Розробка та впровадження фрактальних методів аналізу хаотичних систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ РАДІОФІЗИКИ ТА ЕЛЕКТРОНІКИ ІМ. О.Я. УСИКОВА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття ступеня кандидата фізико-математичних наук

РОЗРОБКА ТА ВПРОВАДЖЕННЯ ФРАКТАЛЬНИХ МЕТОДІВ АНАЛІЗУ ХАОТИЧНИХ СИСТЕМ

Спеціальність: Радіофізика

Усік Павло Вікторович

Харків, 1999 рік

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Сучасна обробка даних спостережень постійно висуває нові та все більш складні вимоги до методів, що використовуються для наукових досліджень. Це пов'язано зі зміною у останні двадцять років уяви про природу детермінованості та випадковості і потребує принципово нових підходів до розв'язання таких задач. Мова іде про те, що складність сигналу (наприклад, широкий спектр) раніше вважалась основною прикметою наявності великої кількості ступенів свободи або присутності теплових та інших шумів.

Тепер встановлено, що сигнали з безперервним спектром можуть бути породжені детермінованими об'єктами з малим числом ступенів свободи, динаміка яких, однак, є хаотичною. Хаотичні процеси обумовлені динамікою систем малої розмірності, які описуються звичайними диференціальними або різницевими рівняннями невисокого порядку.

Кінцевою метою при обробці даних спостережень, які являють собою реєстрації деяких сигналів, є виділення складу характерних властивостей, які дозволяють зробити висновки про об'єкт, що є джерелом цих сигналів, та побудувати, на основі цього, його феноменологічну або математичну модель. Використання стандартних методів кореляційного та спектрального аналізу для систем з хаотичною поведінкою не дозволяє, по-перше, відрізнити їх від шумових, а по-друге, провести їх класифікацію. Одним з можливих підходів до розв'язання задач з ідентифікації та класифікації складних сигналів, які генеруються мірними нелінійними системами, є визначення характеристик, які мають назву фрактальні розмірності.

З характеристик такого типу, дослідники найширше, використовують кореляційну розмірність, хоча іноді знаходять застосування та інші типи розмірності. Такого роду розрахунки дозволяють оцінити ефективне число ступенів свободи системи, яка генерує сигнал, що принципово необхідно для побудови її адекватної математичної моделі. Зовнішня простота розрахунків зумовила перевагу у використанні кореляційної розмірності у порівнянні з другими характеристиками такого типу, розрахунки яких, також, принципово дозволяють розв'язувати указані задачі. Поряд з тим, більш ретельне вивчення точності, надійності та збіжності процедури розрахунків з урахуванням виникаючих при цьому систематичних та статистичних похибок, показало, що використання такої техніки потребує значної обережності та дбайливості у виборі параметрів.

До початку проведення автором цих досліджень практично не було вивчено питання про можливість використання такого методу обробки до сигналів з розмірністю вище ніж 3, які зазнають впливу смугової фільтрації. Постанова такої задачі зумовлена тим, що практично всі сигнали, які реєструються, особливо в радіофізиці, зазнають такого роду перетворень у приймальних пристроях. Тому питання про вірогідність отриманих результатів для таких сигналів вимагало негайного та глибокого вивчення, що і було зроблено в даній роботі.

Однією з найважливіших метою досліджень хаотичних явищ є, безумовно, практичне використання таких коливань в технічних пристроях. Цьому напрямку присвячені дослідження з подальшого розвитку нового підходу в кодуванні-декодуванні інформації, використовуючи хаотичне коливання, як носій корисного сигналу. Цей підхід відрізняється від інших, відомих на цей час, тим, що не використовує явище хаотичної синхронізації.

Актуальність теми зумовлена також інтересом, який в останній час виявляють науковці до такого роду досліджень.

Розробка та вдосконалення нових методів аналізу даних спостережень є актуальним і важливим напрямком науково-дослідних робіт.

Такі методи можна використовувати для обробки даних при проведенні радіофізичних, астрономічних та астрофізичних досліджень, що актуально і в Україні також.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами та темами. Зміст дисертаційної роботи є частиною теоретичних та експериментальних досліджень, які проводились в Радіоастрономічному інституті Національної академії наук України в 1992-1998 роках. Серед них такі як:

“Динамічний хаос в нелінійних коливальних системах та нові методи аналізу даних спостережень в астрофізиці”, Шифр “Динаміка”, (номер держреєстрації 0197U19098), проекти Державного фонду фундаментальних досліджень:

- “Хаотична динаміка астрофізичних об'єктів та фрактальні методи обробки сигналів” Шифр “Седло” (номер держреєстрації 0193U009125);

- “Дослідження динамічних характеристик процесів енерговиділення на Сонці” Шифр “Корона” (номер держреєстрації 0193U009127);

- “Динамічний хаос в процесах підсилення, генерації та перетворення електромагнітних та гідродинамічних хвиль” №2.4/296, а також програми, які підтримані Міжнародним науковим фондом.

Мета і задачі дослідження полягають у:

- розробці та використанні методики оцінки систематичних та випадкових похибок при проведенні розрахунків кореляційної розмірності за даними спостережень;

- визначенні критеріїв оптимального вибору параметрів керування такої процедури;

- обґрунтуванні використання методики розрахунку кореляційної розмірності до сигналів, які втратили внаслідок фільтрації частину смуги характерних частот;

- аналізі працездатності схем кодування - декодування інформації, базованих на автономній системі та неавтономному рівнянні маятника, не використовуючи явище хаотичної синхронізації;

- розробці ефективних засобів позбавлення від шумів у цих схемах.

Наукова новизна одержаних результатів:

- розроблено методику оцінки систематичних та випадкових похибок при проведенні розрахунків кореляційної розмірності за даними спостережень;

- вдосконалено методику вибору оптимальних параметрів процедури розрахунків, таких як межі та довжина інтервалу, кількість точок, тривалість реалізації та їх зв'язок з відношенням сигнал/шум;

- вперше досліджено вплив смугової фільтрації на оцінку кореляційної розмірності для сигналів з розмірністю вище ніж 3 та отримано кількісні оцінки викривлень для ідеального фільтру та цифрового фільтру другого порядку;

- вперше обґрунтовано використання методики розрахунку кореляційної розмірності до сигналів, які внаслідок смугової фільтрації втратили частину смуги характерних частот;

- вперше використана методика оцінки кореляційної розмірності для аналізу даних спостережень секундних пульсацій сонячного радіовипромінювання в діапазоні частот 2.5 та 2.85 ГГц;

- запропоновано схеми позбавлення від шумів при використанні детермінованого хаосу у задачах кодування та декодування інформації, які не базуються на явищі хаотичної синхронізації та отримано кількісні оцінки впливу параметрів схеми на якість маскування та відновлення сигналу, що передається.

Обґрунтованість та достовірність одержаних в роботі результатів визначається адекватністю використаних теоретичних моделей реальним фізичним умовам, коректністю застосованих математичних методів аналітичного та чисельного аналізу, підтверджується порівняннями з результатами, які було отримано раніше другими авторами.

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи, які викладені у другому та третьому розділах, можуть бути широко використані для досліджень експериментальних даних будь-якої природи для виявлення та аналізу хаотичних явищ у радіофізиці, радіоастрономії, астрофізиці, біології, хімії та інших галузях науки, які мають справи з обробкою даних, що виглядають як чисельні масиви з фіксованим часом вибірки. Результати досліджень, які розглянуто у четвертому розділі, можуть бути використані для створення технічних пристроїв кодування та декодування інформації, у яких носієм інформації будуть хаотичні коливання.

Особистий внесок здобувача в роботи, які написані у співавторстві, полягає в участі у постановці задач, вирішенні поставлених задач, розробці чисельних алгоритмів, проведенні розрахунків та аналізі одержаних результатів. В публікації автору не належать підрозділи, в яких проведено аналіз даних з використанням перетворень.

На захист виносяться такі результати, отримані автором:

1. Оцінка точності розрахунків кореляційної розмірності за даними спостережень і методика вибору оптимальних параметрів процедури розрахунків;

2. Доказ можливості розрахунку кореляційної розмірності сигналів, які зазнали впливу смугової фільтрації;

3. Результати розрахунку кореляційної розмірності для даних спостережень секундних пульсацій сонячного радіовипромінювання в діапазоні частот 2.5 та 2.85 ГГц;

4. Оцінки якості декодування інформації у несинхронізованих автономних та неавтономних коливальних системах з хаотичною поведінкою;

5. Засоби позбавлення від шумів у системах прихованого передавання інформації, які використовують несинхронізовані хаотичні системи.

Апробація результатів дисертації. Викладені в дисертаційній роботі наукові результати обговорювалися на XVII Міжгалузевій науково-технічній конференції “Методи та пристрої обробки радіолокаційної і радіотехнічної інформації” (м. Київ, 1992 р.), на Міжнародній конференції “Applied nonlinear dynamics and stochastic systems near the millenium” (Сан-Дієго, США, 1997 р.), та на наукових семінарах РІ НАН України.

Публікації: 3 статті в наукових журналах, 1 тези доповідей на конференції, 1 матеріали міжнародної конференції та 1 препринт.

Структура та обсяг дисертації.

Основний текст дисертації складається із вступу, чотирьох розділів і висновків (135 сторінок машинописного тексту). Робота містить 42 ілюстрації і включає список літератури, що складається з 102 бібліографічних найменувань на 10 сторінках. Загальний обсяг роботи 149 сторінок.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми та прикладне значення дисертації. Викладено зв'язок роботи з науковими планами і програмами РІНАН України. Сформульовано мету роботи, приведено короткий зміст та основні положення, що виносяться на захист, а також обґрунтовано наукову новизну та практичне значення одержаних результатів.

В першому розділі розглянуто літературу з проблем, що розв'язуються у дисертаційній роботі та окреслено стан питань, які будуть вирішені. Серед них приділено увагу альтернативним методам оцінки кількості ступенів свободи динамічних систем, зокрема розглянуто розкладання сигналу на деякі компоненти.

Вивчено деякі існуючі теоретичні моделі радіовипромінювання сонячних спалахів у міліметровому діапазоні довжин хвиль та результати аналізу динамічних властивостей такого випромінювання.

Досліджено існуючі схеми синхронізованих хаотичних систем, можливість їх використання для цілей прихованого передавання інформації та визначено недоліки і переваги таких схем.

Другий розділ “Аналіз експериментальних даних за допомогою оцінки розмірності” дисертації містить розгляд методики розрахунку фрактальної розмірності та вибору оптимальних параметрів керування цієї процедури. Дається означення кореляційної розмірності та засобів її оцінки. Сформульовано загальну схему розрахунків кореляційної розмірності, яка містить чотири основні етапи:

1) Попередня обробка даних. На цьому етапі застосовують оцінку Фурьє-спектра і розкладання сигналу на деякі компоненти;

2) Побудова n-мірного векторного сигналу по скалярній реалізації {xi}. Вона здійснюється за допомогою процедури Паккарда-Такенса, що використовує як компоненти вектора відлік сигналу хі, що віддалені один від одного на час затримання m, ts - інтервал часу між сусідніми відсіками сигналу хі:

3) Розрахунок кореляційного інтегралу Cn(r) у просторах різних розмірності n. Формула розрахунку має такий вигляд:

Де:

N - кількість точок - функція Хевісайда;

r - відстань між точками - норма, яка визначає відстані між точками в n - мірному просторі, і має такий вигляд:

4) При цьому слід визначити тангенс кута нахилу у координатах:

log * [Cn(r)] - log(r)

Розглянуто питання вибору алгоритму розрахунків кореляційного інтегралу, яке є вирішальним для з'ясування потреби часу роботи програми.

У підрозділі 2.4 вирішено питання оптимального вибору часу затримки, виведено зв'язок з відношенням сигнал/шум та з'ясовано фільтруючі властивості процедури розрахунків. Виведено формули для нижньої Ткр1 та верхньої Ткр2 межі параметра:

Де:

Тх - характерний час;

q - відношення сигнал/шум;

n - розмірність вкладення.

Наступний підрозділ висвітлює основні джерела похибок при розрахунках кореляційної розмірності. Виділено три основні фактори, які приводять до неточностей при її розрахунках:

1) статистичний характер кореляційного інтегралу;

2) вплив меж об'єкту;

3) фрактальних множин.

Застосовуючи модель гіперкуба виведено вирази для випадкових похибок кореляційного інтегралу C:

Де:

N - кількість точок;

r - відстань між точками;

tp - параметр ймовірнісного розподілення, та систематичних похибок:

Де:

Г[…] - гамма-функція.

При цьому сам кореляційний інтеграл має такий вигляд:

Загальну похибку при розрахунках кореляційної розмірності для розмірності вкладення n можна оцінити по такій формулі:

При цьому перший член описує систематичну, а другий випадкову складову частину похибки.

Розглянуто взаємозв'язок кількості точок інтервалу. Показано зв'язок між розмірністю вкладень п та оптимальною довжиною інтервалу kопт:

Далі:

Також приділено уваги аналізу інших методів визначення показника, який визначає значення кореляційної розмірності. У підрозділі “Довжина реалізації” надано рекомендації, щодо вибору необхідної кількості даних та частоти їх вибірки за часом для подальшого проведення розрахунку кореляційної розмірності. Завершується цей розділ загальними рекомендаціями по проведенню експериментів, де зроблено підсумок результатам, які отримані у другому розділі.

Третій розділ присвячено розгляду математичної моделі проходження сигналу крізь приймальний пристрій, дослідженню можливості оцінки кореляційної розмірності після проходження сигналу крізь фільтри, проаналізовано вплив, якого завдають різні типи фільтрів на динаміку вхідного сигналу. Також досліджено вплив параметрів смугового фільтру на оцінку кореляційної розмірності вузько-смугових та широкосмугових сигналів, що приймаються антенами.

Крім цього в даному розділі розглянуто застосування методики розрахунку кореляційної розмірності до даних спостережень. Як приклад даних спостережень вибрано записи радіовипромінювання семи сонячних радіо-спалахів, які були зафіксовані на Кримській Астрофізичній Обсерваторії (КрАО) на частотах 2.5 и 2.85 ГГц з секундним розділенням за часом. Інформацію про дані, які було проаналізовано зведено у таблицю:

За результатами обробки цих реалізацій проведено аналіз механізму виникнення секундних пульсацій радіовипромінювання Сонця і показано, що такі процеси не мають низько розмірної детермінованої природи. Зміст четвертого розділу складає аналіз методу прихованого передавання інформації, заснований на інвертуванні хаотичних динамічних систем відносно інформаційного сигналу, який додається в початкові диференціальні рівняння. Цей підхід, на відміну від відомих раніше, не потребує використання хаотичної синхронізації двох або більшої кількості осциляторів. Наведено аналіз недоліків двох груп схем, які було запропоновано раніше. Досліджено вплив шумів у каналі зв'язку та розбіжності параметрів осциляторів на якість декодованого сигналу, запропоновано засоби зниження шумів у вихідному сигналі. Як приклади передаючих схеми використано автономний осцилятор Рьослера та неавтономне рівняння маятника. Відновлення інформаційного сигналу з системи Рьослера здійснюється за формулою (11).

Де:

a, b, c - параметри системи Рьослера;

у = (t) - змінна, що передається каналом зв'язку;

i(t) - інформаційний сигнал.

Для такої схеми запропоновано методику позбавлення від адитивних шумів каналу, яка полягає в по каскадному згладжуванні вихідного сигналу перед кожним диференціюванням за допомогою фільтру нижчих частот. Розглянуто підхід до вибору такого фільтру, та його ефективність.

Для відновлення інформаційного сигналу у схемі з використанням рівняння маятника запропоновано формулу (12):

Де:

x*(t) - довільне рішення для узагальненої фази маятника, що передається каналом зв'язку;

A, 0 - амплітуда, частота та початкова фаза зовнішньої сили.

У такій схемі пропонується поступове відновлення не відразу інформаційного сигналу i(t), а спочатку його суми з зовнішньою силою:

При цьому, якщо вибрати частоту зовнішньої сили вищою за максимальну характерну частоту хаотичного сигналу, що передається, то в такому випадку частотна фільтрація призведе одночасно до позбавлення як високочастотних шумів, так і самої зовнішньої сили. При цьому на виході ми отримаємо сигнал з високою якістю відновлення. Інформаційними сигналами i(t) були синусоїдальний сигнал, багато розмірний сигнал, отриманий при інтегруванні рівняння Макея-Гласа, та цифровані звукові записи. Проаналізовано недоліки та переваги запропонованих підходів.

ВИСНОВКИ

Основні результати, одержані в дисертації, та висновки, що сформульовано, зводяться до наступного:

1. Розроблено методику оцінки систематичних та випадкових похибок при проведенні розрахунків кореляційної розмірності за даними спостережень;

2. Вдосконалено математичні вирази для вибору основних оптимальних параметрів процедури розрахунків кореляційної розмірності, таких як межі інтервалу, кількість точок, тривалість реалізації та їх зв'язок з відношенням сигнал/шум;

3. Зроблено кількісні оцінки впливу смугової фільтрації на оцінку кореляційної розмірності. Досліджено викривлення, яких завдають сигналу смугові ідеальний фільтр та цифровий фільтр другого порядку;

4. Обґрунтовано можливість розрахунку кореляційної розмірності сигналів, які зазнали впливу смугової фільтрації;

5. Запропоновану у дисертації методику апробовано на експериментальних даних;

6. Отримано результати аналізу кореляційної розмірності даних спостережень секундних пульсацій сонячного радіовипромінювання в діапазоні частот 2.5 та 2.85 ГГц та доведено відсутність хаотичних коливань у реалізаціях, які було досліджено;

7. Досліджено схеми використання хаотичних коливань в задачах кодування та декодування інформації, які не використовують явище хаотичної синхронізації;

8. Запропоновано засоби позбавлення від шумів у цих схемах та проведено аналіз якості маскування та відновлення сигналу, що передається.

ПУБЛІКАЦІЇ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Ваврив Д.М., Литвиненко Л.Н., Рябов В.Б., Степанов А.В., Усик П.В., Юровский Ю.Ф. Динамическая структура микроволнового излучения солнечной вспышки // Доклады Академии Наук Украины. - 1992. - №7. - С. 75-78.

2. Ryabov V. B., Stepanov A.V., Usik P.V., Vavriv D.M., Vinogradov V.V., Yurovskiy Yu.F. From chaotic to 1/f processes in solar mcw-burst // Astronomy and Astrophysics. - 1997. - V.324. - P. 750-762.

3. Ryabov V.B., Usik P.V., Vavriv D.M. Chaotic masking without synchronization // Радиофизика и радиоастрономия. - 1997. - Т.2, №4 - С. 473-479.

4. Litvinenko L.N., Ryabov V.B., Usik P.V., Vavriv D.M. Correlation Dimension: The New Tool in Astrophysics. - Харьков:1992. - 54 с. (Препринт / Радиоастрономический Институт АН УССР, №64).

5. Ваврив Д.М., Рябов В.Б., Усик П.В. Корреляционная размерность и обработка информации // Тезисы докладов XVII Межотраслевой научно-технической конференции “Методы и устройства обработки радиолокационной и радиотехнической информации”. - Киев. - 1992. - С. 26-28. радіовипромінювання декодування сигнал

6. Ryabov V.B., Usik P.V., Vavriv D.M. Chaotic encoding of information without synchronization // Proc. of Intern. Conf. on "Applied nonlinear dynamics and stochastic systems near the millenium” (AIP Conf. Proc.411). - San Diego (CA,USA). - 1997. - P. 329-333.

Размещено на Allbest.ru