Синтез цифровых фильтров

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

«Синтез цифровых фильтров»

Задание на курсовую работу

Таблица 1

АФ-прототип	ЦФ	Метод синтеза	Частота дискретизации , кГц
Тип фильтра	АЧХ	, дБ	, дБ	, кГц	, кГц
ПФ	Б	1,5	40	5,0…9,0	3,0…11,0	ИП	50

Используемые сокращения:

Б - фильтр Баттерворта

- допустимый уровень пульсаций АЧХ в полосе пропускания

- минимально необходимое затухание в полосе задержки

, - границы полос пропускания и задержки

ИП - инвариантная импульсная характеристика

1. Проектирование БИХ - фильтра

В соответствии с таблицей 1 необходимо:

1) С помощью системы MatLab синтезировать АФ-прототип. Записать передаточную функцию АФ. Рассчитать и построить частотные характеристики АФ-прототипа. Сравнить АЧХ АФ с АЧХ идеального фильтра.

2) Синтезировать рекурсивный ЦФ по аналоговому прототипу. Синтез ЦФ провести без использования специализированных функций MatLab синтеза ЦФ и с их использованием. Этапы синтеза отразить в работе.

3) Записать передаточную функцию ЦФ. Построить диаграмму полюсов и нулей.

4) Составить разностное уравнение ЦФ. Решить разностное уравнение методом итерационной процедуры для управляющего сигнала типа единичный скачок. Построить кривую переходного процесса. С помощью системы MatLab построить импульсную и переходную характеристики фильтра и сигнала на выходе для произвольного входа.

5) Определит устойчивость фильтра.

6) Составить каноническую структурную схему фильтра. Разложением передаточной функции ЦФ на произведение / сумму звеньев второго (первого) порядка реализовать структурную схему фильтра в последовательной или параллельной форме.

7) Рассчитать и построить импульсные характеристики ЦФ. Сравнить построенные характеристики с аналогичными характеристиками АФ-прототипа. Построить логарифмические характеристики ЦФ в функции абсолютной псевдочастоты.

2. Проектирование КИХ - фильтра

цифровой фильтр импульсный полосовый

1) В соответствии с параметрами ЦФ (таблица 1) провести синтез КИХ - фильтра с линейной ФЧХ с использованием окна Хэмминга. Синтез ЦФ провести без использования специализированных функций MatLab синтеза ЦФ и с их использованием. Этапы синтеза ЦФ отразить в работе.

2) Записать передаточную функцию ЦФ. Построить диаграмму нулей.

3) С помощью системы MatLab построить импульсную и переходную характеристики фильтра и сигнал на выходе для произвольного входа (входной сигнал необходимо задавать так, чтобы показать правильность проведенного синтеза ЦФ).

4) Рассчитать и построить частотные характеристики ЦФ.

5) Составить структурную схему фильтра в последовательной или параллельной форме.

3. Проектирование и анализ фильтров в графической среде FDATool

Используя графическую среду проектирования FDATool, рассчитать и получить характеристики проектируемых дискретных фильтров. Сравнить полученные результаты.

Проектирование КИХ - фильтра

Поскольку отсчеты импульсной характеристики КИХ - фильтра одновременно являются и коэффициентами его передаточной функции, задача синтеза сводится к получению импульсной характеристики фильтра.

Требования к фильтра приведены в таблице 1.

Вычислим импульсную характеристику h_и(n) идеально фильтра.

Обозначим частоту разрыва идеальной АЧХ через . Тогда для получим неравенство , при ширине переходной полосы . Удобно определить такой, чтобы и располагались симметрично относительно . Иначе говоря, будем полагать, что

.

В случае ПФ, расчет должен выполняться с учетом двух переходных полос:

.

Выражение для импульсной характеристики избирательного фильтра при усечении до N членов (причем N - нечетное):

Выберем порядок фильтра R=N-1.

Ширина переходной полосы, вследствие свертки в частотной области прямоугольной характеристики и окна равно ширине главного лепестка окна, величина которого может быть определена для некоторого типов окон. Это означает, что, во-первых, чем более узкую переходную полосу требуется получить, тем больше должна быть длина окна N, а потому и порядок фильтра; во-вторых, чем большее подавление требуется в полосе задерживания, тем более гладкое окно необходимо использовать; последнее приводит к увеличению ширины переходной полосы и, как следствие, к увеличению порядка фильтра с целью выполнения заданных требований. В связи с этим при проектировании ЦФ следует придерживаться рекомендаций: во-первых подобрать окно с подходящим уровнем пульсаций; во-вторых, выбрать число отсчетов N, обеспечивающее требуемую ширину переходной полосы.

Если окно выбрано, то N для окон Хэмминга оценивается как

,

где k=4; - ширина переходной полосы.

Так как, N должно быть нечетным, примем N=49. Тогда порядок фильтра R=N-1=48.

Порядок фильтра слишком высок, изменим исходные параметры. Примем:

Таблица 2

АФ-прототип	ЦФ	Метод синтеза	Частота дискретизации , кГц
Тип фильтра	АЧХ	, дБ	, дБ	, кГц	, кГц
ПФ	Б	1,5	40	7,0…8,0	2,0…13,0	ИП	50

Тогда, порядок фильтра R=N-1=19.

Вычислим N отсчетов функции окна Хэмминга:

Отсчеты весовой функции окна Хэмминга

Рассчитаем импульсную характеристику реального фильтра по формуле

Импульсная характеристика идеального фильтра

Проверим выполнение заданных требований

Рассчитаем АЧХ и ЛАЧХ



Из ЛАЧХ видно, что полосы пропускания и задержки не соответствуют заданным требованиям.

Увеличение порядка фильтра и изменение ширины переходной полосы не дает положительных результатов. В соответствии с указаниями к курсовой работе выберем другое окно и повторим процедуру.

Для обеспечения заданного минимального затухания в полосе задерживания и малой пульсации в полосе пропускания необходимо подобрать окно с подходящим уровнем пульсаций и выбрать длину N окна, при которой обеспечивается требуемая переходная полоса пропускания. Однако это приводит к излишнему росту порядка фильтра и трудностями с его реализацией. Эта проблема решается с помощью окна Кайзера.

Окно Кайзера определяется формулой:

при ,

где - параметр окна, определяющий величину пульсации

- функция Бесселя первого рода нулевого порядка

Определим , где

,

.

Тогда,

Для найденного , определим

Определим параметр на основании эмпирических выражений

и параметр D



, D = 2,232.

Выберем наименьшее нечетное значение числа отсчетов N, удовлетворяющее неравенству:

.

Отсчеты весовой функции окна Кайзера

Импульсная характеристика идеального фильтра

Импульсная характеристика реального фильтра

Для проверки заданных требований построим АЧХ и ЛАЧХ

Для проверки был произведен расчет фильтра MatLab-функцией fir1, как видно из АЧХ результаты расчетов одинаковы.

b = fir1 (N, wnp, '', wk, 'noscale');

N - порядок рассчитываемого фильтра

wnp - двухэлементный вектор частот среза

wk - отсчеты весовой функции

Увеличенное ЛАЧХ в области полосы пропускания

Из ЛАЧХ видно что полосы пропускания и задержки удовлетворяют заданным требованиям.

Запишем передаточную функцию ЦФ по импульсной характеристике и построим диаграмму нулей.

Диаграмма нулей

Импульсная и переходная характеристики фильтра

impz (hk, 1); - импульсная характеристика

p = filter (hk, 1, [0 ones (1, length(hk) - 1)]); - переходная характеристика

hk - импульсная характеристика реального фильтра

Пропустим через фильтра тестовые сигналы частотами лежащими в полосе задерживания, в полосе пропускания и в переходной полосе.

Подав на вход фильтра с тестовый сигнал с единичной амплитудой и с частотой 1500 Гц, видим, что входной сигнал подавлен.

Подав на вход сигнал с частотой 7500 Гц, видим, что входной сигнал не подавлен, т.к. находится в полосе пропускания, но смещен по фазе на 180 градусов.

Подав на вход фильтра сигнал с частотой 14000 Гц, видим, что входной сигнал подавлен.



Из графиков видно, что в полосе задерживания сигнал практически полностью подавляется.

Сигнал, с частотой, лежащей в переходной полосе имеет несколько меньшую амплитуду.

Частотные характеристики фильтра

[H, W] = freqz (hk, [1]);

plot (W*Fd/(2*pi), 20*log10 (abs(H)));

faza = angle(H); faza = unwrap(faza);

plot (W*Fd/(2*pi), faza);

H - вектор комплексной АЧХ;

W - вектор частот;

Функция P = angle(Z) возвращает массив значений аргументов для элементов Z;

Функция P = unwrap(P) корректирует фазовые углы элементов, чтобы убрать разрывы функции.



Составим структурную схему фильтра в параллельной форме.

, , .

Коэффициенты перед обозначим через b₀, b₁,…, b₂₃ соответственно

Тогда структурная схема фильтра в параллельной форме будет иметь вид изображенный на рисунке.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проектирование БИХ - фильтра

При синтезе частотно-избирательных рекурсивных фильтров (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ) удобнее всего воспользоваться хорошо развитым аппаратом расчета АФ и методами отображения p-плоскости в z-область, т.е. методами преобразования АФ в ЦФ.

Такой синтез включает в себя:

- выбор метода отображения p-плоскости в z-область;

- расчет АФ по требованиям, заданным к ЦФ;

- применение к АФ выбранного метода отображения p-плоскости в z-область.

Рассчитываемый по требованиям, заданным к ЦФ, АФ называется фильтром-прототипом, или просто прототипом.

Основными ограничениями для синтеза ЦФ по прототипу являются:

- сохранение существенных АЧХ прототипа в АЧХ ЦФ, что означает необходимость отображения мнимой оси p-плоскости на единичную окружность z-области;

- устойчивый прототип должен быть преобразован в устойчивый ЦФ, что означает необходимость отображения полюсов устойчивого прототипа из левой p-полуплоскости внутрь единичного круга z-области.

БИХ - фильтр рассчитывается на основе аналоговых ФНЧ - прототипов по следующей методике:

1. На основании требований к ЦФ формулируются требования к соответствующему аналоговому фильтру-прототипу.

2. Для аналогового фильтра-прототипа определяется нормированный аналоговый ФНЧ-прототип с частотой среза (границей полосы пропускания) и рассчитывается его нормированные полюсы и нули, исходя из квадрата его АЧХ.

3. С помощью формул преобразования частот производится преобразование нормированного ФНЧ-прототипа в аналоговый прототип, соответствующий исходному ЦФ.

4. Производится пересчет нулей и полюсов из аналоговой области в цифровую.

Идеальная (прямоугольная) форма АЧХ не может быть физически реализована, поэтому в теории аналоговых фильтров разработан ряд методов аппроксимации прямоугольных АЧХ. Аппроксимацией фильтра будем называть передаточную функцию, у которой АЧХ приближается к одной из идеальных характеристик. Такая передаточная функция должна удовлетворять следующим условиям:

1) она должна быть рациональной функцией от p с вещественными коэффициентами;

2) ее полюсы (нули знаменателя) должны лежать в левой полуплоскости p-плоскости;

3) степень полинома числителя должна быть равной или меньше степени полинома знаменателя.

Согласно методике расчета БИХ-фильтра, требования, предъявляемые у ЦФ, перекладываются на соответствующий аналоговый ФНЧ-прототип. Рассчитав ФНЧ, можно несложными преобразованиями изменить его частоту среза, превратить его в ФВЧ, полосовой, либо режекторный фильтр с заданными параметрами. Вследствие чего расчет аналогового фильтра начинается с расчета так называемого фильтра-прототипа, представляющего собой ФНЧ с частотой среза, равной 1 рад/с.

Рассчитаем АФ-прототип с передаточной функцией по требованиям, заданным к ЦФ, используя функции buttord и butter.

[N W0] = buttord (Wp, Ws, Rp, Rs, 's');

Wp, Ws - двухэлементные вектора границы полос пропускания и задерживания;

Rp - допустимый уровень пульсаций АЧХ в полосе пропускания;

Rs - минимально необходимое затухание в полосе задерживания;

's' - признак аналогового расчета;

N - минимально необходимый порядок фильтра;

W0 - частота среза фильтра.

[b, a] = butter (N, W0,'bandpass', 's');

'bandpass' - тип фильтра - полосовой фильтр;

b, a - коэффициенты передаточной функции аналогового фильтра.

b = [0 0 0 0 0 0],

Передаточная функция АФ-прототипа

.

Частотные характеристики АФ-прототипа

Нули и полюсы АФ-прототипа

Представим передаточную функцию в виде суммы простейших дробей

, используя функцию residue.

[r, p, k] = residue (b, a);

b, a - коэффициенты передаточной функции;

r вектор-столбец вычетов;

p вектор-столбец полюсов;

k - вектор-строка целой части дробно-рациональной функции.

Определим ИХ каждого звена, соответствующего :

.

Проведем их дискретизацию, заменой , получив при этом импульсные характеристики звеньев ЦФ.

Передаточную функцию ЦФ определим как сумму отдельно взятых передаточных функций звеньев, т.е. , где .

Для вычисления коэффициентов полиномов воспользуемся функцией

p = ploy(A), где p - коэффициенты характеристического полином, A - его корни.

az = poly (exp(p*1/Fd));

az - коэффициенты знаменателя передаточной функции;

p - вектор-столбец полюсов;

1/Fd - период дискретизации.

Коэффициенты числителя в MatLab вычислим следующим образом:

for m = 1:length(p)

if m == 1

p1 = [p (2:length(p))];

elseif m == length(p)

p1 = [p (1:length(p) - 1)];

else

p1 = [p (1:m-1); p (m+1:length(p))];

end;

A (m,:) = poly (exp(p1*1/Fd));

R (m,:) = r(m)*A (m,:)/Fd;

end;

bz1 = 0;

for m = 1:length(p)

bz1 = bz1 + R (m,:);

end;

bz = real([bz1,0]);

Результат этих действий (коэффициенты числителя и знаменателя передаточной функции ЦФ):

b = [-6,93e-17 0,0044 -0,0093 0,0018 0,0070 -0,0038 0]

a = [1 -3,261 6,086 -6,833 5,202 -2,381 0,624]

Проверка расчета функцией MatLab impinvar дает примерно равный результат:

[bzp, azp] = impinvar (b, a, Fs);

b, a - коэффициенты числителя и знаменателя функции передачи аналогового прототипа;

Fs - частота дискретизации;

bzp, azp - коэффициенты числителя и знаменателя функции передачи ЦФ.

b = [-6,36e-17 0,0043 0,0093 0,0017 0,0069 -0,0037 0]

a = [1 -3,2611 6,0865 -6,8335 5,2023 -2,3813 0,6246]

Построим диаграмму полюсов и нулей

Увеличенная диаграмма нулей в области большего числа нулей



Все полюсы фильтра лежат внутри окружности единичного радиуса z-плоскости, следовательно, фильтр устойчив.

Составим разностное уравнение ЦФ и решим его методом итерационной процедуры для управляющего сигнала типа единичный скачок.

Решение методом итерационной процедуры в MatLab:

for n = 1:length(h1)

y(n) = 0;

for m=1:n

y(n)=y(n)+x(m)*h1 (n-m+1);

end

end;

где h1 - импульсная характеристика ЦФ;

x - вектор управляющего сигнала типа единичный скачок.

Решение разностного уравнения для управляющего сигнала типа единичный скачок

Импульсная и переходная характеристики фильтра

Построим сигналы на выходе фильтра, подавая на вход сигналы с частотой лежащей в полосе задержки и в полосе пропускания.

Подав на вход фильтра с тестовый сигнал с единичной амплитудой и с частотой 1500 Гц, видим, что входной сигнал подавлен.



Подав на вход сигнал с частотой 7500 Гц, видим, что входной сигнал не подавлен, т.к. находится в полосе пропускания.

Подав на вход фильтра сигнал с частотой 14000 Гц, видим, что входной сигнал подавлен.

Из графиков видно, что в полосе задерживания сигнал практически полностью подавляется.

Составим каноническую структурную схемы фильтра. Для этого запишем уравнения:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

где b₀= ; b₁= … b₅= ;

a₀=1; a₁= … a₆= .

Составим параллельную структурную схему фильтра. Для этого передаточную функцию представим в виде суммы простых дробей с помощью matlab-функции residue.

[r, p, k] = residue (bz, az);

bz, az - коэффициенты передаточной функции;

r вектор-столбец вычетов;

p вектор-столбец полюсов;

k - вектор-строка целой части дробно-рациональной функции.

; ; .



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на Allbest.ru