Фильтры Саллена-Кея

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Электроника является универсальным и эффективным средством для решения самых различных проблем в области сбора и обработки информации, автоматического управления и преобразования энергии. Знания в области электроники становятся необходимыми все более широкому кругу специалистов.

Сфера применения электроники постоянно расширяется. Практически каждая достаточно сложная техническая система оснащается электронными устройствами. Трудно назвать технологический процесс, управление которого осуществлялось бы без использования электроники. Функции устройств электроники становятся все более разнообразными.

Роль электроники в настоящее время существенно возрастает в связи с применением микропроцессорной техники для обработки информационных сигналов и силовых полупроводниковых приборов для преобразования электрической энергии.

С практической точки зрения электроника занимается созданием электронных приборов и устройств, в которых взаимодействие электронов с электромагнитными полями используется для передачи, обработки и хранения информации. Наиболее характерные виды таких преобразований - генерирование, усиление, передача и прием электромагнитных колебаний с частотой до 1012 Гц, а также инфракрасного, видимого, ультрафиолетового и рентгеновского излучений (1012-1020 Гц). Преобразование до столь высоких частот возможно благодаря исключительно малой инерционности электрона наименьшей из ныне известных заряженных частиц.

Одним из таких приборов является фильтр, об одном типе устройства которого далее пойдёт речь. Фильтром называют устройство, которое передает (пропускает) синусоидальные сигналы в одном определенном диапазоне частот (в полосе пропускания) и не передает (задерживает) их в остальном диапазоне частот (в полосе задерживания).

1. Литературный обзор

1.1 Общее представление о системе автоматического управления процессом

Для лучшего представления о применении данного устройства обратимся к идеализированной системе управления некоторым автоматизированным процессом (рисунок 1).

Рисунок 1 - Структурная схема системы автоматического управления процессом

Электрические сигналы, содержащие информацию о контролируемых величинах, вырабатываются соответствующими датчиками. Эти сигналы фильтруются, усиливаются и преобразуются в цифровую форму с помощью аналого-цифровых преобразователей (АЦП). После чего они обрабатываются микропроцессором, который может взаимодействовать с ЭВМ. Формируемые микропроцессором сигналы управления преобразуются в аналоговую форму с помощью цифро-аналоговых преобразователей (ЦАП), усиливаются и подаются на силовые электронные устройства, управляющие исполнительными устройствами, непосредственно воздействующими на объект.

Каждый блок данной системы играет важную роль в управлении некоторым объектом. Она содержит электронные устройства, работающие с аналоговыми сигналами (фильтры, усилители, силовые электронные устройства), цифровыми сигналами (микропроцессор, ЭВМ), а также устройства, осуществляющие преобразование сигналов из аналоговой формы в цифровую и обратно. Характеристики электронных устройств определяются прежде всего характеристиками составляющих их элементов.

1.2 Роль фильтра в системе управления

Слово «фильтр» пришло в русский язык из средневековой латыни (по латыни filtrum -- войлок). Через войлок алхимики процеживали жидкости, пытаясь отделить находящиеся в них твердые частицы.

В каком-то смысле электрический фильтр подобен войлочному, только процеживают через него не жидкости, а электрические сигналы, а критерием фильтрации, является их частота.

Электрические фильтры -- важнейший элемент практически любой электронной схемы, их можно встретить в радиоприемной и передающей аппаратуре, источниках питания, вычислительной технике, устройствах автоматики и телемеханики, звукозаписывающей и воспроизводящей аппаратуре.

Внутреннее устройство фильтра Саллена-Кея, о котором далее пойдёт речь, изображено на рисунках 2 и 3:

Рисунок 2 - Фильтр Саллена-Кея низких частот (вид спереди)

Электрические фильтры относятся к частотно-избирательным устройствам, в которых ослабление сигнала в некоторой области частот мало по сравнению с другими участками частотного диапазона.



Рисунок 3 - Фильтр Саллена-Кея низких частот (вид сзади)

В основе работы любого фильтра, независимо от его сложности, лежит понятие реактивного сопротивления.

Реактивное сопротивление () -- это противодействие, оказываемое переменному току емкостным и индуктивным элементами цепи. В радиотехнике принято говорить о емкостном и индуктивном сопротивлении. Некоторые радиокомпоненты, например резисторы, обладают преимущественно активным сопротивлением электрическому току,

Если подать от источника питания на конденсатор емкостью C синусоидальное напряжение U с угловой частотой , то ток в схеме, если пренебречь фазовыми соотношениями, будет определяться по формуле:

(1)

Вообще, ток будет опережать по фазе напряжение на 90° и, можно сказать, что конденсатор -- это частотнозависимый резистор. Тогда если вычислим ток, как

(2)

то реактивное частотнозависимого резистора равно

(3)

то есть реактивное сопротивление конденсатора обратно пропорционально частоте входного сигнала. В электронике, в отличие от математики, комплексную переменную принято обозначать символом j, а не i, чтобы не возникало путаницы с током.

Проделав аналогичные вычисления для катушки индуктивности, получим, что ток будет отставать по фазе от напряжения на 90°, а реактивное сопротивление катушки индуктивности будет равно:

(4)

Реактивное сопротивление катушки индуктивности прямо пропорционально частоте входного сигнала.

Благодаря тому, что конденсаторы и катушки индуктивности имеют частотнозависимое сопротивление, из них можно создавать частотнозависимые делители напряжения, которые будут пропускать сигналы только нужных частот, а остальные подавлять.

Основной характеристикой фильтра является его амплитудно частотная характеристика (АЧХ), то есть зависимость модуля коэффициента передачи Г или обратной ему величины -- затухания -- от частоты сигнала

(5)

Для идеальных фильтров существуют частоты среза, разделяющие области пропускания (а = 0) и задерживания (а = 1), а затухание фильтра скачкообразно изменяется при переходе от полосы пропускания к полосе задерживания. В реальных фильтрах полосы пропускания и задерживания разделяются переходной зоной, в которой коэффициент затухания изменяется непрерывно от максимально допустимого пропускания () до минимально допустимого в полосе задерживания (). Вместо частот среза появляются две граничные частоты: частота среза полосы пропускания () и частота среза полосы задерживания (). Чем меньше отличаются и , тем выше качество фильтра.

Фильтры используют для передачи не только синусоидальных сигналов, но, определяя полосы пропускания и задерживания, ориентируются именно на синусоидальные сигналы. Зная, как фильтр передает синусоидальные сигналы, обычно достаточно легко определить, как он будет передавать сигналы и другой формы.

В устройствах электроники, широко использующих фильтры, различают аналоговые и цифровые фильтры. В аналоговых фильтрах обрабатываемые сигналы не преобразуют в цифровую форму, а в цифровых фильтрах перед обработкой сигналов осуществляют такое преобразование.

Аналоговые фильтры строят на основе как пассивных элементов (конденсаторов, катушек индуктивности, резисторов), так и активных элементов (транзисторов, операционных усилителей). Для аналоговой фильтрации широко используют также электромеханические фильтры: пьезоэлектрические и механические. В пьезоэлектрических фильтрах используют естественный и искусственный кварц, а также пьезокерамику. Основу механического фильтра составляет то или иное механическое устройство.

Важно различать требования, предъявляемые к фильтрам силовой и информативной (информационной) электроники. Фильтры силовой электроники должны иметь как можно больший коэффициент полезного действия. Для них очень важной является проблема уменьшения габаритных размеров. Такие фильтры строятся на основе только пассивных элементов. К фильтрам силовой электроники относятся сглаживающие фильтры выпрямителей, проходные фильтры силовых трансформаторов и т. д.

1.3 Активные фильтры

Фильтры информативной электроники чаще разрабатывают при использовании активных элементов. При этом широко используют операционные усилители.

Фильтры, содержащие активные элементы, называют активными. В современных конструкциях фильтров обычно не используют катушки индуктивности из-за их больших габаритов и высокой трудоемкости изготовления. Поэтому активные фильтры могут быть изготовлены с применением технологии интегральных микросхем. Нередко активные фильтры оказываются дешевле соответствующих фильтрах на пассивных элементах. Они невелики по массе и занимают меньшие объемы. Активные фильтры способны усиливать сигнал, лежащий в полосе пропускания. Во многих случаях их достаточно легко настроить.

К недостаткам активных фильтров можно отнести:

- использование источника питания;

- невозможность работы на таких высоких частотах, на которых используемые операционные усилители уже не способны усиливать сигнал: их рабочий диапазон частот ограничен сверху максимальной рабочей частотой операционного усилителя.

Обычно выделяют следующие три типа фильтра:

- фильтр нижних частот (ФНЧ), пропускающий все частоты ниже выбранного значения wc и подавляющий высшие частоты;

- фильтр верхних частот (ФВЧ), пропускающий все частоты выше выбранного значения и подавляющий нижние частоты;

- полосовой фильтр (ПФ), пропускающий выбранную полосу частот и подавляющий нижние и верхние частоты.

В таблице 1 укажем достоинства и недостатки вышеуказанных типов фильтров:

Таблица 1 - Достоинства и недостатки фильтров Саллена-Кея

Фильтр	Достоинства	Недостатки
ФНЧ	- высокое входное сопротивление; - относительно небольшой диапазон номинальных элементов.	- относительно высокая чувствительность к разбросу значений элементов; - ограниченные возможности реализации фильтров с К<1; - легко настраиваются только два параметра.
ФВЧ	- относительно небольшой диапазон номиналов элементов.	- относительно высокая чувствительность к отклонениям значений элементов; - не удаётся перекрыть весь диапазон возможных значений. К, и .
ПФ	- относительно небольшой диапазон номиналов элементов.	- относительно высокая параметрическая чувствительность к паразитным параметрам ОУ; - температурные коэффициенты пассивных RC элементов не позволяют компенсировать возникающие под действием ОУ изменения не только АЧХ, но и ФЧХ в полосе пропускания

Проектирование активного фильтра включает в себя два этапа - этап аппроксимации, в котором по заданным техническим требованиям к амплитудно-частотной, фазо-частотной характеристике или характеристике затухания синтезируется передаточная функция и этап реализации, в котором выбирается схема активного фильтра, воспроизводящая выбранную передаточную функцию.

Фильтр Саллена-Кея - один из типов активных электронных фильтров. Данный фильтр назван в честь двух исследователей из Массачусетского Технологического Института, одного из самых престижных технических учебных заведений США и мира, представившего его в 1955 году.

Различают фильтры по числу полюсов на частотной характеристике -- фильтры первого порядка, второго и более высоких порядков. Фильтры высоких порядков имеют более крутые границы полос пропускания и затухания и более плоскую характеристику в области полосы пропускания, что, естественно, улучшает качество фильтра. К таким фильтрам относятся фильтры Чебышева, Баттерворта, Бесселя и др.

Несмотря на то, что фильтры, о которых пойдёт речь, имеют коэффициент усиления в полосе пропускания равный единице (0 дБ), это сделано лишь для удобства. Реальные фильтры Саллена-Кея имеют произвольный коэффициент усиления, в отличие от фильтра Баттерворта с единичным коэффициентом.

Реализуется данный тип фильтра в виде простой схемы с двумя резисторами, двумя конденсаторами и активным элементом. В качестве активного элемента в данном случае рассмотрим операционный усилитель - усилитель постоянного тока с дифференциальным входом и, как правило, единственным выходом, имеющий высокий коэффициент усиления. Они почти всегда используются в схемах с глубокой отрицательной обратной связью, которая, благодаря высокому коэффициенту усиления ОУ, полностью определяет коэффициент передачи полученной схемы. На рисунке 4 показано схематичное изображение операционного усилителя.

Рисунок 4 - Обозначение операционного усилителя на схемах

Выводы имеют следующие значения:

- : неинвертирующий вход;

- : инвертирующий вход;

- : выход;

- : плюс источника питания;

- : минус источника питания.

Отдельный фильтр Саллена-Кея представляет собой фильтр с передаточной функцией второго порядка. Фильтры более высокого порядка могут быть получены включением элементарных фильтров последовательно. Такая топология известна как VCVS-фильтр (англ. voltage controlled voltage source).



2. Теоретическая часть

У различных фильтров существуют параметры, характеризующий данный тип фильтра: частота среза, добротность фильтра и передаточная функция.

Частота среза - это частота, выше или ниже которой мощность выходного сигнала электронной схемы уменьшается вполовину от мощности в полосе пропускания. Для каждого фильтра она вычисляется своеобразным образом, учитывая особенности рассматриваемого устройства.

Добротность фильтра - это характеристика колебательной системы, определяющая полосу резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

(6)

Где - f0 - резонансная частота колебаний;

- W - энергия, запасённая в колебательной системе;

- Pd - рассеиваемая мощность.

Передаточная функция - дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Пусть u(t) - входной сигнал линейной стационарной системы, а y(t) - её выходной сигнал. Тогда передаточная функция H(s) такой системы запишется в виде

(7)

где U(s) и Y(s) - преобразования Лапласа для сигналов u(t) и y(t) соответственно

(8)

(9)

Кроме того, для каждого полюса, относящегося к комплексному коэффициенту усиления фильтра G, есть другой - комплексно-сопряжённый, а для каждой комплексно-сопряжённой пары есть два полюса, отличающихся от них только знаком действительной части полюса. Передаточная функция должна быть устойчивой, что означает, что её полюса должны иметь отрицательную действительную часть, то есть лежать в левой полуплоскости комплексной плоскости. Передаточная функция в этом случае задаётся следующим выражением

(10)

где - только те полюса, которые имеют отрицательную действительную часть.

2.1 Фильтр низких частот

Приведём пример фильтра низких частот с единичным коэффициентом усиления в полосе пропускания (рисунок 5).

Рисунок 5 - Фильтр Саллена-Кея низких частот

Операционный усилитель в данной схеме используется в качестве повторителя напряжения. В общем случае частота среза и добротность фильтра Q задаются следующими уравнениями

(11)

(12)

Типовые схемы активных фильтров рассчитаны, и параметры их элементов можно взять из таблиц, подставив в них необходимые исходные данные.

К примеру, представленная схема имеет частоту среза 15,9 кГц и добротность 0,5. Передаточная функция фильтра будет иметь следующий вид

(13)

2.2 Фильтр высоких частот

Рассмотрим пример фильтра высоких частот с частотой среза в 72 Гц и добротностью 0,5 и, также, с единичным коэффициентом усиления в полосе пропускания (рисунок 6).

Рисунок 6 - Фильтр Саллена-Кея высоких частот

Аналогично будут выглядеть соответствующие уравнения для частоты среза



(14)

но для добротности

(15)

где Сx - общая ёмкость двух конденсаторов при последовательном соединении

(16)

2.3 Полосовой фильтр

Представим пример полосового фильтра с известными сопротивлениями и ёмкостями составляющих его элементов (рисунок 7).

Рисунок 7 - Полосовой фильтр Саллена-Кея

Пиковая частота среза и добротность фильтра Q будут вычисляться по следующим уравнениям.

(17)

Делитель напряжений в обратной связи управляет коэффициентом усиления. «Внутреннее усиление» G задаётся следующим соотношением

(18)

Тогда усиление на пиковой частоте будет равным

(19)

Можно заметить, что коэффициент G не должен превышать 3, в противном случае фильтр станет генерировать колебания.

автоматический управление фильтр



3. Расчётная часть

3.1 Выбор и обоснование схемы фильтра

3.1.1 Формирование шаблона и определение порядка фильтра

Исследуем предоставленный фильтр Саллена-Кея. Для этого определяем вид шаблона амплитудно-частотной характеристики проектируемого фильтра, отметив необходимые значения коэффициентов передач Г и частот f (рисунок 8).

Рисунок 8 - Зависимость коэффициента передачи исследуемого фильтра от частоты

Для расчета фильтра сделаем переход от реального фильтра высоких частот к нормированному фильтру-прототипу низких частот, преобразовав коэффициенты передачи и граничные частоты.

(20)



(21)

(22)

где и- максимальный и минимальный коэффициенты передачи реального фильтра высоких частот;

и - максимальный и минимальный коэффициенты передачи фильтра-прототипа низких частот;

и- задерживающая и предельная частота реального фильтра высоких частот;

- коэффициент перехода по частоте фильтра-прототипа низких частот.

По вышеприведённым формулам (15), (16) и (17) получим:

(Дб);

(Дб);

Определяем порядок фильтра по формуле:

(23)

Подставив в формулу (18) ранее полученные значения коэффициентов, вычислим порядок фильтра



Округляем до ближайшего большего целого и получаем порядок фильтра n=2. Кроме того, порядок фильтра равен числу реактивных компонентов, использованных при его реализации. Имея дело с фильтром Саллена-Кея, на данном этапе можно утверждать, что количество конденсаторов в его устройстве также будет равно n=2.

3.1.2 Передаточная функция фильтра

Рассчитываем передаточную функцию нормированного ФНЧ по формуле (2). Находим полиномы Y(s) и U(s) из таблиц для фильтра II порядка, учитывая, что пульсации в полосе пропускания равны Дб. Получаем передаточную функцию для :

Сделаем обратный переход от нормированного фильтра низких частот к проектируемому, для чего преобразуем передаточную функцию:

(24)

где

(25)

Подставив значения в формулу (20) получим:

Совершив необходимые замены, масштабируем по частоте:

Тогда и передаточная функция примет следующий вид:

3.1.3 Выбор схемного решения

В соответствии с техническим заданием и рассчитанными параметрами, в качестве схемного решения выбираем ФВЧ-ІІ Саллена-Кея, так как схема имеет небольшой диапазон номиналов элементов. Порядок всего фильтра n=2 совпадает с порядком звена Саллена-Кея (рисунок 9), поэтому для построения фильтра необходимо одно звено.

Рисунок 9 - Устройство ФВЧ-ІІ Саллена-Кея



3.2 Топологическая модель и расчет элементов фильтра

3.2.1 Граф Мезона ФВЧ- ІІ

Составим граф Мезона для выбранной схемы (рисунок 10).

Рисунок 10 - Граф Мезона для ФВЧ-ІІ

Далее найдём передаточную функцию по формуле Мезона

(26)

Сопоставим с канонической формулой для ФВЧ-ІІ

(27)

Откуда получим

(28)

(29)

(30)

Подставив численные значения, получим

3.2.2 Расчет элементов схемы

Пусть в исследуемой схеме ёмкость конденсаторов (нФ). После чего из известных соотношений для фильтра определим сопротивление резисторов (Ом).

Сопротивление выберем произвольно, возьмём, к примеру, кОм, а из известного соотношения вычислим :

Установив в схему рассчитанные значения, можно снять АЧХ фильтра, которая примет следующий вид (рисунок 11).



Рисунок 11 - АЧХ проектируемого фильтра

3.3 Методика настройки и регулировки фильтра

Коэффициент усиления фильтра можно настроить при помощи резисторов и

(31)

При использованном в схеме операционном усилителе, сопротивление резистора можно выбирать в пределах от нескольких кОм до 1 МОм. При меньшем значении становится большим ток, потребляемый схемой, а при большем - вносит своё влияние входное сопротивление микросхемы.

Сопротивление определяется из формулы (31) для требуемого коэффициента усиления. Учитывая описанное формулой (29) раньше соотношение, можно показать, что максимально достижимый коэффициент усиления в полосе пропускания равен 3. В этом случае добротность фильтра наибольшая, но при этом присутствуют наибольшие пульсации в полосе пропускания. При попытке увеличения фильтр самовозбуждается и превращается в генератор колебаний на частоте . Из этого ограничения определим, что сопротивление лежит в диапазоне от 0 до . При нулевом сопротивлении схема становится фильтром Баттерворта с единичным усилением.

Кроме того, частоту можно настроить с помощью элементов , , и

(32)

При условии, что и , формула (32) упрощается

(33)

Если сопротивления и ёмкости не равны, то соотношением к и к регулируется добротность фильтра. При этом также нужно учитывать, что при больших добротностях фильтр склонен к самовозбуждению.



Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены различные типы фильтров Саллена-Кея, а также разработан фильтр высокой частоты второго порядка, который состоит из одного звена Саллена-Кея 2 порядка. Устройство обеспечивает максимальный коэффициент усиления 3,2 в полосе пропускания. Частота полосы пропускания =180 кГц, что на 10% отличается от заданной. Это обусловлено использованием элементов из стандартного ряда, которые имеют разброс номиналов 10%. Фильтр допускает простую настройку коэффициента усиления и частоты пропускания, а также имеет небольшой разброс номиналов элементов. Из недостатков можно назвать наличие пульсаций в полосе пропускания.



Список использованных источников

1. Зеленин А.Н, Костромицкий А.И, Бондарь Д.В. Активные фильтры на операционных усилителях. - Х.: Телетех, 2000. - 136 с.

2. Ногин В.Н. Аналоговые электронные устройства: Учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1992. - 309 с.

3. Р. Богнер, А. Константинидис Введение в цифровую фильтрацию. -- Москва: Мир, 1996.

4. Э. Оппенгейм Применение цифровой обработки сигналов. -- Москва: Мир, 1990.

5. Рабинер Л.Р., Гоулд В. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978.

6. Хэмминг Р. У. Цифровые фильтры. -- М.: Советское радио. 1980.

Размещено на Allbest.ru