Динамический синтез систем автоматического управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. АНАЛИЗ ИСХОДНОЙ СИСТЕМЫ

1.1 Функциональная схема исходной системы

1.2 Структурная схема исходной системы

1.3 Анализ устойчивости исходной линеаризованной системы

1.4 Анализ соответствия исходной системы требованиям ТЗ

2. СИНТЕЗ ДИНАМИЧЕСКОГО РЕГУЛЯТОРА

2.1 Синтез регулятора

2.1.1 Построение НЧ участка

2.1.2 Построение СЧ участка

2.1.3 Построение ВЧ участка

2.1.4 Передаточная функция корректирующего устройства

2.2 Анализ скорректированной системы в частотной области

2.2.1 Анализ устойчивости

2.2.2 Анализ системы на соответствие её требованиям ТЗ

2.2.3 Расширенный анализ качества системы

2.2.3.1 Анализ качества системы в переходном режиме

2.2.3.2 Анализ качества системы в установившемся режиме

3. ОТРАБОТКА ТИПОВЫХ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ

3.1 Единичный ступенчатый сигнал

3.1.1 Переходные характеристики системы

3.1.2 Отработка ступенчатого сигнала, при котором система работает в зоне линейности УМ

3.2 Сигнал с постоянной скоростью

3.3 Гармонический сигнал

3.3.1 Построение графика системы по выходу ДОС

3.3.2 Определение АФИ

4. ОБЛАСТЬ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ

5. АНАЛИЗ ИСХОДНОЙ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ

5.1 Отработка ступенчатых сигналов

5.2 Отработка гармонических сигналов

5.3 Определите возможность возникновения автоколебаний в замкнутой системе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ



ВВЕДЕНИЕ

В автоматических и автоматизированных системах нередко возникают ситуации, когда качество управления ухудшается или изначально находится на недостаточно высоком уровне. Выяснить насколько качественно работает система можно с помощью её анализа, прибегая к известным методам теории управления.

Целью данной работы является не только анализ системы, но и её синтез, т.е. коррекция в соответствии с требованиями технического задания. В связи с этим была проделана большая работа, включающая следующие задачи: выяснение некоторых свойств системы (устойчивость, показатели качества, соответствие системы требованиям технического задания и прочее), синтез динамического регулятора (расчет передаточной функции корректирующего устройства минимального порядка), определение реакции системы на некоторые сигналы, выяснение влияния присутствующих нелинейностей на свойства системы и другие.

Объектом исследований в данной работе является нелинейная, непрерывная, стационарная, одномерная, неадаптивная, замкнутая, следящая система с астатизмом 1-го порядка.

Основная проблема, возникающая при проектировании - это нахождение «золотой середины» между обеспечением требуемой точности и приемлемого характера протекания переходного процесса. Так же необходимо обеспечить соблюдение таких негласных требований, как использование наименьшей величины коэффициента усиления системы, увеличение наклона высокочастотных асимптот амплитудной частотной характеристики, ограничение на величину частоты среза, использование наименьшего порядка передаточной функции корректирующего устройства.

При выполнении курсовой работы были использованы текстовый редактор MS Word 2003, система Mathcad 15, программная среда VisSim 5.



1. АНАЛИЗ ИСХОДНОЙ СИСТЕМЫ

1.1 Функциональная схема исходной системы

Исходная система содержит последовательно включенные усилитель мощности УМ, объект управления ОУ, кинематическую связь КС и датчик обратной связи ДОС (рис. 1.1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.1. Функциональная схема исходной системы

Усилитель мощности предполагается безынерционным, но с ограниченной зоной линейности = ±5 В и максимальным выходным напряжением = 110,0 В (рис. 1.2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.2. Статическая характеристика УМ

Передаточная функция ОУ имеет вид



,

где k0 = 0,026 1/В·с,

Ta = 0,10 c,

Tb = 0,009 с.

В кинематической связи между ОУ и ДОС существует люфт (зазор) величиной 2д = 15' = 4,363·10-3 рад (рис. 1.3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.3. Люфт

Передаточная функция ДОС имеет вид

,

где kДОС = 0,2 В/град или kДОС = 11,459 В/рад,

Tc = 0,002 c.

Элемент сравнения представляет собой сумматор, вычитающий из сигнала задающего воздействия сигнал обратной связи.



1.2 Структурная схема исходной системы

Структурная схема исходной системы представлена на рисунке 1.4.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.4. Структурная схема исходной системы

Проведем линеаризацию исходной системы для последующего анализа. Будем считать, что УМ имеет неограниченную зону линейности, а люфт (зазор) в КС отсутствует и коэффициент передачи этого звена равен 1.

С учетом принятых допущений определим передаточную функцию УМ

.

Составим структурную схему исходной линеаризованной системы, представим ее на рисунке 1.5.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.5. Структурная схема исходной линеаризованной системы.

Определим размерности выходных сигналов всех блоков.

УМ не изменяет размерность сигнала, т.к. его коэффициент передачи не имеет своей размерности, значит, тип сигнала на выходе УМ будет такой же, как на входе, т.е. напряжением (В).

Коэффициент передачи ОУ имеет размерность , сигнал, поступающий на ОУ имеет размерность В, перемножив их с учетом того, что в этом звене присутствует интегратор, получим, что на выходе ОУ сигнал будет представлен безразмерной величиной, которую можно считать углом (рад).

Кинематическая связь не изменяет размерность поступающего на него сигнала.

Коэффициент передачи ДОС имеет ранее измененную размерность В/рад, на вход ДОС поступает сигнал в радианах, перемножив эти размерности, получим, что на выходе ДОС сигнал будет представлен напряжением (В).

1.3 Анализ устойчивости исходной линеаризованной системы

Проведем анализ устойчивости исходной линеаризованной системы по алгебраическому критерию Гурвица.

Найдем характеристическое уравнение исходной линеаризованной замкнутой системы. Передаточная функция разомкнутой системы (ПФ РС) имеет вид:

(1.1)

Характеристическое уравнение представляет собой равенство , т.е.

.

Приведем к общему знаменателю

.

Как известно, чтобы дробь была равна нулю, необходимо, чтобы числитель этой дроби был равен нулю, т.о. получим

,

раскроем скобки и окончательно получим характеристическое уравнение



или

,

где

Необходимое условие устойчивости Гурвица выполняется. Проверим достаточное условие. Для систем 4-го порядка достаточно проверить знак только 3-го определителя Гурвица, т.е. необходимо чтобы выполнялось условие:

,

где .

Произведем вычисления:

.

,

0,000114105 > 0 - неравенство выполняется, значит, исходная линеаризованная система асимптотически устойчива.



1.4 Анализ соответствия исходной системы требованиям ТЗ

Проверим, удовлетворяет ли точность системы требованиям технического задания. В ТЗ оговорено, что относительная ошибка при воспроизведении сигнала с максимальной скоростью Vmax = 13 В/с и максимальным ускорением Emax = 28 В/с должна быть не более 2,1%.

Рассматривая астатическую систему, наиболее просто оценить точность системы можно по воспроизведению гармонического выходного сигнала вида:

. (1.2)

В этом случае

. (1.3)

Тогда относительная динамическая ошибка будет вычисляться по формуле

.

Так как в последней формуле , можно считать, что

. (1.4)

Когда входной сигнал не гармонический, но при этом известны максимальная скорость и максимальное ускорение, осуществляется переход к эквивалентному гармоническому сигналу следующим образом:

Отсюда

; (1.5)

. (1.6)

Подставляя значения, заданные в требованиях ТЗ получим:

;

.

Найдем частотно-передаточную функцию разомкнутой системы (ЧПФ РС). Воспользуемся найденной ранее ПФ РС (1.1). Раскроем скобки в знаменателе

.

Для перехода к ЧПФ РС произведем в последнем выражении замену оператора s на jщ



Найдем модуль ЧПФ РС

;

(1.7)

Вернемся к формуле (1.4) и вычислим относительную динамическую ошибку

.

Т.о. относительная динамическая ошибка при данных условиях составляет 33,6%, что не удовлетворяет требованиям ТЗ ().

Проверим, удовлетворяет ли система заданным требованиям в переходном режиме. Так как заданным параметром является показатель колебательности системы, то рассчитаем его, воспользовавшись формулой

. (1.8)

Чтобы найти этот показатель, необходимо построить амплитудно-частотную характеристику замкнутой системы (АЧХ ЗС). В соответствии с требованиями технического задания показатели качества будем определять по выходу ДОС.

Передаточная функция замкнутой системы, связывающая вход системы и выход ДОС, определяется как дробь, в числителе которой передаточная функция прямой цепи, а в знаменателе единица, знак противоположный знаку обратной связи и передаточная функция разомкнутой системы. В нашем случае эти передаточные функции одинаковы и найдены ранее (1.1).

Найдем частотно-передаточную функцию замкнутой системы (ЧПФ ЗС), заменив в передаточной функции оператор s на jщ.

Чтобы выделить действительную и мнимую часть домножим последнее выражение на комплексно-сопряженное знаменателю.



Выделим действительную и мнимую части ЧПФ ЗС.

Отсюда, найдем модуль ЧПФ ЗС.

;

Построим АЧХ ЗС в системе MathCAD 15 (рис. 1.6).

По рисунку определим частоту амплитудного резонанса ща.р.= 4,74 рад/c. Значение модуля на этой частоте N(ща.р) = 0,028146. Значение модуля при частоте равной нулю N(0) = 0,023273.

Вычислим показатель колебательности по формуле (1.8)

.

Этот показатель удовлетворяет требованиям ТЗ (M ? 1,35).



Рис. 1.6. АЧХ ЗС

Выводы по разделу один

В первой части были составлены функциональная схема ЗС, структурная схема исходной и линеаризованной системы, определены выходные сигналы всех блоков системы. По результатам анализа, линеаризованная система оказалось асимптотически устойчивой. Относительная ошибка составила 33,6%, против заданных в ТЗ 2,1%, а показатель колебательности составил 1,209384, что соответствует заданным требованиям M ? 1,35.

На следующем этапе произведем синтез регулятора и проведем анализ скорректированной системы.



2. СИНТЕЗ ДИНАМИЧСКОГО РЕГУЛЯТОРА

2.1 Синтез регулятора

Синтез систем управления - направленный расчет, имеющий конечной целью отыскание рациональной структуры системы и установление оптимальной величины отдельных параметров элементов системы. Под синтезом динамического регулятора следует понимать расчет ПФ нового звена, с введением которого система будет удовлетворять требованиям ТЗ.

В теории автоматического управления существует большое число методов синтеза линейных систем, как аналитических, так и графоаналитических. Наиболее простым и наглядным является графоаналитический метод, получивший название метод логарифмических амплитудных характеристик (ЛАХ). В данном методе можно выделить 3 стадии синтеза:

1) построение логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) исходной, т.е. корректируемой системы, которую так же называют располагаемой ЛАЧХ;

2) построение ЛАЧХ скорректированной системы (желаемой ЛАЧХ), опираясь на требования ТЗ;

3) определение типа, вида и параметров корректирующего устройства (КУ) на основе располагаемой и желаемой ЛАЧХ.

Самым простым видом КУ является пропорциональное КУ. У этого устройства есть значительные недостатки, так при увеличении его коэффициента усиления, уменьшается запас по амплитуде и по фазе, что ведет к увеличению перерегулирования, времени регулирования и колебательности. В подавляющем большинстве случаев прибегают к созданию конструктивно более сложных и более совершенных КУ, например, динамического регулятора, который и будет рассчитан в данной работе.

Как видно из структурной схемы (рис. 5) система является маломощной астатической следящей системой. КУ устройство здесь целесообразно и удобно включить в прямую цепь, т.е. последовательно. Так как в подавляющем большинстве случаев КУ является пассивным фильтром, то его следует поставить в цепь там, где передаются малые мощности, это будет рационально с точки зрения энергозатрат и затрат на реализацию КУ. Поэтому включим КУ перед УМ. Заметим, что выбранное для КУ место достаточно удобно, т.к. входным и выходным воздействием КУ станет напряжение, и физическая реализация окажется достаточно простой, например, такое КУ можно будет реализовать в виде четырехполюсника.

На рисунке в приложении А изобразим ЛАЧХ исходной линеаризованной разомкнутой системы на основе найденной ранее ПФ РС (1.1).

Для того чтобы получить ПФ КУ построим желаемую ЛАЧХ, опираясь на требования ТЗ. Эту ЛАЧХ можно условно разделить на 3 участка: низкочастотный (НЧ), среднечастотный (СЧ) и высокочастотный (ВЧ). Будем строить эти участки последовательно.

2.1.1 Построение НЧ участка

НЧ участок отвечает за точность воспроизведения входного сигнала, а значит его построение должно осуществляться по заданной в ТЗ относительной ошибке воспроизведения сигнала с максимальной скоростью Vmax = 13 В/с и максимальным ускорением Emax = 28 В/с не более 2,1%.

Как говорилось ранее, в п. 1.4, наиболее просто оценить точность системы по воспроизведению гармонического входного сигнала вида (1.2)

.

Приведенная ранее формула (1.4)



позволяет сформулировать требования к НЧ участку желаемой ЛАЧХ: чтобы входное воздействие вида (1.2) воспроизводилось с ошибкой не больше , желаемая ЛАЧХ должна проходить не ниже контрольной точки Ak с координатами абсциссы вычисляемой по формуле (1.5)

и ординаты

. (2.1)

Из формул (1.5) и (1.6)

,

следует:

1) Если V = const и E < Emax, то с уменьшением щk, Lk будет возрастать, поэтому контрольная точка будет перемещаться влево по асимптоте с наклоном -20 дБ/дек;

2) Если Emax = const и V < Vmax, то с увеличением щk, Lk будет падать, поэтому контрольная точка будет перемещаться вправо по асимптоте с наклоном -40 дБ/дек.

Т.о. сформировалась запретная область (ЗО) по точности. Если ЛАЧХ НЧ участка будет расположена выше нее, то система будет отрабатывать входной сигнал с ошибкой е < един.

Рассчитаем координаты контрольной точки Ak по формулам (1.5) и (2.1)

рад/c,

дек,

дБ.

Изобразим ЗО на рисунке в приложении А.

Минимальный коэффициент усиления разомкнутой системы в этом случае можно рассчитать по формуле

. (2.2)

рад/c;

дБ.

Данный расчет необходим для достижения более высокой точности при построении ЗО.

В связи с тем, что требованиями ТЗ не задано, какие свойства системы должны преобладать (подавление помех или уменьшение демпфирования), будем строить НЧ участок желаемой ЛАЧХ по следующему способу: постараемся совместить первую частоту сопряжения с частотой сопряжения контрольной точки Ak.

ПФ НЧ участка данной системы имеет вид

,

она повторяет форму границы ЗО и обеспечивает необходимый переход к СЧ участку.

На частоте сопряжения кривая ЛАЧХ будет проходить ниже асимптотической на 3 дБ, чтобы избежать попадания желаемой ЛАЧХ в эту часть ЗО, приподнимем асимптоту НЧ участка желаемой ЛАЧХ на 3 дБ над ЗО. Для предупреждения ошибок при построении произведем следующие расчеты:

рад/c;

дБ;

,

т.к. первая частота сопряжения совпадает с частотой щk, то постоянная времени T1 = 1/щk, следовательно, можно записать

. (2.3)

дБ.

Получается, что на частоте сопряжения НЧ участок желаемой ЛАЧХ попадает в ЗО, т.к. L(щk) < Lk. Увеличим желаемый коэффициент усиления разомкнутой системы до 145,100 рад/c, тем самым еще немного приподняв НЧ участок желаемой ЛАЧХ над ЗО. Произведем перерасчет необходимых точек с использованием формулы (2.3)

дБ;

дБ.

Теперь видно, что НЧ участок желаемой ЛАЧХ не пересекает ЗО. Изобразим НЧ участок желаемой ЛАЧХ на рисунке в приложении А.

2.1.2 Построение СЧ участка

СЧ участок отвечает за устойчивость и качество системы в переходном режиме. СЧ участок характеризуется 3 параметрами: частотой среза щср, наклоном асимптоты и длинной участка h. Причем из опыта известно, что чем больше наклон асимптоты, тем труднее обеспечить хорошие динамические свойства системы, поэтому наиболее целесообразно использовать наклон -20 дБ/дек. Частота среза определяет быстродействие системы, согласно формуле , чем больше частота среза, тем меньше время регулирования. Чем больше длина СЧ участка, тем меньше перерегулирование у и показатель колебательности М.

В ТЗ требования к качеству системы в переходном режиме предъявлены в виде ограничения на величину показателя колебательности M ? 1,35. Для определения длины СЧ участка желаемой ЛАЧХ воспользуемся методом Бесекерского В.А.

Левая граница СЧ участка в этом методе рассчитывается по формуле

, (2.4)

где М - показатель колебательности, а щ0 - базовая частота (частота, на которой НЧ участок желаемой ЛАЧХ пересекает абсциссу, ось lgщ).

Определим базовую частоту по формуле

рад/c.

Подставляя найденную частоту и заданный показатель колебательности в формулу (2.4) найдем левую границу СЧ участка

Правая граница СЧ участка желаемой ЛАЧХ рассчитывается по формуле

автоматизированный сигнал автоколебание корректирующий

, (2.5)

где МПВ - малые постоянные времени (постоянные времени, которые меньше в 5-10 раз, чем Т3).

Подставляя найденную ранее базовую частоту и принятые МПВ в формулу (2.5) найдем правую границу СЧ участка без учета МПВ

В данном случае к МПВ отнесем постоянные времени исходной системы Tb = 0,009 c, Tc = 0,002 c.

На рисунке в приложении А проведем прямую с наклоном -20 дБ/дек начиная от точки НЧ асимптоты на частоте щ2 до ближайшей частоты щb= 1/Тb.

2.1.3 Построение ВЧ участка

ВЧ участок определяет помехозащищенность системы. Лучше иметь как можно больший наклон асимптоты ВЧ участка, что не только уменьшит влияние помех, но и уменьшит мощность исполнительного органа.

Из соображений упрощения модели КУ, выгодно выполнять ВЧ асимптоты желаемой ЛАЧХ параллельными исходной с одинаковыми частотами сопряжения. После частоты щb проведем асимптоту, увеличив наклон до -40 дБ/дек до частоты щ3, на этой частоте наклон асимптоты примет значение -60 дБ/дек (параллельно исходной ЛАЧХ), продолжим асимптоту до частоты щc = 1/Тс, на этой частоте изменим наклон до -80 дБ/дек.

2.1.4 Передаточная функция корректирующего устройства

На рисунке в приложении А изображены желаемая и располагаемая (исходная) ЛАЧХ разомкнутой линеаризованной системы. Для получения ПФ КУ построим ЛАЧХ КУ вычитанием из желаемой ЛАЧХ располагаемой, изобразим ее на рисунке в приложении А.

Определим постоянные времени для вывода ПФ КУ на основе ЛАЧХ КУ представленной на рисунке в приложении А.

T1: lgщ1 = lgщk = 0,333 дек;

щ1 = 100,333 = 2,154 рад/с;

Т1 = 1/щ1 = 1/2,154 = 0,464 с.

T2 = 0,111 с.

Ta = 0,10 c.

Tb = 0,009 c.

T3 = 0,0055 с.

Для достижения большей точности, величину коэффициента усиления рассчитаем аналитически

дБ.

Исходя из формы ЛАЧХ КУ можно записать ПФ КУ

или

. (2.6)



2.2 Анализ скорректированной системы в частотной области

Структурная схема скорректированной линеаризованной системы представлена на рисунке 2.1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.1. Структурная схема скорректированной линеаризованной системы

2.2.1 Анализ устойчивости

Проведем анализ устойчивости скорректированной системы по критерию Найквиста на плоскости АФЧХ и ЛЧХ. Проверим устойчивость РС, чтобы выбрать формулировку критерия Найквиста. ПФ РС имеет вид

(2.7)

Отсюда, ХУ РС

.



Из последнего уравнения видно, что существует один нулевой корень, а остальные корни - левые (отрицательные), значит, РС находится на границе устойчивости.

Формулировка критерия для плоскости АФЧХ: если РС находится на границе устойчивости, то для устойчивости замкнутой системы (ЗС) необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста, дополненный на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса с центром в начале координат, не охватывал особую точку (?1; 0).

Формулировка критерия для плоскости ЛЧХ: если РС находится на границе устойчивости из-за наличия х идеальных интегрирующих звеньев в разомкнутой цепи, то ее логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) должна начинаться со значения ?90х, а для устойчивости ЗС необходимо и достаточно чтобы частота среза была меньше критической частоты.

Проведем анализ на плоскости АФЧХ. Чтобы построить годограф Найквиста (АФЧХ РС), перейдем от ПФ РС (2.7) к частотно-передаточной функции (ЧПФ) РС заменой оператора s на jщ, для этого, ввиду сложностей вычислений, воспользуемся системой Mathcad 15. АФЧХ РС, построенная с помощью системы Mathcad 15 представлена на рисунке 2.2. В удобном для анализа масштабе этот график приведен на рисунке 2.3.

На рисунке 2.3 видно, что годограф Найквиста, мысленно дополненный дугой бесконечно большого радиуса, не охватывает особую точку (-1; 0), значит, ЗС является устойчивой.



Рис. 2.2. АФЧХ скорректированной РС для малых частот

Рис. 2.3. АФЧХ скорректированной РС для больших частот

Проведем анализ на плоскости ЛЧХ. Для построения ЛЧХ РС воспользуемся формулами



(2.8)

Построения, произведенные в системе Mathcad 15 по обозначенным выше формулам, представлены на рисунке 2.4.

Рис. 2.4. ЛЧХ скорректированной РС

По характеристикам на рисунке 2.4 находим, что

Логарифм частоты среза меньше логарифма частоты критической, значит, частота среза меньше критической, следовательно, ЗС является устойчивой.

Применим еще один критерий для анализа устойчивости системы - критерий Михайлова. Для этого сформируем функцию Михайлова. Составим характеристическое уравнение (ХУ) ЗС, которое имеет вид и упростим его.

(2.9)

Сформируем функцию Михайлова, взяв левую часть ХУ ЗС и заменив в нем оператор s на jщ,

Из получившейся функции выделим действительную и мнимую части для построения годографа Михайлова

Сформулируем критерий. Для устойчивости ЗС необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на вещественной положительной полуоси и при увеличении частоты от нуля до бесконечности проходил в положительном направлении столько квадрантов, каков порядок системы, при чем прохождение должно быть последовательным, не попадая в начало координат.

Годограф Михайлова, построенный в системе Mathcad 15, приведен на рисунке 2.5 и на рисунке 2.6. По приведенным рисункам видно, что годограф начинается на вещественной положительной полуоси и проходит последовательно, не попадая в начало координат 5 квадрантов, что соответствует порядку системы. Из этого следует, что система является устойчивой.

Рис. 2.5. Годограф Михайлова для больших частот



Рис. 2.6. Годограф Михайлова для малых частот

2.2.2 Анализ системы на соответствие её требованиям ТЗ

Проверим, удовлетворяет ли скорректированная система требованиям ТЗ. Для этого вычислим относительную динамическую ошибку и показатель колебательности системы.

Относительная динамическая ошибка вычисляется по формуле (1.4)

.

Значение рассчитано ранее в п. 1.4. Чтобы не допустить вычислительных ошибок, воспользуемся системой Mathcad 15. Получим, что после коррекции относительная динамическая ошибка системы составляет 1,9%, что соответствует заданному ограничению .

Чтобы рассчитать показатель колебательности системы, построим АЧХ ЗС. ПФ ЗС имеет вид



(2.10)

Ввиду сложности вычислений, здесь и далее опустим расчет ЧПФ ЗС и ее модуля, а для построения графика АЧХ ЗС воспользуемся системой Mathcad 15, в которой и произведем эти вычисления.

Рис. 2.7. АЧХ скорректированной ЗС

На рисунке 2.7 представлена АЧХ ЗС. По рисунку определим, что частота амплитудного резонанса равна 30 рад/c, а значение модуля на этой частоте равно 1,283. Значение модуля на нулевой частоте равно 1. Вычислим показатель колебательности по формуле (1.8)



.

В связи с коррекцией системы, показатель колебательности увеличился незначительно и остался в пределах, удовлетворяющих требованиям ТЗ (M < 1,35).

2.2.3 Расширенный анализ качества системы

2.2.3.1 Анализ качества системы в переходном режиме

Найдем частоту среза РС. Из п. 2.2.1 известно, что , значит щср = 35,400 рад/c. Запасы устойчивости определим по рисунку 2.4

Критический коэффициент усиления РС вычислим исходя из выражения

Произведем вычисления

Показатель колебательности вычислен в п. 2.2.2 и составляет M = 1,283.

Частоту среза ЗС определим по уже построенной АЧХ ЗС на рисунке 2.7 по формуле На графике модуль ЗС принимает значение равное 1 при частоте .

Оценим прямые показатели качества.

Проведем оценку по вещественной частотной характеристике (ВЧХ) ЗС.

Оценим перерегулирование. Воспользуемся уже найденной ПФ ЗС (2.9), в системе Mathcad 15 перейдем к ЧПФ ЗС, выделим вещественную часть и построим график ВЧХ ЗС.

На рисунке 2.8 представлена ВЧХ ЗС, ее форма имеет выраженный максимум и минимум, поэтому для оценки перерегулирования воспользуемся формулой

Определяя по графику необходимые значения, получим



Рис. 2.8. ВЧХ скорректированной ЗС

Оценим время регулирования. По рисунку 2.8 определим частоту, ограничивающую интервал положительности щп = 45 рад/c. Подставляя это значение в формулу

получим

Проведем оценку по нулям и полюсам ЗС.

С помощью системы Mathcad 15 найдем корни ХУ ЗС (2.8) - полюса ЗС и корни числителя ПФ ЗС (2.9) - нули ЗС. Изобразим их на рисунке 2.9.

Определим степень устойчивости - расстояние от мнимой оси до ближайшего к мнимой оси полюса

з = 11,331.

По формуле

,

где ? = 0,05,

оценим время регулирования

Заметим, что это значение немного отличается от оценки по ВЧХ.

Рис. 2.9. Полюса и нули скорректированной ЗС (X - полюса, O - нули)

Среди корней ХУ ЗС есть полюс с мнимой частью

,

значит можно определить колебательность системы

.

По формуле

оценим перерегулирование

Учитывая оценку по ВЧХ можно записать общую оценку перерегулирования

.

2.2.3.2 Анализ качества системы в установившемся режиме

Вычислим амплитудно-фазовые искажения (АФИ) в скорректированной системе на частоте щ0. По заданию, частота определяется из условия, что амплитуда установившихся колебаний на выходе УМ равна 110 В при амплитуде входного сигнала Авх=1 В. Построим АЧХ «вход системы - выход УМ». Для этого составим соответствующую ПФ ЗС по выходу УМ



(2.11)

В системе Mathcad 15 перейдем к ЧПФ ЗС и выделим модуль, затем построим график АЧХ.

Рис. 2.10. Расчет модуля ЗС и график АЧХ ЗС

По графику на рисунке 2.10 определим частоту, на которой значение амплитуды равно 110. Получим, что щ0 = 15,02 рад/c. Используя ПФ ЗС (2.10) построим ЛЧХ ЗС по формулам 2.8. Построения, произведенные в системе Mathcad 15, приведены на рисунке 2.11.

Рис. 2.11. ЛЧХ ЗС

На рис. 2.11 представлена ЛЧХ ЗС и пунктиром отмечен logщ0 = 1,177 дек, по графику определим искажения

Aи = 1,561 дБ;

ци = -20,011 град.

Рассчитаем установившуюся ошибку системы для заданных в ТЗ сигналов.

Постоянный сигнал (в т.ч. единичный ступенчатый) будет отрабатываться без ошибки, т.к. в системе наблюдается астатизм 1-го порядка. Другими словами, в системе отсутствует статическая ошибка.

Для линейно-нарастающего сигнала X(t) = At, A = 4 В/c найдем значение скоростной ошибки. Для системы с астатизмом 1-го порядка можно применить простую формулу

;

.

При гармоническом воздействии

,

в линеаризованной системе в установившемся режиме ошибка будет меняться так же по гармоническому закону

. (2.12)

Чтобы найти амплитуду и сдвиг фазы сигнала ошибки составим ПФ ЗС по ошибке

(2.13)

В системе Mathcad 15 перейдем от ПФ ЗС к ЧПФ ЗС заменой s на jщ, далее, по формулам

с помощью системы Mathcad 15 вычислим амплитуду и сдвиг фазы сигнала ошибки

Подставим найденные значения в формулу (2.12) и получим сигнал ошибки при отработки гармонического входного сигнала

.

Выводы по разделу два

В этом разделе была рассчитана ПФ КУ 2-го порядка, благодаря введению этого КУ удалось достичь требований ТЗ, а именно, относительная динамическая ошибка 1,9%, показатель колебательности M = 1,283.

При помощи двух частотных критериев (Найквиста и Михайлова) было установлено, что система является устойчивой, при этом запас по амплитуде составил 13,516 дБ, по фазе 46,47о, а критический коэффициент усиления kкр = 729,458 рад/c.

Частота среза скорректированной РС приняла значение 35,400 рад/c, что немного меньше частоты среза исходной линеаризованной системы, т.е. быстродействие системы после коррекции возросло.

Оценив время регулирования по корням ХУ ЗС и по ВЧХ, получили следующие, не противоречащие друг другу оценки:

1);

2)

Оценка перерегулирования получилась в пределах от 9,49% до 47,4%, т.е. склонность системы к колебаниям ниже среднего.

Были определены базовая частота и АФИ на этой частоте, амплитудные составили 1,561 дБ, фазовые -20,011 град.

Для заданных в ТЗ тестовых сигналов были получены значения установившейся ошибки. Так, было выяснено, что

1) единичный ступенчатый сигнал X(t) = 1 система отрабатывает без ошибки;

2) линейно-нарастающий сигнал X(t) = 4t с ошибкой величиной 0,026;

3) гармонический сигнал вида отрабатывается с ошибкой, так же подчиняющейся гармоническому закону .



3. ОТРАБОТКА ТИПОВЫХ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ

Для получения переходных характеристик по разным выходам составим ПФ ЗС на основе структурной схемы (рис. 2.1).

ПФ ЗС по выходу ОУ

(3.1)

ПФ ЗС по выходу ДОС (2.9) найдена ранее

ПФ ЗС по выходу УМ (2.10) найдена ранее



3.1 Единичный ступенчатый сигнал

3.1.1 Переходные характеристики системы

Переходную характеристику для каждого выхода получим, применив обратное преобразование Лапласа к произведению ПФ ЗС и изображения единичного ступенчатого сигнала (1/s). Данные действия произведем в системе Mathcad 15, там же выполним построение графиков.

На рисунках 3.1 - 3.3 представлены переходные характеристики системы.

Рис. 3.1. Переходная характеристика по выходу ОУ



Рис. 3.2. Переходная характеристика по выходу ДОС

Рис. 3.3. Переходная характеристика по выходу УМ

Определим прямые показатели качества переходных процессов по выходу ОУ и по выходу ДОС. Время регулирования определим графически, перерегулирования рассчитаем по формуле

. (3.4)

По выходу ОУ

По выходу ДОС

Большой разницы в показателях не наблюдается. Стоит отметить, что оценки этих показателей, полученные во втором разделе, оказались верны.

3.1.2 Отработка ступенчатого сигнала, при котором система работает в зоне линейности УМ

Найдем величину X0 ступенчатого сигнала, при котором система работает в зоне линейности УМ, воспользуемся соотношением

;

.

Начальные и установившиеся значения реакций системы на ступенчатый сигнал величиной X0 = 0,048В по выходам ОУ, ДОС и УМ определим аналитически по формулам



Обращаясь к известным ПФ (3.1, 2.9, 2.10) и приведенным выше формулам рассчитаем начальные и установившиеся значения реакций системы в системе Mathcad 15. Для сравнения этих значений со значениями, найденными в п. 3.1.1 занесем их в таблицу 3.1.

Таблица 3.1 - Значения реакций системы

		X = 1(t)	X0 = 0,04891(t)
ОУ	Начальное	0	0
	Установившееся	0,0873	0,00427
ДОС	Начальное	0	0
	Установившееся	1	0,0489
УМ	Начальное	2249	110
	Установившееся	0	0

Анализируя данные значения, легко увидеть, что во сколько раз отличается величина входного ступенчатого сигнала, во столько отличается и значение выходного сигнала, т.е. наблюдается пропорциональная зависимость выхода от входа.

3.2 Сигнал с постоянной скоростью

Построим график ошибки системы при отработке сигнала X(t) = 4t. Для этого возьмем найденную ранее ПФ ЗС по ошибке (2.11)

умножим ее на изображение входного сигнала (4/s2) и применим к этому произведению обратное преобразование Лапласа. Все эти действия произведем в системе Mathcad 15.

Рис. 3.4. График ошибки системы и график установившейся ошибки

На рисунке 3.4. представлен график ошибки системы при отработке сигнала с постоянной скоростью X(t) = 4t и график установившейся ошибки при отработке этого сигнала (из п. 2.2.3.2 известно что ).

По рисунку определим время, на котором практически устанавливается (с погрешностью 5%) вынужденный режим, для этого изобразим коридор с допуском в 5% от установившейся ошибки. Итак, tуст = 0,405 с. Из п. 3.1.1 известно, что tр = 0,15 с, т.о. при отработке сигнала с постоянной скоростью, сначала система достигает установившего режима, а немного позже ошибка приходит к установившемуся значению.

3.3 Гармонический сигнал

3.3.1 Построение графика системы по выходу ДОС

Из п. 2.2.3.2 известна, что щ0 = 15,02 рад/c. Построим график реакции системы по выходу ДОС при подаче на вход системы гармонического сигнала . Изображение по Лапласу такого сигнала имеет вид

.

Как и раньше, для получения графика реакции системы, применим обратное преобразование к произведению ПФ ЗС (3.2) и изображения входного сигнала. Для вычислений и построения графика воспользуемся системой Mathcad 15.

Рис. 3.5. Реакция системы на гармонический сигнал

На рисунке 3.5. пунктиром представлен график входного сигнала и график реакции системы на этот сигнал.

3.3.2 Определение АФИ

Определим амплитудные искажения сигнала. Амплитуда входного сигнала равна 1, по графику на рисунке 3.7 максимальная амплитуда выходного сигнала равна 1,186. Рассчитаем амплитудные искажения по формуле



дБ. (3.5)

Фазовые искажения определяются величиной (отставанием по времени выходного сигнала относительно входного). По графику на рис. 3.5. определим, что с. Рассчитаем амплитудные искажения по формуле

град. (3.6)

Для сравнения данных значений со значениями, найденными в п. 2.2.3.2 занесем их в таблицу 3.2.

Таблица 3.2 - АФИ

	По ЛЧХ ЗС	По сигналам
Аи, дБ	1,561	1,538
ци, град	20,011	18,072

Из таблицы видно, что значения искажений, найденные разными способами, отличаются незначительно, а сами различия, скорее всего, вызваны погрешностями округлений при вычислении.

Выводы по разделу три

В данном разделе были построены графики реакции системы на различные сигналы. С их помощью были определены такие показатели как время регулирования (по выходу ОУ 0,091 с, по выходу ДОС 0,15 с) и перерегулирование (примерно 27%). Была определена величина ступенчатого сигнала, при котором система работает в зоне линейности УМ , а так же приведено сравнение начальных и установившихся значений реакции системы на единичный ступенчатый сигнал и на сигнал величиной X0.

При отработке сигнала с постоянной скоростью было обнаружено, что сначала система достигает установившего режима, а немного позже ошибка приходит к установившемуся значению.

При отработке гармонического сигнала были вновь определены АФИ, которые практически совпали с рассчитанными ранее в п. 2.2.3.2.



4 ОБЛАСТЬ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ

Выделим область устойчивости системы на плоскости параметров «постоянная времени КУ - коэффициент усиления РС». Постоянную времени выберем произвольно T3 = 0,0055 c.

Область устойчивости будем искать методом D-разбиения. Для этого воспользуемся ХУ ЗС (2.9)

,

числовые значения постоянной времени T3 = 0,0055 с, и коэффициента усиления kр = 154,049 заменим на буквенные обозначения

, (4.1)

раскроем скобки

В уравнении заменим оператор s на jщ

Составим систему из двух уравнений (первое включает действительные слагаемые, второе мнимые)

Произведем группировку относительно параметров по которым строится ОУ

Отсюда составим главный определитель и определители для нахождения каждого параметра

;

;

.

Составим функции для построения кривой D-разбиения

Так же выведем уравнения особых прямых

На основе полученных функций и уравнений особых кривых построим область претендент на область устойчивости с помощью системы Mathcad 15.



Рис. 4.1. Область претендент по параметрам T3 и kр

На рисунке 4.1. представлен график, изображающий область претендент на область устойчивости системы по выбранным параметрам, снизу она ограничена особыми прямыми, совпадающими с осями координат, сверху - рассчитанной кривой, а так же точка, соответствующая реальным параметрам системы. Приведем обоснование правильности штриховки кривой D-разбиения и особых прямых: т.к. при увеличении частоты от нуля до бесконечности Д > 0, то кривая штрихуется слева (при том дважды); если кривая и особые прямые сближаются асимптотически, то штриховка особых прямых однократна и согласована со штриховкой кривой.

Проверим, является ли область претендент областью устойчивости системы. Для этого произвольно выберем точку внутри области претендента, например, (kр = 100; T3 = 0,04 с) и подставим эти значения в ХУ ЗС (4.1)

и произведем проверку системы на устойчивость с данными параметрами по критерию Рауса. Раскроем скобки в уравнении и получим

,

выделим коэффициенты уравнения

Заполним матрицу Рауса (таблица 4.1).

Таблица 4.1 - Матрица Рауса

ri	№	1	2	3
	1	С11 = 0,00000033408	С12 = 0,024122	С13 = 12,1
	2	С21 = 0,000213232	С22 = 0,515	С23 = 100
0,0015667444	3	С31 = 0,023315126634	С32 = 11,9433256
0,0091456505	4	С41 = 0,405770518255

Сформулируем критерий устойчивости Рауса. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца матрицы Рауса были одного знака. Данное условие выполняется, значит, система устойчива при данных параметрах. Из этого следует, что область претендент на рисунке 4.1 является областью устойчивости системы.

По рисунку определим, что при T3 = 0,0055 с, максимальный коэффициент усиления разомкнутой системы kкр = 731,77 рад/c. В п. 2.2.3.1 величина этого коэффициента была вычислена как 729,458 рад/c. Данные значения можно считать достаточно близкими, ввиду того, что при определении данных значений могли возникнуть ошибки округления и ошибки при определении значения графически.



Выводы по разделу четыре

В данном разделе была построена область устойчивости по двум параметрам T3 и kр. Действительные значения этих параметров оказались внутри области устойчивости. Был определен критический коэффициент усиления РС, который практически совпал с найденным в п. 2.2.3.1.



5. АНАЛИЗ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ

5.1 Отработка ступенчатых сигналов

Для построения графиков реакций системы с учетом нелинейности типа насыщение в УМ, нелинейная система была смоделирована в программной среде VisSim 5. Подавая на вход системы сигналы величиной X0 = 0,04891В, 2X0, 5X0 и 1В, получим графики реакций системы по выходу УМ и ДОС, которые представим на рисунке 5.1 и 5.2 соответственно.

Рис. 5.1 Реакция системы на ступенчатые сигналы (величина входных сигналов подписана на рисунке) по выходу УМ



Рис. 5.2 Реакция системы на ступенчатые сигналы (величина входных сигналов подписана на рисунке) по выходу ДОС

По переходной характеристике на рисунке 5.2 определим прямые ПК системы по выходу ДОС для каждого сигнала. Перерегулирование вычисляется по формуле (3.4)

,

временем регулирования будем считать время, после которого переходная характеристика отклоняется от установившегося значения менее, чем на 5%. Рассчитанные значения занесем в таблицу 5.1.

Таблица 5.1 - Прямые ПК по выходу ДОС

	В линеаризованной системе	С учетом нелинейности
Y0, В	1	X0 = 0,04891	2X0 = 0,09782	5X0 = 0,24455	1
tр, с	0,15	0,148	0,149	0,385	0,47
у, %	27,63	33,48	23,41	9,15	14,4

В таблице 5.1 наглядно представлены прямые ПК по выходу ДОС в линеаризованной (из п. 3.1.1) системе и в системе с учетом нелинейности. Видно, что при подаче сигнала X0, при котором система работает в зоне линейности УМ, показатели качества практически совпадают с показателями определенными в линеаризованной системе. Остальные сигналы не попадают в зону линейности УМ. С увеличением входного сигнала, уменьшается быстродействие (растет время регулирования), вместе с тем, колебательность системы становится заметно меньше (падает перерегулирование).

5.2 Отработка гармонических сигналов

Используя уже смоделированную систему в программной среде VisSim 5, построим графики реакций системы на гармонические входные сигналы амплитудой 1В, 3В, 5В с частотой 15,02 рад/c (из п. 3.3.1) по выходу УМ и ДОС, представим их на рисунке 5.3 и 5.4 соответственно.

Отображая на виртуальном осциллографе программной среды VisSim 5 график входного сигнала и график реакции системы на этот сигнал по выходу ДОС, определим АФИ с помощью формул (3.5) и (3.6)

,

.

Найденные значения для сравнения занесем в таблицу 5.2.



Рис. 5.3 Реакция системы на гармонические сигналы (величина амплитуды входных сигналов подписана на рисунке) по выходу УМ

Рис. 5.4 Реакция системы на гармонические сигналы (величина амплитуды входных сигналов подписана на рисунке) по выходу ДОС

Таблица 5.2 - АФИ по выходу ДОС

	В линеаризованной системе	С учетом нелинейности
Авх, В	1	1	3	5
Аи, дБ	1,561	1,31	-5,98	-10,42
ци, град	-20,011	-19,17	-87,52	-109,15



В таблице 5.2 наглядно представлены АФИ по выходу ДОС в линеаризованной (из п. 3.3.1) системе и в системе с учетом нелинейности. Входной сигнал с величиной амплитуды 1В отрабатывается примерно с такими же искажениями, что и в линеаризованной системе, т.к. отрабатывая этот сигнал, система попадает в зону линейности УМ. Отрабатывая сигналы с большей амплитудой, система работает вне зоны линейности УМ, в связи с этим искажения в системе сильно увеличиваются.

5.3 Определите возможность возникновения автоколебаний в замкнутой системе

Применим частотный метод анализа возможности возникновения симметричных автоколебаний. В контуре ЗС присутствует две нелинейности - в УМ и в КС, при анализе необходимо учесть влияние каждой в отдельности. ЛАЧХ линейной части РС состоит из асимптот с наклоном не менее -20 дБ/дек, исходя из этого, можно утверждать, что выполняется гипотеза фильтра, т.е. для анализа нелинейные элементы можно заменить эквивалентными линейными с помощью разложения первых гармоник выходных сигналов этих элементов в ряд Фурье.

Эквивалентные комплексные коэффициенты усиления (ЭККУ) для нелинейных элементов нашей системы имеют вид

;



Согласно методу необходимо графически решить уравнение

, (5.1)

где W(jщ) - ЧПФ РС,

- инверсный ЭККУ с обратным знаком.

Для решения необходимо на комплексной плоскости построить АФЧХ линейной части системы и годограф инверсного ЭККУ, взятого с обратным знаком. Если годографы имеют общие точки, то в системе возможно возникновение периодического процесса. Далее следует определить устойчивость найденных периодических решений согласно правилу: если, двигаясь по годографу нелинейного элемент в сторону увеличения А, изображающая точка переходит из незаштрихованной области в заштрихованную, то периодическое решение устойчиво, в противно случае - нет (штриховка наносится с левой стороны годографа линейной части при увеличении частоты от 0 до ?).

Проведем анализ на возможность возникновения симметричных автоколебаний с учетом нелинейности в УМ. Передаточная функция линейной части в этом случае имеет вид



В системе Mathcad 15 получим необходимые годографы и представим их на рисунке 5.5.

Рис. 5.5. Годограф WЛ1(jщ) и

На рисунке 5.5 видно, что годографы линейной и нелинейной части не пересекаются, значит, возникновение какого-либо периодического процесса в т.ч. симметричных автоколебаний, связанных с нелинейностью в УМ исключено.

Далее проведем анализ на возможность возникновения симметричных автоколебаний с учетом нелинейности в КС. Передаточная функция линейной части в этом случае имеет вид

Аналогично, в системе Mathcad 15 получим необходимые годографы и представим их на рисунке 5.6.

Рис. 5.6. Годограф WЛ2(jщ) и

На рисунке 5.6 видно, что годографы линейной и нелинейной части пересекаются, значит, причем годограф нелинейного элемента переходит из незаштрихованной области в заштрихованную, следовательно, имеет место устойчивый периодический процесс, т.е. автоколебания. В системе Mathcad 15, изменяя масштаб графика и задаваясь различными значениями А и щ, определим их вид:



Y = 0,002185sin(3,9t).

Выводы по разделу пять

В результате работы, проделанной в данном разделе, было выяснено влияние нелинейностей на характер протекания переходных процессов и на величины прямых ПК. Так, при отработке ступенчатого сигнала разной величины было обнаружено, что при подаче сигнала, при котором система работает в зоне линейности УМ, показатели качества практически совпадают с показателями определенными в линеаризованной системе. При отработке сигналов непопадающих в зону линейности УМ, с увеличением входного сигнала, уменьшается быстродействие (растет время регулирования), вместе с тем, колебательность системы становится заметно меньше (падает перерегулирование).

При отработке гармонического сигнала было определено, что АФИ значительно увеличиваются, при амплитуде сигнала выше 1В, т.е. тогда, когда система работает вне зоны линейности УМ.

Возникновение автоколебаний в системе возможно из-за влияния нелинейности в КС, они имеют вид Y = 0,002185sin(3,9t).



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Соответствие характеристик скорректированной системы требованиям ТЗ представим в таблице 6.1.

Таблица 6.1 - Характеристики системы

	ТЗ	Рассчитанная система
един	< 2,1%	= 1,9%
M	< 1,35	= 1,283

В результате проделанной работы была получена ПФ КУ, с помощью которого удалось добиться таких показателей качества в переходном и установившемся режиме, которые удовлетворяют требованиям ТЗ. Более того, можно утверждать, что КУ относительно просто реализовать физически, т.к. его ПФ имеет довольно низкий второй порядок. Система обладает хорошими запасами устойчивости как по амплитуде (13,516 дБ), так и по фазе (46,47о), а так же небольшим временем регулирования (0,15 с по выходу ДОС) и процентом перерегулирования (27,63% по выходу ДОС). Необходимо отметить, что для корректной работы системы, желательно использовать такие входные сигналы, при которых система работает в зоне линейности УМ, только тогда есть гарантия, что требуемые показатели качества будут такими, какими они представлены в таблице выше. Возникновение автоколебаний вида Y = 0,002185sin(3,9t) в системе возможно в связи с наличием нелинейности в КС.

Размещено на Allbest.ru