Синтез линейной следящей системы автоматического регулирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Теория автоматического управления относится к классу важнейших общеспециальных дисциплин, входящих во все типовые программы инженерного образования. ТАУ изучает процессы управления, методы исследования и основы проектирования САР. ТАУ изучает принципы построения САР, закономерности протекающих в них процессах в целях построения работоспособных и точных САР; методами ТАУ осуществляется анализ и синтез САР.

История развития ТАУ непосредственно связана с историей создания различных высокоточных механизмов: хронометры, часы, секундомеры, поплавковые регуляторы водяных часов, маятниковый регулятор хода часов (Х. Гюйгенс, 1675г.); поплавковый регулятор питания котла паровой машины (И.И. Ползунов, 1765г.); центральный регулятор скорости паровой машины (Дж. Уатт, 1784г.); первое программное устройство управления ткацким станком от перфокарты (узор на ковре) (Ж. Жаккар, 1808г.); регуляторы (братьев С. и Ж. Понселе, 1830г.) и др.

В настоящее время ТАУ представляет собой единую научную базу для решения задач управления объектами различной природы (физической, химической, биологической и т.п.), имеющую развитые методы исследования САР - их анализа и синтеза (расчета и проектирования).

В курсовой работе проведен статический и динамический расчет по синтезу линейной следящей системы автоматического регулирования.

1. Исходные параметры элементов САР

Максимально допустимое перерегулирование: у=25%;

Максимально допустимое время регулирования: 0,8 с;

Коэффициент ошибки по скорости регулирования: С1 =0,01;

Постоянная времени электромашинного усилителя: Тэму =0,015 с;

Постоянная времени электродвигателя постоянного тока: Тдв =0,15 с;

Коэффициент усиления электромашинного усилителя: Кэму =4;

Коэффициент усиления электродвигателя постоянного тока: Кдв =6;

Максимальная скорость слежения: =1;

Максимальное ускорение слежения: =0,3.

2. Принципиальная схема работы следящей САР

ПЗ, ПФ - потенциометрические датчики рассогласования величин ивх и ивых (задающий, фиксирующий);

У - усилитель;

Р - редуктор;

ЭМУ (М3) - электромашинный усилитель;

ОУ - объект управления;

М1 - электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением;

ОВ - обмотка возбуждения электродвигателя М1;

Электродвигатель М1 вращает через редуктор объект управления ОУ;

К - корректирующее устройство, включённое последовательно;

М2 - трёхфазный асинхронный двигатель, вращающий якорь ЭМУ со строго постоянной скоростью.

Рассмотрим работу следящей по принципиальной схеме. Движок потенциометра ПЗ механически связан с вращающимся органом (на рисунке он не показан) так, что задающее воздействие - угол поворота ивх. При повороте ОУ на угол ивых ? ивх, потенциометрический датчик (ПЗ, ПФ) выдает сигнал рассогласования в виде напряжения U1, причем U1=kR?( ивых - ивх). Далее напряжение U1 усиливается усилителем У до напряжения U2, затем последнее усиливается ЭМУ до напряжения U3. Оно создает ток в обмотке якоря электродвигателя М1. Вал электродвигателя М1 вращает со скоростью Щдв и развиваемым моментом Мдв вал редуктора Р. Редуктор преобразует скорость электродвигателя Щдв в Щн=kред·Щдв, а момент двигателя Мдв - в Мн и передает их объекту управления ОУ. Объект управления механически связан с движком потенциометрического фиксирующего датчика ПФ, положение которого первый изменяет, поворачиваясь. В результате выходное напряжение ивых> ивх и рассогласование (ивых-ивх)> 0. Таким образом, угол поворота ивых управляемого органа ОУ становится равным задающему ивх.

3 Вывод дифференциальных уравнений динамики элементов системы

3.1 Вывод дифференциального уравнения датчика

3.2 Вывод дифференциального уравнения корректирующего устройства

Корректирующее звено пока не выбрано, здесь , и передаточное звено имеет вид:

3.3 Вывод дифференциального уравнения электронного усилителя

По условию он считается безынерционным, являясь статическим звеном 1 порядка [4, с.67]

Переходная функция электронного усилителя имеет вид:

.

3.4 Вывод дифференциального уравнения динамики электромашинного усилителя

Рисунок 3 - Электромашинный усилитель поперечно-продольного поля, включенный на омическую нагрузку:

а - принципиальная схема, б - статические характеристики первого каскада, в - статические характеристики второго каскада.

При выводе дифференциальных уравнений воспользуемся следующими допущениями:

электродвигатель ЭМУ сохраняет постоянную частоту вращения якоря независимо от тока нагрузки ;

вихревыми токами в массивных частях магнитной системы пренебрегаем.

Уравнение электрической цепи обмотки управления запишем в виде:

где: М - коэффициент взаимоиндуктивности обмотки якоря с управляющей обмоткой.

Знак “+” перед коэффициентом взаимоиндуктивности М соответствует ЭМУ, обладающему недокомпенсацией. При перекомпенсации ЭМУ знак перед М следует заменить на “-”.

Статические характеристики первого каскада представлены с помощью кривых, описываемых уравнениями:

;

;

Аппроксимируя кривые прямыми во всём диапазоне iв и iа, запишем уравнение в приращениях в виде:

, (1)

так как ,

где: - коэффициент усиления первого каскада по току;

- коэффициент, учитывающий действие реакции якоря.

Статические характеристики второго каскада ЭМУ представлены с помощью кривых, описываемых уравнениями:

;

; (2)

Введем следующее обозначение: - коэффициент усиления второго каскада по току.

Пренебрегая коэффициентом ввиду его малости, запишем уравнение (2) в виде системы:

;

Опуская знаки приращения в уравнениях (1) и (2), получим:

;

Выведенные дифференциальные уравнения и соотношения определяют динамику электромашинного усилителя, работающего на активную нагрузку. Перепишем эти уравнения операторном виде:

- постоянная времени обмотки управления ЭМУ (обмотка возбуждения);

- постоянная времени короткозамкнутой обмотки управления ЭМУ (обмотка ротора);

- постоянная времени главной цепи ЭМУ;

- омическое сопротивление главной цепи ЭМУ.

Для составления структурной схемы систему уравнений представим в таком виде, чтобы в левой части каждого уравнения была только одна переменная, т.е.:

(3)

По уравнениям (3) составим структурную схему ЭМУ. Если электромашинный усилитель обладает малой недокомпенсацией, то влиянием коэффициентов М и k0 на ЭМУ можно пренебречь. При этом передаточная функция ЭМУ, работающего на омическую нагрузку, будет иметь вид:

; (4)

;

3.5 Вывод дифференциального уравнения динамики двигателя постоянного тока с независимым возбуждением

Рисунок 4 - Электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением

При выводе дифференциальных уравнений сделаем следующие допущения:

момент сопротивления на валу электродвигателя изменяется от скорости линейно;

пренебрегаем вихревыми токами в массивных частях магнитной системы электродвигателя;

не учитываем реакцию якоря электродвигателя, т.е. Uн=const;

Уравнение электрической цепи якоря электродвигателя запишем в виде:

(5)

где: - постоянная электродвигателя по напряжению.

Движущий момент электродвигателя с независимым возбуждением:

где: - постоянная электродвигателя по току;

- поток возбуждения.

Уравнение вращения якоря электродвигателя:

где: - момент инерции якоря электродвигателя;

- момент сопротивления.

Уравнение для момента сопротивления запишем согласно допущению (а) в виде:

где: - постоянная скоростного трения электродвигателя.

Составим систему линеаризованных уравнений динамики электродвигателя:

где: ; ;

Окончательно вся система имеет вид:

(6)

где: - электромагнитная постоянная времени якоря;

Воспользуемся нулевыми начальными условиями при и .

Применив к системе дифференциальных уравнений прямое преобразование Лапласа, получим:

Для определения передаточных функций первое уравнение перепишем в виде:

где: ,

;

(7)

Передаточная функция может быть определена из второго уравнения системы в виде:

Объединим три элемента - в один общий элемент

Используя вышеуказанные допущения, принимаем: ;

Тогда получаем следующую передаточную функцию для двигателя:

3.6 Вывод дифференциального уравнения редуктора

Передачу в редукторе принимаем абсолютно жесткой, без люфтов, поэтому:

3.7 Дифференциальное уравнение САР

Передаточная функция искомой системы автоматического управления имеет следующий вид:

(8)

3.8 Составление функциональной структурной схемы линейной следящей системы по принципиальной схеме

- передаточная функция потенциометрического датчика;

- передаточная функция электронного усилителя;

- передаточная функция ЭМУ;

- передаточная функция двигателя М по управляющему воздействию;

- передаточная функция двигателя М по возмущению в виде момента М и сил полезно сопротивления и трения;

- передаточная функция редуктора.

Схема охвачена отрицательной единичной обратной связью (ООС).

4 Расчет параметров системы автоматического управления

4.1 Определение добротности следящей системы по ошибке (по точности), величина которой является наперед заданной

4.2 Определение устойчивости (или неустойчивости) системы при заданных параметрах и граничного коэффициента усиления

Наиболее простым методом исследования устойчивости замкнутых систем до четвертого порядка является алгебраический критерий Гурвица, позволяющий судить об устойчивости по коэффициентам характеристического полинома замкнутой системы.

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

(9)

Подставив значения , получим следующее выражение:

Здесь ; ; ;

Согласно критерию устойчивости Гурвица, чтобы САР была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент был больше 1 и определитель матрицы, составленной из коэффициентов при , был положителен.

Составляем матрицу для определения устойчивости по критерию Гурвица:

4.3 Построение асимптотических логарифмических характеристик разомкнутой следящей системы

(10)

Логарифмическая характеристика пересекает вертикальную ось в точке и до значения имеет наклон -20 дБ/дек. Затем, до значения она имеет наклон -40 дБ/дек, и совершает последний перегиб на значение -60 дБ/дек.

4.4 Построение ЛФЧХ располагаемой системы

Таблица 1 -Данные для построения ЛФЧХ действительного звена

При анализе построенных логарифмической амплитудной частотной и логарифмической фазовой частотной характеристик разомкнутой САУ можно сделать заключение, что данная САУ неустойчива, так как ЛФЧХ пересекает ось частот раньше ЛАЧХ.

4.5 Построение запретной зоны в области низких частот

Данная низкочастотная часть желаемой логарифмической амплитудной характеристики следящей системы должна обеспечивать установившуюся ошибку

где - максимальная амплитуда скорости управляющего воздействия.

где - максимальная амплитуда скорости управляющего воздействия;

- максимальная амплитуда ускорения управляющего воздействия.

По величинам на и строим контрольную точку . При значениях точка будет двигаться с максимальной скоростью влево по прямой, имеющей наклон -20 дБ/дек.

При амплитуде контрольная частота их равна 0, что соответствует режиму с постоянной скоростью.

Если рассматривать режим с постоянным ускорением и скоростью , то контрольная точка будет двигаться вправо с наклоном -40 дБ/дек.

Область, расположенная ниже контрольной точки и двух прямых с наклоном -20 и -40 дБ/дек, представляет собой запретную область для ЛАХ следящей системы с астатизму любого порядка.

4.6 Определение основных параметров среднечастотной логарифмической амплитудной характеристики

На основании показателей требуемого качества следящей системы: и % находим величину Pmax, используя номограмму, изображенную на рисунке 6. Максимально допустимое перерегулирование равно

20%. Если построить желаемую ЛАЧХ в соответствии с заданными параметрами, то ее график пройдет через запретную зону. В соответствии с этим максимально допустимое перерегулирование выбирается равным 30%.

Рисунок 6 - График зависимости времени регулирования и перерегулирования у от максимального значения Рmax вещественной частотной характеристики

Здесь Pmax =1,275;

Далее, по рисунку 7, определяем показатель колебательности при заданном перерегулировании : Lг=16 дБ.

Рисунок 7- Номограмма для определения ординат ±Lг контрольных точек

4.7 Построение желаемой ЛАЧХ

Построение производим на том же графике, опуская ЛАЧХ желаемого звена на 3 дБ под запретной зоной и откладывая найденный параметр Lг=16 дБ (см. Приложение 1)

На участке, начинающемся с точки, принадлежащей желаемой ЛАЧХ, с ординатой Lг=16 дБ - имеет место участок с наклоном -20 дБ/дек, до точки с ординатой -Lг=-16 дБ.

4.8 Запись передаточной функции желаемой ЛАЧХ

; ;

; ;

Таблица 2 -Данные для построения ЛФЧХ скорректированной системы

4.10 Построение запретной зоны в среднечастотном диапазоне

Показатель колебательности принимаем .

Определяем крайние точки запретной зоны:

дБ

дБ.

4.11 Построение ЛАЧХ последовательного корректирующего звена

Передаточная функция последовательного корректирующего устройства будет иметь вид:

; (11)

где: с,

с,

с,

с,

с.

Данная функция позволяет сделать вывод, что нужны как активные, так и пассивные корректирующие устройства.

5 Расчет корректирующего устройства

5.1 Выбор схемы корректирующего устройства

Согласно построенной ЛАЧХ корректирующего устройства запишем его передаточную функцию как :

(12)

где: - передаточная функция пассивного звена;

- передаточная функция активного звена.

В качестве пассивного звена выбираем интегро-дифференцирующее, построенное на пассивном четырехполюснике (стр 264 [1]), а в качестве активного - пропорционально-дифференцирующее (ПД-регулятор) на операционном усилителе.

5.2 Расчет параметров звеньев корректирующего устройства

Рисунок 7- Принципиальная схема выбранного пассивного четырехполюсника

Параметры интегро-дифференцирующего звена, построенного на пассивном четырехполюснике должны удовлетворять уравнениям:

;

;

;

Имея значения постоянных времени Т1, Т2, Т3, Т4 и задавшись произвольным значением емкости конденсатора С1 =50 мкФ, рассчитываем значение сопротивления резистора R1 :

Ом;

;

Ом;

мкФ;

Окончательно принимаем: кОм, Ом, мкФ, мкФ.

Рисунок 8- Принципиальная схема выбранного активного четырехполюсника

Параметры пропорционально-дифференцирующего звена должны удовлетворять уравнениям:

; ;

Имея значения постоянной времени Т5 , и задавшись произвольным значением емкости конденсатора С0 =200 мкФ, рассчитываем значение сопротивления резистора R0 :

Ом;

Ом

Ом, Ом, мкФ.

6. Определение показателей качества САУ

6.1 Построение вещественной частотной характеристики и ее анализ.

Построение вещественной характеристики замкнутой системы при единичном изменении задающего воздействия произведено в Mathcad. По виду вещественной частотной характеристики можно предсказать, что переходной процесс будет иметь неколебательный, апериодический характер.

6.2 Построение переходной характеристики и ее анализ

Построение переходного процесса отработки исполнительной осью единичного ступенчатого задающего воздействия проводится путем прямого интегрирования в среде Mathcad и моделирования в Vissim.