Анализ частотных характеристик фильтров-прототипов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Фильтрующие цепи в системах связи и в электрических контрольно-измерительных устройствах

1. Фильтрующие цепи в системах связи и в электрических контрольно-измерительных устройствах

Фильтрующие цепи играют важную роль в системах связи и в электрических контрольно-измерительных устройствах. В современной радиотехнике под фильтрацией сигналов на фоне помех понимают любое выделение параметров случайных процессов, отражающих полезную информацию (сообщение). Вместе с тем сохраняется и традиционное, более узкое, представление о фильтрации, связанное с частотной селекцией сигналов.

Под электрическим фильтром в традиционном смысле понимается цепь, обладающая избирательностью реакции на внешнее воздействие. Характеристики фильтра могут задаваться во временной или частотной области, в последнем случае требования к фильтру обычно диктуют определенную избирательность в заданном диапазоне частот.

Электрические фильтры можно классифицировать по различным признакам. По способу построения и используемой элементной базе различаются следующие типы фильтров: фильтры на сосредоточенных элементах (LC-фильтры), кварцевые и керамические, электромеханические фильтры, фильтры на отрезках длинных линий (СВЧ-фильтры), активные RС-фильтры на сосредоточенных и распределенных элементах, коммутируемые и цифровые фильтры, фильтры на поверхностных акустических волнах.

Свойства фильтров

По расположению полосы пропускания фильтры делятся на следующие типы:

-фильтры нижних частот (ФНЧ), пропускающие сигналы с частотами от 0 до ?с ;

-фильтры верхних частот (ФВЧ), имеющие полосу пропускания от?с до бесконечности;

-полосовые фильтры (ПФ), пропускающие входной сигнал в полосе частот от fc1 до fc2;

- заграждающие фильтры (ЗФ), не пропускающие входной сигнал в полосе частот от

fc1 до fc2;

- гребенчатые фильтры (ГФ), или многополосовые, имеющие несколько полос

пропускания.

По наличию активных элементов различают активные фильтры и пассивные.

Активные фильтры способны усиливать проходящие через них сигналы по мощности. На эквивалентной схеме это свойство отражается наличием источника, за счет энергии которого и осуществляется усиление.

В качестве пассивных фильтров широко применяются LC-фильтры, т. е. цепи, содержащие реактивности разных знаков. Благодаря резонансным явлениям в таких цепях выделяются колебания, находящиеся в полосе пропускания.

В пассивных фильтрах могут применяться реактивные элементы одного знака - только индуктивности или только емкости, при этом селекция сигналов основывается, по-прежнему, на частотной зависимости сопротивления реактивных элементов. Однако для формирования необходимых частотных характеристик эти фильтры должны содержать и резисторы. Обычно при подобном построении фильтра отказываются от применения индуктивности, которая является более габаритным и дорогим и менее стабильным элементом по сравнению с емкостью. Таким образом, получаются RC-фильтры.

В общем случае фильтр может включать в себя произвольные реактивные двухполюсники, так как их сопротивление также зависит от частоты. Из таких реактивных двухполюсников составляются четырехполюсники, которые, соединяясь между собой в различных сочетаниях, образуют сколь угодно сложные фильтры.

В зависимости от способа соединения различают цепочечные и мостовые фильтры.

а) б)

Рис. 1.1. Цепочечные фильтры: а) Т-образные звенья; б) П-образные звенья.

Цепочечные фильтры получаются путем цепочечного (каскадного) соединения элементарных четырехполюсников (звеньев). При цепочечном соединении имеется только один канал, по которому сигнал проходит с входа на выход. Обычно используются Г- , Т- и П-образные звенья (рис.1.1).

Если же в фильтре использовать параллельное соединение реактивных четырехполюсников (рис. 1.2), то сигнал будет проходить с входа на выход по двум каналам. Параллельно соединяемые четырехполюсники могут иметь произвольную схему. Фильтры с параллельным включением четырехполюсников называются мостовыми фильтрами.

Рис. 1.2. Параллельное соединение четырехполюсников.

Принципиальной особенностью мостовых фильтров является то, что на некоторой частоте два сигнала, проходящие по разным каналам, могут поступать на выход в противофазе, но с одинаковой амплитудой. При этом происходит взаимная компенсация сигналов, т. е. в мостовом фильтре производится абсолютное подавление колебаний, что невозможно в цепочечных фильтрах при наличии потерь. Бывают Х- и Т-образные мостовые схемы (рис.1.3).

а) б)

Рис. 1.3. Мостовые фильтры: а) - Х-образная схема; б) - Т-образная схема.

Вместо реактивных элементов с сосредоточенными параметрами в фильтрах могут использоваться волновые двухполюсники и четырехполюсники, свойства которых также зависят от частоты. Это фильтры с распределенными параметрами, применяемые на сверхвысоких частотах.

Рассмотренные выше типы пассивных фильтров строятся по принципу цепочечного и параллельного соединения четырехполюсников. Другие возможные способы соединения четырехполюсников обычно не используются, так как не привносят ничего существенного в свойства пассивного фильтра.

Однако при использовании в фильтре активных элементов кроме цепочечного соединения (как в резонансных усилителях), могут применяться последовательное, параллельное и другие типы соединений четырехполюсников. В таких фильтрах создаются условия, при которых сигнал может проходить в направлении от выхода к входу схемы по одному (или нескольким) из четырехполюсников полностью или преимущественно. Указанные фильтры называются фильтрами с обратными связями или активными фильтрами. Четырехполюсник, по которому сигнал проходит с входа на выход, является активным четырехполюсником с коэффициентом передачи, не зависящим от частоты, а селективные свойства активных фильтров задаются четырехполюсником обратной связи, в качестве которого выступают пассивные фильтры.

В резонансных усилителях отсутствуют обратные связи, поэтому обычно их не относят к разряду активных фильтров, хотя в них и есть активный элемент. Среди активных фильтров наиболее широко используются активные RC-фильтры.

2. Динамические характеристики

Ниже рассматриваются фильтры с одним входом и одним выходом, состоящие из линейных элементов, параметры которых не зависят от времени (рис. 1).

Выходной сигнал такого фильтра линейно связан с входным. Эта связь во временной области описывается интегралом свертки:

где h(t) -.импульсная характеристика фильтра.

Рис.1. Линейный фильтр

Связь между входным и выходным сигналами в частотной области можно получить, применив к выше приведенной формуле преобразование Лапласа:

Y(p)=H(p)X(p)

десь Н(р) - преобразование Лапласа для h(t) (передаточная функция фильтра). При p=j? она является комплексной частотной характеристикой (КЧХ) H(j?). Таким образом,

где Н(j?) - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтра;

?(?) - фазо-частотная характеристика (ФЧХ) фильтра.

зависимости от вида входной и выходной переменных передаточная функция и КЧХ могут иметь размерность сопротивления, проводимости либо быть безразмерными. В частности, КЧХ по напряжению определяется как

где Uвых(j?) и Uвх(j?) - комплексные амплитуды входного и выходного напряжений.

Наряду с этой характеристикой широко используется частотный коэффициент передачи мощности:

В отличие от КЧХ, частотный коэффициент передачи мощности является действительной функцией частоты и поэтому в ряде случаев удобен для задания исходных данных при проектировании фильтров. Однако эта функция не содержит в общем случае сведений о ФЧХ фильтра.

Передаточная функция физически реализуемого фильтра представляет собой отношение полиномов:

Наряду с частотными характеристиками передачи (в переменных выход-вход) широко применяются частотные характеристики затухания (в переменных вход-выход), использующие не само отношение переменных, а логарифм

При этом W(s) называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ) фильтра и измеряется в децибелах.

Для расчета фильтров, я пользуюсь специальным справочником по расчету фильтров, автора Зааля Р. Он специально предназначен в помощь инженеру при решении большинства задач по расчету фильтров, он позволяет избежать трудоемких вычислений, которые требуют синтезы цепей, и составления сложных машинных программ или применение вычислительных машин.

Диапазон частот, в котором затухание фильтра минимально (для идеального фильтра равно нулю), называется полосой пропускания. Обычно это диапазон частот, занимаемый преимущественно полезным сигналом.

Диапазон частот, в котором затухание фильтра максимально (для идеального фильтра равно бесконечности), называется полосой подавления (задерживания). Обычно это диапазон частот, занимаемый преимущественно помехой.

Диапазон частот, лежащий между полосой пропускания и полосой подавления, называют переходной полосой;

В зависимости от взаимного расположения полос подавления и пропускания различают следующие типы фильтров:

1. Фильтр нижних частот (ФНЧ) - фильтр с полосой пропускания от 0 до частоты ?с и с полосой подавления от ?с до бесконечности (?с<?s).

2. Фильтр верхних частот (ФВЧ) - фильтр с полосой пропускания от частоты ?с до бесконечности и с полосой подавления от 0 до ?с (?с >?s).

3. Полосовой фильтр (ПФ) - обе границы полосы пропускания представляют собой ненулевые частоты ?сн, ?св, а с каждой из сторон от полосы пропускания имеется по одной полосе подавления (от 0 до ?sh и от ?sh до ?).

4. Режекторный (заграждающий) фильтр (РФ) - фильтр с двумя полосами пропускания (от 0 до ?сн и от ?св до ?) и одной полосой подавления.

5. Гребенчатый фильтр (ГФ) - фильтр с несколькими полосами подавления и несколькими полосам пропускания.

6. Все пропускающий фильтр постоянного затухания (ФПЗ) - фильтр с единичной (постоянной) передачей для всех частот (т. е. с полосой пропусками от 0 до ?); используется для обеспечения требуемой фазовой коррекции и фазового сдвига.

Требования к амплитудно-частотной характеристике фильтра в первую очередь включают параметры полосы подавления, полосы пропускания и переходной полосы.

В идеальном случае затухание фильтра должно быть равным нулю в полосе пропускания и стремиться к бесконечности в полосе подавления. В теории цепей на основе так называемого критерия Пели-Виннера доказывается, что фильтры с прямоугольной АЧХ физически нереализуемы. Поэтому первая задача построения фильтра - аппроксимация идеальной прямоугольной характеристики функцией цепи, удовлетворяющей условиям физической реализуемости. Эта задача имеет многочисленные решения, доведенные до ряда стандартных функциональных построений, которые основаны на различных способах аппроксимации.

Наиболее употребительными являются следующие типы фильтров, отличающиеся видом аппроксимирующей функции:

1. Фильтр Баттерворта, имеющий максимально плоскую АЧХ в полосе пропускания и монотонно возрастающее затухание в полосе задерживания.

2. Фильтр Чебышева с равно волновой АЧХ в полосе пропускания и монотонно возрастающим затуханием в полосе подавления.

3. Инверсный фильтр Чебыщева с монотонно возрастающим в полосе пропускания затуханием и равно волновой АЧХ в полосе подавления.

4. Эллиптический фильтр (фильтр Золотарева-Кауэра) с равно волновой АЧХ, как в полосе пропускания, так и в полосе подавления.

5. Фильтр Бесселя (фильтр с максимально плоской характеристикой группового времени запаздывания) с аппроксимацией ФЧХ рядом Тейлора.

Фильтры с характеристиками указанных типов могут быть реализованы как пассивными LC-цепями, так и активными RC-схемами, а также цифровыми методами.

Алгоритм расчёта.

На рис. 1 приведёна схема формирующего фильтра. Таким образом, импульсная характеристика (ИХ) полученного фильтра - в М раз растянутая ИХ фильтра-прототипа, а амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) - в М раз сжатая АЧХ фильтра-прототипа.

Рис. 1

Фильтр-прототип представлен в Z-области своей передаточной

функцией (ПФ):Hпр(z)= hпр(k)·z-k, (1), где N - длина импульсной характеристики. При замене в (1) z на z-M, была получена ПФ формирующего фильтра: Hмн(z)=hпр(k)·z-kМ. (2)

Амплитудно-частотная характеристика фильтра-прототипа представлена на рис. 2,а, рис 2,b - АЧХ формирующего фильтра. Повторяющиеся полосы пропускания в ¦Hмн(f) ¦ принято называть репликами основной АЧХ, или просто репликами.

Для устранения реплик после формирующего фильтра установлен фильтр, названный маскирующим (рис. 2, с) который является фильтром НЧ и выделяет только требуемую полосу пропускания (рис. 2, d).

Результирующая АЧХ выражается как ¦Hрез(f) ¦=¦Hмн(f) ¦·¦Нмаск(f) ¦ (3)

В итоге, ИКИХ фильтр представлен в виде каскадного фильтра, структурная схема которого показана на рис. 3.

Рис. 2

Рис. 3

Для вычисления коэффициентов формирующего и маскирующего фильтров, необходимо было определить их параметры.

Пусть fpass- правая граница полосы пропускания, fstop -левая граница полосы задерживания и ftrans = fpass - fstop, тогда базовые частоты фильтра-прототипа определяются как:

fпр-pass=M·fpass (4а), fпр-stop=M·fstop (4б), fпр-trans=M ftrans =M·(fstop -fpass) (4в)

Частоты маскирующего фильтра при этом будут

fма-pass= fpass (5а), fма-stop=- fstop (5б)

Максимальное значение коэффициента М можно получить, опираясь на рисунок 2,b.Частота Fs/М- fstop не должна быть меньше, чем fstop. Из этого условия определено максимального значения М: Ммах= (6)

Таким образом, приемлемый коэффициент расширения - это целое число в диапазоне 2 ? М ? Ммах. При практическом использовании возникает задача выбора М из числа допустимых значений. Экспериментально показано, что кривые, представляющие зависимость порядков фильтров от коэффициента М, имеют один минимум. Следовательно, оптимальное значение М можно искать, используя одномерный поиск унимодальной функции.

Максимальное значение допуска в полосе пропускания - это результат реакций интерполированного и маскирующего фильтров: 1+?рез=(1+?мн)·(1+?ма)=1+?мн+?ма+?мн·?ма. (7)

При малых значениях ?инт и ?ма, слагаемым ?инт·?ма можно пренебречь, и мы получаем ?ИКИХ=?инт+?ма (8)

Таким образом, при синтезе формирующего и маскирующего фильтров, предусмотрительно будет сделать одинаковые допуски, равные половине конечного значения ?мн=?ма??рез/2. (9)

Ослабление в полосе задерживания для обоих каскадно соединённых фильтров должно быть равно требуемому ослаблению, так как происходит наложение их полос пропускания и задерживания в области, которая для синтезируемого фильтра является строго полосой задерживании

Рис. 4

Дальнейшее уменьшение порядка результирующего фильтра возможно, если маскирующий фильтр представить в виде каскадного соединения двух фильтров с симметричными АЧХ: низкочастотного и режекторного (рис. 5). Теория этих фильтров основана на лемме С. Н. Бернштейна [3] и изложена в [4].

Рис. 5

Амплитудно-частотные характеристики представлены на рис. 6 (рис. 6, а - АЧХ результирующего маскирующего фильтра, рис. 6, b - маскирующего НЧ ФСХ, рис. 6, с - маскирующего РФ ФСХ).

Рис. 6

Список литературы

фильтр измерительный амплитуда частота

1. Цифровые устройства и микропроцессоры, Микушин А. В.,Спб, «БХВ-Петербург»,2010

1. Ричард Лайонс «Цифровая обработка сигналов», М., Бином, 2006

2. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов, Спб, «Питер»,2005

3. Ланнэ А.А. «Синтез нерекурсивных цифровых фильтров с симметричными характеристиками», Известия ВУЗов Радиоэлектроника, том 38, № 3-4, 1995

4. И. Ануфриев, А. Смирнов, Е. Смирнова «MATLAB 7», СПб, «БХВ-Петербург», 2005

5. Дьяконов В.П. «MATLAB 6.5 SP1/7.0 Simulink 5/6 Обработка сигналов и проектирование фильтров», М, Солон-Пресс, 2005

Размещено на Allbest.ru