Расчет сигнала на выходе линейной радиотехнической цепи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расчет сигнала на выходе линейной радиотехнической цепи спектральным методом



Введение

К числу важных областей науки и техники, достижения которых играют ключевую роль в создании инфраструктуры информатизации, относится радиотехника. Именно достижения радиотехники явились основой для создания функциональной и структурной организации современных коммуникационных систем и вычислительных сетей, обеспечивающих пользователям широкий выбор информационно-вычислительных услуг с доступом к удаленным машинных ресурсам, технологиям и базам данных.

Радиотехника - научно-техническая область, задачами которой являются:

1) изучение принципов генерации, усиления, излучения и приема электромагнитных колебаний и волн, относящихся к радиодиапазону;

2) практическое использование этих колебаний и волн для целей передачи, хранения и преобразования информации.

В настоящее время круг применения радиотехники необычайно велик. Радиосвязь, телевидение, радиоуправление, радиолокация и т.д.

В наши дни радиотехника является бурно развивающейся научно-прикладной областью. Говоря о ближайших перспективах ее развития, следует подчеркнуть тенденцию перехода ко все более высокочастотным диапазонам электромагнитных колебаний и волн. Так, колебания сверхвысокочастотного (СВЧ) диапазона, ранее применявшиеся в основном в радиолокации, стали широко использоваться в телевизионных, связных и телеметрических радиоканалах

Как известно передача сообщения от источника к получателю с помощью радиотехнических методов осуществляется по радиоканалу и сопровождается разнообразными преобразованиями сигналов. Эти преобразования осуществляются посредством соответствующих физических систем - радиотехнических цепей. Каждая радиотехническая цепь выполняет определенную операцию над сигналами, характер которой целиком зависит от внутренней структуры цепи.

Постановка задачи

Задачей курсовой работы является расчет сигнала на выходе радиотехнического устройства. Для решения этой задачи необходимо проанализировать спектральные характеристики цепи и спектральные свойства сигнала, а затем, используя спектральный метод анализа линейных электрических цепей получить сигнал на выходе заданного радиотехнического устройства.

Далее более детально пояснён перечень действий,выполнение курсовой работы:

1. Согласно заданой электрической цепи необходимо получить выражение для ее амплитудно-частотной и фазочастотной характеристики.

2. Согласно входного сигнала, используя прямое преобразование Фурье получить амплитудно-частотный и фазочастотный спектр входного сигнала.

3. Рассчитать амплитудно-частотный и фазочастотный спектр выходного сигнала как произведение спектра входного сигнала и частотной характеристики цепи.

4. Путем обратного преобразования Фурье спектра выходного сигнала получить выражение для выходного сигнала радиотехнического устройства.

Для решения основной задачи используется схема и сигнал, представленные на рисунке 1.

Параметры элементов цепи:

R1=5 кОм, R2=10 кОм, R3=1 кОм, L1= 0,5 мГ, L2= 5 мГ,С1=100 нФ, С2=60 нФ.

радиотехника линейный цепь спектральный



Рис. 1 Электрическая схема цепи и входной сигнал



1. Методы расчета характеристик сигналов на выходе линейной радиотехнической цепи

1.1 Классификация радиотехнических цепей

Под радиотехнической цепью понимают совокупность соединенных определенным образом пассивных и активных элементов, обеспечивающих прохождение и функциональное преобразование сигналов. Пассивные элементы - это резисторы, емкости, катушки индуктивности и средства их соединения. Активные элементы - это транзисторы, электронные лампы, источники питания и другие элементы, способные вырабатывать энергию, увеличивать мощность сигнала. Радиотехнические цепи, применяемые для преобразования сигналов, весьма разнообразны по своему составу, структуре и характеристикам. В процессе их разработки и аналитического исследования используют различные математические модели, удовлетворяющие требованиям адекватности и простоты.

В общем случае, любую радиотехническую цепь можно описать формализованным соотношением, определяющим преобразование входного сигнала в выходной , которое символически можно представить в виде

,

где - оператор, указывающий правило, по которому осуществляется преобразование входного сигнала.

Таким образом, в качестве математической модели радиотехнической цепи может служить совокупность оператора T и двух множеств , сигналов на входе и выходе цепи так, что



.

По виду преобразования входных сигналов в выходные, то есть по виду оператора , производят классификацию радиотехнических цепей.

1. Радиотехническая цепь является линейной, если оператор таков, что цепь удовлетворяет условиям аддитивности и однородности, т.е. справедливы равенства

; ,

где - константа.

Эти условия выражают суть принципа суперпозиции, свойственного линейным цепям.

Функционирование таких цепей описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами

,

где и - постоянные коэффициенты, зависящие от схемы и ее параметров.

Характерно, что линейное преобразование сигнала любой формы не сопровождается появлением в спектре выходного сигнала гармонических составляющих с новыми частотами, т.е. линейное преобразование не приводит к обогащению спектра сигнала.

2. Радиотехническая цепь является нелинейной, если оператор T не обеспечивает выполнение условий аддитивности и однородности. Функционирование таких цепей описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, т.е. уравнениями, хотя бы один коэффициент которых является функцией входного сигнала или его производных.

Нелинейные цепи не удовлетворяют принципу суперпозиции. При анализе прохождения сигналов через нелинейную цепь результат определяется как отклик на сигнал как таковой. Его нельзя разлагать на более простые сигналы. В то же время нелинейные цепи обладают очень важным свойством - обогащать спектр сигнала. Это значит, что при нелинейных преобразованиях в спектре выходного сигнала появляются гармонические составляющие с частотами, которых не было в спектре входного сигнала. Возможно появление также составляющих с частотами, равными комбинации частот гармонических составляющих спектра входного сигнала. Это свойство нелинейных цепей обусловило их применение для решения широкого класса задач, связанных с генерацией и преобразованием сигналов.

Структурно линейные цепи содержат только линейные элементы, к числу которых относятся и нелинейные элементы, работающие в линейном режиме (на линейных участках своих характеристик). Линейные цепи - это усилители, работающие в линейном режиме, фильтры, длинные линии, линии задержки и др. Нелинейные цепи содержат один или несколько нелинейных элементов. К числу нелинейных цепей относятся генераторы, детекторы, модуляторы, умножители и преобразователи частоты, ограничители и др.

3. Радиотехническая цепь является параметрической, если оператор T зависит от параметров цепи, которые изменяются со временем. Функционирование таких цепей описывается дифференциальными уравнениями, хотя бы один коэффициент которых является функцией времени. Параметрические цепи могут быть линейными и нелинейными.

Линейные параметрические цепи удовлетворяют условиям суперпозиции (аддитивности и однородности). Кроме того, эти цепи способны обогащать спектр сигнала. Структурно они содержат элементы, параметры которых (сопротивление, емкость, индуктивность) изменяются со временем.

По характеру временной зависимости выходного сигнала от входного различают инерционные и безынерционные радиотехнические цепи.

Радиотехническая цепь, значение выходного сигнала которой в момент зависит не только от значения входного сигнала в этот момент времени, но и от значений в моменты времени, предшествовавшие моменту , называется инерционной цепью. Если значение выходного сигнала в момент полностью определяется значением в тот же момент времени , то такая цепь называется безынерционной.

1.2 Методы анализа радиотехнических цепей

Существует несколько методов анализа линейных цепей. Выбор наиболее удобного из них зависит от сигнала, поступающего на вход, функциональной и структурной организации цепи и некоторых других факторов. Наиболее часто используются точные и приближенные методы

Точные методы анализа цепей:

1. Классический метод, или метод дифференциальных уравнений.

2. Временной метод, называемый методом интеграла наложения или интеграла Дюамеля.

3. Спектральный метод и его разновидность - операторный метод.

Приближенные методы анализа цепей:

1. Метод комплексной огибающей.

2. Приближенные спектральные методы.

3. Метод мгновенной частоты.

Точные методы анализа цепей:

Классический метод основан на составлении и решении линейного дифференциального уравнения, описывающего поведение цепи при заданном воздействии. Уравнение составляется с помощью законов Кирхгофа. При этом используются известные соотношения

; ; ;

; ; .

Дифференциальное уравнение имеет вид

,

где и - постоянные коэффициенты, зависящие от структуры схемы и ее параметров.

Порядок высшей производной определяет порядок цепи. Если входной сигнал задан, то правая часть - это известная функция.

Решение дифференциального уравнения состоит из двух частей

,

где - свободная составляющая, которая характеризует переходной процесс и является решением однородного дифференциального уравнения ;



- принужденная составляющая, которая характеризует установившийся процесс и является частным решением дифференциального уравнения при определенных начальных условиях.

Метод применяется для цепей, описываемых дифференциальным уравнением второго и реже третьего порядка.

Временной метод (метод интеграла наложения, метод интеграла Дюамеля) основан на использовании импульсной характеристики цепи, т.е. характеристики цепи во временной области. Импульсная характеристика - это реакция цепи на -функцию. Такой функцией описывается модель сигнала, имеющего бесконечно большую амплитуду, нулевую длительность и площадь, равную 1.

Представим входной сигнал сложной формы в виде совокупности прямоугольных импульсов одинаковой и достаточно малой длительности (рис. 2).

Реакция цепи в моменты времени , на каждый из этих импульсов (если бы площади их были равны единице) - есть импульсная характеристика . Но так как площади импульсов равны , то

реакция цепи равна . В свою очередь выходной сигнал в некоторый момент времени будет равен сумме реакций цепи на импульсы в интервале , т.е.

.

При суммирование сводится к операции интегрирования по переменной :



.

Рис.2. Свертка сигнала с импульсной характеристикой

Таким образом, значения выходного сигнала линейной цепи в любой момент времени являются результатом взвешенного суммирования мгновенных значений входного сигнала. Весовая функция - это импульсная характеристика цепи.

Учитывая, что для реальных цепей при , можно записать

.

Полученное выражение для представляет собой интеграл наложения, или интеграл Дюамеля. В математике полученное выражение называют сверткой двух функций. Таким образом, выходной сигнал линейной цепи равен свертке входного сигнала и импульсной характеристики цепи. Иногда используют другую форму записи интеграла Дюамеля, которую можно получить путем замены переменной на ,



.

Заметим, что интеграл Дюамеля можно получить из формулы , на которой основан спектральный метод анализа цепей. Для этого воспользуемся свойствами преобразования Фурье и связью между частотной и импульсной характеристиками цепи, имея в виду, что частотная характеристика цепи является по существу спектральной плотностью ее импульсной характеристики .

Из свойств преобразования Фурье известно, что произведению двух спектров соответствует свертка сигналов, соответствующих данным спектрам. Таким образом, можно записать

;

.

Следовательно, спектру соответствует сигнал

Спектральный метод основан на частотных свойствах сигнала и цепи с использованием принципа суперпозиции. Частотные свойства сигнала характеризуются его спектром, а частотные свойства цепи - частотной характеристикой. Так как спектр сигнала - это совокупность гармонических составляющих, то задача анализа цепи сводится по сути дела к анализу установившихся режимов в цепи при синусоидальных воздействиях.

Прохождение периодического сигнала через линейную цепь

Спектр периодического сигнала определяется путем разложения сигнала в ряд Фурье, комплексная форма которого имеет вид

,

где - комплексная амплитуда -й гармоники входного сигнала.

Комплексная амплитуда -й гармоники выходного сигнала определяется как произведение комплексной амплитуды соответствующей гармоники входного сигнала на значение частотной характеристики, которое она имеет на частоте данной гармоники. Таким образом,

,

где и - амплитуда и фаза -й гармонической составляющей выходного сигнала.

Отсюда на основании принципа суперпозиции находим выходной сигнал:

.

Таким образом, спектр периодического сигнала на выходе линейной цепи может быть получен перемножением спектра входного сигнала на значения частотной характеристики цепи на соответствующих частотах.

Прохождение непериодического сигнала через линейную цепь

Спектр непериодического сигнала (спектральная плотность) определяется путем вычисления прямого преобразования Фурье

.

В свою очередь обратное преобразование Фурье позволяет определить сигнал по его спектру, т.е.

.

Как видно из данного выражения, сигнал представляется в виде суммы бесконечно большого числа незатухающих и бесконечно близких по частоте гармонических колебаний с бесконечно малыми комплексными амплитудами, равными . Это дает возможность использовать обычные методы расчета установившихся режимов.

Применительно к решаемой задаче, каждая из таких гармонических составляющих входного сигнала обусловит соответствующую гармоническую составляющую выходного сигнала с комплексной амплитудой, равной

.

На основании этого можно записать выражение для спектральной плотности выходного сигнала, которое является фундаментальным для рассматриваемого метода анализа линейных цепей,



.

Таким образом, спектральная плотность выходного сигнала равна произведению спектральной плотности входного сигнала на частотную характеристику цепи.

Выходной сигнал находится с помощью обратного преобразования Фурье, реализующего суммирование бесконечно большого числа его гармонических составляющих:

.

Спектральный методы анализа линейных цепей успешно применяются для решения многих вопросов теории связи и управления. При этом удается обойти серьезные трудности, связанные с вычислением корней характеристического уравнения систем высокого порядка. Частотный метод имеет важное значение особенно в тех случаях, когда уравнение системы вообще неизвестно и когда можно ограничиться качественным исследованием динамических свойств систем.

Приближенные методы анализа цепей:

Метод комплексной огибающей.В процессе обработки сигналов при передаче сообщений не обязательно полностью сохранять структуру сигнала, достаточно лишь сохранить закон изменения того параметра (амплитуду, частоту, фазу), в котором заключена передаваемая информация. Этот факт создает условия для упрощения методов анализа прохождения сигналов через линейные цепи. Радиосигналы, используемые для передачи информации, относятся к классу узкополосных. Для анализа прохождения таких сигналов через узкополосные цепи можно использовать понятие аналитического сигнала, имеющего, как известно, следующий вид



.

Здесь - сигнал, полученный из исходного сигнала с помощью преобразования Гильберта; - комплексная огибающая, которая содержит информацию о законах изменения амплитуды и фазы колебания.

Таким образом, решаемая задача сводится по существу к анализу результата преобразования комплексной огибающей входного сигнала при прохождении его через линейную цепь. Задачу в такой постановке можно решить спектральным и временным методами.

Приближенный спектральный метод применяется в случае, если эффективная ширина спектра сигнала значительно отличается от ширины полосы пропускания цепи . Другими словами, данный метод используется при расчете прохождения узкополосного сигнала через широкополосную цепь () и при прохождении широкополосного сигнала через узкополосную цепь ().

Метод мгновенной частоты. Метод мгновенной частоты используется для анализа прохождения сигналов с угловой модуляцией через избирательные цепи. Рассмотрим данный метод в общих чертах.Спектр сигналов с угловой модуляцией имеет достаточно сложную структуру даже при простом модулирующем сигнале (например, при модуляции гармоническим колебанием). Неравномерность АЧХ и ФЧХ цепи приводит к нарушению амплитудных и фазовых соотношений между многими спектральными составляющими, следствием чего может быть искажение закона модуляции.

Рассмотрим прохождение сигнала с угловой модуляцией



через узкополосную цепь с центральной частотой и частотной характеристикой

.

При малых в спектре сигнала мало составляющих. Поэтому поставленную задачу можно решить спектральным методом для комплексной огибающей.

При больших решение задачи усложняется. Используется приближенный метод, в основу которого положено допущение о том, что частота сигнала с угловой модуляцией изменяется в зависимости от времени медленно. Для этого необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Период модулирующего колебания должен быть значительно больше постоянной времени цепи . Известно, что , где - полоса пропускания цепи на уровне . Следовательно, ; ; , т.е. частота модулирующего колебания должна быть меньше полосы пропускания цепи.

2. При постоянной частоте скорость изменения частоты модулированного колебания зависит от амплитуды модулирующего сигнала, т.е. от девиации частоты. Следовательно, девиация частоты модулированного колебания не должна выходить за пределы полосы пропускания, т.е. .

При соблюдении этих условий стационарные колебания на выходе цепи устанавливаются почти одновременно с изменением частоты сигнала, т.е. мгновенно (отсюда и название метода). При этом основные параметры колебания можно без большой погрешности определить по АЧХ и ФЧХ цепи.

Суть метода

Рассматриваем прохождение сигнала с частотной модуляцией через узкополосную цепь. Выходной сигнал определяется для фиксированного значения частоты в каждый момент времени. Это можно сделать так же, как в стационарном режиме при действии гармонического колебания. Для момента времени можно записать

.

Тогда

Как видно из полученного выражения, амплитуда, фаза и частота выходного сигнала будет изменяться следующим образом

;

;

.

Таким образом, судя по полученным соотношением эффект воздействия узкополосной цепи на частотно-модулированный сигнал заключается в следующем:

1. В силу неравномерности АЧХ цепи появляется паразитная амплитудная модуляция. При амплитуда изменяется с двойной частотой модуляции, т.е. с частотой (рис. 2.). При , если частота сигнала находится в пределах участка АЧХ, близкого к линейному, амплитуда выходного

сигнала изменяется примерно с частотой . Это используется на практике при построении частотных детекторов.

Рис.3. Изменение амплитуды сигнала с частотной модуляцией

2. Закон изменения частоты сигнала нарушается. Влияние цепи на характер изменения частоты определяется слагаемым , т.е. зависит от ФЧХ цепи. Следствием этого является уменьшение полезной девиации частоты и запаздывание фазы выходного сигнала на определенный угол



2. Спектральные свойства сигналов

2.1 Общие спектральные характеристики сигнала

Гармонический спектральный анализ периодических сигналов предполагает разложение сигналов в ряд Фурье по тригонометрическим функциям - синусам и косинусам. Эти функции описывают гармонические колебания, которые сохраняют свою форму в процессе преобразований линейными устройствами (изменяются только амплитуда и фаза), что позволяет использовать теорию колебательных систем для анализа свойств радиотехнических цепей.

Для получения математического выражения ряда Фурье воспользуемся результатами, полученными при рассмотрении обобщенного ряда Фурье, и системой ортогональных функций , в качестве которой возьмем тригонометрические функции вида

.

Представление периодического сигнала в виде ряда Фурье предполагает нахождение коэффициентов . Коэффициенты не являются комплексными, так как используется система ортогональных тригонометрических функций. Как видно из полученной ранее формулы, для нахождения необходимо знать для каждой функции системы .

Запишем выражения для коэффициентов ряда, обозначив их как и , в зависимости от вида функции (1, или ) ортогональной системы

; ; .



Таким образом, ряд Фурье можно представить так

.

Для того чтобы коэффициенты определялись по одной и той же формуле для и , ряд Фурье принято записывать следующим образом

,

где ; .

Наиболее часто пользуются другой, более компактной формой записи ряда Фурье, называемой комплексной формой. Для получения ряда Фурье в комплексной форме воспользуемся известными формулами Эйлера:

, .

Подставив эти выражения в формулу (3.6), получим

.



где , .

Окончательно можно записать

.

Определим комплексный коэффициент . Для этого воспользуемся формулами (3.7):

Таким образом, комплексная форма ряда Фурье имеет вид

, где .

2.2 Спектральные характеристики периодических сигналов

Для упрощения методов решения задач анализа цепей сигналы представляют в виде суммы определенных функций. Этот процесс обосновывается понятием обобщенного ряда Фурье. В математике доказано, что любая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда:



Для определения умножим левую и правую части ряда на и возьмем интеграл от левой и правой части:

, для интервала [a;b] в котором выполняются условия ортогональности.

Видно, что .Получили выражение для обобщенного ряда Фурье:

Выделим конкретный вид функции , для разложения в ряд сигнала . В качестве такой функции выберем ортогональную систему функций:

Для определения ряда вычислим значение :

, так как

Таким образом, получим:



, где

Графически данный ряд представляется в виде двух графиков амплитудных гармонических составляющих.

Полученное выражение можно представить в виде:

где ;

Получили вторую форму записи тригонометрического ряда Фурье. Графически данный ряд представляется в виде двух графиков - амплитудного и фазового спектров.

Найдем комплексную форму ряда Фурье, для этого воспользуемся формулами Эйлера:

или , где

Графически спектр в этой форме представлен на оси частот в диапазоне .

Очевидно, что спектр периодического сигнала, выраженный в комплексной или амплитудной форме - дискретный. Это значит, что в спектре имеются составляющие с частотами



2.3 Спектральные характеристики непериодического сигнала

Так как в качестве непериодического сигнала в радиотехнике рассматривают одиночный сигнал, то для нахождения его спектра представим сигнал как периодический с периодом . Воспользуемся преобразование ряда Фурье для данного периода. Получим для :

или (1)

Воспользуемся данными формулами для получения математического выражения спектра одиночного импульсного сигнала.

При периодический сигнал вырождается в непериодический (одиночный) сигнал. Изменятся также и формулы, которые будут характеризовать уже спектр одиночного сигнала. Рассмотрим сущность изменений.

1. При основная частота спектра . Это означает, что гармонические составляющие, на которые разлагается сигнал с периодом , будут отстоять друг от друга на бесконечно малую величину , т.е. частоты отдельных составляющих будут изменяться не дискретно, а непрерывно. При графическом представлении линии спектра такого сигнала будут плотно располагаться на оси частот. Отсюда и название спектра - сплошной спектр.

2. Величина при превращается в текущую частоту .

Тогда выражение для коэффициента можно записать так:

. (2)



Получено выражение для комплексных амплитуд составляющих спектра непериодического сигнала. Наличие в формуле бесконечно малой величины как одного из сомножителей свидетельствует о том, что амплитуды составляющих спектра также бесконечно малы.

Таким образом, при получаем бесконечно большое число бесконечно малых по амплитуде гармонических составляющих, частоты которых располагаются "бесконечно" близко друг к другу и заполняют в общем случае всю шкалу частот. Это значит, что такое понятие, как амплитудный спектр, к непериодическому сигналу применять нельзя. Возникла необходимость ввести понятие спектральная плотность амплитуд.

Воспользовавшись формулами (1), (2) и заменив операцию суммирования операций интегрирования, можно записать

. (3)

Сравнение этой формулы с формулой (2) позволяет выделить функцию

(4)

и использовать ее в качестве спектральной характеристики сигнала, называемой спектральной плотностью. Она равна отношению комплексной амплитуды к частотному интервалу (без коэффициента ).

После подстановки (3) в (4) получаем

. (5)



Выражения (4) и (5) называются прямым и обратным преобразованиями Фурье соответственно. Это основные соотношения для получения спектральных характеристик непериодических сигналов.



3. Использование свойств преобразования Фурье для определения характеристик сигнала

3.1 Необходимость анализа свойств преобразования Фурье

Формулы прямого и обратного преобразований Фурье позволяют по сигналу определить его спектральную плотность , и если в этом есть необходимость, по известной спектральной плотности определить сигнал . Другими словами, существует однозначное соответствие между сигналом и его спектром. Для обозначения этого соответствия будем применять символ .

Вполне очевидно, что любое преобразование сигнала приведет к определенному изменению спектра. Вид и характер таких изменений определяются свойствами преобразования Фурье. Знание этих свойств значительно облегчает определение спектральных характеристик различных сигналов.

3.2.Свойства преобразования Фурье

Из формул прямого и обратного преобразований Фурье, очевидно, что если изменится сигнал, то изменится и его спектр. Следующие свойства устанавливают зависимость спектра измененного сигнала, от спектра сигнала до изменений.

1) Свойство линейности преобразования Фурье

, т.е.



Получили, что спектр суммы сигналов равен сумме их спектров.

2) Спектр сигнала сдвинутого во времени

Получили, что при сдвиге сигнала амплитудный спектр не изменяется, а изменяется только фазовый спектр на величину

3) Изменение масштаба времени

т.е при расширении(сужении) сигнала в несколько раз спектр этого сигнала сужается(расширяется).

4) Спектр производной от сигнала

Возьмем производную от левой и правой части обратного преобразования Фурье.



Видим, что спектр производной от сигнала равен спектру исходного сигнала умноженного на , то есть изменяется амплитудный спектр и меняется фазовый на .

5) Спектр интеграла сигнала

Возьмем интеграл от левой и правой части обратного преобразования Фурье.

·

·

Видим, что спектр производной от сигнала равен спектру исходного сигнала деленного на ,

6) Спектр произведения двух сигналов

Таким образом, спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров умноженной на коэффициент

7) Свойство дуальности



Таким образом, если к какому-то сигналу соответствует спектр , то сигналу по форме совпадающему с вышеуказанным спектром соответствует спектр по форме совпадающий с вышеуказанным сигналом.



4.Расчет АЧХ и ФЧХ линейной цепи

4.1 Исходные данные для расчета

Электрическая схема цепи приведена на рис. 4.

Параметры элементов цепи:

R1=5 кОм, R2=10 кОм, R3=1 кОм, L1= 0,5 мГ, L2= 5 мГ,С1=100 нФ,

С2=60 нФ.

Рис. 4 Электрическая схема цепи

Рис.5 Входной сигнал представлен на



Параметры входного импульсного сигнала:

амплитуда E=8 В;

длительность импульса ?и = 8 мкс;

4.2 Расчет АЧХ и ФЧХ заданной линейной цепи

Обозначим комплексные сопротивления:

Рассчитаем коэффициент передачи в точке 1:



Расчет коэффициента комплексной передачи в точке 2:

Комплексный коэффициент всей цепи рассчитывается как произведение рассчитанных выше коэффициентов:



Разложение комплексного коэффициента передачи на действительную и мнимую части (для этого домножим на множитель, сопряженный знаменателю):

Получили действительную часть:

Получили мнимую часть:



Выражения для АЧХ имеют вид:

.

Выражения для ФЧХ имеют вид:

.

Графики АЧХ и ФЧХ построены на рисунках 6 и 7.

Рис.6 График АЧХ



Рис. 7 График ФЧХ



5. Расчёт АЧС и ФЧС сигнала на входе линейной цепи

Рис.

Спектр входного сигнала представляет собой Фурье преобразование

выражения входного сигнала во временной области:



По свойству преобразования Фурье:

(спектр интеграла от сигнала).

S(jw) =(спектр входного сигнала).

Выделяем действительную и мнимую части:

Получили только действительную часть, т.к. входной сигнал четный.

Таким образом Амплитудно-частотный спектр входного сигнала:

;

(w) = ;

.

Фазо-частотный спектр входного сигнала имеет вид:



.

Графики АЧС и ФЧС входного сигнала представлены на рисунке 8 и 9.

Рис. 8 График АЧС входного сигнала

Рис.9 График ФЧС входного сигнала



6. Расчёт АЧС и ФЧС сигнала на выходе линейной цепи

Спектр сигнала на выходе радиотехнической цепи можно представить как произведение функции передачи K(jw) и спектра сигнала:

Данное выражение можно представить в виде:

где K(w) - АЧХ цепи, S(w)- амплитудный спектр входного сигнала, - ФЧХ цепи, а - фазовый спектр входного сигнала. Из полученного выражения выразим выражения для амплитудного и фазового спектра на выходе радиотехнической цепи:

;

= .

Подставим описанные ранее данные и в виду громоздкости полученных выражений построим спектры выходного сигнала. Графики АЧС и ФЧС выходного сигнала представлены на рисунке 10 и 11.



Рис. 10 График АЧС выходного сигнала

Рис.11 График ФЧС выходного сигнала



7.Расчет выходного сигнала

Выражение для выходного сигнала во временной области представляет собой обратное преобразование Фурье спектра выходного сигнала:

Выходной сигнал представлен на рисунке 12.

Рис. 12. Выходной импульс, синтезированный спектральным методом



Заключение

В ходе выполнения курсовой работы было сделано следующее:

1. Были рассчитаны амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики цепи.

2. Согласно заданного сигнала был рассчитан его амплитудно-частотный спектр, фазочастотный с помощью прямого преобразования Фурье;

3. Был рассчитан амплитудно-частотный спектр выходного сигнала как произведение амплитудно-частотного спектра входного сигнала на амплитудно-частотную характеристику цепи;

4. Был рассчитан фазочастотный спектр выходного сигнала как сумма фазочастотного спектра входного сигнала с фазочастотной характеристикой цепи;

5. Был произведен расчет выходного сигнала электрической цепи путем обратного преобразования Фурье спектра выходного сигнала. Конечным результатом курсовой работы было получение выходного сигнала спектральным методом.



Литература

1. Надольский А.Н. Теоретические основы радиотехники: Учеб. пособие для студ. спец. «Радиотехника», «Радиоинформатика» и «Радиотехнические системы» всех форм обуч./ А.Н.Надольский. - Мн.:БГУИР,2005.

2. Гоноровский И.С. радиотехнические цепи и сигналы. Москва. 1977г.

Размещено на Allbest.ru