Дискретизация аналогового сигнала по времени

Руководствуясь теоремой Котельникова, частоту дискретизации выбираем так, чтобы . Для определения верхней частоты спектра сигнала воспользуемся пороговым критерием: для частот выше «верхней» модуль спектральной плотности не превышает уровня 0,1 от максимального значения.

Частоту среза найдём из графика рис.1.2:

; .

Дискретный сигнал получается путем замены непрерывного времени его дискретным аналогом

.

Рис.1.4- График дискретизированного исходного сигнала

Таким образом, сигнал задается последовательностью отсчетов вида.

Е{3.2, 2.713, 2.226, 1.739, 1.252, 0.765, 0.278, 2.922, 2.272, 1.627, 0.974, 0.325, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}.

Расчет спектральной плотности дискретизированного сигнала

Спектральную плотность дискретной последовательности найдём по следующей формуле, применив ППФ:

Для облегчения расчетов произведем нормировку делением на число отсчетов, в этом случае формула приобретает упрощенный вид:

Рис.1.5- График спектральной плотности аналогового и цифрового сигнала

Анализируя рисунок 1.5 можно сделать очень важный вывод: при дискретизации сигнала во временной области спектральная плотность становится периодической функцией частоты с периодом, равным д. В то время как континуальный сигнал имеет апериодический спектр.

Расчет коэффициентов с помощью дискретного преобразования Фурье

Найдем прямое дискретное преобразование Фурье (ПДПФ), установив однозначную связь между временными отсчетами сигнала и отсчетами его спектральной плотности. Коэффициенты рассчитаем по формуле:

,

где ,

Рис.

Рис 1.6 - Отчеты спектральной плотности, полученные по ДПФ

Восстановление исходного сигнала по ДПФ

По найденным коэффициентам ДПФ восстановим исходный сигнал.

Рис. 1.7 - Аналоговый сигнал, восстановленный по коэффициентам ДПФ

Восстановленный сигнал является периодической функцией времени. Он точно проходит по отсчетам выборки на первом периоде. Очевидно, что при большем значении N восстановление будет точнее.

Z-преобразование дискретной последовательности

Прямое Z-преобразование последовательности определяется формулой

.

Функцию называют Z-образом последовательности .

Для того чтобы на основании Z - образа последовательности отчетов было возможно получить спектральную плотность, необходимо сделать замену вида

На рисунке 1.8 изображен модуль спектральной плотности дискретизированного сигнала, полученной на основе Z - преобразования (с учетом нормирования относительно числа степеней свободы N=23).Для сравнения на этом же рисунке изображен модуль спектральной плотности аналогового сигнала.

Рис. 1.8 - Модули спектральных плотностей исходного аналогового и дискретизированного сигналов.

Восстановление аналогового сигнала с использованием ряда Котельникова

Восстановленный сигнал представляет собой сумму функций Котельникова с весами, равными отчетам сигнала.

Рис. 1.9 Аналоговый сигнал, восстановленный по ряду Котельникова

Как видно из рисунка 1.9, восстановленный сигнал остался апериодическим, а его форма напоминает исходную.

Синтез ЦФ Чебышева по заданной АЧХ цифрового фильтр. Определение параметров АЧХ аналогового фильтра прототипа

Проектируемый цифровой ФНЧ должен удовлетворять следующим условиям:

1.Частота среза по уровню 3 дБ должна быть

2.Затухание в полосе задержания не менее

3.Неравномерность АЧХ в полосе пропускания не более

Переведем цифровые критерии в аналоговый эквивалент по формуле

Полагая ,пересчитаем в аналоговые частоты

Сравним между собой соотношения цифровых и аналоговых частот

Чтобы обеспечить затухание = 24дБ, надо выбрать фильтр порядка n = 3.

АЧХ аналогового ФНЧ Чебышева описывается следующим выражением:

где -параметр, характеризующий неравномерность АЧХ в полосе пропускания;

-полином Чебышева первого рода порядка n.

Напишем полином порядка n=3

Т3(х)=4х3-3х

Таким образом, АЧХ анализируемого фильтра выглядит следующим образом

Рис.2.10 - АЧХ фильтра Чебышева третьего порядка

Для рассматриваемого фильтра третьего порядка полюса операторного коэффициента передачи имеют следующие значения:

, ,

Поэтому

Расчет и построение временных характеристик фильтра

Для расчета временных характеристик необходимо перейти от к ,

Для этого необходимо воспользоваться подстановкой .

.

Для дальнейшего расчета воспользуемся программой MathCad

На рис.2.11 приведена нормированная переходная характеристика фильтра

Рис.2.11 - Переходная характеристика фильтра Чебышева

Произведем расчет импульсной характеристики фильтра

На рис.2.12 приведена нормированная импульсная характеристика фильтра

Рис.2.12 - Импульсная характеристика фильтра Чебышева

Получение АЧХ цифрового фильтра Чебышева

Если аналоговым фильтром-прототипом служит схема Чебышева 3-го порядка, то для АЧХ цифрового фильтра может быть записана следующая формула:

На рис.2.13 приведена АЧХ цифрового фильтра Чебышева

Рис.2.13 - АЧХ цифрового фильтра Чебышева

Расчёт импульсной характеристики ЦФ Чебышева

Импульсная характеристика равна сумме вычетов:

На рисунке 2.14 приведена дискретная импульсная характеристика ЦФ

Рис.2.14 - Отчёты импульсной характеристики ЦФ.

Прохождение дискретного сигнала через ЦФ Чебышева

На вход фильтра подадим последовательность отчётов представленных на рисунке 1.4.

Сигнал на выходе фильтра определим, воспользовавшись дискретной свёрткой:

На рисунке 2.15 представлены сигналы на входе (синий цвет) и на выходе (красный цвет) ЦФ Чебышева.

Рис.2.15 - Вид сигнала на входе и выходе ЦФ Чебышева

Выводы

В результате проделанной работы были получены практические навыки в области дискретной и цифровой обработки сигналов на примере решения конкретной задачи, включающей в себя элементы, как синтеза, так и анализа цифрового фильтра.

В отличие от аналоговых сигналов дискретные сигналы описываются последовательностью отсчётных значений в дискретном множестве точек.

Спектр дискретного сигнала состоит из бесконечного числа «копий» спектра исходного аналогового сигнала.

Восстановление исходного сигнала из дискретной последовательности отсчётов неизбежно связано с искажениями.

При синтезе ЦФ используют импульсную или частотную характеристику аналогового фильтра-прототипа.

Выходная последовательность ЦФ есть результат дискретной свёртки входного сигнала и импульсной характеристики фильтра.

Частотный коэффициент передачи ЦФ является преобразованием Фурье импульсной характеристики фильтра и представляет собой периодическую функцию частоты с периодом, равным частоте дискретизации.

Размещено на Allbest.ru