Графики переходных функций объекта и замкнутой системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа по дисциплине: «Системы автоматического управления»

Цель работы.

Построить графики переходных функций объекта и замкнутой системы. По графику переходной функции объекта определить длительность переходного процесса, возникающего при подаче на вход объекта единичного ступенчатого воздействия. Используя график переходной функции замкнутой системы определить величину перерегулирования и длительность переходного процесса, возникающего при подаче на вход системы единичного ступенчатого воздействия.

Теоретические положения.

Системы автоматического управления (САУ) подразделяются на два основных вида: разомкнутые и замкнутые.

В разомкнутых САУ (рис. 1) сигнал на выходе управляемого объекта

Рис. 1 - Разомкнутая САУ

не измеряется, т.е. отсутствует контроль за состоянием объекта в различные моменты времени . Поэтому в них управление выходным сигналом осуществляется путем изменения сигнала задания . При этом возникает переходный процесс, т.е. сигнал не мгновенно повторяет изменение сигнала , а постепенно приближается к нему. Процесс изменения со временем выходного сигнала , обусловленный изменением сигнала задания , называется переходным процессом.

Переходные процессы характеризуются длительностью , т.е. интервалом времени от начала переходного процесса до момента, когда отклонение выходной величины от ее нового установившегося значения становится меньше определенной достаточно малой величины. Обычно в качестве последней берут 5 % максимального отклонения в переходный период.

Длительность переходного процесса характеризует быстродействие системы. Для сравнения быстродействия различных систем используют так называемые переходные характеристики, выражающие зависимость от времени выходного сигнала системы при подаче на ее вход сигналов специального вида. Если на вход разомкнутой системы (управляемого объекта) подается единичное ступенчатое воздействие , то выходной сигнал принято называть переходной функцией. Воздействие описывается следующим выражением:

(1.1)

Таким образом, - это выражение для при

, (1.2)

т.е. реакция управляемого объекта на единичное ступенчатое воздействие.

Переходную функцию объекта можно определить теоретически, если известны математические соотношения, устанавливающие взаимосвязь между сигналами и .

Для математического описания данной взаимосвязи часто используют дифференциальные уравнения следующего вида:

, (1.3)

где и - целые положительные числа (); и - постоянные коэффициенты. Решая уравнение (1.3) в предположении, что выполняются равенства (1.1) и (1.2), определим переходную функцию объекта , т.к. в этом случае .

Однако гораздо более наглядным и физически ясными являются методы математического описания объектов и систем управления, базирующиеся на аппарате передаточных функций и частотных характеристик.

Применив к уравнению (1.3) интегральное преобразование Лапласа

, (1.4)

перейдем от дифференциального уравнения к алгебраическому

, (1.5)

где и - изображения по Лапласу сигналов и соответственно, т.е.

; .

Величина в равенствах (1.4) и (1.5) является комплексным числом.

Отношение принято называть передаточной функцией объекта в разомкнутой системе управления, т.е.

. (1.6)

Согласно выражениям (1.5) и (1.6) имеем

. (1.7)

От передаточных функций легко перейти к комплексным частотным характеристикам (КЧХ). Для этого в выражении для передаточной функции (1.7) необходимо комплексный аргумент заменить на , где - мнимая единица, а - циклическая частота. Выполнив данную замену, получим

. (1.8)

Взаимосвязь между КЧХ объекта и его переходной функцией устанавливается следующим выражением:

. (1.9)

На основании (1.9) можно установить связь между предельным значением переходной функции объекта

и значением его КЧХ при нулевой частоте, а именно

. (1.10)

Равенство (1.10) можно использовать при определении длительности переходных процессов.

Действительно, длительность переходного процесса определяется из условия

. (1.11)

В таком случае из равенства (1.11) установим, что

. (1.12)

Подставляя выражение (1.10) в (1.12) имеем

. (1.13)

Следовательно, чтобы определить значение достаточно построить график переходной функции , воспользовавшись для этого выражением (1.9), а затем провести на нем параллельно оси времени прямую . В точке пересечения графика и прямой опустить перпендикуляр на временную ось. Временной интервал от начала системы координат до точки пересечения указанного перпендикуляра и временной оси определяет значение величины .

В замкнутой САУ (рис. 2) имеется обратная связь между выходом объекта и входом управляющего устройства (регулятора). Поэтому в них управление выходным сигналом объекта осуществляется не только путем изменения сигнала задания , но и с помощью регулятора. В замкнутых САУ возникающие при скачкообразном изменении сигнала задания переходные процессы нередко протекают с перерегулированием, т.е. сигнал может в течение некоторого времени превышать свое установившееся значение Возникновение перерегулирования в замкнутых САУ объясняется влиянием регулятора на сигнал .

Рис. 2 - Замкнутая САУ

Значение перерегулирования измеряют в процентах и определяют по формуле

, (1.14)

где - максимальное отклонение от установившегося значения сигнала на выходе объекта.

В тех случаях, когда изменение со временем сигнала задания определяется выражением (1.2), то имеет место равенство и формула (1.14) принимает вид

. (1.15)

Перерегулирование нельзя однозначно отнести к тем явлениям, от которых необходимо избавляться. С одной стороны наличие перерегулирования способствует значительно более быстрому достижению переходной функцией своего установившегося значения , но с другой стороны большие отклонения функции от часто бывают нежелательны, т.к. приводят к нарушению нормального хода управляемых технологических процессов. Поэтому значения параметров настройки регулятора выбирают таким образом, чтобы перерегулирование присутствовало, но не превышало некоторого заданного в соответствии с технологическими требованиями значения.

В рассматриваемом случае замкнутых САУ выражение для переходной функции (1.9) принимает вид

, (1.16)

где КЧХ замкнутой системы задается равенством

. (1.17)

Предположим, что для управления объектом применяется ПИД-регулятор, тогда КЧХ регулятора в равенстве (1.17) можно представить в виде

, (1.18)

где - коэффициент передачи объекта; и - постоянные времени дифференцирования и интегрирования соответственно.

Представим выражение (1.15) в более удобном для расчетов виде. С этой целью определим установившееся значение переходного процесса в замкнутой системе.

Исходя из равенства (1.16) установим, что

. (1.19)

Далее, на основании выражений (1.17) - (1.19) получим

. (1.20)

Подставив равенство (1.20) в выражение (1.15) имеем

. (1.21)

Рассмотрим разомкнутую САУ, представленную на рис. 1. Передаточную функцию управляемого объекта зададим выражением

, (1.22)

где - коэффициент передачи объекта; , и - постоянные времени объекта, называемые параметрами объекта. Тогда, выполнив в выражении (1.22) замену , получим выражение для КЧХ объекта

. (1.23)

Подставив в выражение (1.23) значение установим, что

. (1.24)

Воспользовавшись выражениями (1.9) и (1.23) необходимо расчетным путем определить значения переходной функции объекта и построить на миллиметровой бумаге ее график. Затем, на основании выражений (1.13) и (1.16) следует определить по этому графику длительность переходного процесса .

Значения параметров исследуемых объектов представлены в таблице 1.

Таблица 1 - Параметры объектов

Для определения параметров настройки ПИД-регулятора следует воспользоваться таблицей 2.

Таблица 2 - Параметры настройки ПИД-регулятора

Номер регулятора в таблицах определим по последней цифре своего шифра.

Для расчета значений переходной функции выбранного объекта используем написанную на алгоритмическом языке Турбо Паскаль программу PERFUN1.

Решение:

Параметры исследуемого объекта с передаточной функцией (1.22) принимают следующие значения:

; ; ; . (1.25)

Тогда согласно равенствам (1.23), (1.24) и (1.25) установим, что

. (1.26)

Введя значения (1.25) в программу PERFUN1 и задавая затем различные моменты времени, рассчитаем значения переходной функции объекта (1.22), (1.25).

Таблица 3 - Значения переходной функции объекта

В Приложении 1 к контрольной работе представлен график переходной функции исследуемого объекта по даным из таблицы 3.

По данному графику на основании равенств (1.13) и (1.26) установим, что .

Рассмотрим теперь замкнутую САУ, представленную на рис. 2. Предположим, что значения КЧХ входящего в нее объекта можно определить по формуле (1.23), причем значения его параметров представлены в таблице 1.

Воспользовавшись выражениями (1.16) - (1.18) и (1.23) необходимо расчетным путем определить значения переходной функции и построить ее график на миллиметровой бумаге. Затем, на основании выражения (1.21) следует определить по этому графику перерегулирование переходного процесса . Для расчета значений переходной функции замкнутой системы используем, написанную на алгоритмическом языке Турбо Паскаль программу PERFUN2, листинг которой приводится в Приложении к контрольным работам. Пусть параметры исследуемого объекта с передаточной функцией (1.22) заданы равенствами (1.25), а параметры настройки ПИД-регулятора принимают следующие значения:

; ; . (1.27)

Введя значения параметров объекта (1.25) и регулятора (1.27) в программу PERFUN2 и задавая затем различные моменты времени рассчитаем значения переходной функции замкнутой системы.

автоматический управление переходной функция

Таблица 4 - Значения переходной функции замкнутой системы

На основании результатов расчета построен график функции .По данному графику на основании выражения (1.21) установим, что .

Размещено на Allbest.ru