Метрология и измерения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вариант 13

Задача №1

Обработать ряд наблюдений, полученных в результате многократных прямых измерений физической величины (ФВ), и оценить случайную погрешность измерений, считая результаты исправленными и равноточными. Результат измерения представить по одной из форм МИ 1317-86 или ГОСТ 8.207-76. Вид ФВ - напряжение, ее размерность - мкВ, число наблюдений N=15, первый элемент выборки ряда J=10 взять из таблицы по предпоследней цифре шифра зачетной книжки студента, номер ряда взять из таблицы по последней цифре шифра. Доверительную вероятность принять Р_д = 0,99 - для нечётных вариантов. Берем из таблицы 3-й ряд и выбираем 15 членов с 10-го по 24-й включительно.

Решение:

Таблица 1.

i	Xi	Vi	Vi2
1	10,2688	-0.1771	0.0314
2	10,6268	0.1809	0.0327
3	10,7516	0.3057	0.0934
4	10,3913	-0.0546	0.0030
5	10,3496	-0.0963	0.0093
6	10,2725	-0.1734	0.0301
7	10,2539	-0.1920	0.0369
8	10,3990	-0.0469	0.0022
9	10,2790	-0.1669	0.0279
10	10,5937	0.1478	0.0218
11	10,7457	0.2998	0.0899
12	10,3457	-0.1002	0.0100
13	10,6968	0.2509	0.0629
14	10,2640	-0.1819	0.0331
15	10,4506	0.0047	2.1778e-5

Так как в условии задачи указано, что результаты измерения являются исправленными и равноточными, то производить исключение систематических погрешностей нет необходимости.

Вычислим среднее арифметическое результатов наблюдений:

Значение принимается за результат измерения.

Определим случайные отклонения результатов отдельных наблюдений.

Результаты занесем в таблицу 1.

Правильность вычислений и определяем по формуле

Если , то имеют место ошибки в вычислениях.

Вычислим оценку среднего квадратичного отклонения результатов наблюдений .

С помощью критерия грубых погрешностей (критерий "трех сигм") проверяем наличие грубых погрешностей. Если , то такое наблюдение содержит грубую погрешность и его необходимо исключить. . Из таблицы 1 видно, что грубые погрешности отсутствуют.

Определим оценку среднего квадратического отклонения результата измерения :

Критерий 1. Вычисляем смещённую оценку среднего квадратического отклонения по формуле

мкВ.

Вычисляем параметр

.

Результаты наблюдений можно считать распределенными нормально, если , где и - квантили распределения.

Выбираем уровень значимости q равным 1 %. Из таблицы находим = 0,9137, = 0,6829. Сравнивая полученное значение с этими величинами, делаем вывод о том, что по критерию 1 результаты наблюдений распределены по нормальному закону.

Критерий 2. Этот критерий используется дополнительно для проверки "концов" распределений.

Гипотеза о нормальности по критерию 2 не отвергается, если не более m разностей V_i превзошли значение , где верная квантиль распределения нормированной функции Лапласа отвечает вероятности P/2.

Для решаемой задачи выбираем уровень значимости q₂ = 1% и для n = 15 P = 0,99 и m = 1. Тогда находим Z_P/2 = 2,58.

Отсюда = 0.355 мкВ.

Согласно критерию 2 не более (m = 1) разности V_i могут превзойти значение 0,355 мкВ.

По данным, приведенным в таблице 2, видим, что ни одно V не превышает критическое значение. Следовательно, критерий 2 выполняется.

Таким образом, с уровнем значимости q q₁+ q₂ = 0,1 гипотеза о нормальности полученных данных согласуется с данными наблюдений.

По заданной доверительной вероятности Р_Д=0,99 и числу степеней свободы (n-1)=14 распределения Стьюдента определим коэффициент t:

Рассчитаем границы случайной погрешности результата измерения:

Запишем результат измерения:

Задача №2

Необходимо определить доверительные границы суммарной погрешности результата измерения и записать его по МИ 1317-86 или ГОСТ 8.207-76. Значение доверительной вероятности принять Р_д = 0,99 для нечётных вариантов. При расчётах полагать, что случайные погрешности распределены по нормальному закону, а число наблюдений существенно больше 30.

В процессе обработки результатов прямых измерений напряжения U определено (все значения в вольтах): среднее арифметическое ; среднее квадратическое отклонение результата измерения ; границы неисключенных остатков двух составляющих систематической погрешности и

Решение:

Рассчитываем доверительные границы случайной погрешности результата измерения:

Для Р_Д=0,99 и n>30 коэффициент Стьюдента t=2,576.

Тогда .

Определим доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения:

где m ? число суммируемых погрешностей;

? граница i-ой неисключенной погрешности;

к ? коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью.

При доверительной вероятности Р_д = 0,99 коэффициент k принимают равным 1,4, если число суммируемых неисключенных систематических погрешностей более четырёх (m >4). Если число суммируемых погрешностей m4, то коэффициент k определяют по графику зависимости (рисунок) k=f(m, l), где m - число суммируемых погрешностей; ; кривая 1 - для m =2; кривая 2 - для m = 3; кривая 3 - для m = 4.

График зависимости k = f(m, l)

При трёх или четырёх составляющих в качестве принимают составляющую, по числовому значению наиболее отличающуюся от других. В качестве следует принять ближайшую к составляющую.

Для нашей задачи .

Используя первую кривую графика, находим k = 1,28.

Вычислим алгебраическую сумму систематических погрешностей:

За оценку неисключенной систематической погрешности принимаем то из значений , которое меньше. Таким образом, .

Найдем отношение: , значит граница погрешности результата будет:

,

Где - коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей.

- оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.

Коэффициент вычисляют по эмпирической формуле:

Определим доверительные границы суммарной погрешности результата измерения:

Запишем результат измерения:

Задача №6

В процессе обработки результатов прямых измерений частоты f определено (все значения в кГц): среднее арифметическое кГц; среднее квадратическое отклонение результата измерения кГц границы неисключенных остатков трёх составляющих систематической погрешности кГц, кГц и кГц.

Необходимо определить доверительные границы суммарной погрешности результата измерения и записать его в соотсетствии МИ 1317-86 или ГОСТ 8.207-76. Значение доверительной вероятности Р_Д=0.99 - для нечетных вариантов. Случайные погрешности распределены по нормальному закону, а число наблюдений существенно больше 30.

Решение:

Рассчитываем доверительные границы случайной погрешности результата измерения:

Для Р_Д=0,99 и n>30 коэффициент Стьюдента t=2,576[1].

Тогда .

Определим доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения:

,

где m ? число суммируемых погрешностей;

? граница i-ой неисключенной погрешности;

к ? коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью. При доверительной вероятности Р_д = 0,99 коэффициент k принимают равным 1,4, если число суммируемых неисключенных систематических погрешностей более четырёх (m >4). Если число суммируемых погрешностей m4, то коэффициент k определяют по графику зависимости (рисунок) k=f(m, l), где m - число суммируемых погрешностей; ; кривая 1 - для m =2; кривая 2 - для m = 3; кривая 3 - для m = 4.

График зависимости k = f(m, l)

При трёх или четырёх составляющих в качестве принимают составляющую, по числовому значению наиболее отличающуюся от других. В качестве следует принять ближайшую к составляющую.

Для нашей задачи .

Используя вторую кривую графика, находим k = 1,38.

Вычислим алгебраическую сумму систематических погрешностей:

За оценку неисключенной систематической погрешности принимаем то из значений , которое меньше. Таким образом, .

Найдем отношение: .

Значит, граница погрешности результата будет [2]: ,

Запишем результат измерения:

Задача №15

Необходимо, воспользовавшись результатами обработки прямых измерений, продолжить обработку результатов косвенного измерения и, оценив его случайную погрешность, записать результат по МИ 1317-86 или ГОСТ 8.207-76.

Емкость конденсатора С измерялась косвенным методом путём многократных измерений емкостей С₁ и С₂ с учётом зависимости .

При обработке принять , нФ; , нФ; , нФ; , нФ; .

n=11, Р_Д=0,99.

Решение:

Значение результата косвенного измерения:

Частные случайные погрешности косвенного измерения:

Оценка среднего квадратичного отклонения результата косвенного измерения:

Проанализируем полученные результаты с использованием критерия ничтожных погрешностей. В соответствии с этим критерием, если частная погрешность меньше 1/3 суммарной погрешности, то она является "ничтожной" и может быть исключена из рассмотрения.

Для решаемой задачи .

Следовательно, является "ничтожной" погрешностью, и ей можно пренебречь.

Для определения значение коэффициента Стьюдента t для заданной доверительной вероятности Р_Д=0,99 и n=11 предварительно должно быть определено “эффективное” число степеней свободы:

Применим линейную интерполяцию:

,

где t₁, t₂ и n₁, n₂ ? соответствующие табличные значения коэффициента Стьюдента и числа наблюдений, между которыми находится значение .

При и Р_Д=0,99 n₁=14, t₁=2,977, n₂=16 t₂=2,921 [1].

Определим доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения:

Запишем результат измерения:

Задача №29

Необходимо определить пределы инструментальных абсолютной и относительной погрешностей измерения тока или напряжения, если измерения проводились магнитоэлектрическим прибором с классом точности и пределом измерения А.

Результат измерения В, вольтметр с нулём в середине шкалы, класс точности , предел 75 В .

Решение:

Для магнитоэлектрического вольтметра класс точности определяется значением максимальной приведенной погрешности: [2]:

Предел инструментальной абсолютной погрешности:

Вольтметр имеет равномерную шкалу с нулем в середине шкалы, поэтому .

Предел инструментальной относительной погрешности:

Задача №39

На основе МЭИМ с внутренним сопротивлением , ценой деления и шкалой с N=150 делениями необходимо создать вольтметрамперметр с пределами измерения по току и напряжению . Рассчитать сопротивление шунта и добавочного резистора, определить цену деления по току и по напряжению ., начертить принципиальную схему вольтамперметра.

Решение:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.2

Принципиальная схема вольтамперметра [3]:

Для расширения пределов измерения по току параллельно МЭИМ включают низкоомные резисторы-шунты. В результате ток I_Н через механизм становится меньше тока в измерительной цепи в m = I_А/I_Н раз. Сопротивление шунта, необходимое для расширения пределов измерения по току с I_Н до I_А, будет равно

Величина, обратная чувствительности, называется ценой деления шкалы МЭИМ по току:

I_Н -- ток полного отклонения (номинальный ток).

Шкала изменится до значения

Расширение пределов измеряемого напряжения достигается путем последовательного включения добавочного резистора Rд. В результате падение напряжения на МЭИМ уменьшается, а предел измерения расширяется в m=U_V/U раз. Сопротивление добавочного резистора Rд на заданный предел рассчитывается по формуле:

R_Д= R_i·(m-1) [B]

R_Д= 1,98·(25-1)=48 кОм

МЭИМ может выполнять функции вольтметра с пределом U_Н = I_Н·R_i. Цена деления МЭИМ по напряжению:

Задача №52

Напряжение сигнала неизвестной формы измерялось тремя вольтметрами, вольтметры имеют открытые входы, шкалы их проградуированы в средних квадратических значениях синусоидального напряжения, детекторы, соответственно, пиковый, среднего квадратического и средневыпрямленного значений. Определить коэффициенты амплитуды и формы, если показания вольтметров с детекторами: пикового значения U₁=72 мВ, среднеквадратического значения U₂=58 мВ и средневыпрямленного значения - U₃=49 мВ.

Решение:

Пиковое значение напряжения можно определить по показанию вольтметра с пиковым детектором, учитывая градуировочный коэффициент:

Среднеквадратическое значение напряжения находим по показанию вольтметра с детектором среднеквадратичного значения (градуировочный коэффициент =1, т. к. тип детектора и шкалы совпадают):

Средневыпрямленное значение напряжения находим, зная показания вольтметра с детектором средневыпрямленного значения и учитывая, что шкала его отградуирована в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения:

Определяем искомые значения коэффициентов амплитуды и формы измеряемого напряжения:

Задача №64

Определить относительную и абсолютную погрешность измерения периода Т_х универсальным цифровым частотомером, если период счетных импульсов Т₀, нестабильность частоты кварцевого генератора _о.

Значения Т_х=285 мс, Т_о=1,0 мкс, _о = .

Решение:

Относительная погрешность измерения периода:

N ? число подсчитанных импульсов.

Относительная погрешность измерения периода в %:

Абсолютная погрешность измерения периода:

Задача №74

По приведенной на рисунке в масштабе 1:1 осциллограмме необходимо определить параметры сигналов, указанных в условии задачи.

Значения коэффициентов отклонения К_в=0,5 мВ/дел и развертки К_р=0,1 мкс/дел.

Определить период и длительность фронта импульса.

Решение:

Период сигнала и длительность фронта импульса измеряется между отсчетными точками на значении 0,1 и 0,9 амплитуды наблюдаемого изображения [2].

Период сигнала:

Длительность фронта импульса:

мкс

Задача №83

Необходимо по типу измеряемого элемента выбрать схему моста, записать для нее условие равновесия, получить из него выражения для С_х, R_х, tg или L_x, R_x, Q и определить их. При этом измеряемый элемент заменить соответствующей эквивалентной схемой, трансформировав при необходимости схему моста. На окончательной схеме показать в виде переменных элементы (резисторы, конденсаторы и т.д.), которыми его следует уравновешивать, чтобы обеспечить прямой отсчет заданных в условии величин. Частота питающего напряжения 1 кГц. Определить абсолютные погрешности однократного измерения С_х, R_х, tg или L_x, R_x, Q из-за неидеальности образцовых мер R₂=1100 Ом, R₃=1 кОм, R₄=16 кОм, C₃=82 нФ, если средние квадратические отклонения случайных погрешностей этих мер _R2=0,8 Ом, _R3=0,6 Ом, _R4=2,6 Ом, _C3=0,08 нФ. Значение доверительной вероятности принять Р_д= 0,99.

Конденсатор с большими потерями. Прямой отсчет С_х и R_х.

Решение:

Параллельная схема замещения соответствует большим потерям в конденсаторе.



Условие равновесия моста запишется в виде

Преобразовав его и отдельно приравняв действительные и мнимые части, получим выражения для R_x, C_x.

Частные случайные погрешности косвенного измерения:

Оценка среднего квадратичного отклонения результата косвенного измерения:

Коэффициент Стьюдента t для однократных измерений и заданной доверительной вероятности Р_Д=0,99 равен [2].

Определим доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения:

Запишем результат измерения:

Задача №92

Изменение емкости конденсатора С_х проводилось резонансным измерителем параметров двухполюсников с использованием метода замещения. Изменяемый конденсатор включался параллельно образцовому конденсатору измерителя. Определить значение С_х, если при отсутствии конденсатора С_х получено значение емкости образцового конденсатора С₀₁, а при подключении конденсатора С_х - С₀₂. Оценить абсолютную погрешность измерения С_х, если среднее квадратическое значение случайной погрешности при отсчете емкости образцового конденсатора составляет _С0.

Значения С₀₁= 273 пФ, С₀₂= 129 пФ и _С0= 0,6 пФ. Значение доверительной вероятности Р_д= 0,99.

Решение:

При параллельном подключении исследуемого двухполюсника с образцовым конденсатором измеряемое значение C_x находится из формулы:

Частные случайные погрешности косвенного измерения:

Оценка среднего квадратичного отклонения результата косвенного измерения:

Коэффициент Стьюдента t для однократных измерений и заданной доверительной вероятности Р_Д=0,99 равен [2].

Определим доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения:

Запишем результат измерения:

Задача №107

Рассчитайте коэффициенты применяемости и повторяемости цифрового вольтметра по данным, приведенным в таблице.

емкость измерение погрешность вольтметр

Таблица

Количество типоразмеров (в единицах)	Количество деталей (шт.)
Общее	Нормализованных деталей	Заимствованных деталей	Покупных деталей	Общее	Оригинальных
82	9	21	42	1028	181

Решение:

Как известно, коэффициент применяемости , характеризующий уровень преемственности составных частей в разрабатываемом изделии вычисляется по формуле:

где n -- общее количество типоразмеров составных частей,

n₀ -- количество оригинальных типоразмеров, разработанных впервые для данного изделия.

Очевидно, что количество деталей впервые разработанных для данного изделия равно разности общего количества типоразмеров и суммы нормализованных, заимствованных, покупных деталей.

единиц

Следовательно,

Коэффициент повторяемости характеризующий уровень внутрипроектной унификации изделия и взаимозаменяемость составных частей внутри данного изделия, вычисляется по формуле:



где N -- общее количество составных частей в изделии.

Следовательно,

Литература

1. Белошицкий А.П. Метрология и измерения: Учеб.-метод. пособие для индивидуальной работы студентов/ А.П. Белошицкий и др.; под общ. ред. С.В. Лялькова. - Мн.: БГУИР, 1999. - 72с.

2. Елизаров А.С. Электрорадиоизмерения. - Мн.: Выш. шк., 1986. - 320с.

3. Интернет-источники: http://www.rlocman.ru/shem/schematics.html?di=66280

Размещено на Allbest.ru