Расчёт характеристик сигналов и каналов связи

1.1 Обработка исходных данных

Аналитическая запись исходного сигнала, изображенного на Рис. 1 имеет вид:

,

где h=0,001 В,

Форма исходного сигнала №2, изображенного на Рис. 2, имеет вид:

,

где h= 0.04 В,

Форма исходного сигнала №3, изображенного на Рис. 3, имеет вид:

,

где h=0.02 B,

1.2 Расчёт спектральных характеристик сигналов

Спектр сигнала, его частотный состав, является важнейшей характеристикой сигнала. Он определяет требования к узлам аппаратуры связи, помехозащищенность, возможности уплотнения.

Спектральная плотность это характеристика сигнала в частотной области и вводится она прямым преобразованием Фурье:

, (1)

где временная функция сигнала,

круговая частота, .

комплексная величина и может быть представлена в алгебраической или показательной форме:

. (2)

Функции и вычисляются следующим образом:

(3)

(4)

для показательной формы

(5)

(6)

Спектральной плотности заданных сигналов.

При четной функции S(t) мнимая часть b() = 0, при нечетной a() = 0.

Это следует непосредственно из интегральных форм (3) и (4).

Следовательно фазовая характеристика сигналов №2 и №3 равна нулю.

2. Расчёт практической ширины спектра сигнала

При передаче сигналов главное внимание уделяется передаче информации, а не энергии. Тем не менее, энергия и мощность являются важнейшими характеристиками сигналов. В правильно спроектированной системе вид и параметры сигнала должны быть выбраны так, чтобы информация передавалась с заданным качеством при минимальных затратах энергии.

Энергия одиночного сигнала вычисляется через временную функцию сигнала по формуле

. (7)

Для конкретной функции пределы должны быть уточнены.

Ограничение практической ширины спектра сигнала по верхнему значению частоты _с, по заданному энергетическому критерию осуществляется на основе неравенства(8).

, (8)

где W^/ - энергия сигнала с ограниченным по верху спектром,

- процент от полной энергии сигнала при ограничении спектра.

В данном случае d=0.985

Для заданных сигналов определим энергию по формуле:

(9)

Значение W^/ определяется на основе известной спектральной плотности

, (10)

где _с - искомое значение верхней граничной частоты сигнала.

Значение _с определяется путем подбора при расчетах (9) и (10) до выполнения неравенства (8).

Используем MATHCAD для определения _с и расчета энергии W и W`.

^,

где W₁-полная энергия сигнала

,

W`₁-энергия, ограниченная частотой ?_?

подбирается таким образом, чтобы выполнялось условие

?

Аналогично для второго и третьего сигналов:

Выберем сигнал с наименьшей _с. Сигнал №2 имеет наименьшее значение _с. Все последующие преобразования проведем для него.

3. Расчёт интервала дискретизации сигнала и разрядности кода

Интервал дискретизации заданного сигнала по времени определяется на основе теоремы Котельникова по неравенству (11):

, (11)

где - интервал дискретизации, с,

-верхнее значение частоты спектра сигнала, определяемое в соответствии с разделом 2.

После расчета значения интервала дискретизации необходимо построить график дискретизированного во времени сигнала. Длительность импульсных отсчетов принять равной половине интервала.

Следующими этапами преобразования сигнала является квантования импульсных отсчётов по уровню и кодирование. Разрядность кода определяется исходя из динамического диапазона квантуемых по уровню импульсных отсчетов. При этом в качестве верхней границы динамического диапазона принимается напряжение самого большого по амплитуде отсчета.

Нижняя граница диапазона определяется по (12)

, (12)

где U_MIN - нижняя граница динамического диапазона, В;

U_MAX - верхняя граница динамического диапазона, В.

Для самого малого по амплитуде импульсного отсчета задается соотношение мгновенной мощности сигнала и мощности шума квантования:

, (13)

где P_Ш.КВ - мощность шумов квантования при размерной шкале квантования, Вт.

Известно, что:

, (14)

где - шаг шкалы квантования.

В свою очередь:

, (15)

где - шаг шкалы квантования;

n_КВ - число уровней квантования;

U_MAX - верхняя граница динамического диапазона, В.

С учетом этого:

, (16)

где n_КВ - число уровней квантования;

U_MIN - нижняя граница динамического диапазона, В;

U_MAX - верхняя граница динамического диапазона, В.

Из (16) получаем:

, (17)

где n_КВ - число уровней квантования;

U_MIN - нижняя граница динамического диапазона, В;

U_MAX - верхняя граница динамического диапазона, В.

Известно, что при использовании двоичного кодирования число кодовых комбинаций, равное числу уровней квантования, определяется выражением: , (18)

где m - разрядность кодовых комбинаций.

Отсюда:

. (19)

Длительность элементарного кодового импульса определяется исходя из интервала дискретизации и разрядности кода по выражению

, с. (20)

Из уравнения (12) найдём верхнее значение границы динамического диапазона, при h=0,04 В, b=10000 с^-1,

Определим верхнее значение частоты спектра сигнала:

Гц.

По (11) находим,

Для расчета нижней границы диапазона подставим в (12) К=26, U_MAX = 0,04 В и найдём В.

Подставив в (17) значения =15, U_MAX = 0,04 В, U_MIN = 0.001538В,

таким образом получим:

.

Затем по (15) найдем шаг шкалы квантовании:

.

Найдём мощности шумов квантования по (14):

Вт.

Найдём по (19) разрядность кодовых комбинаций:

.

Найдем длительность элементарного кодового импульса по (20):

с.

Числовые константы сигнала определяются по формулам:

(21)

 (22)

где m_u - математическое ожидание сигнала;

D_U - дисперсия сигнала;

U_i - напряжения логических «1» и «0»;

P(U_i) - вероятности «1» и «0» в кодовой комбинации.

В кодовой комбинации «1» встречается 9 раз (из 20), «0» - 11 (из 20). Тогда Р₀ = 0,55, Р₁ = 0,45.

m_u = 5*0.45+0*0.55=2.25 В;

D_U = (5-2.25)² * 0.45+(0-2.25)² * 0.55 = 6.188 В².

4. Расчёт характеристик импульсно-кодовой модуляции

Расчёт характеристик АЦП

Мгновенные значения исходного сигнала на выходе регистра представляют собой последовательность кодовых слов. Каждое слово - случайная последовательность, состоящая из нулей и единиц. Таким образом, полный сигнал после оцифровки - случайная последовательность. Закодируем дискретизированный сигнал (импульсную последовательность), представив номер уровня квантования двоичным кодом.

Далее по формуле (23) найдём номера уровней, которым соответствуют величины импульсных отсчетов.

(23)

Результаты приведены в таблице 1.

Таблица 1

Теперь по разрядности кодовых комбинаций определяем тип логики.

Таблица 2

В дальнейших расчетах будем считать Уровень «1», В - U1=5 B,

Уровень «0», В - U0-0 B.

Расчет характеристик АКФ

Создадим в MATHCAD два вектора Vx и Vy из последовательности нулей и единиц. Далее определим корреляцию, которая в первом случае будет равна 1, так как вектора одинаковы.

Далее необходимо изменить Vy, записав его вновь сдвинув числа на один шаг и вновь определить корреляцию. Значения корреляции представлены в таблице 3.

На основании рассчитанной АКФ необходимо подобрать математическое выражение наиболее полно отражающее реальную зависимость.

Воспользуемся для этого сплайновой аппроксимацией. В MATHCAD функция cspline (Vx, Vy) возвращает значения вторых производных кубического полинома. Далее для каждой искомой точки вычисляется значение с помощью функции interp. Покажем это на нашем примере.

Таблица 3

Представим столбцы таблицы 3 как два вектора Vt и Vk.

С помощью функции cspline (Vt, Vk)

Вычислим вектор вторых производных при приближении к кубическому полиному

Далее построим зависимости АКФ

Аппроксимированные кубическим полиномом и отрезками прямых

Сглаженная АКФ более объективно отражает статистические связи в цифровом сигнале. Спектральные характеристики кодированного сигнала находятся на основании интегрального преобразования Винера-Хинчина. В области действительной переменной имеет вид:

, (24)

5. Характеристики модулированных сигналов

Для передачи полезной информации в технике связи обычно используются модулированные сигналы. Они позволяют решить задачи уплотнения линий связи, электромагнитной совместимости, помехоустойчивости системы. Процесс модуляции является нелинейной операцией и приводит к преобразованию спектра сигнала. При гармоническом сигнале-переносчике это преобразование заключается в том, что спектр полезного сигнала переносится в область несущей частоты в виде двух боковых полос. Если переносчик - импульсная последовательность, то такие боковые полосы расположены в окрестностях каждой гармоники переносчика. Значит, продукты модуляции зависят от полезного сигнала и от вида сигнала - переносчика.

Распространенным видом аналоговой модуляции является амплитудная модуляция (АМ). Под действием полезного сигнала изменяется амплитуда гармонического переносчика. Аналитическая форма записи сигнала АМ следующая:

(25)

где A₀ - амплитуда несущей, В;

m - коэффициент глубины модуляции;

₀ - начальная фаза;

₀ - частота.

При этом фаза сигнала меняется по закону: А₀ + А₀mU(t).

Под U(t) понимается полезный сигнал, изображенный на рисунке 15, в нашем случае - регулярная импульсная последовательность.

Спектр модулированного сигнала будет представлять из себя несущую частоту с боковыми полосами и описываться выражениями (26)

(26)

При расчётах боковых полос ограничимся пятью гармониками с каждой стороны.

Амплитуды боковых гармоник рассчитаем по формуле (27)

(27)

Рассмотрим канал связи с несколько других позиций. Заданный сигнал мы представили отсчетами, идущими с заданным интервалом. Такая выборка содержит полную информацию о передаваемом сигнале и, следовательно, сама представляет источник информации. Выше было определено количество выборок для одного из сигналов. Для ограниченного по времени, например треугольного, оно определяется длительностью сигнала; для бесконечного, например экспоненциального, их число должно быть назначено 510. Если задать вопрос, какая выборка сейчас создается, то последует очевидный ответ: эта вероятность равна 1/N, где N - число выборок.

Таким образом, выборки это алфавит источника информации и вероятности букв этого алфавита равны друг другу. Такой источник имеет ряд информационных характеристик: количество информации в знаке, энтропию, производительность, избыточность. В дальнейшем нас будет интересовать производительность, которая характеризует скорость работы источника и определяется по следующей формуле(28), где - энтропия алфавита источника, - среднее время генерации одного знака алфавита.

(28)

Рассмотрим принципы и предельные возможности непосредственного согласования дискретного источника сообщений с непрерывным каналом связи. Напомним, что в непрерывном канале надо знать плотности распределения случайных процессов сигналов, помех и их же условные плотности распределения. Это понятие вводится при моделировании канала связи и с точки зрения передачи сообщений нет большого противоречия в том, что источник принят дискретным, а канал непрерывный.

Будем считать канал гауссовым, то есть все статистики в нем имеют нормальное распределение. На входе канала, помимо сигнала, присутствует помеха типа «белый шум».

Полоса пропускания канала должна быть достаточной для прохождения спектра модулированного сигнала. Эта величина () была определена нами в разделе 5.

Предельные возможности согласования дискретного источника с непрерывным каналом определяются следующей теоремой Шеннона (которая аналогична такой же дискретного источника и дискретного канала).

Теорема Шеннона. Дискретные сообщения, выдаваемые дискретным источником с производительностью можно закодировать так, что при передаче по гауссову каналу с белым шумом, пропускная способность которого С превышает вероятность ошибки Р_ош может быть достигнута сколь угодно малой.

При определении пропускной способности канала статистические законы распределения помехи, сигнала, и суммы сигнала и помехи - нормальные законы с соответствующими дисперсиями Рп, Рс и Рс+Рп.

Пропускная способность гауссова канала равна:

(29)

где F - частота дискретизации, определенная в разделе 3. Рп - мощность помехи, определяется по заданной спектральной плотности мощности N (дано в задании на курсовой проект) и полосе частот модулированного сигнала .

. (30)

По этим формулам, пользуясь неравенством Шеннона , надлежит определить Рс, обеспечивающую передачу по каналу. Отсюда:

Pc=Pn (n-1) (31)

По формулам (28) - (31) получаем:

Мощность помехи:

спектральный сигнал модуляция шеннон

Рп=

Мощность сигнала:

Библиографический список

1. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - Москва, 1986, 512 с.

2. Баженов Н.Н., Картавцев А.С. Расчет характеристик сигналов и каналов связи. - Омск, 1990, 24 с.

3. Каллер М.Я., Фомин А.Ф. Теоретические основы транспортной связи. - М. Транспорт, 1989,384 с.

4. Зюко А.Г., Кловский Д.Д. и др., Теория передачи сигналов: Учебник для ВУЗов. - М., «Радио и связь», 1986,304 с.

Размещено на Allbest.ru