Методы линеаризации (уравнения первого приближения, гармоническая линеаризация).

Специальные методы.

Билет№2. Временные характеристики САУ

Понятие временных характеристик. Зависимость изменения выходной величины системы от времени при подаче на ее вход единичного воздействия (импульса Дирака) при нулевых начальных условиях называется импульсным откликом системы или импульсной переходной характеристикой h(t). Эту функцию называют также функцией веса. Так как системы управления являются физически реализуемыми системами, импульсный отклик систем является односторонней каузальной функцией (h(t)=0 при t<0).

Как известно из теории сигналов и систем, отклик системы на единичный импульс определяется сверткой:

h(t) ? d(t) = h(t) d(t-t) dt = h(t).

Выходной сигнал в каждый момент времени ti зависит не только от входного сигнала в этот момент времени, но и от сигналов на входе во все предыдущие моменты времени ti-t с “весом”, равным значениям функции h(t), т.е. в данном случае от сигнала d?t) при t=0.

Преобразование Лапласа свертки функций отображается произведением их изображений:

h(p) = W(p) L[d(t)] = W(p) 1 = W(p). (3.3.1)

В действительности дельта-функция в чисто теоретическом плане не реализуется. Реальные импульсные воздействия на системы всегда конечны по величине и продолжительности. Но если их продолжительность достаточно мала по сравнению со временем переходного процесса в системе (длительностью переходной характеристики в пределах заданной погрешности), то входное воздействие можно считать приближением к дельта-функции и применять для оценки переходных процессов в системе.

Не меньшее значение в САУ уделяется переходной характеристике H(t), реакции системы на единичное ступенчатое воздействие. Изображение Лапласа:

H(p) = W(p)/p. (3.3.2)

Переходная и импульсная переходная характеристики называются временными характеристиками. Каждая из них является исчерпывающей характеристикой системы и любого ее звена при нулевых начальных условиях. По ним можно однозначно определить выходную величину при произвольном входном воздействии.

Экспериментальное определение временных параметров системы и отдельных ее звеньев можно проводить подачей единичных импульсных сигналов или единичных ступеней на их входы с измерением реакции на выходах. Если на вход подать d(t) ? ?(t) и зарегистрировать на выходе hd(t) ? h(t), то изображение Лапласа передаточной функции определится выражением:

L[hd(t)] = Wd(p) ? W(p).

Соответственно, при подаче на вход ступенчатой функции 1(t) регистрируется переходная функция H(t) и вычисляется W(p):

W(p) = L[dH(t)/dt].

Для произвольного входного воздействия u(t) при t?0 переходной процесс на выходе звена при известных функциях H(t) или h(t) и нулевых начальных условиях:

y(t) = u(0)H(t) +H(t) u(t-t) dt, y(t) = h(t) u(t-t) dt.

Физическая реализуемость. Передаточная функция является физически реализуемой, если возможно создание устройства или программы, которые позволяют реально получить или вычислить выход блока с такой передаточной функцией для реальных типовых входных сигналов и их комбинаций. На выходе систем не должно появляться стремящихся к бесконечности значений сигналов в конечные моменты времени при подаче на вход конечных сигналов.

Заведомо физически нереализуемой является передаточная функция (3.2.5) с порядком числителя большим порядка знаменателя. Строго говоря, физически нереализуемой является и функция с порядком числителя равным порядку знаменателя. В первом случае после деления числителя на знаменатель выделяется, помимо прочего, несколько идеальных дифференцирующих звеньев. Во втором случае при делении числителя на знаменатель выделяется усилительное звено. Заметим, что даже идеальный усилитель не может быть физически реализован, не говоря уже об идеальном дифференцирующем звене, так как в обоих случаях частотная характеристика системы не стремятся к нулю на больших частотах.

Алгебраические критерии устойчивости Гурвица

Определитель Гурвица имеет размерность nxn, где n - порядок хар-ого ур-ия

Определитель составляется так:

1) по главной диагонали сверху вниз записывают коэф-ты а, начиная с an-1

2) Все столбцы формируют так: вниз от диагонали записывают коэф-ты по возрастанию, а вверх - по убыванию. Недостающие поля заполняются нулями.

Далее формируются все главные диагональные миноры:

Формулировка критерия:

Для того, что бы линейная САУ была устойчивой необходимо и достаточно что бы при an>0, определитель Гурвица, построенный по характеристическому ур-ию САУ, а также все его главные диагональные миноры были положительными. Если хотя бы 1 из них <0, то САУ неустойчива, если хотя бы 1 из них =0, то САУ нах на границе устойчивости. Если an<0, то полином нужно умножить на -1.

Достоинством этого метода явл. отсутствие вычисления корней и легкость алгоритмизации.

Недостаток: исследовав устойчивость разомкнутой САУ ничего нельзя сказать о замкнутой САУ; если система неустойчива то ничего неизвестно о том какой коэф-т надо поменять, что бы она стала устойчивой.

Билет№3. Понятие устойчивости САУ

Устойчивость системы автоматического управления, способность системы автоматического управления (САУ) нормально функционировать и противостоять различным неизбежным возмущениям (воздействиям). Состояние САУ называется устойчивым, если отклонение от него остаётся сколь угодно малым при любых достаточно малых изменениях входных сигналов. У. САУ разного типа определяется различными методами. Точная и строгая теория У. систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, создана А.М. Ляпуновым в 1892.

Все состояния линейной САУ либо устойчивы, либо неустойчивы, поэтому можно говорить об У. системы в целом. Для У. стационарной линейной СЛУ, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями, необходимо и достаточно, чтобы все корни соответствующего характеристического уравнения имели отрицательные действительные части (тогда САУ асимптотически устойчива). Существуют различные критерии (условия), позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения, не решая это уравнение - непосредственно по его коэффициентам.

При исследовании У. САУ, описываемых дифференциальными уравнениями невысокого порядка (до 4-го), пользуются критериями Рауса и Гурвица (Э. Раус, англ. механик; А. Гурвиц, нем. математик). Однако этими критериями пользоваться во многих случаях (например, в случае САУ, описываемых уравнениями высокого порядка) практически невозможно из-за необходимости проведения громоздких расчётов; кроме того, само нахождение характеристических уравнений сложных САУ сопряжено с трудоёмкими математическими выкладками. Между тем частотные характеристики любых сколь угодно сложных СЛУ легко находятся посредством простых графических и алгебраических операций. Поэтому при исследовании и проектировании линейных стационарных САУ обычно применяют частотные критерии Найквиста и Михайлова (Х. Найквист, амер. физик; А. В. Михайлов, сов. учёный в области автоматического управления). Особенно прост и удобен в практическом применении критерий Найквиста. Совокупность значений параметров САУ, при которых система устойчива, называется областью У. Близость САУ к границе области У. оценивается запасами У. по фазе и по амплитуде, которые определяют по амплитудно-фазовым характеристикам разомкнутой САУ. Современная теория линейных САУ даёт методы исследования У. систем с сосредоточенными и с распределёнными параметрами, непрерывных и дискретных (импульсных), стационарных и нестационарных.

Проблема У. нелинейных САУ имеет ряд существенных особенностей в сравнении с линейными. В зависимости от характера нелинейности в системе одни состояния могут быть устойчивыми, другие - неустойчивыми. В теории У. нелинейных систем говорят об У. данного состояния, а не системы как таковой. У. какого-либо состояния нелинейной САУ может сохраняться, если действующие возмущения достаточно малы, и нарушаться при больших возмущениях. Поэтому вводятся понятия У. в малом, большом и целом. Важное значение имеет понятие абсолютной У., т. е. У. САУ при произвольном ограниченном начальном возмущении и любой нелинейности системы (из определённого класса нелинейностей). Исследование У. нелинейных САУ оказывается довольно сложным даже при использовании ЭВМ. Для нахождения достаточных условий У. часто применяют метод функций Ляпунова. Достаточные частотные критерии абсолютной У. предложены рум. математиком В. М. Поповым и др. Наряду с точными методами исследования У. применяются приближённые методы, основанные на использовании описывающих функций, например методы гармонической или статистической линеаризации.

Устойчивость САУ при воздействии на неё случайных возмущений и помех изучается теорией У. стохастических систем. Современная вычислительная техника позволяет решать многие проблемы У. линейных и нелинейных САУ различных классов как путём использования известных алгоритмов, так и на основе новых специфических алгоритмов, рассчитанных на возможности современных ЭВМ и вычислительных систем.

Типовые звенья САУ. Понятие минимально-фазовых звеньев

Любую сложную системы удобно анализировать условно разделяя ее на более простые компоненты(звенья) системы. Проще когда звенья имеют некие стандартные свойства и описаны типовыми уравнениями. Зная свойства звеньев и правила объединения можно манипулировать более сложными системами. Поиск звеньев может осуществляться по двум критериям: - степень простоты звена, - различия в степенях числителя и знаменателя передаточной функции.

а) m=n - нейтральное звено: пропорциональное, реальное дифф-ее звено, упругое звено.

б) m>n - форсирующее звено (дифференциальные): идеальное дифференцирующее звено, форсирующее звено первого порядка.

в) m<n - инерционное звено (большинство физических систем): идеальное интегрирующее звено, апериодическое звено.

Понятие минимально-фазовых звеньев:

Любое звено характеризуется своей передаточной характеристикой:

Приравняем получим следующие корни уравнения q1, q2, q3 ... qm

Минимально фазовыми называются звенья имеющие все нули передаточной функции в левой полуплоскости.

Форсирующее звено. Форсирующим называют звено, которое описывается уравнением:

(13)

или передаточной функцией

(14)

где k - коэффициент передачи звена.

При этом переходная функция звена и его функция веса соответственно определяются соотношениями:

Частотные характеристики звена (рис. 27а-в) определяются соотношениями:

а) б) в)

Рис. 27

Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 28) определяются по формуле:

Рис. 28. Форсирующее звено 2-го порядка. Передаточная функция форсирующего звена 2-го порядка имеет вид:

 (15)

Логарифмические частотные характеристики звена имеют вид:

Качество автоматической системы управления (САУ)

Определяется совокупностью свойств, обеспечивающих эффективное функционирование как самого объекта управления, так и управляющего устройства, т.е. всей системы управления в целом. Свойства, составляющие эту совокупность и имеющие количественные измерители, называются критериями (показателями) качества системы управления. Качество автоматической системы, как и любого технического устройчства, может быть оценено такими общепринятыми показателями, как вес системы, её габариты, стоимость, надёжность, долговечность. Совокупность этих общетехнических показателей характеризует качество СУ в широком смысле. В практике автоматизации термины “качество системы”, “качество управления” используют, как правило, в более узком смысле: рассматривают только статические и динамические свойства системы. Прямые и косвенные критерии качества характеризует лишь одно какое-либо свойство системы, лишь один признак переходной или частотной характеристики. Все показатели качества связаны с настроечными параметрами регулятора сложными зависимостями, имеющими противоречивый характер: изменение параметра приводит к улучшения одних показателей качества и к ухудшению других. Это значительно усложняет выбор параметров регулятора. Поэтому в инженерной практике широко используются интегральные критерии качества. Это особая категория показателей качества, которые вычисляют либо непосредственно по переходной функции системы, либо по коэффициентам передаточной функции системы.

Качество САУ

Качество САУ. Основные показатели. Аналитический метод определения качества.

Количественные оценки качества, так называемые прямые показатели качества, определяются по кривой переходного процесса (рисунок).

Используются следующие прямые показатели качества:

1) величина перерегулирования

,

которая характеризует максимальное отклонение регулируемой величины от ее установившегося значения, которое может быть определено в соответствии с теоремой о конечном значении оригинала

;

2) время переходного процесса или время регулирования tp - наименьшее значение времени, после которого имеет место неравенство

где - заданная величина, обычно лежащая в пределах =0.02-0.05;

3) статическая ошибка сm - величина отклонения установившегося значения регулируемой величины h() от требуемого значения N

4) время установления ty - промежуток времени, по истечении которого регулируемая величина первый раз достигает установившегося значения.

Для определения качества системы могут использоваться и другие показатели, соответствующие решаемой задаче, например, число колебаний регулируемой величины за время регулирования, частота и период колебаний и т.д.

Билет№4. Сигналы в САУ и основные требования к САУ. Основные принципы управления

- вектор состава объекта

- вектор наблюдаемых характеристик

- вектор управляющего воздействия

- вектор задающего воздействия

- вектор возмущающего воздействия. Неконтролируемое внешнее воздействие (возмущающее). Делиться на нагрузки - неотъемлемое внешне воздействие, может изменяться случайным образом; помехи - случайные изменения в окружающей среде.

Требования к САУ:

- Устойчивость системы, запас устойчивости. Если САУ содержит ОС (обратную связь), то в работе таких САУ могут возникать колебания выходного параметра. Если при неизменно задаваемом воздействии отклонение от заданной величины уменьшается до 0, с течением времени, или до величины статистической ошибки, то такая система считается устойчивой. Если с течением времени отклонение возрастает (до бесконечности) , то система неустойчива.

- Требования к статистическим ошибкам. Лучшими параметрами обладает статическая ошибка, но если система астатическая, то статическая ошибка должна быть минимальной. Статическая ошибка может быть положительной, отрицательной или равной 0, или стремящейся к нулю.

- Требования к динамическим ошибкам. Ошибки между заданным и выходным сигналом.

- Требования параметрам переходного процесса (к условиям качества).

Принципы управления:

- Разомкнутое. Разомкнутым системам присущи следующие недостатки: инвариантность (независимость) параметров состояния обеспечивается только по отношению к тем компонентам вектора возмущений, которые могут быть измерены; инвариантность по отношению к контролируемым (задающим) воздействиям обеспечивается только при строгом соответствии параметров объекта управления и управляющей подсистемы их расчетным значениям.

- Замкнутое (включена обратная связь позволяющая контролировать наблюдаемые параметры объекта и тем самым изменять изменяющие параметры).

Замкнутое управление является базовым принципом. Разомкнутое - теоретическим(т.е. имеет меньшую точность, непригодно для неустойчивых САУ, применимо для неконтролируемых ОУ)

Передаточная функция линейной системы. Свойства передаточной функции

Понятие передаточная функция является наиболее важной категорией в теории автоматического управления и регулирования. Передаточная функция является своего рода математической моделью САР, т.к. полностью характеризует динамические свойства системы.

Передаточная функция представляет собой отношение изображение по Лапласу выходной величины Y ( S ) к изображению входной величины Х ( S ), т.е.

Учитывая условия для линейных систем уравнение (2.3) запишем в следующем виде: (2.8)

Поскольку для линейных систем можно применить принцип наложения, то будет справедливым выделить следующие два случая:

сигнал Z ( S ) = 0, тогда

сигнал X ( S ) = 0, тогда

Тогда, для любой САР, имеющей входы по управлению и по возмущению, можно определить две передаточные функции: (2.9) (2.10)

Уравнение (2.9) представляет передаточную функцию по управлению, а выражение (2.10) представляет передаточную функцию по возмущению.

Как известно, собственный оператор Q ( p ) может быть записан в следующем виде:

Соответственно оператор управляющего воздействия R1 (р) и оператор возмущающего воздействия R2 ( p ) выразим следующим образом:

Следовательно, передаточные функции по управлению и по возмущению представляют собой отношения следующих полиномов:

Для физической реализуемости системы необходимо выполнить условие n>m и n>k.

Передаточные функции содержат особые точки на комплексной плоскости -нули и полюса. Полюса - это те значения S, при которых передаточная функция превращается в бесконечность. Для определения полюсов необходимо собственный оператор (знаменатель передаточной функции) приравнять к нулю и произвести решение алгебраического уравнения относительно S. Нули - это те значения S, при которых передаточная функция равна нулю. Для нахождения нулей числитель передаточной функции приравнивается к нулю и полученное алгебраическое уравнение решается относительно S. В связи о этим передаточная функция может быть представлена как отношение произведений элементарных сомножителей:

где l i - полюса передаточной функции; n k - нули передаточной функции.

Если задана структура САР, то можно определить передаточную функцию относительно любых двух точек структуры. При этом необходимо использовать существующие правила и метода структурных преобразований.

Критерий Найквиста. Применение для астатических систем

Этот критерий, предложенный в 1932 г. американским ученым Г. Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике (АФЧХ) W (jщ) разомкнутой системы.

Для суждения об устойчивости астатической системы находящееся в бесконечности начало ее АФЧХ, соответствующее щ = 0, надо мысленно соединить с положительной действительной полуосью против часовой стрелки дугой бесконечного радиуса, как условно изображено на рисунке штрих-пунктирными линиями. В случае устойчивой системы точка (--1, j0) не должна охватываться АФЧХ, мысленно дополненной дугой, соединяющей ее с положительной действительной полуосью. Сказанное иллюстрируется на рисунке.

На рисунке приведены АФЧХ астатических систем с разным порядком астатизма. Кривые 1, 2 и 3 относятся к системам соответственно с астатизмом 1, 2 и 3-го порядков. АФЧХ астатических систем при щ = 0 уходят в бесконечность, так как в знаменателе амплитудно-фазовой функции W (jщ) имеется множитель (jщ)r, где r -- порядок астатизма. Соответственно, как показано па рисунке, при r = 1 характеристика W (jщ) при щ = 0 уходит в бесконечность вдоль отрицательной мнимой полуоси, при r = 2 -- вдоль отрицательной действительной полуоси, а при r = 3 -- вдоль положительной мнимой полуоси. Пунктирные кривые 1а, 2а и За (3б) соответствуют неустойчивым системам с астатизмом 1, 2 и 3-го порядков.

Билет№4. Основные типы соединений

Структурная схема - это графическое представление математической модели системы в виде соединений звеньев, условно обозначаемых в виде прямоугольника с указанием входной и выходной величин и передаточных функций. Обозначение передаточной функции записывают, как правило, внутри прямоугольника.

Суммирующие звенья изображаются в виде круга, разделенного на секторы. Сектор, на который подается величина с обратным (отрицательным) знаком, затемняют или перед соответствующим входом ставят знак минус.

а б в

Рисунок 1 - Схемы суммирующих звеньев

Звено - это устройство любого физического вида и конструктивного оформления, но описанное определенным дифференциальным уравнением. Звено - математическая модель любой части САУ.

Математическая модель - это описание каких-либо явлений, процессов с помощью математической символики.

Математическое моделирование - изучение явлений с помощью математических моделей процессов.

При математическом описании систему обычно изображают в виде функциональной схемы. Для каждого блока составляют уравнение, которым описываются процессы. Затем строится структурная схема. Преобразования, необходимые для получения уравнений и передаточных функций системы, проще и нагляднее производить по структурным схемам. Звено структурной схемы необязательно изображает модель какого-либо элемента. Оно может быть моделью элемента, соединения элементов или вообще любой частью системы.

Основные типы соединений:

Последовательное соединение звеньев - это соединение, при котором выходная величина предшествующего звена является входной величиной последующего звена.

Соединение звеньев

Любая, даже самая сложная, система автоматического управления состоит из элементарных (типовых) звеньев. Характеристики этих звеньев хорошо изучены. Соединяясь между собой различным образом, типовые звенья образуют САУ. Существуют три основных вида соединений: последовательное, параллельное и с обратной связью.

Последовательное соединение

В этом случае выход каждого предыдущего звена является входом следующего

Передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций каждого звена

При этом АЧХ и ФЧХ определяются следующим образом:

Таким образом, при последовательном соединении амплитудно-частотные характеристики перемножаются, а фазо-частотные суммируются.

Параллельное соединение

При таком соединении звеньев на их входы подается один и тот же сигнал, а выходные сигналы суммируются.

При этом:

Амплитудная и фазовая частотные характеристики звеньев, соединенных параллельно, определяются по формулам

Соединение с обратной связью

Этот вид соединения звеньев показан на рисунке

В этом случае передаточная функция всей системы

Частотные характеристики имеют следующий вид

где P10 () И Q10 () - реальные и мнимые части звеньев, образующих замкнутый контур.

Частотный критерий устойчивости Михайлова. Критерий чередующихся корней. Это графический критерий. Он был предложен в 1938 г. советским учёным А.В. Михайловым, основан на рассмотрении многочлена A(p).

A (p) = a0+…+anpn

A(p) = an(p-p1)…(p-pn),

где р1,…,pn - корни уравнения.

Подставим в этот многочлен вместо p мнимую переменную jщ. В результате получим комплексную функцию:

.

Изобразим A(jщ) в виде годографа в комплексной плоскости (кривая 1 на рисунке 1). Этот годограф называется годографом Михайлова. Каждому значению щ соответствуют определённые значения ReA(щ) и ImA(щ) и определённая точка на плоскости. При щ=0 функция A(jщ) = an, то есть годограф начинается с действительной оси. При щ >? функция A(jщ) неограниченно возрастает.

Критерий Михайлова формулируется так: система устойчива, если годограф A(jщ), начинаясь на действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n-порядок системы.

На рисунке 1 годограф 1 относится к устойчивой, а годографы 3, 4 ж 5 -- к неустойчивым системам.

Условием нахождения системы на границе устойчивости является прохождение годографа Михайлова- через начало координат (кривая 2 на рисунке 1). Действительно, в этом случае существует значение со, при котором A(jщ) = 0, т. е. характеристическое уравнение системы имеет пару сопряженных мнимых корней X = ±jщ. Последнее и означает наличие в системе незатухающих колебаний, т. е. нахождение ее на границе устойчивости. При построении годографа A (jщ) прежде всего находят точки его пересечения с координатными осями. Для этого, определив из уравнения

ReA(щ) = 0. значения частот, соответствующих точкам пересечения годографа A(jщ) с мнимой осью, подставляют их в выражение ImA (щ). В результате получают соответствующие ординаты. Аналогично находят точки пересечения A(jщ) с действительной осью, приравнивая нулю мнимую часть.

Критерий чередующихся корней.

Данный критерий вытекает из критерия Михайлова, по сути являясь его модификацией. Можно не строить годограф, а проверить порядок пересечения осей.

A (p) = a0+…+anpn A (jщ) = (a0-a2w2+a4w4-…)-j(a1w-a3w3+a5w5+…)

Решив ReA (щ)=0, найдем все корни щ1(pi); ImA (щ)=0, найдем все корни щ2(qi), щ(q1)=0.

Формулировка: необходимым и достаточным условием устойчивости линейных САУ является то, чтобы корни вещественной части комплексной характеристической функции чередовались на числовой оси с корнями мнимой части этой функции, причем первым должен быть корень мнимой части и он должен быть равен нулю.

Типовые нелинейные элементы системы управления

Структура и уравнение нелинейной автоматической системы в общем случае могут быть очень сложными. Степень сложности зависит от количества, вида и места включения нелинейных элементов. Одна-

ко, большинство реальных систем содержит один существенно нелинейный элемент. Линейная часть включает в себя все линейные звенья системы и может иметь структуру любой сложности, в частности, содержит внутренние обратные связи. Как уже отмечалось выше, нелинейные свойства системы определяются наличием в ней статических нелинейностей, т.е. нелинейная часть, образованная одним нелинейным элементом, имеет выходную переменную нэ y , которая в наиболее общем случае выражается как функция входной величины x и ее производной x? :

Простейшими нелинейными элементами являются статические нелинейности, у которых выходная

переменная зависит только от входной переменной, причем, эта зависимость строго однозначна: Такие нелинейности называются типовыми, для них записывается статическая характеристика и рассматривается преобразование ими гармонического сигнала . Наиболее часто встречаются следующие типовые нелинейности.

1 Усилительное звено с зоной нечувствительности.

2 Усилительное звено с ограничением амплитуды. Это звено называют также нелинейным звеном с зоной насыщения.

3 Двухпозиционное реле.

4 Двухпозиционное реле с зоной возврата. Однозначные релейные характеристики соответствуют некоторой идеализации реальной системы.

5 Усилительное звено с зоной застоя (звено типа люфт). Нелинейность такого вида наиболее часто встречается в механических системах и связана с наличием зазоров или с сухим трением в системе передачи.

6 Трехпозиционное реле с зоной нечувствительности и зоной возврата. Нелинейности такого типа часто встречаются в системах автоматического регулирования, особенно, когда элементом, управляющим включением и выключением вспомогательной энергии, является электрическое реле, например, электрический сервомотор, управляемый с помощью реле.

Билет№5. Типовые входные воздействия

Типовые входные воздействия. Для оценки динамических свойств системы и отдельных звеньев принято исследовать их реакцию на типовые входные воздействия. Наиболее распространенными типовыми воздействиями являются ступенчатое, импульсное и гармоническое. Любой сигнал u(t), имеющий сложную форму, можно разложить на сумму типовых воздействий ui(t) и на основании принципа суперпозиции получить результирующее изменение выходной величины y(t) в виде суммы реакций системы на каждую из составляющих.

Рис. 3.2.1.

Единичная ступенька. Особое значение в теории автоматического управления имеет ступенчатое воздействие 1(t) = 1 при t?0, 1(t) = 0 при t<0 (сигнал u1(t) на рис. 3.2.1). Все остальные воздействия могут быть сведены к нему. Так, например, импульсный сигнал может быть представлен двумя ступенчатыми сигналами одинаковой величины противоположными по знаку, поданными один за другим через интервал времени Dt(сигнал u(t) на рис. 3.2.1).

Преобразование Лапласа для единичной ступеньки:

1(p) =exp(-pt) dt = 1/p. (3.2.8)

Линейно нарастающее воздействие (t(t)=t при t?0, t(t) = 0 при t<0) представляет собой интеграл по времени от единичной ступеньки:

t(t) =1(t) dt, 1(t) = d t(t) /dt.

Преобразование Лапласа:

t(p) =t exp(-pt) dt = 1/p2. (3.2.9)

Экспоненциальная функция exp(at). Преобразование Лапласа:

L[exp(at)] =exp(at) exp(-pt) dt = 1/(p-a). (3.2.10)

Выражение справедливо и при любом комплексном б.

Гармонические воздействия sin щt и соs щt.

На основе формулы Эйлера

exp(jщt) = cos щt + j sin щt

соответственно имеем

cos щt = Re exp(jщt), sin wt = Im exp(jwt).

Преобразования Лапласа

L[sin щt] = L[Im ejщt] = Im L[ejщt] = Im (1/(p-jщ)) = Im((p+jщ)/(p2+щ2)) =

= Im(p/(p2+щ2)+jщ/(p2+щ2)) = щ/(p2+щ2).

L[cos щt] = Re L(ejщt) = Re (1/(p-jщ)) = Re((p+jщ)/(p2+щ2)) = p/(p2+щ2).

Дельта-функция д(t) - математическая модель очень короткого конечного воздействия большой мощности (единичный импульс). Определение д(t)-функции даётся через интеграл свёртки с любой другой интегрируемой функцией x(t):

d(t-t0) x(t) dt = x(t0).

Отсюда, при x(t)=1:

d(t) dt = 1, d(t) exp(-pt) dt = 1, L[d(t)] = 1. (3.2.11)

Единичный импульс физически представляет собой очень узкий импульс, ширина которого стремится к нулю, а высота - к бесконечности, ограничивающий единичную площадь. Дельта - функция связана с единичной ступенчатой и линейно-нарастающей функцией выражением:

d(t) = d1(t) /dt = d2 t(t) /dt2.

Частотные характеристики САУ

Понятие частотных характеристик является важнейшим понятием, широко применяемым в теории управления. Методы, основанные на применении частотных характеристик, являются наиболее удобными в инженерной практике в классе систем с одним входом и выходом.

Функция W(jw), равная отношению выходного сигнала к входному при изменении входного сигнала по гармоническому закону, называется частотной передаточной функцией. Она может быть получена путем замены p на jw в выражении W(p). В более общей формулировке частотную передаточную функцию можно представить в виде отношения частотных спектров выходного и входного сигнала:

W(jw) = Y(jw)/U(jw) = W(p)|p=jw.

Частотная передаточная функция линейного звена является изображением Фурье его импульсной функции и может определяться по интегральному преобразованию:

W(jw) =h(t) exp(-jwt) dt.

Для односторонних функций h(t), W(jw) есть комплексная функция, которую иногда называют амплитудно-фазо-частотной характеристикой (АФЧХ):

W(jw) = A(w) exp(jj(w)) = P(w) + jQ(w),

где P(w) - вещественная, Q(w) - мнимая частотные характеристики, А(w) - амплитудная частотная характеристика (АЧХ), j(w) - фазовая частотная характеристика (ФЧХ). АЧХ дает отношение амплитуд выходного и входного сигналов, ФЧХ - сдвиг по фазе выходной величины относительно входной:

A(w) = Um /Ym = |W(jw)| =,

j(w) = arctg(Q(w)/P(w)).

Рис. 3.4.1.

Годограф, приведенный на рис. 3.4.1, является стандартным методом отображения АФЧХ на комплексной плоскости с координатами ReW(щ) и ImW(щ). Параметром на кривой годографа является частота, изменяющаяся в интервале от 0 до ?. Для произвольной частоты щ радиус вектор в точке W(jщ) показывает амплитуду выходного сигнала, а угол j(щ) - сдвиг фазы между выходным и входным сигналом. Иногда W(jщ) называют комплексным коэффициентом передачи, подразумевая, что АФЧХ является обобщением обычного коэффициента усиления К на случай его зависимости от частоты и фазового сдвига, также зависящего от частоты. Комплексно сопряженные ветви АФЧХ, отличающиеся знаком j, зеркальны относительно вещественной оси.

Для частотного анализа систем применяется также раздельное построение графиков АЧХ и ФЧХ, если в том появляется необходимость.

Логарифмические частотные характеристики. В практике автоматики широкое применение находят частотные характеристики в логарифмических масштабах. Применение логарифмического масштаба позволяет наглядно изображать характеристики в большом диапазоне частот, представлять характеристики отрезками ломанных линии и определять характеристики сложных систем простым суммированием характеристик, входящих в эти системы элементов.

Частота в логарифмическом масштабе измеряется в декадах. Две частоты w1 и w2 отличаются на одну декаду если w2/w1 = 10, lg(w2/w1) = 1. Относительные амплитуды в логарифмическом масштабе выражаются в децибелах. Две мощности w1 и w2 отличаются на один децибел, если 10 lg(w1/w2) = 1. Так как мощности относятся как квадраты образующих их первообразных (напряжений, токов, сил и т.д.), то две первообразные a1 и а2 будут отличаться на один децибел, если 10 lg(а12 /а22) = 1 20 lg(а1/а2) = 1.

В CАУ широко используются логарифмические амплитудная (ЛАЧХ) и фазовая (ЛФЧХ) частотные характеристики (рис. 3.4.2). Они получаются путем логарифмирования передаточной функции:

lg[W(jw)] = lg[A(w) exp(jj(w)] = lg[A(w)]+lg[exp(jj(w)] = L(w) + j(w).

ЛАЧХ получают из первого слагаемого, которое умножается на 20, то есть L(w)=20 lg A(w). Величина L(w) откладывается по оси ординат в децибелах. Изменению сигнала в 10 раз соответствует изменение его уровня на 20 дБ. По оси абсцисс откладывается частота w в логарифмическом масштабе, единичным промежуткам по оси абсцисс соответствует изменение w в 10 раз.

Рис. 3.4.2.

ЛФЧХ, получаемая из второго слагаемого, отличается от ФЧХ только масштабом по ос и w. Величина j(w) откладывается по оси ординат в градусах или радианах. Для элементарных звеньев она не выходит за пределы:

-p ? j ? p.

Частотные характеристики являются исчерпывающими характеристиками системы, по которым можно восстановить ее передаточную функцию и определить параметры.

Критерий Найквиста. Применение для систем устойчивых в разомкнутых состояниях.

Этот критерий, предложенный в 1932 г. американским ученым Г. Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике (АФЧХ) W (jщ) разомкнутой системы.

Когда известно, что система в разомкнутом, состоянии устойчива, условие устойчивости замкнутой системы тогда сводится к требованию, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку (-1, j0).

На рисунке характеристики 1 и 4 соответствуют устойчивым системам, характеристика 3 -- неустойчивой, а характеристика 2 -- нахождению системы на границе устойчивости. Если, например, уменьшить коэффициент передачи в неустойчивой системе, её АФЧХ сожмется к началу координат, в результате чего система станет устойчивой. Наоборот, при увеличении коэффициента передачи характеристика устойчивой системы, в конце концов охватит точку (-1, j0) и система потеряет устойчивость.

Критерий Найквиста. Применение для систем неустойчивых в разомкнутом состоянии.

Этот критерий, предложенный в 1932 г. американским ученым Г. Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике (АФЧХ) W (jщ) разомкнутой системы.

Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, критерий Найквиста имеет такую формулировку: для устойчивости системы в замкнутом состоянии АФЧХ разомкнутой системы должна охватывать точку (-1, j0). При этом число пересечений ею отрицательной действительной полуоси левее точки (-1, j0) сверху вниз должно быть на k/2 больше числа пересечений в обратном направлении, где k -- число полюсов передаточной функции W (р) разомкнутой системы с положительной действительной частью.

На рисунке в качестве примера показаны две АФЧХ разомкнутой системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии вследствие наличия правых корней, но устойчивой в замкнутом состоянии. Характеристика 1 соответствует k = 1, а характеристика 2 -- значению k = 2.

Размещено на Allbest.ru