Спектральный и корреляционный анализ сигналов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство науки и образования Российской Федерации

Таганрогский государственный радиотехнический университет

Кафедра теоретических основ радиотехники

Расчетно-пояснительная записка к индивидуальной работе

по курсу

Радиотехнические цепи и сигналы

На тему:

Спектральный и корреляционный анализ сигналов

Таганрог 2006

Исходные данные и задание

Рисунок 1. График исходного сигнала

График исходного сигнала, изображенного на рис.1, соответствует сигналу, который задан вариантом 2 - 8 - 5 - 3. В соответствии с номером варианта . А длительность импульса .

Необходимо:

1) по известной формуле управляющего сигнала определить модуль и аргумент спектральной плотности, построить соответствующие характеристики от частоты ;

2) построить амплитудные и фазовые спектральные диаграммы периодического сигнала заданной формы, если период равен ;

3) записать ряд Фурье для периодического сигнала, построить колебание, полученное при суммировании первых трех членов ряда с пятью гармоническими составляющими на протяжении периода T, сравнить полученные колебания с исходным сигналом, определить погрешность аппроксимации;

4) построить зависимости модуля и аргумента спектральной плотности радиосигнала от частоты, где ;

5) построить амплитудную и фазовую спектральные диаграммы периодического сигнала с периодом Т;

6) определить корреляционные функции управляющих периодического и непериодического сигналов, построить соответствующие графики.



Расчетная часть

1. Определение модуля и аргумента спектральной плотности

Найти спектральную плотность заданного сигнала (рис.1) можно вычислив спектральную плотность прямоугольного скачка напряжения и применив свойства преобразования Фурье.

Для прямоугольного скачка спектральная плотность будет иметь вид:

Заданный сигнал (рис.1) получается суммированием трех прямоугольных скачков одинаковой длительности, но разной амплитуды. Спектральная плотность этого сигнала может быть получена с помощью свойств преобразования Фурье.

Применяя свойство ПФ сдвиг сигнала во времени, - получим спектральные плотности трех скачков напряжения (a, b, c) в отдельности:

По свойству ПФ суммарному сигналу соответствует спектральная функция:

(1)

Найдем модуль спектральной плотности .

Используя формулу Эйлера, получим:

.

После преобразования получаем:

(2)

Подставляя числовые значения в выражение (2), получаем

(3)

Фаза спектральной плотности определяется по формуле :

, (4)

где - логарифмическая производная спектральной плотности:

. (5)

Выражение для спектральной плотности можно записать в виде:



. (6)

Аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей. Определим аргумент каждого сомножителя отдельно. Первый из них равен:

.

Это спектральная плотность сдвинутого на время прямоугольного импульса величиной 1 и длительностью . Логарифмическая производная спектральной плотности равна:

.

Для определения мнимой части логарифмической производной воспользуемся представлением биномиальным рядом отношения

,

в котором примем . Тогда логарифмическую производную можно привести к виду

,

который легко позволяет определить мнимую часть, воспользовавшись формулой Эйлера:

;

;

В результате получим

.

Сумма членов ряда в последнем выражении представляет периодическую последовательность д(щ)- функций, с множителем р и периодом .

Следовательно:

.

Теперь можно найти аргумент сомножителя , используя формулу (4):

.

При интегрировании - функции получаются единичные скачки, сдвинутые относительно начала координат на величину, соответствующую частоте, на которой задана функция. Эти частоты равны .- функции, заданные в диапазоне частот [-?,0] и [щ,?], не попадают в интервал интегрирования и не влияют на величину аргумента . Таким образом, аргумент равен:

. (7)

В этой формуле N равно целой части отношения .

Для определения аргумента второго сомножителя (6), равного

, (8)

разложим его на простые множители. Обозначим и найдем корни получившегося полинома из уравнения:

.

Корни получаются равными

,

и выражение (8) записывается в виде:

. (9)



Рассмотрим один из сомножителей (9) подробнее. Обозначим

. (10)

- вещественное или комплексное число с модулем r и аргументом ш.

После подстановки (8) примет вид:

.

Аргумент определяется по формуле :

, если r > 1 (11)

,если r < 1. (12)

В нашем случае

, ,

следовательно

В результате получим, что фазочастотная характеристика определяется однозначно по формуле:

Рисунок 2. Модуль спектральной плотности сигнала

Рисунок 3. Аргумент спектральной плотности сигнала

2. Построение амплитудной и фазовой спектральных диаграмм для периодического сигнала

Необходимо построить спектральные диаграммы периодического сигнала с периодом . Так как сигнал повторяется, то мы можем представить его в виде ряда Фурье:

(11)

Далее используя прямое преобразование Фурье, получим выражение для спектральной плотности периодического сигнала, задаем частоту:

Где , Т=30 мс,. Построим спектральные диаграммы:

Рисунок 4. Модуль спектральной плотности периодического сигнала



Рисунок 5. Аргумент спектральной плотности периодического сигнала

3. Записать ряд Фурье для периодического сигнала

Ряд Фурье будет выглядеть:

(12)

А коэффициенты определяются по формулам:

Используя выражения выше получим изображения суммы первых пяти членов ряда и сравним его с исходным:

спектральный модуль аргумент радиосигнал



Рисунок 6. Сумма первых пяти членов ряда

На рис.6 изображен график управляющего сигнала красным цветом, а на него наложен график суммы первых пяти членов ряда Фурье, далее определим среднеквадратическую погрешность аппроксимации:

(13)

Подставляя в формулу (13) наши значения, где - исходный сигнал, а амплитуды спектральных составляющих мы находим по формуле:



В итоге получим, что М=0.543, следовательно, среднеквадратическая погрешность аппроксимации не превышает 54,3%.

4. Модуль и аргумент радиосигнала

Необходимо найти спектральную плотность радиосигнала

рад/с,

U₀=5B

Можно, воспользовавшись теоремой о смещении спектра сигнала, рассмотреть как сумму сигналов:

(14)

(15)

Тогда получим:

Тогда запишем выражение для модуля:

Эту формулу можно использовать, так как первой гармоники

Рисунок 7. Модуль радиосигнала

Для построения аргумента спектральной плотности радиосигнала также воспользуемся теоремой смещения:

Рисунок 8. Аргумент радиосигнала



5. Амплитудная и фазовая спектральные диаграммы

Ссылаясь на пункт 2 расчетной части этой работы, мы аналогично найдем спектр периодического радиосигнала, задав :

Так как сигнал повторяется, то мы можем представить его в виде ряда Фурье:

(16)

Далее используя прямое преобразование Фурье, получим выражение для спектральной плотности периодического сигнала, задаем частоту:

Где ,

Т=30 мс,

Построим спектральные диаграммы:

Рисунок 9. Амплитудный спектр радиосигнала

Формула фазовой спектральной диаграммы:

Рисунок 10. Фазовый спектр радиосигнала

6. Корреляционные функции

Для непериодического сигнала формула для корреляционной функции выглядит так:

(17)

По ней рассчитаем таблицу значений для построения графика при =3 мс:

	-5	-4	-3	-2	-	0		2	3	4	5
,	0	-0,03	0	-0,04	0	0,14	0	0,04	0	0,03	0

Рисунок 11. Корреляционная функция непериодического сигнала

Для периодического сигнала формула будет выглядеть так:

(18)

По ней рассчитаем таблицу значений для построения графика:

	0		2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
,	1,4	0	-0,4	0	-0,3	0	-0,3	0	-0,4	0	1,4	0	-0,4	0	-0,3	0

Рисунок 12. Корреляционная функция периодического сигнала

Размещено на Allbest.ru