Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Техническое задание

1.1 Исходные данные к работе

2. Выполнение задания

2.1 Расчет корреляционной функции входного напряжения

2.2 Определение устойчивости полосового фильтра

2.3 Определение спектральной плотности и корреляционной функции выходного напряжения ПФ

2.4 Расчет эффективной ширины спектра и интервала корреляции выходного напряжения

2.5.Расчет одномерной плотности вероятности выходного напряжения ПФ

2.6 Аппроксимация зависимости, связывающей входное и выходное напряжение НБЧ

2.7 Расчет одномерной плотности вероятности выходного напряжения НБЧ, определение математического ожидания, дисперсии, второго начального момента

2.8 Реализации на входе и выходе НБЧ

2.9 Определение устойчивости фильтра нижних частот

2.10 Расчет и построение графиков модуля и аргумента передаточной функции ФНЧ

2.11 Расчет спектральной плотности мощности шума на выходе ФНЧ и корреляционной функции .

Введение

В последние десятилетия широкое развитие получила научная область, называемая статистической радиотехникой. Эта дисциплина изучает явления и процессы, протекающие при передаче сообщений в условиях, когда детерминированное описание сигналов невозможно и на смену ему приходит вероятностное или статистическое описание.

Отличительная черта случайного сигнала состоит в том, что его мгновенное значение заранее непредсказуемо. Примерами таких сигналов являются, например, электрическое напряжение, соответствующее речи или музыке, последовательность знаков телеграфного кода при передаче неповторяющегося текста. К случайным сигналам можно также отнести последовательность радиоимпульсов на входе радиоприемника, когда амплитуды и фазы сигналов флуктуируют из-за изменения условий распространения.

Изучая такой сигнал более внимательно, можно заметить, что ряд характеристик этого сигнала довольно точно описывается в вероятностном смысле. Благодаря этому удается создать математическую модель случайного колебания, приемлемую как в научном, так и в прикладном смысле.

В радиотехнике случайные сигналы часто имеют вид шумов. Это хаотически изменяющиеся во времени электромагнитные колебания, наблюдаемые в разнообразных физических системах, где носители заряда, например электроны, совершают беспорядочное движение.

Целью данной курсовой работы является расчет радиотехнической цепи, которая может найти широкое применение в различных схемотехнических устройствах.

1. Техническое задание

Задание к курсовой работе включает в себя определение устойчивости активных линейных цепей по заданному критерию, определение вероятностных характеристик случайных процессов на выходах отдельных элементов радиотехнической цепи, состоящей из трех звеньев (рис.1) - активного линейного четырехполюсника (полосового фильтра -ПФ), нелинейного безынерционного четырехполюсника (НБЧ) и линейного активного четырехполюсника (фильтра нижних частот -ФНЧ).

Рис 1. Схема электрическая принципиальная радиотехнической цепи, исследуемой в курсовой работе.

1.1 Исходные данные к работе

безынерционный четырехполюсник фильтр частота

Согласно варианту задания, выданного преподавателем: 4 5 9 6 7 3 2 3, выбираем исходные данные к курсовой работе.

1.Входное напряжение представляет собой стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием mx=0 и равномерной спектральной плотностью мощности Wx()=W0 на всех частотах (белый шум).

2.Полосовой фильтр представляет собой линейный активный четырехполюсник, включающий в себя идеальный однонаправленный усилитель (входное сопротивление бесконечно, выходное - равно нулю, коэффициент передачи - бесконечен) с частотно-зависимой обратной связью, принципиальная электрическая схема ПФ приведена на рис.2.



Рис 2.Схема электрическая принципиальная ПФ

3.Параметры элементов схемы ПФ и входного случайного процесса заданы в таблицах 2 и 3 соответственно.

Таблица 1. Параметры элементов схемы ПФ.

R11, кОм	R12, кОм	R13, кОм	R14, кОм	C11, нФ	C12, нФ
3,3	330	17	17	0,26	0,26

Таблица 2. Параметры входного шума

Спектральная плотность W0 , В2 / Гц	0.4*10-6

4. Нелинейный безынерционный четырехполюсник (НБЧ) представляет собой идеальный однонаправленный усилитель, охваченный нелинейной обратной связью, принципиальная электрическая схема НБЧ приведена на рис.3.



Рис 3. Схема электрическая принципиальная НБЧ.

5. Параметры элементов схемы НБЧ заданы в таблице 3.

Таблица 3. Параметры элементов схемы НБЧ.

Параметр Вариант	R21, кОм	R22, кОм	R23, кОм	VD1,VD2
6	2	10	5	КД407

6.Фильтр нижних частот представляет собой линейный активный четырехполюсник, включающий в себя идеальный однонаправленный усилитель (входное сопротивление бесконечно, выходное - равно нулю, коэффициент передачи - бесконечен) с частотно-зависимой обратной связью, принципиальная электрическая схема ФНЧ приведена на рис.4.



Рис 4. Схема электрическая принципиальная ФНЧ.

7. Параметры элементов схемы ФНЧ заданы в таблице 4.

Таблица 4. Параметры элементов схемы ФНЧ

Вариант	R31, кОм	R32, кОм	R33, кОм	R34, кОм	R35, Ом	R36, кОм	R37, кОм	C31, нФ	C32, нФ
3	46,3	26,3	14,9	3,5	250	2,48	2	5	30

8.Критерий для проверки устойчивости линейных четырехполюсников заданы в таблице 5.

Таблица 5. Критерий для проверки устойчивости линейных четырехполюсников

Вариант	Критерий
3	Рауса-Гурвица

В результате курсовой работы необходимо выполнить следующие пункты задания:

1.Рассчитать корреляционную функцию входного напряжения . Изобразить графики спектральной мощности и корреляционной функции входного напряжения.

2.По заданному критерию определить устойчивость ПФ. При неустойчивости заданной цепи скорректировать параметры ее элементов и построить графики модуля и аргумента передаточной функции заданной цепи с учетом корректировки на устойчивость.

3.Рассчитать и построить графики спектральной плотности и корреляционнной функции выходного напряжения ПФ.

4.Определить эффективную ширину спектра и интервал корреляции выходного напряжения ПФ.

5.Изобразить график одномерной плотности вероятности выходного напряжения ПФ, рассчитав дисперсию случайного напряжения .

6.По заданной схеме НБЧ и параметрам построить зависимость, связывающую его входное и выходное напряжения. Аппроксимировать построенную зависимость.

7.Рассчитать и изобразить график одномерной плотности вероятности выходного напряжения НБЧ, определить математическое ожидание, дисперсию, второй начальный момент.

8.Нарисовать из качественных соображений возможные реализации на входе и выходе НБЧ.

9.Проверить устойчивость заданного ФНЧ по тому же критерию, что и в п. 2. Если цепь окажется неустойчивой, произвести необходимые изменения заданных параметров элементов схемы ФНЧ.

10.Рассчитать и построить графики модуля и аргумента передаточной функции ФНЧ с учетом изменения параметров п. 9.

11.Рассчитать и построить спектральную плотность мощности шума на выходе ФНЧ и корреляционную функцию , если на вход ФНЧ подается входное шумовое напряжение со спектральной плотностью .

12.Изобразить (качественно, с учетом характерных особенностей) временные диаграммы возможных видов реализации при подключении ФНЧ на выход НБЧ в соответствии со схемой рис. 1.

2. Выполнение задания

2.1 Расчет корреляционной функции входного напряжения

Рассчитаем корреляционную функцию входного напряжения с входной спектральной мощностью, выбранной согласно варианту,

.

Теорема Винера-Хинчина утверждает, что и связаны между собой преобразованиями Фурье:

(1)

Так как наше входное случайное напряжение является белым шумом, спектр которого равномерен на всех частотах вторая формула из системы (1) примет следующий вид:

. (1')

Решение этого интеграла приведено в [1, стр.256] и в конечном виде (1') будет выглядеть так:

, В2.

Для белого шума с бесконечным и равномерным спектром корреляционная функция равна нулю для всех значений ?, кроме , при котором обращается в бесконечность. Подобный шум, имеющий игольчатую структуру выбросов, называют дельта-коррелированным случайным процессом.

Графики спектральной плотности мощности и корреляционной функции входного напряжения приведены на рисунке 5 и рисунке 6.

Рис 5 и рис 6. Графики спектральной плотности мощности и корреляционной функции входного напряжения.

2.2 Определение устойчивости полосового фильтра

Определим устойчивость выбранного согласно варианту полосового фильтра по критерию Рауса-Гурвица.

Для этого сначала определим комплексный коэффициент передачи фильтра по напряжению в виде отношения двух полиномов. Эквивалентная электрическая схема ПФ приведена на рисунке 1, значения параметров элементов ПФ приведены в таблице 1.

Для нахождения коэффициента передачи фильтра по напряжению перейдем к комплексной схеме замещения, изображенной на рисунке 7.



Рис 7. Комплексная схема замещения ПФ

Как и у любого четырехполюсника комплексный коэффициент передачи цепи определяется выражением . Аналогично получим выражение для коэффициента передачи нашей схемы ПФ. Для этого воспользуемся методом узловых напряжений, где каждому узлу будет соответствовать его узловое напряжение.

Согласно техническому заданию, используемый ПФ представляет собой активный четырехполюсник, включающий в себя идеальный однонаправленный ОУ. Исходя из этого следует, что источник ЭДС тоже считается идеальным, поэтому его внутреннее сопротивление нулю, а проводимость - бесконечности. Поэтому составление уравнений электрического равновесия для узла (4) не представляется возможным.

(3)

Подставим в уравнение (3) :

(4)

Минус в полученном выражении (4) показывает, что входное напряжение подается на инвертирующий вход, т. е. угол между входным выходным напряжениями равен радиан.

Проанализируем устойчивость нашего полосового фильтра согласно критерию устойчивости, а именно критерию Рауса-Гурвица.

Из курса теории цепей известно, что комплексный коэффициент передачи цепи может быть записан в виде отношения двух полиномов:

(5),

причем .

В нашем случае .

Теорема Рауса-Гурвица утверждает, что для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

, , ,

где B0, B1 и B2 - коэффициенты в знаменателе передаточной функции (5).

Вычислим эти коэффициенты:

При заданных параметрах элементов исследуемая цепь оказалась неустойчивой, поэтому скорректируем параметры ее элементов.

Анализ коэффициента B1 показывает, что для достижения устойчивости цепи необходимо уменьшать номинальное значение резистора .

Корректировку параметра будем производить путем решения неравенства:

.

Решая данное неравенство, получим:

.

Выберем резистор кОм и произведем пересчет коэффициента B1:

Как мы видим, критерий Рауса-Гурвица не дает ясных указаний, как неустойчивую цепь сделать устойчивой; этот критерий также не применяется для оценки устойчивости цепей с сосредоточенными параметрами.

После корректировки параметра можно сделать заключение, что полосовой фильтр является устойчивым. Теперь из выражения (4) найдем модуль и аргумент комплексного коэффициента передачи полосового фильтра.

Выражение для модуля комплексного коэффициента передачи полосового фильтра, уже с подставленными значениями будет иметь вид:

(6).

График модуля передаточной функции представлен на рисунке 8.

Для проверки правильности графика проанализируем на частотах, равных нулю и бесконечности (по формуле (3)):



Более того, убеждаемся в правильности размерности формулы (3).

Выполним построение графика аргумента передаточной функции .

или:

График аргумента передаточной функции представлен на рисунке 9.

Из рисунка 9 можно сделать вывод, что аргумент передаточной функции принадлежит полосовому фильтру, что соответствует действительности.

2.3 Определение спектральной плотности и корреляционной функции выходного напряжения ПФ.

Определим спектральную плотность и корреляционную функцию выходного напряжения заданного ПФ.

Будем считать, что цепь - в установившемся режиме, тогда возможно применение спектрального метода для анализа прохождения заданного СП через заданную линейную цепь.

Спектральная плотность мощности СП на выходе линейной цепи для стационарного СП на ее входе:

.

Так как на входе цепи - белый шум со спектральной плотностью , то спектральная плотность равна:

, (7)

где - квадрат модуля коэффициента передачи ПФ.

Из формулы (7) получаем:

, (8)

где: .

График спектральной плотности мощности на выходе ПФ приведен на рисунке 10.

Корреляционная функция выходного напряжения ПФ определяется по теореме Винера-Хинчина:

. (9)

Для нашего случая формула (9) будет выглядеть так:

. (10)

Для вычисления интеграла в (10) воспользуемся теорией вычетов и будем считать, что -комплексная переменная. В силу четности подынтегральной функции в (10) контур интегрирования может быть образован всей вещественной осью и другой бесконечно большого радиуса, замкнутого в верхней полуплоскости.

Тогда:

, (11)

где обозначена сумма вычетов функции во всех полюсах, находящихся в верхней полуплоскости.

Определим полюса подынтегральной функции . Для этого необходимо решить биквадратное уравнение:

Введем обозначение: , тогда уравнение примет вид:

.

Отсюда:

и искомые полюса будут равны:

Расположение полюсов и контуров интегрирования на комплексной плоскости показано на рисунке 11.

Рис 11. Расположение полюсов и контуров интегрирования на комплексной плоскости.

Из рисунка 11 видно, что в верхней полуплоскости находятся первый и четвертый полюса.

Для нахождения значения вычетов в первом и четвертом полюсах проведем преобразование подынтегральной функции .

Пусть . Тогда имеем:

.

Получили следующую аналитическую формулу для :

.

Тогда выражение (10) примет вид:

. (12)

В выражении (12) структура и решение первого интеграла приведено в [1, стр.256] и в конечном виде будет выглядеть так:

где - дельта-функция. Однако в корреляционной функции ее мы не учитываем, так как невозможно реализовать операционный усилитель с бесконечной полосой пропускания. Поэтому для нахождения корреляционной функции будем находить второй интеграл в (12).

Найдем значения вычетов:

Здесь в и - знаменатель - это производная знаменателя .

Подставив значения частот, получим:

.

Тогда:

.

Корреляционная функция:

(13)

Подставив числовые данные в (13) , получим:

График корреляционной функции представлен на рисунке 12. Ввиду того, что графики функций и симметричны, то графики представим только в положительной полуплоскости.

Корреляционная функция при получается путем замены в (13) на . Это вытекает из свойства четности корреляционной функции стационарных случайных процессов, однако результат можно подтвердить прямым расчетом, если замкнуть контур интегрирования в нижней полуплоскости комплексной частоты . В этом случае интеграл будет равен сумме вычетов относительно полюсов и .

2.4 Расчет эффективной ширины спектра и интервала корреляции выходного напряжения .

Рассчитаем эффективную ширину спектра и интервал корреляции выходного напряжения .

Эффективная (энергетическая) ширина спектра:

, (14)

т.е. геометрически это ширина основания эквивалентного прямоугольника, равновеликого по площади нормированной функции спектральной плотности мощности.

в формуле (14) часто используется в инженерных расчетах, а также позволяет находить дисперсию шумового напряжения.

Дисперсия шумового напряжения:

.

Определим ее из рисунка 12:

.

Эффективную (энергетическую) ширину спектра также можно определить как:

.

определим из рисунка 10:

.

в результате получим:

кГц.

Числовой характеристикой, пригодной для оценки «скорости изменения» реализаций случайного процесса, является интервал корреляции выходного напряжения ПФ:

= 7.2 мкс

Интервал корреляции характеризует ширину основания прямоугольника, равновеликого по площади модулю нормированной корреляционной функции для осциллирующих корреляционных процессов. Произведение должно иметь порядок около единицы:

.

Вообще, интервал корреляции показывает время вероятности прогноза случайного процесса. Прогнозирование на время, превышающее интервал корреляции, безрезультатно.

2.5 Расчет одномерной плотности вероятности выходного напряжения ПФ

Рассчитаем одномерную плотность вероятности выходного напряжения ПФ.

Известно, что если на входе линейной цепи действует стационарный случайный процесс с распределением отличным от нормального, и интервал корреляции этого процесса меньше постоянной времени цепи (ширина энергетического спектра больше полосы пропускания цепи), то распределение случайного процесса на выходе приближается к нормальному. Как видно из технического задания и графиков на рис 5, 6 и 8 заданная цепь (ПФ) и входной случайный процесс удовлетворяют приведенным требованиям, а значит, процесс на выходе фильтра можно считать распределенным по нормальному (гауссовскому) закону.

Одномерная плотность вероятности в этом случае определится следующим выражением:

, (15)

(математическое ожидание задано равным 0).

Для построения графика одномерной плотности вероятности выходного напряжения ПФ необходимо рассчитать среднеквадратическое значение случайного процесса.

Запишем формулу дисперсии выходного СП:

,

откуда = 2,738 В.

Подставим в (15) выражение числовые значения:

График одномерной плотности вероятности приведен на рисунке 13.

2.7 Расчет одномерной плотности вероятности выходного напряжения НБЧ, определение математического ожидания, дисперсии, второго начального момента.

В общем виде одномерная плотность вероятности, согласно [1], записывается так:

Здесь k-модуль коэффициента передачи ОУ, он равен 2.5.

Обратим внимание на поведение функции в точке . Так как при значениях , то вероятность равна вероятности того, что . Отсюда вытекает, что . Учтем это обстоятельство и запишем выражение в следующем виде:

Откуда определяется следующим способом:

.

Подставив численные значения получим, что .

Математическое ожидание выходного напряжения НБЧ определим по формуле:

,

Средний квадрат или второй начальный момент определятся как:

,

Дисперсия или второй центральный момент определяются по следующей формуле, исходя из определения:

,

.

В результате выражение для одномерной плотности вероятности на выходе нелинейного безынерционного четырехполюсника будет выглядеть так:

,

2.8 Реализации на входе и выходе НБЧ

Исходя из следующих соображений реализации на входе и выходе нелинейного безынерционного четырехполюсника будут иметь следующий вид: во-первых, на входе НБЧ шум будет представлять собой амплитудно-модулированный случайным образом сигнал (рис. 19а), причем размах шумовой дорожки будет приблизительно . Во-вторых, на выходе НБЧ реализация примет вид АМК, но ограниченного (рис. 19б) .

Рис. 19а. Реализации на входе НБЧ



Рис. 19б. Реализации на выходе НБЧ

2.9 Определение устойчивости фильтра нижних частот

Определим устойчивость выбранного согласно варианту фильтра нижних частот по критерию Рауса-Гурвица.

Для этого сначала определим комплексный коэффициент передачи фильтра по напряжению в виде отношения двух полиномов. Эквивалентная электрическая схема ФНЧ приведена на рисунке 4, значения параметров элементов ФНЧ приведены в таблице 4.

Для нахождения коэффициента передачи фильтра по напряжению перейдем к комплексной схеме замещения, изображенной на рисунке 20.



Рис 20. Комплексная схема замещения ФНЧ

Как и у любого четырехполюсника комплексный коэффициент передачи цепи определяется выражением . Аналогично получим выражение для коэффициента передачи нашей схемы ФНЧ. Для этого воспользуемся методом узловых напряжений, где каждому узлу будет соответствовать его узловое напряжение.

Согласно техническому заданию, используемый ФНЧ представляет собой активный четырехполюсник, включающий в себя идеальный однонаправленный ОУ. Исходя из этого следует, что источник ЭДС тоже считается идеальным, поэтому его внутреннее сопротивление нулю, а проводимость - бесконечности. Заданный ФНЧ рассматривается без нагрузки, поэтому ее сопротивление можно считать равным бесконечности.

Из приведенного выше следует, что уравнения электрического равновесия составимы для узлов 1 и 2.

(**)

Согласно второму уравнению системы (** ) можно сделать вывод, что ОУ2 представляет собой сумматор напряжений, а ОУ3 является интегратором.

Путем несложных математических преобразований получили выражение для модуля комплексного коэффициента передачи:

. (16)

Подставив в последнее полученное уравнение , получим:

. (17)

Минус в полученном выражении показывает, что входное напряжение подается на инвертирующий вход, т. е. угол между входным выходным напряжениями равен радиан.

Проанализируем устойчивость нашего полосового фильтра согласно критерию устойчивости, а именно критерию Рауса-Гурвица.

Теорема Рауса-Гурвица утверждает, что для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

, , ,

где B0, B1 и B2 - коэффициенты в знаменателе полученной нами передаточной функции.

Вычислим эти коэффициенты:

Таким образом, при заданных параметрах элементов ФНЧ цепь оказалась устойчивой

2.10 Расчет и построение графиков модуля и аргумента передаточной функции ФНЧ.

Найдем модуль и аргумент комплексного коэффициента передачи фильтра нижних частот.

Согласно (16):

.

Так как , то:

(17).

Выражение для модуля комплексного коэффициента передачи фильтра нижних частот, уже с подставленными значениями будет иметь вид:

График модуля передаточной функции представлен на рисунке 21.

Для проверки правильности графика проанализируем на частотах, равных нулю и бесконечности (по формуле (16)):

Более того, убеждаемся в правильности размерности формулы (16).

Выполним построение графика аргумента передаточной функции ФНЧ.

Подставив числовые значения, получим аналитическую формулу для ФНЧ:

График аргумента передаточной функции ФНЧ представлен на рисунке 22.

Из рисунка 22 можно сделать вывод, что аргумент передаточной функции принадлежит фильтру нижних частот, что соответствует действительности.

2.11 Расчет спектральной плотности мощности шума на выходе ФНЧ и корреляционной функции .

Определим спектральную плотность и корреляционную функцию выходного напряжения заданного ФНЧ.

Будем считать, что цепь - в установившемся режиме, тогда возможно применение спектрального метода для анализа прохождения заданного СП через заданную линейную цепь.

Спектральная плотность мощности на выходе фильтра нижних частот, как и полосового фильтра, определяется выражением:

.

Так как на входе цепи - белый шум со спектральной плотностью , то спектральная плотность равна:

, (18)

где - квадрат модуля коэффициента передачи ФНЧ.

Из формулы (18) получаем:

, (19)

где: .

График спектральной плотности мощности на выходе ФНЧ приведен на рисунке 23.

Корреляционная функция выходного напряжения ФНЧ определяется, аналогично как и у ПФ, по формуле:

. (20)

Для вычисления интеграла в (20) воспользуемся теорией вычетов и будем считать, что -комплексная переменная. В силу четности подынтегральной функции в (20) контур интегрирования может быть образован всей вещественной осью и другой бесконечно большого радиуса, замкнутого в верхней полуплоскости.

Тогда:

, (21)

где обозначена сумма вычетов функции во всех полюсах, находящихся в верхней полуплоскости.

Определим полюса подынтегральной функции . Для этого необходимо решить биквадратное уравнение:

Введем обозначение: , тогда уравнение примет вид:

.

Отсюда:

и искомые полюса будут равны:

Расположение полюсов и контуров интегрирования на комплексной плоскости показано на рисунке 24.

Рис 24. Расположение полюсов и контуров интегрирования на комплексной плоскости.

Из рисунка 24 видно, что в верхней полуплоскости находятся первый и четвертый полюса.

Для нахождения значения вычетов в первом и четвертом полюсах проведем преобразование подынтегральной функции .

Пусть . Тогда имеем:

.

Получили следующую аналитическую формулу для :

.

Тогда выражение (21) примет вид:

. (22)

В выражении (22) структура и решение первого интеграла приведено в [1, стр.256] и в конечном виде будет выглядеть так:

где - дельта-функция. Однако в корреляционной функции ее мы не учитываем, так как невозможно реализовать операционный усилитель с бесконечной полосой пропускания. Поэтому для нахождения корреляционной функции будем находить второй интеграл в (22).

Найдем значения вычетов:

Здесь в и - знаменатель - это производная знаменателя .

Подставив значения частот, получим:

.

Тогда:

.

Корреляционная функция:

(23)

Подставив числовые данные в (23) , получим:

График корреляционной функции представлен на рисунке 25. Ввиду того, что графики функций и симметричны, то графики представим только в положительной полуплоскости.

Корреляционная функция при получается путем замены в (23) на . Это вытекает из свойства четности корреляционной функции стационарных случайных процессов, однако результат можно подтвердить прямым расчетом, если замкнуть контур интегрирования в нижней полуплоскости комплексной частоты . В этом случае интеграл будет равен сумме вычетов относительно полюсов и .

Размещено на Allbest.ru