Расчет параметров согласованного и квазиоптимального фильтров

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание

1. Случайная функция X(t) задана 12 реализациями x_i(t) в 21 сечении. Значения реализаций с шагом 0,1 сек заданы в файле в виде матрицы. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и корреляционную матрицу случайной функции, проверить, является ли функция X(t) стационарной, и в последнем случае определить ее нормированную корреляционную функцию.

2. На вход приемного устройства поступает сигнал

x(t)=s(t)+n(t), где

s(t) = A cos(t+), t [-; ]

A - случайная амплитуда, распределенная по закону Рэлея:

,

₀ = 1,5 мсек.; ₀- случайная начальная фаза, распределенная по закону:

n(t) - квазибелый гауссовский шум, имеющий спектральную плотность:

S()=N₀/2

в полосе || = ₂ - ₁, полностью перекрывающей спектр сигнала.

₀=2f₀; f₀ = 105 Гц; || = 2*1.5*105

Требуется определить

А. Структуру согласованного фильтра и параметры (ширина полосы пропускания и изменение отношения сигнал/помеха на выходе по сравнению со входом) квазиоптимального фильтра, состоящего из 2 колебательных контуров.

В. Зависимость P_D???, где?^??_s²/_n² на входе приемного тракта, если обнаружитель выполнен по схеме согласованный фильтр - линейный детектор - пороговое устройство - устройство принятия решения по логике "3 из 4". При этом с доверительной вероятностью P=0.9 должно быть не более n₀ = 0 ложного срабатывания регистратора за 8 часов работы при частоте посылок 10 импульсов в минуту.

Определение параметров случайного процесса и построение корреляционной матрицы

Математическое ожидание случайного процесса X(t) для дискретного момента времени t_i определяется по формуле

,

где - математическое ожидание.

Дисперсия определяется по формуле

,

где - значение k-реализации в дискретный момент времени t_i , - математическое ожидание для i - сечения.

Элементы корреляционной матрицы вычисляются по формуле

=

По главной диагонали корреляционной матрицы будут располагаться дисперсии .



Проверка стационарности случайного процесса

В некотором приближении случайный процесс можно считать стационарным, если максимальное отклонение математического ожидания от среднего математического ожидания много меньше средней дисперсии.

>>, следовательно, случайный процесс можно считать стационарным.

Нахождение нормированной корреляционной матрицы случайного процесса

Значения элементов нормированной корреляционной матрицы случайного процесса X(t) определяются формулой:

Корреляционная матрица будет симметрична, т.к. процесс стационарный и , где

Определение структуры согласованного фильтра и его параметров

Найдём спектр сигнала

s(t) = A cos(t+), t [-; ]

=

=.

Если , где n - целое число, т.е. импульс содержит целое число периодов, то . Тогда выражение для спектра запишется так:

Частотная характеристика согласованного фильтра определяется выражением

Поскольку исходный импульс ограничен во времени, то за момент t₀ окончания импульса примем (время окончания импульса).

.

Для построения согласованного фильтра требуется выполнение условия физической реализуемости фильтра:

;

Рассмотрим импульсную переходную характеристику фильтра:

корреляционный матрица фильтр квазиоптимальный

Структурная схема фильтра:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Графики h(t) и различаются только масштабным множителем. Условие физической реализуемости выполняется.

Проверить физическую реализуемость можно также при помощи следующего интеграла:

.

Для этого произведём вычисления в MathCAD:



Интеграл сходится, следовательно, фильтр физически реализуем.

Определение параметров квазиоптимального фильтра

Зачастую построение оптимального (согласованного) фильтра на практике оказывается невозможным или нерациональным из-за сложности реализации. В таком случае обычно используют квазиоптимальные фильтры, т.е. практически реализуемые, отношение сигнал/помеха на выходе которых лишь немного меньше значения, рассчитанного для согласованного фильтра.

Ухудшение отношения сигнал/помеха на выходе квазиоптимального фильтра по сравнению с этим отношением на выходе оптимального фильтра равно:

Переходя от переменной к переменной , запишем выражение для передаточной функции квазиоптимального фильтра:

 ,

где , (добротность), ; - эквивалентное сопротивление контура при резонансе, - ёмкость контура; - резонансная частота контура, n - количество высокодобротных контуров в фильтре.

В нашем случае, количество контуров в квазиоптимальном фильтре n = 2. С учётом этого перепишем выражение для передаточной функции квазиоптимального фильтра.

; ;

Для спектра сигнала, переходя к получим:

.

Т.к. спектр сигнала вещественный, то

;

.

Преобразуем числитель в формуле для :

,

где n - количество контуров (в нашем случае 2).

Вычислим верхний предел y из соотношения

.

Решим это уравнение в нормированном виде.

Теперь найдём значение Q_max , при котором функция максимальна.

Найдём (полуширину спектра сигнала) и (полуширину полосы пропускания фильтра), используя следующие выражения:



Таким образом, =721,541 (1/с) , =928,145 (1/с).

Отношение сигнал/помеха на выходе квазиоптимального фильтра выражается через отношение сигнал/помеха на его входе через выражение:

,

где , a(t) - огибающая сигнала, b - изменение отношения сигнал/помеха на выходе по сравнению со входом.

Используя MathCAD, находим b

Определение характеристик обнаружителя

Обнаружитель выполнен по схеме согласованный фильтр - линейный детектор - пороговое устройство - устройство принятия решения по логике "3 из 4".

Вероятность ложной тревоги определяется как , где в - среднее количество ложных регистраций, N₀ - число независимых точек контроля.

находится из уравнения . В нашем случае n₀ = 0.

Особенностью данного обнаружителя является то, что имеется два порога обнаружения.

Вероятность превышения порога для отдельного импульса при отсутствии сигнала:

,

где, в нашем случае, l = 4 , k = 3.

Из этого уравнения находим .

Вероятность превышения порога для отдельного импульса при наличии сигнала:

.

Считая, что в отдельных циклах испытания независимы, можно записать:

.

Проведём расчёт в MathCAD и построим кривую обнаружения.



Литература

Д.Д., Кузьменко А.Г.. Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Вероятностные и статистические методы в контроле качества продукции». ЛЭТИ. - Л., 1988.

Добротин Д.Д., Паврос С.К. Обработка сигналов при неразрушающем контроле: Учеб. Пособие. - Л.: ЛЭТИ, 1986.

Размещено на Allbest.ru