Спроектировать обобщенный настраиваемый объект. Структуру ОНО следует формировать, основываясь на методах теории инвариантности, а для синтеза алгоритмов адаптации использовать метод функций Ляпунова. За критерий адаптации принять минимум квадрата ошибки самонастройки. Выбор значений коэффициентов алгоритмов адаптации проводить на основании анализа графиков ошибки самонастройки, полученных путем математического моделирования ОНО с помощью системы MATLAB на ПЭВМ. После синтеза ОНО необходимо осуществить его техническую реализацию - составить функциональную схему, выбрать элементы и разработать, принципиальную электрическую схему.

Исходные данные.

Вариант 3.

Передаточная функция W(p) гипотетического летательного аппарата:

Передаточная функция W_м(p) эталонной модели.

,

где , ,

, ,

, ,

или

.

Введение

2.1 Синтез алгоритмов адаптации ОНО с использованием функции Ляпунова

Учитывая уравнение объекта (1.3), выражения (1.5) и (1.10), и принимая во внимание, что x₂=x₁-x₃, получим

(2.1)

Вычитая из (2.1) уравнение эталонной модели (1.4), запишем уравнение для ошибки самонастройки e_c = y - y_м:

.

Запишем последнее выражение в дифференциальной форме, получим:

(2.2)

Введем следующие обозначения:

(2.3)

Перепишем (2.2) в матричной форме:

(2.4)

где ,

.

Учитывая (2.4), отметим, что координаты представляют собой рассогласование коэффициентов-операторов системы и эталонной модели и, следовательно, являются параметрическими рассогласованиями.

Цель самонастройки заключается в сведении к 0 координатного рассогласования (e_c(t)=0), а в более общем случае и параметрических рассогласований

(2.5)

При выполнении (2.5) правая часть уравнения для ошибки самонастройки (2.2) равна 0. Следовательно, при устойчивой эталонной модели несмотря на ненулевые значения производных , ошибка самонастройки e_c асимптотически стремиться к нулю.

Если рассматривать движение системы в пространстве {x, y, z}, то условие (2.5) и условие e_c = 0 сводятся к следующим равенствам:

 (2.6)

Пусть перестраиваемые коэффициенты корректирующего устройства изменяются по следующим законам:

, (2.7)

где - пока неизвестные алгоритмы адаптации.

Дифференцируя (2.3) и учитывая систему (2.7), дополним уравнение для ошибки самонастройки (2.4) уравнениями для параметрических рассогласований:

, (2.8)

где

Таким образом, цель самонастройки состоит в обеспечении устойчивости невозмущенного движения (2.6) системы (2.8).

Рассмотрим случай, когда выполняется гипотеза квазистационарности объекта: r_y =r_z=0, т.е. когда неизвестные параметры объекта либо постоянны, либо изменяются очень медленно.

В качестве функции Ляпунова возьмем знакоопределенную положительную функцию следующего вида:

(2.9)

где k=const > 0; Е₁, Е₂ - единичные матрицы соответствующих размеров; Р - симметрическая матрица.

Продифференцируем (2.9):

(2.10)

Учитывая, что (Ax)^T=x^TA^T и, принимая во внимание, что Р - симметрическая матрица, запишем

Тогда из уравнения (2.10) получим

, (2.11)

где Q = A^TP + PA.

Предположим, что матрицу Q можно всегда выбрать так, что x^TQx < 0, а

, (2.12)

тогда производная функции Ляпунова будет являться определенно отрицательной в пространстве {х}, т.е. в пространстве ошибки самонастройки:

(2.13)

Следовательно, невозмущенное движение (2.6) будет устойчивым. Очевидно, что всегда можно выбрать матрицу Q такой, чтобы x^TQx < 0. Будем считать, что это требование выполняется. Однако, асимптотическую устойчивость в полном пространстве {x, y, z} при этом гарантировать нельзя, т.к. в полном пространстве {x, y, z} производная от функции Ляпунова, определяемая (2.13) является знакопостоянной функцией.

Раскроем отдельные члены, входящие в выражение (2.12):

,

Обозначим . Тогда

(2.14)

,

.

Тогда с учетом (2.14) и выражения для , условие (2.12) примет вид:

(2.15)

Тогда, если алгоритм адаптации выбрать из условия

(2.16)

условие (2.12) будет выполняться и невозмущенное движение (2.5) будет устойчивым.

На основании (2.7) и (2.16) можно записать алгоритмы адаптации:

, или (2.17)

Причем ,

а коэффициенты .

2.2 Составление структурной схемы ОНО с эталонной моделью и контурами адаптации

Структурная схема ОНО с эталонной моделью и контурами адаптации согласно структурной схеме, построенной в пункте 1.2, и на основании результатов, полученных в предыдущем пункте, будет иметь следующий вид:

Рисунок 2. Структурная схема ОНО с эталонной моделью и контурами адаптации

2.3 Определение значений коэффициентов алгоритмов адаптации ОНО

Значение коэффициентов алгоритмов адаптации ОНО будем проводить при всех параметрических возмущениях. Пусть все параметры объекта увеличились на 50%. Моделирование системы проведем с помощью системы MATLAB.

Необходимо определить четыре коэффициента алгоритмов адаптации - k, р₁₃, р₂₃, р₃₃. На рис. 4 - 16 приведены графики для ошибки самонастройки с различными значениями этих коэффициентов.

Рис. 5 График ошибки самонастройки при р13 = 1, р23 = 1, р33 = 1, К = 1.1

Рис. 6. График ошибки самонастройки при р13 = 1, р23 = 10, р33 = 1, К = 1.

Рис. 7. График ошибки самонастройки при р13 = 0.003, р23 = 0.001, р33 = 0.01, К = 180

Рис. 8. График ошибки самонастройки при р13 = 0.002, р23 = 0.001, р33 = 0.01, К = 180.

Рис. 10. График ошибки самонастройки при р13 = 0.002, р23 = 0.0001, р33 = 0.01, К =800.

Рис. 11. График ошибки самонастройки при р13 = 10, р23 = 25, р33 = 6, К = 1

По приведенным графикам видно, что наилучший результат (быстрее всего переходной процесс ошибки самонастройки стремиться к 0) был получен при следующих значениях коэффициентов алгоритмов адаптации: р13 = 10, р23 = 43, р33 = 5, К = 0.8 (рис. 13).

3. Техническая реализация обобщенного настраиваемого объекта

3.1 Построение функциональной схемы ОНО

В соответствии с полученной в предыдущей главе структурной схемы ОНО с эталонной моделью и контурами адаптации построим функциональную схему системы.

Рис. 17. Функциональная схема ОНО,

где ОУ - объект управления,

ЭМ - эталонная модель,

Д - схема дифференцирования,

И - схема интегрирования,

У - усилитель.

3.2 Выбор элементов и разработка принципиальной электрической схемы ОНО