом и Министерством путей сообщений. Дальнейшее развитие эта идея получила в 1835 г., когда американцем С. Морзе (1791--1872) был разработан специальный алфавит и создана модель телеграфа в Нью-Йоркском университете. Это были первые практические применения науки об электричестве в электросвязи. А уже в 1866 г. вступило в строй первое величайшее сооружение того времени -- линия трансатлантической кабельной связи между Европой и Америкой. К 1870 г. в России было создано свыше 700 телеграфных станций и введена в эксплуатацию 91 тыс. км телеграфных линий, в том числе линия Москва -- Владивосток протяженностью 12 тыс. км.

Качественно новый этап в развитии электросвязи возник после изобретения в 1876 г. А. Беллом телефона. Существенный вклад в развитие телефонной связи внес русский физик Л.М. Голубицкий, в 1882--1883 г. были построены первые телефонные станции в Москве и С.-Петербурге.

Особенно важное значение имело изобретение А.С. Поповым (1895) радио, открывшее новую страницу в развитии научно-технического прогресса. Значительную роль в практической реализации радио в телеграфии сыграл итальянский радиотехник и предприниматель Г. Маркони (1874-1937).

Открытие радио привело к рождению радиотехники как области науки и техники, занимающейся вопросами изучения и применения электромагнитных колебаний и волн радиодиапазонов для передачи информации - и радиосвязи, радиовещании и телевидении в радиолокации и радионавигации, в радиотелеметрии и радиоуправлении, при контроле зa различными технологическими процессами и механизмами, в научных исследованиях и др.

В XX в. начинается бурное развитие электроники - обширной области науки, техники и производства, охватывающей исследование и разработку электронных приборов и принципов их использования, в частности, в электросвязи. В истории развития электроники можно выделить четыре основных этапа: электронных ламп, транзисторов, интегральных схем и функциональных устройств.

Первый этап начался в 1904 г., когда английским ученым Д.А. Флемингом была изготовлена первая электронная лампа -- диод. Прототипом электронной лампы явилась лампа накаливания, созданная русским электротехником А.Н. Лодыгиным в 1872 г. В 1907 г. была предложена электронная лампа с управляющим электродом -- триод, способная усиливать и генерировать электрические сигналы. В последующие годы, наряду с совершенствованием электронных ламп, разрабатывались и другие электронные приборы: электронно-лучевые, ионные, фотоэлектронные.

Начало второго этапа развития электроники связано с открытием в конце 1947 г. американскими учеными У. Браттейном, Дж. Бардиным и У. Шотки транзисторного эффекта. В 1948 г. были изготовлены первые промышленные образцы биполярных транзисторов, а в 1952 г. -- полевые транзисторы. В транзисторах были реализованы идеи, которые впервые были сформулированы русским ученым О.В. Лосевым в 1922 г.

Непрерывное расширение функции электронной аппаратуры и ее усложнение привели в 1958 г. к началу третьего этапа - возникновению микроэлектроники. В настоящее время разработаны сверхбольшие интегральные схемы (БИС), содержащие более 10⁵ элементов. Однако сейчас уже становится ясным, что увеличение степени интеграции не может быть беспредельным.

Научно-техническое направление, связанное с отказом от компонентной структуры микроэлектронных изделий и основанное на использовании объемных эффектов в твердом теле, является началом четвертого этапа развития электроники, получившего название функциональной микроэлектроники.

В перспективе - использование оптоэлектронных, магнитооптических, криогенных и других объектов электрических цепей, базирующихся на новейших достижениях физики, радио- и микроэлектроники.

Крупный вклад в развитие электротехники, радиотехники и электроники внесли русские ученые. Фундаментальные исследования в области физики и технологии электронных и полупроводниковых приборов выполнили М.А. Бонч-Бруевич, Л.И. Мендельштам, А.Ф. Иоффе, С.И. Вавилов, А.А. Чернышев; по проблемам возбуждения и преобразования электрических колебаний, распространения и приема радиоволн - Б.А. Введенский, В.О. Калмыков, М.В. Шулейкин, А.А. Расплетин и др.

В современных радиоэлектронных устройствах бытового назначения сконцентрированы все самые последние достижения научно-технической революции в области радиотехники, электроники и вычислительной техники. Разработка, обслуживание и ремонт подобных устройств потребует подготовки качественно новых специалистов. Среди дисциплин, составляющих основу базовой подготовки инженеров по бытовой радиоэлектронной аппаратуре, важнейшее место отводится дисциплине «Основы теории цепей» (ОТЦ).

Содержание этой дисциплины составляют задачи анализ и синтеза линейных и нелинейных электрических цепей, изучение как с качественной, так и с количественной стороны установившихся и переходных процессов, протекающих в различных электронных приборах и устройствах.

Для исследования электромагнитных явлений в этих устройствах применяются методы теории цепей, основанные на замене реального устройства некоторой упрощенной моделью, процессы в которой описываются скалярными величинами - токами и напряжениями. Отдельные составные части (элементы) устройства при этом заменяются моделями, приближенно отражающими основные (в рамках решаемой задачи) свойства соответствующих элементов.

Предметом теории цепей является разработка инженерных методов исследования процессов в электротехнических и радиоэлектронных устройствах, основанных на замене этих устройств упрощенными моделями, процессы в которых описываются в терминах токов и напряжений.

ОТЦ базируется на курсах математики, физики, технической электроники, вычислительной техники и является базовым для изучения последующих общетехнических и специальных дисциплин.

Данное учебное пособие соответствует программе курса «Основы теории цепей» по специальности «Бытовая радиоэлектронная аппаратура» (201500) и может быть использована для родственных специальностей.

2. Понятие об электрической цепи

Термины и определения основных понятий в области электротехники установлены ГОСТ Р52002-2003 «Электротехника. Термины и определения основных понятий». - М.: Госстандарт России, 2003. Важнейшие из них приведены ниже.

Электрическая цепь - это совокупность устройств и объектов, образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий об электродвижущей силе, электрическом токе и электрическом напряжении.

Любая электрическая цепь состоит из следующих трех групп элементов, выполняющих определенную функцию:

- источники электрической энергии;

- приемники электрической энергии;

- вспомогательные элементы.

Источники электрической энергии (активные элементы) - это элементы электрической цепи, в которых происходит преобразование химической, тепловой, механической и других видов энергии в электрическую.

Источниками электрической энергии являются, например, гальванические элементы, аккумуляторы, солнечные батареи, генераторы электрических станций и др.

Приемники электрической энергии (пассивные элементы) - это элементы электрической цепи, в которых происходит преобразование электрической энергии в другие виды энергии, а также ее запасание. Приемниками электрической энергии являются электрические двигатели, лампы накаливания, нагревательные элементы, громкоговорители, резисторы, конденсаторы, индуктивные катушки и др.

Вспомогательные элементы - это элементы электрической цепи, предназначенные для защиты, измерения, соединения источников и приемников электроэнергии и других вспомогательных функций. Вспомогательными элементами являются выключатели, предохранители, измерительные приборы, соединительные провода, разъемы и др.

Для подключения к остальной части цепи каждый элемент цепи имеет внешние выводы, называемые также зажимами или полюсами.

В зависимости от числа внешних выводов различают двухполюсные (резистор, конденсатор, катушка индуктивности) и многополюсные (транзистор, трансформатор, электронная лампа и др.) элементы.

В теории цепей предполагается, что каждый элемент цепи полностью характеризуется зависимостью между током и напряжениями на его зажимах, при этом процессы, имеющие место внутри элементов, не рассматриваются.

В основе теории электрических цепей лежит принцип моделирования. В соответствии с этим принципом реальные элементы цепи заменяются их упрощенными моделями, построенными из идеализированных элементов.

Используют пять основных типов идеализированных двухполюсных элементов:

- идеальный резистор;

- идеальный конденсатор;

- идеальная индуктивная катушка;

- идеальный источник напряжения;

- идеальный источник тока.

В простейшем случае модель реального элемента может состоять из одного идеализированного элемента, в более сложных случаях она представляет собой соединение нескольких идеализированных элементов. Например, моделью реальной индуктивной катушки может быть последовательное соединение идеальной индуктивности и идеального резистора, учитывающего сопротивление проводов катушки.

Кроме двухполюсных использую также многополюсные идеализированные элементы - управляемые источники тока и напряжения, идеальные трансформаторы и др.

Моделирующей или идеализированной цепью (расчетной схемой замещения) называется электрическая цепь, которую получают из исходной реальной цепи при замене каждого реального элемента его упрощенной моделью, составленной из идеализированных элементов.

Систему уравнений, описывающую моделирующую цепь называют математической моделью цепи. В теории цепей исследую процессы, имеющие место именно в моделирующих цепях, свойства которых близки к свойствам реальных физических цепей.

3. Основные электрические величины: электрический ток, напряжение, ЭДС, мощность и энергия

Электрический ток проводимости - явление направленного движения свободных носителей электрического заряда в веществе или в пустоте, количественно характеризуемое скалярной величиной, равной производной по времени от электрического заряда, переносимого свободными носителями заряда сквозь рассматриваемую поверхность.

В металлах такими носителями являются электроны, в жидкостях и газах - положительно и отрицательно заряженные ионы. Направленное движение свободных носителей электрического заряда обусловлено действием сил электрического поля.

Скалярная величина , количественно характеризующая электрический ток в каждый момент времени называется мгновенным значением тока или мгновенным током.

Мгновенный ток численно равен скорости изменения электрического заряда q во времени:

, (1.1)

где - электрический заряд, прошедший за время через поперечное сечение проводника.

В системе СИ заряд измеряется в кулонах (Кл), время - в секундах (с), ток - в амперах (А).

В соответствии с приведенным выше определением понятие «ток» может быть использоваться в двух смыслах: ток как физическое явление и ток как количественная характеристика (вместо «силы тока»).

Постоянный электрический ток - это неизменное во времени однонаправленное движение заряженных частиц (зарядов). При постоянном токе в течении каждого одинакового промежутка времени переносится одинаковый заряд , т.е. заряд является линейной функцией времени. Поэтому постоянный ток определяется выражением:

(1.2)

В любом проводнике упорядоченное движение носителей заряда происходит в одном из двух возможных направлений, поэтому ток также имеет одно из двух направлений. За направление тока принимают направление, в котором перемещаются носители положительного заряда. Следовательно, направление электрического тока в наиболее распространенных проводниках материалах - металлах - противоположно фактическому направлению перемещения носителей заряда электронов. О направлении тока судят по его знаку, который зависит от того, совпадает или нет направление тока с направление, условно принятым за положительное.

Условное положительное направление тока при расчетах электрических цепей может быть выбрано совершенно произвольно.

Условное положительное направление тока показывается стрелкой (рис 1)

Рис 1.

Если в результате расчетов, выполненных с учетом выбранного направления, ток получается со знаком плюс, то его направление, т.е. направление перемещения положительных зарядов совпадает с направлением, выбранным за положительное. Если ток будет иметь знак минус, то его направление противоположно выбранному условному положительному направлению.

На всякий заряд, помещенный в электрическое поле q, действует сила ,абсолютное значение и направление которой определяется напряженностью электрического поля (рис. 2), а также значением заряда и его знаком.



Рис. 2

Если носитель заряда является свободным, т.е. не закрепленным в фиксированной точке поля, то под действием приложенной силы он перемещается. Перемещение заряда происходит за счет энергии электрического поля.

При перемещении единичного положительного заряда между двумя любыми точками А и В электрического поля силами электрического поля совершается работа, равная разности потенциалов этих точек.

Потенциал электрический () точки А - это работа, которая совершается силами электрического поля по переносу единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность (где нет электрического поля), т.е.

, , (1.3)

где - напряженность (вектор)электрического поля, численно равная отношению силы, действующего на заряженную частицу, к значению ее заряда.

Тогда электрическое напряжение между точками А и В электрической цепи (или разность потенциалов точек А и В) - это работа совершаемая силами электрического поля по перемещению единичного положительного заряда по произвольному пути из точки А в точку В поля и равная линейному интегралу напряженности электрического поля, т.е.:

 (1.4)

Напряжение между точками А и В электрической цепи может быть определено как предел отношения энергии электрического поля w, затрачиваемой на перенос положительного заряда q из точки А в точку В. к этому заряду при :

(1.5)

Единица измерения напряжения в системе СИ - вольт (В). энергии - джоуль (Дж). При перемещении электрического заряда в 1 Кл между точками электрической цепи, разность потенциалов которых равна 1 В, совершается работа в 1 Дж.

Напряжение является скалярной величиной, которой приписывают определенное направление.

Под направлением напряжения понимают направление, в котором под действием электрического поля перемещаются (или могли бы перемещаться) свободные носители положительного заряда, т.е. направление от точки цепи с большим потенциалом («+»), к точке цепи с меньшим потенциалом («-») (рис. 3):

Рис. 3

На участках цепи, в которых не содержатся источники энергии и перемещение носителей заряда осуществляется за счет энергии электрического поля, направления напряжения и тока совпадают.

Применительно к напряжению на участке цепи, по которому протекает ток, часто используют термин «падение напряжения».

Появление электрического тока и напряжений в электрической цепи невозможно без источников электрической энергии. В этих источниках происходит преобразование различных видов энергии (химической, механической, тепловой, световой и др.) в электромагнитную или электрическую. При этом так называемыми сторонними силами создается электрическое поле с напряженностью .

Сторонними силами называются силы, природа которых обусловлена неэлектромагнитными процессами, такими, как химические реакции, тепловые процессы, воздействие механических сил.

Электрическое поле сторонних сил, действуя на заряженные частицы разделяет их таким образом, что на одном зажиме (положительном, обозначаемом знаком «+») источника скапливаются положительные заряды, а на другом (обозначаемом «-») - отрицательные (электроны), как например, в гальваническом элементе (рис. 4)

Рис. 4

При подключении к зажимам источника объектов и устройств, создающих вместе с источником замкнутый контур, электроны в нем перемещаются от отрицательного к положительному, нейтрализуя недостаток электронов на зажиме «+». В то же время сторонние силы в источнике разделяют заряды, обеспечивая их непрерывное движение (электрический ток) в цепи. Говорят, что движение электрических зарядов в цепи происходит под действием электродвижущей силы источника.

Электродвижущая сила Е(в дальнейшем ЭДС Е) - скалярная величина, характеризующая способность стороннего поля и индуктированного электрического поля вызывать электрический ток.

Электродвижущая сила - скалярная величина, численно равная работе сторонних сил, затрачиваемая на перемещение единичного положительного заряда внутри источника от зажима с меньшим потенциалом к зажиму с большим потенциалом.

Независимо от природы сторонних сил ЭДС источника численно равна напряжению между зажимами источника энергии при отсутствии в нем тока, т.е. в режиме холостого хода.

Из этого определения следует, что единица измерения ЭДС в системе СИ - вольт (В). Направление ЭДС совпадает с направление перемещения положительных зарядов внутри источника, т.е. с направлением тока.

Напряжение на участке цепи и ЭДС являются функциями времени, либо сохраняют постоянные значения. Постоянные напряжения и ЭДС обозначают соответственно U и E. Переменные напряжения и ЭДС характеризуют мгновенными значениями и обозначают соответственно и .

Пусть разность потенциалов точек А и В электрической цепи равна U. При перемещении элементарного электрического заряда dq через участок цепи, лежащий между этими точками, силы электрического поля совершают элементарную работу, которая в соответствии с (1.1) и (1.5):

 (1.6)

Элементарная работа характеризует изменение энергии электрического поля и количественно равна энергии, поступившей в рассматриваемый участок цепи за промежуток времени dt.

Энергию, поступившую в цепь к моменту времени t, определяют интегрированием (1.6):

, (1.7)

где принять .

Если для любого момента времени t при любом законе изменения тока или напряжения во времени энергия , то рассматриваемый участок цепи является потребителем энергии и называется пассивным.

Если хотя бы для какого-то момента времени энергия , то участок цепи содержит источники энергии и называется активным.

Скорость поступления энергии в рассматриваемый участок цепи характеризуется мгновенной мощностью участка цепи.

Мгновенная мощность, потребляемая цепью, определяется производной энергии по времени и равна произведению мгновенных значений напряжений и тока:

(1.8)

Если в рассматриваемый момент времени направление тока и напряжения совпадает, то мгновенная мощность исследуемого участка цепи положительна. Это означает, что в данный момент времени участок цепи получает электрическую энергию от остальных частей цепи.

Если направление напряжения и тока не совпадают, то значение мгновенной мощности отрицательно, т.е. в данный момент времени участок цепи отдает электрическую энергию остальной части цепи.

Подставив выражение (1.8) в (1.7), выразим энергию, поступившую в участок цепи к моменту времени t, через мгновенную мощность:

. (1.9)

Энергия W, поступившая в цепь за промежуток времени , также может быть выражена через мгновенную мощность:

.

В системе СИ работу и энергию выражают в джоулях (Дж), а мощность - в ваттах (Вт).

4. Идеализированные пассивные элементы. Схемы замещения реальных элементов электрических цепей

Резистивный элемент (или идеальный резистор) - это идеализированный пассивный двухполюсный элемент, в котором электрическая энергия необратимо преобразуется в другие виды энергии, например в тепловую, световую или механическую при этом запасания энергии электрического или магнитного полей в резистивном элементе не происходит.

По своим свойствам и резистивному элементу наиболее близки реальные элементы электрической цепи - резисторы, в которых электрическая энергия в основном преобразуется в тепловую. Важнейший параметр резистора, который определяет меру преобразования электрической энергии в тепловую, является его сопротивление R.

Резистивный элемент - это упрощенная модель резистора, в которой абстрагируется только его основной параметр - сопротивление.

Условное графическое изображение резистивного элемента приведено на рис. 5

Рис. 5

Условные положительные направления напряжения и тока показаны стрелками. Рядом с условным графическим изображение резистивного элемента ставится его условное буквенное обозначение R.

Математическая модель элемента электрической цепи, выражающая зависимость напряжения на выводах элемента от тока в нем (или наоборот) называется уравнением данного элемента или компонентным уравнением.

Математическая модель (компонентное уравнение), описывающая свойства резистивного элемента, определяется законом Ома:

или (1.10)

Коэффициенты пропорциональности R и G в формулах (1.10) называются соответственно сопротивлением и проводимостью резистивного элемента, причем при согласованных направлениях тока и напряжения R и G положительны и связаны обратной зависимостью: R=1/G.

В системе СИ сопротивление R измеряют в Омах (Ом), а проводимость G - в сименсах (См).

Уравнение (1.10), определяющее зависимость напряжения на зажимах резистора от тока u=u(i) или тока от напряжения i=i(u) и называется вольт-амперной характеристикой (ВАХ) резистора.

Если сопротивление резистора R постоянно, по ВАХ является линейной функцией (рис. 6, а) и соответствует линейному резистивному элементу, причем тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс пропорционален сопротивлению элемента: . Если же R зависит от протекающего через него тока или приложенного к нему напряжения, то ВАХ становится нелинейной функцией (рис. 6, б) и соответствует нелинейному резистивному элементу.

Рис. 6

Следует отметить, что характеристики большинства реальных резистивных элементов нелинейны: линейность - это обычно идеализация реальных ВАХ в ограниченном диапазоне токов и напряжений элемента. Так на рисунке 1.6, б качественно показана ВАХ диода, являющаяся существенно нелинейной.

Мгновенная мощность резистивного элемента может быть выражена через сопротивление R или проводимость G:

(1.11)

Мгновенная мощность резистивного элемента всегда больше нуля, так как он только потребляет энергию, преобразуя ее в тепло или другие виды энергии.

Электрическая энергия, поступающая в резистивный элемент и преобразуемая в нем в другие виды энергии, также всегда положительна (кроме случая U_R=0, i_R=0):

. (1.12)

Из (1.12) следует, что функция является неубывающей функцией времени, т.к. она вычисляется как площадь, заключенная под кривой p=p(t)>0.

Вывод

Таким образом, в любой момент времени резистивный элемент может только потреблять энергию от источников и ни в какие моменты времени он не может отдавать электрическую энергию другим элемента цепи.

Индуктивным элементом, идеальной индуктивной катушкой или индуктивностью называют идеализированный двухполюсный пассивный элемент цепи, единственным электромагнитным процессом в котором является запасание энергии магнитного поля, при этом запасание энергии электрического поля или преобразование электрической энергии в другие вида энергии в индуктивном элементе не происходит.

По своим свойствам к индуктивному элементу наиболее близка реальная индуктивная катушка. В отличие от индуктивного элемента в индуктивной катушке имеют место также запасение энергии электрического поля и преобразование электрической энергии в другие виды энергии, в частности в тепловую.

Способность индуктивного элемента запасать энергию магнитного поля характеризуется параметром, называемым индуктивностью.

Условное графическое обозначение индуктивного элемента приведено на рис. 7.

Рис. 7.

Математическая модель, описывающая свойства индуктивного элемента определяется соотношением:

, (1.13)

где - потокосцепление катушки, равное алгебраической сумме магнитных потоков Ф_к, пронизывающих ее отдельные витки:

, (1.14)

где N - число витков катушки.

Если магнитный поток, пронизывающий все витки катушки одинаков (Ф₁=Ф₂=…Ф_N=Ф), то выражение (1.14) приводится к виду:

.

Коэффициент пропорциональности L в формуле (1.13) называется индуктивностью. Он имеет положительное значение и является количественной характеристикой индуктивного элемента. Измеряется индуктивность L в генри (Гн), а магнитный поток Ф - в веберах (Вб).

Если индуктивность L постоянна, то зависимость (1.13), называется вебер-амперной характеристикой, линейна (рис. 8, а) и соответствует линейному индуктивному элементу, причем .

Рис. 8

Если же L зависит от электрического режима (тока или напряжения), как у реальных катушек индуктивности с магнитным сердечником, то вебер-амперная характеристика нелинейна, неоднозначна и обладает гистерезисом (рис. 1.8, б). В случае отсутствия магнитного сердечника зависимость близка к линейной.

Связь между напряжение и током в индуктивной катушке определяется законом электромагнитной индукции, который гласит:

при изменении магнитного потока, пронизывающего индуктивную катушку, в ней наводится электродвижущая сила е пропорциональная скорости изменения потокосцепления катушки и направленная таким образом, что вызываемый ею ток стремится воспрепятствовать изменению магнитного потока:

(1.15)

Для катушки с линейной индуктивностью выражение (1.15) с учетом соотношения (1.13) примет вид:

.

Так как наводимая в индуктивной катушке ЭДС е препятствует всякому изменению тока катушки, для прохождения через катушку изменяющегося тока i_L=i_L(t) необходимо, чтобы напряжение u_L, приложенное к зажимам катушки, уравновешивало наводимую в ней ЭДС:

, (1.16)

причем положительные направления напряжения и тока катушки выбирают совпадающими (см. рис. 1.7).

Идеализированный элемент электрической цепи - индуктивность - можно рассматривать как упрощенную модель индуктивной катушки, отражающую способность катушки запасать энергию магнитного поля.

Выводы

1. Для линейной индуктивности напряжение u_L на ее зажимах пропорционально скорости изменения тока i_L и определяется выражением (1.16).

2. Если ток через индуктивность не изменяется во времени, то напряжение на ее зажимах равно нулю, следовательно, сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю.

Зависимость тока индуктивности i_L от напряжения u_L может быть найдена путем интегрирования выражения (1.16):

.

Чтобы учесть все изменения напряжения на индуктивности, имевшие место до рассматриваемого момента времени t, интегрирование ведется начиная с , причем принимается, что при ток индуктивности равен нулю.

В момент времени t=t₀:

.

При известном значении интегрирование (1.16) в пределах от до может быть заменено интегрирование в пределах от до :

(1.17)

Вольт-амперные характеристики линейного индуктивного элемента описываются дифференциальными и интегральными линейными уравнениями (1.16) и (1.17).

Мгновенная мощность индуктивности P_L определяется произведением мгновенного значения тока i_L и напряжения u_L:

. (1.18)

Из выражения (1.18) следует:

1) в моменты времени, когда i_L и u_L имеют одинаковые знаки, мгновенная мощность индуктивности P_L положительна, а индуктивность потребляет энергию от остальной части цепи (т.е. запасает ее в форме энергии магнитного поля);

2) в моменты времени, когда i_L и u_L имеют различные знаки, мгновенная мощность индуктивности P_L отрицательна, а индуктивность отдает запасенную ранее энергию остальной части цепи.

Энергия, запасенная в индуктивности

, (1.19)

где произведена замена переменных при интегрировании, причем учтено, что при времени t ток в цепи равен, а при ток в цепи отсутствовал (i_L=0).

С учетом формулы (1.13) преобразуем формулу (1.19) к следующему виду:

. (1.20)

Выводы

1. Энергия, запасенная в индуктивности в произвольный момент времени t, определяется только мгновенным значением тока индуктивности или потокосцепления самоиндукции и является неотрицательной величиной. Это означает, что индуктивный элемент действительно является пассивным элементом цепи.

2. Ток i_L и магнитный поток - это две стороны одного и того же явления, что отражено в выражениях (1.13), (1.20), следовательно, на основании формула (1.19), (1.20) индуктивный элемент действительно характеризует запасание энергии магнитного поля.

Емкостным элементом, идеальным конденсатором или емкостью называют идеализированный двухполюсный элемент цепи, обладающий только свойством запасать энергию электрического поля, причем запасания энергии магнитного поля или преобразования электрической энергии в другие виды энергии в нем не происходит.

По своим свойствам к емкостному элементу наиболее близки реальные элементы цепи - конденсаторы. Основная особенность конденсатора - это его способность запасать энергию электрического поля, однако в отличие от емкостного элемента в конденсаторе имеют место потери энергии в диэлектрике и обкладках, т.е. преобразование электрической энергии в другие виды энергии, а также происходит запасание энергии магнитного поля.

Термин «емкость» используется не только для обозначения идеализированного элемента электрической цепи, но и как количественная характеристика способности этого элемента или его прототипа (конденсатора) запасать энергию электрического поля.

Условное графическое изображение емкостного элемента приведено на рис 9.

Рис 9

Математическая модель, описывающая свойства емкостного элемента, определяется вольт-кулонной характеристикой:

q=CU_C. (1.21)

Коэффициент пропорциональности С в формуле (1.21) называется емкостью и является количественной характеристикой емкостного элемента. При согласованных направлениях тока и напряжения величин С всегда положительна. Измеряется С в фарадах (Ф).

Если емкость С постоянна, то вольт-кулонная характеристика (1.21) линейна (рис. 1.10) и соответствует линейному емкостному элементу, причем .

Рис. 10

Если же параметр С зависит от электрического режима, то характеристика (1.21) нелинейна и соответствует нелинейному емкостному элементу.

Найдем зависимость между мгновенными значениями тока и напряжения на зажимах линейной емкости. Очевидно, что всякое изменение напряжения u_c на зажимах емкости должно в соответствии с видом зависимости q=q(u) привести к изменению заряда q. Производная заряда по времени определяет ток емкости:

Учитывая, что для линейной емкости производная заряда по напряжению равна С и не зависит от напряжения u_c: C = dq/du_c = q/u_c, получаем:

. (1.22)

Выводы

1. Ток линейной емкости пропорционален скорости изменения приложенного к ней напряжения и определяется выражением (1.22)

2. Если напряжение на зажимах емкости на изменяется во времени, то ток емкости равен нулю. Таким образом, сопротивление емкости постоянному току бесконечно велико.

Используя выражение (1.22), находим зависимость напряжения емкости от тока:

 (1.23)

Чтобы учесть все возможные изменения заряда емкости и, следовательно, напряжения u_c, имевшие место до рассматриваемого момента времени t, интегрирование ведется начиная с , причем принимается, что при напряжение на зажимах емкости равно нулю.

Пусть наблюдение процессов в емкости началось в момент времени t=t_o, тогда напряжение емкости в начальный момент:

. (1.24)

Разбивая интеграл (1.23) на два:

.

и используя выражение (1.24), определим напряжение емкости в произвольный момент времени t:

. (1.25)

Вывод

Вольт-амперные характеристики линейного емкостного элемента описываются дифференциальными или интегральными линейными уравнениями (1.22), (1.25).

Мгновенная мощность емкости P_C определяется произведением мгновенных значений тока i_c и напряжения u_c:

. (1.26)

Из выражения (1.26) следует:

1) если напряжение емкости (см. рис. 1.9) положительно (т.е. его направление совпадает с условно-положительным направлением, указанным стрелкой) и продолжает возрастать, то мгновенная мощность емкости в соответствии с (1.26) будет положительной; в этом случае энергия поступает в емкость, т.е. она заряжается;

2) если напряжение u_c>0 и убывает, т.е. du_c/dt<0, то мгновенная мощность емкости отрицательна; емкость при этом разряжается, т.е. отдает накопленную энергию во внешнюю цепь.

Энергия, запасенная в емкости:

(1.27)

При интегрировании в формуле (1.27) произведена замена переменных, причем учтено, что в момент времени t напряжение емкостного элемента равно u_c, а при напряжение u_c=0.

Выводы

1. Энергия электрического поля, запасенная емкостью в произвольный момент времени t, определяется только мгновенным значением напряжения емкости или ее зарядом и является неотрицательной величиной. Это означает, что емкостной элемент действительно является пассивным элементом цепи.

2. Емкость в зависимости от режима работы может либо запасать энергию электрического поля, получаемую из внешней цепи, либо отдавать накопленную энергию во внешнюю цепь.

Каждый из рассмотренных идеализированных элементов имеет в качестве прототипа реальный пассивный элемент: резистор, индуктивную катушку или конденсатор. В то же время процессы в реальных элементах сложнее, чем в идеализированных. Например, на высоких частотах в каждом реальном элементе наряду с основным имеют место паразитные процессы. Вследствии этого схемы замещения реальных элементов в общем случае состоят из идеализированных элементов различных типов.

Так в области низких и средних частот идеализированные резистивный, индуктивный и емкостной элементы могут служить схемами замещения (моделями) резисторов, высококачественных катушек индуктивности с малыми потерями и электрических конденсаторов с высокими диэлектрическими свойствами. Однако в области высоких, а особенно сверхвысоких частот схемы замещения резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов становится более сложными. Так, на высоких частотах резисторы уже нельзя с достаточной точностью описать идеальным резистивным элементом из-за влияния различных «паразитных» емкостей. Более точной здесь будет схема замещения параллельного соединения R и C_П, изображенная на рис. 1.11, а. В некоторых случаях возникает необходимость учета «паразитной» индуктивности L_П, учитывающей эффект накопления энергии магнитного поля в элементах резистора (рис. 11, б):

Схема замещения конденсатора, кроме емкостного элемента C, может содержать включенную параллельную проводимость G_П, учитывающую потери энергии в диэлектрике, и последовательно включенную индуктивность L_П, учитывающую эффект запасания энергии магнитного поля в конструктивных элементах конденсатора (рис. 11, в).



Рис. 11

Схема замещения катушки индуктивности может учитывать потери энергии в проводе и энергию электрического поля, запасаемую между витками катушки путем дополнительного включения сопротивления потерь R_П и «паразитной» емкости С_П (рис. 1.11, г).

В зависимости от условий применения конструктивных особенностей и требований к точности анализа могут использоваться и более сложные схемы замещения реальных пассивных элементов.

Выводы

1. Чем выше требуемая точность расчетов, тем большее число факторов должно быть принято во внимание и тем более сложный вид будет иметь схема замещения каждого элемента.

2. С целью снижения трудоемкости расчетов стремятся использовать упрощенные схемы замещения, содержащие минимально допустимое число элементов.

3. Схемы замещения одного и того же элемента могут иметь различный вид в зависимости от рассматриваемого диапазона частот.

5. Идеализированные активные элементы. Схемы замещения реальных источников

Идеальный источник напряжения (источник напряжения, источник ЭДС) представляет собой идеализированный активный элемент, напряжение на зажимах которого не зависит от тока через эти зажимы. Напряжение u на зажимах источника напряжения (его обычно называют задающим напряжением) при любом токе равно напряжению на зажимах этого же источника при отсутствии в нем тока, т.е. равно ЭДС источника:

u=e(t), (1.28)

и может быть произвольной функцией времени. В частном случае ЭДС e(t)=Е_ может не зависеть от времени. Источник такого типа называется источником постоянного напряжения (источником постоянной ЭДС).

Рис. 12

Условное графическое изображение источника напряжения приведено на рис. 1.12, а. Стрелка внутри кружка на рисунке указывает направление ЭДС. Для источников постоянного напряжения она направлена от зажима с меньшим потенциалом к зажиму с более высоким потенциалом, в то время как напряжение на внешних зажимах источника направлено от зажима с более высоким потенциалом к зажиму с меньшим потенциалом.

Внешней характеристикой любого источника электрической энергии называется зависимость напряжения на его зажимах от тока источника. Внешняя характеристика источника постоянного напряжения является прямой линией, параллельной оси токов (рис. 1.12, б), причем при Е=0 внешняя характеристика источника постоянного напряжения совладает с осью токов. Другими словами, источник напряжения Е_=0 ведет себя таким же образом, как линейное сопротивление с R=0.

Рис. 13

Если подключить к зажимам источника ЭДС нагрузку R_н, (рис. 1.13), то, согласно (1.10), (1.11), ток через R_н, и выделяемую в нагрузке мощность можно найти из выражений

; . (1.29)

С уменьшением R_н, ток нагрузки и выделяемая в ней мощность неограниченно возрастают. Вследствие этого источник напряжения иногда называют источником бесконечной мощности.

Предельный случай, когда R_н=0 (режим короткого замыкания источника), исключается из рассмотрения, так как при этом возникает противоречие: с одной стороны, при R_н=0 выводы источника закорочены и, следовательно, напряжение источника должно равняться нулю, с другой стороны, в соответствии с определением напряжение источника ЭДС не зависит от тока источника, и, следовательно, при R_н=0, когда , напряжение источника должно равняться e(t).

Таким образом, идеальный источник напряжения можно рассматривать как источник энергии, внутреннее сопротивление которого равно нулю.

Идеальный источник тока (источник тока) -- это идеализированный активный элемент, ток которого не зависит от напряжения на его зажимах. Ток источника (задающий ток):

i=j(t) (1.13)

может быть произвольной функцией времени, в частном случае он может не зависеть от времени: i(t)=J_ (источник постоянного тока). Внешняя характеристика источника постоянного тока показана на рис. 14, а.

При J_=0 внешняя характеристика источника тока совпадает с осью напряжений. Таким образом, внешняя характеристика источника тока J_=0 совпадает с ВАХ линейного сопротивления .

Условное графическое изображение источника тока приведено на рис. 14, б. Двойная стрелка на рисунке показывает направление тока внутри источника. У источников постоянного тока это направление совпадает с направлением перемещения положительных зарядов внутри источника, т. е. с направлением от зажима с меньшим потенциалом к зажиму с большим потенциалом.

Ток источника тока и напряжение источника напряжения являются параметрами идеализированных активных элементов подобно тому, как сопротивление, емкость и индуктивность являются параметрами одноименных идеализированных пассивных элементов.



Рис. 14

Рис. 15

Если к внешним выводам источника тока подключить нагрузку R_н. (рис. 1.15), то, согласно (1.9), (1.11), напряжение на нагрузке и выделяемую в ней мощность можно определить из выражении:

; . (1.30)

С увеличением R_н, напряжение на нагрузке и выделяемая в ней мощность неограниченно увеличиваются, поэтому источник тока, так же как и источник напряжения, является источником бесконечной мощности.

Зависимость тока источника тока от напряжения имеет такой же вид, как и зависимость напряжения источника напряжения от тока, поэтому эти источники являются дуальными элементами.

Предельный случай когда R_н.= (режим холостого хода источника), исключается из рассмотрения, так как при этом возникает противоречие. С одной стороны, при R_н.= напряжение на выходе источника бесконечно велико, цепь нагрузки фактически разорвана и ток источника должен равняться нулю, с другой стороны, в соответствии с определением источника тока ток источника не зависит от напряжения на его зажимах и при u= так же должен равняться j(t).

Таким образом, идеальный источник тока можно рассматривать как источник энергии с бесконечно малой внутренней проводимостью (бесконечно большим внутренним сопротивлением).

Идеальные источники тока и напряжения можно рассматривать как упрошенные модели реальных источников энергии. При определенных условиях, в достаточно узком диапазоне токов и напряжений, внешние характеристики ряда реальных источников энергии могут приближаться к характеристикам идеализированных активных элементов. Так, внешняя характеристика гальванического элемента в области малых токов имеет вид, близкий к внешней характеристике источника напряжения (см. рис. 1.12, б), а внешняя характеристика выходного каскада на транзисторе в определенном диапазоне напряжений приближается к внешней характеристике источника тока (см. рис. 1.14, а).

В то же время свойства реальных источников энергии значительно отличаются от свойств идеализированных активных элементов. Реальные источники энергии обладают конечной мощностью; их внешняя характеристика, как правило, не параллельна оси токов или оси напряжений, а пересекает эти оси в двух характерных точках, соответствующих режимам холостого хода и короткого замыкания (иногда в источниках энергии применяют специальные виды защиты, исключающие работу в предельных режимах или в одном из них).

В реальных источника напряжения ток короткого замыкания имеет конечное значение , поскольку такие источники характеризуются наличием конечного внутреннего сопротивлений R_вн.

В реальных источниках тока напряжение холостого хода на их зажимах имеет конечное значение U_x=G_вн, поскольку такие источники характеризуются конечным внутренним сопротивлением R_вн=1/G_вн. Поэтому с достаточной для практики точностью внешние характеристики большинства реальных источников энергии могут быть приближенно представлены прямой линией, пересекающей оси токов и напряжений в точках 1 и 2 (рис 1.16 а, б):

U₁=U_x, I₁=0 ;

U₂=0, I₂=I_к, (1.31)

соответствующий режимам холостого хода и короткого замыкания источника.

Рис. 16

Следовательно, реальный источник энергии может быть представлен схемой замещения, состоящей из идеального источника напряжения Е и внутреннего сопротивления R_вн или идеального источника тока I и внутренней проводимости G (рис 1.17, а, б)



Рис 17

Полученные схемы замещения реальных источников соответствуют уравнению одной и той же внешней характеристики (рис 1.16 а, б) и, следовательно, их поведение относительно внешних зажимов совершенно одинаково. Выбор той или иной схемы замещения может быть сделан совершенно произвольно, но в ходе расчета цепи может возникнуть необходимость перехода от одной схемы к другой.

Зависимость напряжения на зажимах последовательной схемы замещения от тока определяется уравнением:

, (1.32)

соответствующем внешней характеристике цепи. показанной на рис 1.16, а.

Зависимость между током и напряжением на зажимах параллельной схемы замещения определяется уравнением:

, (1.33)

соответствует внешней характеристике цепи, показанной на рис. 16,б.

Используя выражения (1.32) - (1.33) можно найти формулы перехода от последовательной схемы замещения к параллельной:

; (1.34)

и от параллельной схемы к последовательной:

; (1.35)

электрический электромагнитный цепь

Переход от последовательной схемы замещения к параллельной и от параллельной к последовательной возможен только в тех случаях, когда соответственно внутренние сопротивления R_вн или внутренняя проводимость G_вн источника не равны нулю.